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§1.2.2-1基本初等函数的导数公式及导数的运算法则


§1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 教学目标: 1.熟练掌握基本初等函数的导数公式; 2.掌握导数的四则运算法则; 3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数. 教学重点:基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则 教学难点: 基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用 教学过程: 一.创设情景 五种常见函数 y ? c 、

y ? x 、 y ? x2 、 y ? 函数 导数

1 、 y ? x 的导数公式及应用 x

y?c y?x

y' ? 0
y' ? 1

y ? x2
y? 1 x

y' ? 2x
y' ? ? 1 x2

y? x
y ? f ( x) ? xn (n ? Q* )
二.新课讲授 (一)基本初等函数的导数公式表 函数

y? ?

1 2 x

y' ? nxn?1

导数

y?c

y' ? 0
y' ? nxn?1

y ? f ( x) ? xn (n ? Q* )
y ? sin x
y ? cos x

y' ? cos x
y ' ? ? sin x y' ? a x ? ln a (a ? 0)

y ? f ( x) ? a x
y ? f ( x) ? e x f ( x) ? loga x

y' ? ex
f ( x) ? log a xf ' ( x) ? 1 (a ? 0且a ? 1) x ln a

f ( x) ? ln x

f ' ( x) ?

1 x

(二)导数的运算法则 导数运算法则
' ' 1. ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) ? g ( x ) ' ' ' 2. ? f ( x) ? g ( x) ? ? f ( x) g ( x) ? f ( x) g ( x) '

? f ( x) ? f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ? ( g ( x) ? 0) 3. ? ? 2 ? g ( x) ? ? g ( x) ?
' (2)推论: ? cf ( x ) ? ? cf ( x ) '

'

(常数与函数的积的导数,等于常数乘函数的导数) 三.典例分析 例 1.假设某国家在 20 年期间的年均通货膨胀率为 5% ,物价 p (单位:元)与时间

t (单位:年)有如下函数关系 p(t ) ? p0 (1 ? 5%)t ,其中 p0 为 t ? 0 时的物价.假定某种 商品的 p0 ? 1 ,那么在第 10 个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到
0.01)? 解:根据基本初等函数导数公式表,有 p (t ) ? 1.05 ln1.05
' t

所以 p (10) ? 1.05 ln1.05 ? 0.08 (元/年) 因此,在第 10 个年头,这种商品的价格约为 0.08 元/年的速度上涨. 例 2.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求下列函数的导数.
' 10

(1) y ? x ? 2 x ? 3
3

1 1 ? ; 1? x 1? x (3) y ? x ? sin x ? ln x ; x (4) y ? x ; 4 1 ? ln x (5) y ? . 1 ? ln x 2 x (6) y ? (2 x ? 5x ? 1) ? e ; sin x ? x cos x (7) y ? cos x ? x sin x ' 3 ' 3 ' ' ' 2 解: (1) y ? ( x ? 2x ? 3) ? ( x ) ? (2 x) ? (3) ? 3x ? 2 ,
(2) y ?

y ' ? 3x 2 ? 2 。

(2) y ? (
'

1 ' 1 ' (1 ? x )' (1 ? x )' ) ?( ) ? ? 1? x 1? x (1 ? x )2 (1 ? x )2 1 1 ? ? 2 x 2 ? 2 x2 (1 ? x ) (1 ? x ) 1 1 1 ? [ ? ] 2 2 x (1 ? x ) (1 ? x )2

?

(1 ? x )2 ? (1 ? x )2 (1 ? x)2 2 x (1 ? x) x ? x(1 ? x)2 1 ? y' ?

(1 ? x) x x(1 ? x)2 (3) y' ? ( x ? sin x ? ln x)' ? [( x ? ln x) ? sin x]' ? ( x ? ln x)' ? sin x ? ( x ? ln x) ? (sin x)' 1 ? (1? ln x ? x ? ) ? sin x ? ( x ? ln x) ? cos x x ? sin x ? ln x ? sin x ? x ? ln x ? cos x y' ? sin x ? ln x ? sin x ? x ? ln x ? cos x
(4) y ? (
'

x ' x' ? 4x ? x ? (4 x )' 1? 4 x ? x ? 4 x ln 4 1 ? x ln 4 , ) ? ? ? 4x (4 x )2 (4 x )2 4x 1 ? x ln 4 y' ? 。 4x

1 1 ? ln x 2 1 2 x (5) y ' ? ( )' ? (?1 ? )' ? 2( )' ? 2 ? ? 2 1 ? ln x 1 ? ln x 1 ? ln x (1 ? ln x) x(1 ? ln x) 2 2 y' ? x(1 ? ln x) 2
(6) y ? (2 x ? 5x ? 1) ? e ? (2 x ? 5x ? 1) ? (e )
' 2 ' x 2 x '

? (4x ? 5) ? ex ? (2x2 ? 5x ? 1) ? e x ? (2x2 ? x ? 4) ? e x , y' ? (2x2 ? x ? 4) ? ex 。 sin x ? x cos x ' ' ) (7) y ? ( cos x ? x sin x (sin x ? x cos x)' ? (cos x ? x sin x) ? (sin x ? x cos x) ? (cos x ? x sin x)' ? (cos x ? x sin x)2 (cos x ? cos x ? x sin x) ? (cos x ? x sin x) ? (sin x ? x cos x) ? (? sin x ? sin x ? xco s x) ? (cos x ? x sin x) 2

?

x sin x ? (cos x ? x sin x) ? (sin x ? x cos x) ? xco s x (cos x ? x sin x)2

?

x2 。 (cos x ? x sin x)2 x2 y' ? (cos x ? x sin x)2

【点评】 ① 求导数是在定义域内实行的. ② 求较复杂的函数积、商的导数,必须细心、耐心. 例 3 日常生活中的饮水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高,所需净化费用不断 增加.已知将 1 吨水净化到纯净度为 x % 时所需费用(单位:元)为

c( x) ?

5284 (80 ? x ? 100) 100 ? x
(2) 98%

求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率: (1) 90% 解:净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.

(1)

5284 ' 5284' ? (100 ? x) ? 5284 ? (100 ? x)' c ' ( x) ? ( ) ? 100 ? x (100 ? x)2 0 ? (100 ? x) ? 5284 ? (?1) 5284 ? ? 2 (100 ? x) (100 ? x) 2 5284 ' ? 52.84 ,所以,纯净度为 90% 时,费用的瞬时 因为 c (90) ? (100 ? 90)2
变化率是 52.84 元/吨. 因为 c (98) ?
'

(2)

5284 ? 1321 ,所以,纯净度为 98% 时,费用的瞬时变 (100 ? 90)2

化率是 1321 元/吨. 函数 f ( x ) 在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢.由上述计算可知, 它表示纯净度为 98% 左右时净化费用的瞬时变化率, 大约是纯净度为 c' (98) ? 25c' (90) . 90% 左右时净化费用的瞬时变化率的 25 倍.这说明,水的纯净度越高,需要的净化费用 就越多,而且净化费用增加的速度也越快. 四.课堂练习 已知曲线 C:y =3 x 4-2 x3-9 x2+4,求曲线 C 上横坐标为 1 的点的切线方程; (y =-12 x +8) 五.回顾总结 (1)基本初等函数的导数公式表 (2)导数的运算法则


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