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合肥168中学高二文科数学立体几何练习题


数学立体几何练习题
一、选择题: 1.如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长为 a,M、N 分别为 A1B 和 AC 上 的点,A1M=AN= A.相交 2a ,则 MN 与平面 BB1C1C 的位置关系是( 3 C.垂直 D.不能确定 )

B.平行

2.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折起,使平面 ABD⊥

平面 CBD,E 是 CD 中点, 则 ? AED 的大小为( ) A. 45
?

B. 30

?

C. 60

?

D. 90

?

3.PA,PB,PC 是从 P 引出的三条射线,每两条的夹角都是 60? ,则直线 PC 与平面 PAB 所成的角的余弦值为( )

3 3 6 C。 D。 2 3 3 4.正方体 ABCD—A1B1C1D1 中,E、F 分别是 AA1 与 CC1 的中点,则直线 ED 与 D1F 所成 角的余弦值是
A.

1 2

B。

A.

1 5

B。

1 3

C。

1 2

D。

3 2

5. 在棱长为 2 的正方体 ABCD? A1B1C1D1 中,O 是底面 ABCD 的中心,E、F 分别是 CC1 、 AD 的中点,那么异面直线 OE 和 FD1 所成的角的余弦值等于( A. )

10 5 15 2 B. C. D. 5 5 5 3 6.在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若 AB=2,A A1=1,则点 A 到平面 A1BC 的距离为(
A.



3 4

B.

3 2

C.

3 3 4

D. 3

7.在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中,若 AB= 2BB1,则 AB1 与 C1B 所成的角的大小为 ( ) A.60? B. 90? C.105? D. 75? 8.设 E,F 是正方体 AC1 的棱 AB 和 D1C1 的中点,在正方体的 12 条面对角线中,与截面 A1ECF 成 60° 角的对角线的数目是( ) A.0 B.2 C.4 D.6 9.平面外一点到平面内一直角顶点的距离为 23cm,这点到两直角边的距离都是 17cm,则这点 到直角所在平面的距离为…………………………………………………( ) A. 40 ㎝ B. 249 ㎝ C.7 ㎝ D.15 ㎝

10.一条直线和平面所成角为θ ,那么θ 的取值范围是 …………………………( ) (A) (0?,90?) (B)[0?,90?] (C)[0?,180?] (D)[0?,180?]

二、填空题: 11.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,M、N 分别为棱 AA1 和 BB1 的中点,则 sin〈 CM , D1 N 〉的值为_________. 12.如图,正方体的棱长为 1,C、D 分别是两条棱的中点, A、B、M 是顶点, A 13.正四棱锥 P-ABCD 的所有棱长都相等,E 为 PC 中点,则直线 AC 与截面 BDE 所成的角为 . 14.已知正三棱柱 ABC-A1B1C1 的所有棱长都相等,D 是 A1C1 的中点,则直线 AD 与平面 B1DC 所成角的正弦值为 . 15.已知边长为 4 2 的正三角形 ABC 中,E、F 分别为 BC 和 AC 的中点,PA⊥面 ABC, 且 PA=2,设平面 ? 过 PF 且与 AE 平行,则 AE 与平面 ? 间的距离为 . 16.棱长都为 2 的直平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中,∠BAD=60° ,则对角线 A1C 与侧面 DCC1D1 所成角的余弦值为________. 三、解答题: 17.如图,直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 ,底面 ?ABC 中,CA=CB=1, ?BCA ? 90 ? ,棱 AA1 ? 2 , M、N 分别 A1B1、A1A 是的中点. z (1) 求 BM 的长; (2) 求 cos? BA1 , CB1 ? 的值; (3) 求证: A1 B ? C1 N . A1 M A x C B C1 N B1 那么点 M 到截面 ABCD 的距离是 . M B

????

?????

D

C

y

18.如图,三棱锥 P—ABC 中, PC ? 平面 ABC,PC=AC=2,AB=BC,D 是 PB 上一点, 且 CD ? 平面 PAB. (1) 求证:AB ? 平面 PCB; P (2) 求异面直线 AP 与 BC 所成角的大小; (3)求二面角 C-PA-B 的大小的余弦值.
D

B

C

A

19.如图所示,已知在矩形 ABCD 中,AB=1,BC=a(a>0) ,PA⊥平面 AC,且 PA=1. P (1)试建立适当的坐标系,并写出点 P、B、D 的坐标; (2)问当实数 a 在什么范围时,BC 边上能存在点 Q, 使得 PQ⊥QD? (3)当 BC 边上有且仅有一个点 Q 使得 PQ⊥QD 时, 求二面角 Q-PD-A 的余弦值大小. A D B Q C

20. 如图,在底面是棱形的四棱锥 P? ABCD 中, ?ABC ? 60 ? , PA ? AC ? a, PB ? PD ? 2 a ,点 E P 在 PD 上,且 PE : ED =2:1. (1) 证明 PA ? 平面 ABCD ; E (2) 求以 AC 为棱, EAC 与 DAC 为面的二面角 ? 的大小; (3) 在棱 PC 上是否存在一点 F,使 BF ∥平面 AEC ?证明你的结论. A D B C

21. 如图四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是平行四边形,PG⊥平面 ABCD,垂足为 G,G 在 AD 上,且 PG=4, AG ?

1 GD ,BG⊥GC,GB=GC=2,E 是 BC 的中点. 3

(1)求异面直线 GE 与 PC 所成的角的余弦值; (2)求点 D 到平面 PBG 的距离; (3)若 F 点是棱 PC 上一点,且 DF⊥GC,求

PF 的值. FC

P

F A G D

22.已知四棱锥 S-ABCD 的底面 ABCD 是正方形,SA⊥底面 ABCD,E 是 SC 上的任意一点. (1)求证:平面 EBD⊥平面 SAC; (2)设 SA=4,AB=2,求点 A 到平面 SBD 的距离; SA (3)当 的值为多少时,二面角 B-SC-D 的大小为 120° ? AB

B

E

C

理科立体几何训练题(B)答案 一、选择题 题号 答案 二、 11. 4 5 9 填空题 12. 2 3 13. 45° 14. 1 B 2 D 3 D 4 A 5 D 6 B 7 B 8 C 9 C 10 B

4 5

15.

2 3 3

16

3 4

三、解答题 17 解析:以 C 为原点建立空间直角坐标系 O ? xyz . (1) 依题意得 B(0,1,0) ,M(1,0,1) ? BM ? (1 ? 0) 2 ? (0 ? 1) 2 ? (1 ? 0) 2 ? 3 . . z (2) 依题意得 A1(1,0,2) ,B(0,1,0) ,C(0,0,0) 1(0,1,2). ,B A1 M A C B C1 N B1

y

? BA1 ? (1,?1,2), CB1 ? (0,1,2), BA1 ? CB1 ? 3, BA1 ? 6 , CB1 ? 5

? cos ? BA1 , CB1 ??

BA1 ? CB1 BA1 ? CB1

?

30 . 10
1 1 2 2 1 1 2 2

(3) 证明:依题意得 C1(0,0,2) ( , ,2),? A1B ? (?1,1,?2),C1N ? ( , ,0) . ,N
1 1 ? A1B ? C1 N ? ? ? ? 0 ? 0,? A1B ? C1 N 2 2

18.解析: (1) ∵PC⊥平面 ABC, AB ? 平面 ABC, ∴PC ? AB.∵CD ? 平面 PAB, AB ? 平面 PAB, ∴CD ? AB.又 PC ? CD ? C ,∴AB ? 平面 PCB. (2 由(I) AB ? 平面 PCB,∵PC=AC=2, 又∵AB=BC,可求得 BC= 2 .以 B 为原点, 如图建立坐标系.则A(0, 2,0) ,B(0,0,0) ,C( 2,0,0) ,P( 2,0,2) . ??? ? ??? ? AP =( 2,- 2,2), BC =( 2,0,0). P ??? ??? ? ? 则 AP ? BC = 2× 2+0+0=2. ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 1 2 AP ? BC = . cos ? AP,BC ? = ??? ??? = ? ? 2 AP ? BC 2 2 ? 2 ∴异面直线 AP 与 BC 所成的角为

z

D

? . 3

B

C ??? ? ??? ? x (3)设平面 PAB 的法向量为 m= (x,y,z). AB =(0, - 2,0), AP =( 2, - 2,2), ??? ? ? ? ? y ? 0, ? AB ? m ? 0, ? ? 2 y ? 0, ? 则 ? ??? 即? 解得 ? 令 z= -1,得 m= ( 2 ,0,-1). ? ?x ? ? 2z ? 2 x ? 2 y ? 2z ? 0. ? AP ? m ? 0. ? ? ?

A y

由 PC ? 平面 ABC 易知:平面 PAC ? 平面 ABC,取 AC 的中点 E,连接 BE,则 平面 PAC 的一个法向量, 为 n= (1,1,0).

?

BE 为

BE ? (

?

2 2 2 , ,0) ? (1,1,0) ,故平面 PAC 的法向量也可取 2 2 2

cos ? m, n ??

3 2 3 m?n = . ∴二面角 C-PA-B 的大小的余弦值为 . ? m n 3 3 3? 2

19.解析: (1)以 A 为坐标原点,AB、AD、AP 分 别为 x、y、z 轴建立坐标系如图所示. ∵PA=AB=1,BC=a, ∴P(0,0,1) ,B(1,0,0) , D(0,a,0) .

z P

N A M D y

B x Q C

(2)设点 Q(1,x,0) ,则

???? ??? ? DQ ? (1, x ? a,0), QP ? (?1, ? x,1) .
由 DQ ? QP ? 0 ,得 x2-ax+1=0. 显然当该方程有非负实数解时,BC 边上才存在点 Q,使得 PQ⊥QD,故只须⊿=a2-4≥0. 因 a>0,故 a 的取值范围为 a≥2. (3)易见,当 a=2 时,BC 上仅有一点满足题意,此时 x=1,即 Q 为 BC 的中点. 取 AD 的中点 M,过 M 作 MN⊥PD,垂足为 N,连结 QM、QN.则 M(0,1,0) ,P(0, 0,1) ,D(0,2,0) .∵D、N、P 三点共线, ???? ? ???? ???? MD ? ? MP (0,1,0) ? ?(0, ?1,1) (0,1 ? ?, ?) ? ? ? ∴ MN ? . 1? ? 1? ? 1? ? ???? ??? ? ? ??? ? 又 PD ? (0,2, ?1) ,且 MN ? PD ? 0 ,

???? ??? ?

(0,1 ? ?, ?) 2 ? 3? 2 ? (0,2, ?1) ? ?0?? ? . 1? ? 1? ? 3 2 2 ???? (0,1 ? 3 , 3 ) ? 1 2 ? (0, , ) . 于是 MN ? 2 5 5 1? 3 ???? ???? ???? ? ? ???? ??? ? ? 1 2 故 NQ ? NM ? MQ ? ?MN ? AB ? (1, ? , ? ) . 5 5 ??? ???? ? 1 2 ∵ PD ? NQ ? 0 ? 2 ? (? ) ? (?1) ? (? ) ? 0 , 5 5 ??? ???? ? ∴ PD ? NQ . (资料来源:www.maths168.com)
故 ∴∠MNQ 为所求二面角的平面角. ???? ???? ? NM ? NQ 6 ? ∵ cos ?MNQ ? ???? ???? ? , | NM |? NQ | 6 | 注:该题还有很多方法解决各个小问,以上方法并非最简.

20 解析: (1)传统方法易得证明(略) (2)传统方法或向量法均易解得 ? ? 30 ? ; (3)解 以 A 为坐标原点,直线 AD, AP 分别为 y 轴、z 轴,过 A 点垂直于平面 PAD 的直线 为 x 轴,建立空间直角坐标系(如图) .由题设条件,相关各点的坐标为
A(0,0,0), B( 3 1 3 1 a,? a,0),C ( a, a,0) 2 2 2 2
P z

2 1 D(0, a,0), P(0,0, a), E (0, a, a) 3 3

所以 AE ? (0, a, a) , AC ? (
AP ? (0,0, a ), PC ? (

2 3

1 3

3 1 a, a,0) , 2 2
B x

F A C

E D y

3 1 a, a,?a) 2 2

BP ? (?

3 1 3 1 a, a, a) ,设点 F 是棱 PC 上的点, PF ? ? PC ? ( ?a, ?a,??a) ,其中 0 ? ? ? 1 ,则 2 2 2 2

? 3 3 a (1 ? ? ) ? a?1 ? 2 2 ? 1 2 3 1 ?1 BF ? BP ? PF ? ( a(? ? 1), a(1 ? ? ), a(1 ? ? )) .令 BF ? ?1 AC ? ?2 AE 得 ? a (1 ? ? ) ? a?1 ? a?2 2 2 3 2 2 ? 1 ? a (1 ? ? ) ? a?2 ? 3 ?

解得 ? ? , ?1 ? ? , ?2 ? , ? ? 即

1 2

1 2

3 2

1 1 3 时,BF ? ? AC ? AE . 亦即, 是 PC 的中点时,BF, AC, AE F 2 2 2

共面,又 BF ? 平面 AEC ,所以当 F 是 PC 的中点时, BF ∥平面 AEC .

21 解析:(1)以 G 点为原点, GB 、 、 为 x 轴、y 轴、 GC GP z 轴建立空间直角坐标系,则 B(2,0,0),C(0,2,0), P(0,0,4),故 E(1,1,0), GE =(1,1,0), PC =(0,2,4)。
cos ? GE , ?? PC GE ? PC | GE | ? | PC | ? 2 10 , ? 10 2 ? 20

P

F A G D

10 . 10 (2)平面 PBG 的单位法向量 n=(0,± 1,0) 3 3 3 3 ∵ GD ? AD ? BC ? (? , , ) , 0 4 4 2 2 3 ∴点 D 到平面 PBG 的距离为 | GD ? n |= . 2 3 3 3 3 (3)设 F(0,y,z),则 DF ? (0 , ,) ? (? , ,) ? ( , ? ,) 。 y z 0 y z 2 2 2 2
∴GE 与 PC 所成的余弦值为 ∵ DF ? GC ,∴ DF ? GC ? 0 , (资料来源:www.maths168.com)

B

E

C

3 ,) ? (0, ,) ? 2 y ? 3 ? 0 , z 2 0 2 3 3 ∴y? , 又 PF ? ? PC ,即(0, ,z-4)=λ(0,2,-4), ∴z=1, 2 2
即 ( ,y ?

3 2

3 5 PF PF 3 3 1 ? 2 ? 3。 故 F(0, ,1) , PF ? (0, , 3), ? (0, , 1) ,∴ ? FC ? PC FC 2 2 2 5 2
22 解析:(1)∵SA⊥平面 ABCD,BD?平面 ABCD,∴SA⊥BD, ∵四边形 ABCD 是正方形,∴AC⊥BD,∴BD⊥ 平面 SAC, ∵BD?平面 EBD,∴平面 EBD⊥平面 SAC. (2)设 AC∩BD=F,连结 SF,则 SF⊥BD, ∵AB=2,SA=4,∴BD=2 2,

SF= SA2+AF2= 42+( 2)2=3 2, 1 1 ∴S△SBD= BD· SF= · 2· 2=6, 2 3 2 2 设点 A 到平面 SBD 的距离为 h, 1 1 1 4 ∵SA⊥平面 ABCD,∴ ·△SBD· ·△ABD· S h= S SA,∴6· · 2· h= 2· 4,∴h= , 3 3 2 3 4 即点 A 到平面 SBD 的距离为 . 3 (3)设 SA=a,以 A 为原点,AB、AD、AS 所在直线分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐 标系,为计算方便,不妨设 AB=1,则 C(1,1,0),S(0,0,a),B(1,0,0),D(0,1,0), ∴ SC =(1,1,-a), SB =(1,0,-a), SD =(0,1,-a), 再设平面 SBC、平面 SCD 的法向量分别为 n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ? n1 SC ? x1 ? y1 ? az1 ? 0 ? 则 ? ??? ? ? n1 SB ? x1 ? az1 ? 0 ?
∴y1=0,从而可取 x1=a,则 z1=1,∴n1=(a,0,1),

??? ? ? n2 SC ? x2 ? y2 ? az2 ? 0 ? ? ? ??? ? n2 SB ? x2 ? az2 ? 0 ?
∴x2=0,从而可取 y2=a,则 z2=1,∴n2=(0,a,1), 1 ∴cos〈n1,n2〉= 2 , a +1 1 1 要使二面角 B-SC-D 的大小为 120° ,则 2 = ,从而 a=1, a +1 2 SA a 即当 = =1 时,二面角 B-SC-D 的大小为 120° . AB 1


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