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外心和垂心间的向量关系及应用


外心和垂心间的向量关系及应用
定理:设△ABC 的外心为 O,则点 H 为△ABC 的垂心的充要条件是 OH ? OA? OB ? OC 。 证明:如图 1,若 H 为垂心,以 OB、OC 为邻边作平行四边形 OBDC,则 ∵O 为外心,∴OB=OC,∴平行四边形 OBDC 为菱形 ∴ OD⊥BC,而 AH⊥BC,∴ AH∥OD, ∴存在实数 ? ,使得 AH ∴

OD ? OB ? OC
A

? ?OD ? ?OB ? ?OC
H O B D

OH ? OA? AH ? OA? ?OB ? ?OC ①。


同理,存在实数 ? , ? ,使得

C

OH ? OB ? BH ? OB ? ? OC ? ? OA

图1

OH ? OC ? CH ? OC ? ?OA? ?OB ③
比较①、②、③可得, ? ? ? ? ? ? 1 ,∴

OH ? OA? OB ? OC ? OB ? OC ,

反之,若 OH ? OA? OB ? OC ,则 AH ∵ O 为外心,∴OB=OC ∴ AH

? CB ? (OB ? OC ) ? (OB ? OC ) ?| OB | 2 ? | OC | 2 ? 0
1 GH。O、G、H 2

∴AH⊥CB,同理,BH⊥AC。∴ H 为垂心。 推论:△ABC 的外心、重心、垂心分别为 O、G、H,则 O、G、H 三点共线,且 OG= 三点连线称为欧拉线。这就是关于三角形的外心、重心、垂心的欧拉定理 证明:如图 2,由命题 1、2 知,连结 AG 并延长,交 BC 于 D,则 D 为 BC 的中点。

2 1 ∴ OG ? OA ? AG ? OA ? AD ? OA ? ( AB ? AC ) 3 3 1 1 ? OA ? (OB ? OA ? OC ? OA) ? (OA ? OB ? OC ) 3 3

O D

A

H G B C

图2

H 是△ABC 的垂心 ∴

OH ? OA? OB ? OC ,

∴ OH

? 3OG
1 GH。 2

∴O、G、H 三点共线,且 OG=

例 1、 已知 P 是非等边△ABC 外接圆上任意一点, 问当 P 位于何处时, PA2+PB2+PC2 取得最大值和最小值。 解:如图 3,设外接圆半径为 R,点 O 是外心,则
1

PA2+PB2+PC2= ( PO ? OA)

2

? ( PO ? OB ) 2 ? ( PO ? OC ) 2
B

P

A

? 6R 2 ? 2( PO ? OA ? PO ? OB ? PO ? OC)
? 6 R 2 ? 2 PO ? (OA ? OB ? OC ) ? 6R 2 ? 2PO ? OH (H 为垂心)
∴当 P 为 OH 的反向延长线与外接圆的交点时,有最大值 6R2+2R·OH 当 P 为 OH 的延长线与外接圆的交点时,有最小值 6R2-2R·OH 例 2、已知 H 是△ABC 的垂心,且 AH=BC,试求∠A 的度数 解:设△ABC 的外接圆半径为 R,点 O 是外心。 ∵ H 是△ABC 的垂心 ∴ OH ? OA? OB ? OC ∴ AH
2

O

C

图3

∴ AH

? OH ? OA ? OB ? OC

?| AH |2 ? (OB ? OC) 2 ? 2R 2 (1 ? 2 cos 2 A)
2

∵ BC ? OC ? OB ,∴ BC

?| BC |2 ? (OC ? OB) 2 ? 2R 2 (1 ? 2 cos 2 A)

∵AH=BC, ∴ 1 ? 2 cos 2 A ? 1 ? 2 cos 2 A ∴ cos 2 A ? 0 而∠A 为△ABC 的内角,∴ 0<2A<360° 从而 2A=90°或 270° ∴ ∠A 的度数为 45°或 135°。
例 3、 (2002 年联赛加试第一题)在锐角△ABC 中,∠A=60°,AB>AC,点 O 是外心,两条高 BE、CF 交于 H 点,点 M、 N 分别在线段 BH、HF 上,且满足 BM=CN。求

MH ? NH OH

的值。

解:如图 4,设外接圆的半径为 R,设 OA ? a , OB ? b , OC ? c 。 ∵点 O 是外心,∠A=60°∴OA=OB=OC=R, 。且∠BOC=2∠A=120°,∠COA=2∠B,∠AOB=2∠C。 ∵ H 为垂心,∴ OH ∴ BH

? a?b?c
A

? a ? c , CH ? a ? b
F O M B N

∵点 M、N 分别在线段 BH、HF 上 ∴ 令 BM (0 ?

? x BH ? x(a ? c) , CN ? yCH ? y(a ? b) ,

H

E C

x ? 1 , y ? 1)

则 MH ∴|

? (1 ? x)(a ? c) , HN ? ( y ? 1)(a ? b) ,
图4
∴BM= 2 xR cos B NH ?

BM |2 ? 2 x 2 R 2 (1 ? cos 2B) ,

同理,CN= 2 yR cos C ,MH ?

2(1 ? x)R cos B ,

2( y ? 1)R cos C

∵ BM=CN , 2 xR cos B = 2 yR cos C 即 x cos B = ∵ AB>AC,∴∠B<∠C

y cos C

2

又 | OH

| 2 ? 2 R 2 (1 ? cos(C ? B )) ,∴OH= 2 R sin

C?B 2

∴MH+NH ?

2(1 ? x)R cos B + 2( y ? 1)R cos C = 2R(cos B ? cos C )

= 4 R sin

C?B C?B C?B C?B = 3 OH sin ? 4R sin 60? sin ? 2 3R sin 2 2 2 2
=



MH ? NH OH

3。

3


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