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高中数学 (1.2 指数函数及其性质 第2课时)示范教案 新人教A版必修1


第 2 课时

指数函数及其性质(2)

导入新课 思路 1.复习导入: 我们前一节课学习了指数函数的概念和性质,下面我们一起回顾一下指数 函数的概念、 图象和性质.如何利用指数函数的图象和性质来解决一些问题,这就是本堂课要 讲的主要内容.教师板书课题. 思路 2.我们在学习指数函数的性质时,利用了指数函数的图象的特点,并且是用类比和归纳

的方法得出,在理论上,我们能否严格的证明特别是指数函数的单调性,以便于我们在解题时 应用这些性质,本堂课我们要解决这个问题.教师板书课题:指数函数及其性质(2). 应用示例 思路 1 x 例 1 已知指数函数 f(x)=a (a>0 且 a≠1)的图象过点(3,π ),求 f(0),f(1),f(-3)的值. 活动: 学生审题,把握题意,教师适时提问,点拨,求值的关键是确定 a,一般用待定系数法,构 建一个方程来处理,函数图象过已知点,说明点在图象上,意味着已知点的坐标满足曲线的方 x 程 , 转化为将已知点的坐标代入指数函数 f(x)=a ( a > 0 且 a≠1)求 a 的值 , 进而求出 f(0),f(1),f(-3)的值,请学生上黑板板书,及时评价. 解:因为图象过点(3,π ), 所以 f(3)=a =π ,即 a=π 再把 0,1,3 分别代入,得 0 f(0)=π =1, 1 f(1)=π =π , f(-3)=π =
-1 3

1 3

,f(x)=(π

1 3

).

x

1

?

.

点评:根据待定系数的多少来确定构建方程的个数是解题的关键,这是方程思想的运用. 例 2 用函数单调性的定义证明指数函数的单调性. 活动: 教师点拨提示定义法判断函数单调性的步骤,单调性的定义证明函数的单调性,要按规 定的格式书写. 证法一:设 x1,x2∈R,且 x1<x2,则 x x x x y2-y1=a 2-a 1=a 1(a 2-x1-1). x x 因为 a>1,x2-x1>0,所以 a 2-x1>1,即 a 2-x1-1>0. x 又因为 a 1>0, 所以 y2-y1>0, 即 y1<y2. x 所以当 a>1 时,y=a ,x∈R 是增函数. x 同理可证,当 0<a<1 时,y=a 是减函数.

y 2 a x2 x2 ? x1 证法二:设 x1,x2∈R,且 x1<x2,则 y2 与 y1 都大于 0,则 = =a . y1 a x1
因为 a>1,x2-x1>0,所以 a 即
x2 ? x1

>1,

y2 >1,y1<y2. y1

1

所以当 a>1 时,y=a ,x∈R 是增函数. x 同理可证,当 0<a<1 时,y=a 是减函数. 变式训练 x 若指数函数 y=(2a-1) 是减函数,则 a 的范围是多少? 答案:

x

1 <a<1. 2

例 3 截止到 1999 年底,我国人口约 13 亿,如果今后能将人口年平均增长率控制在 1%,那么经 过 20 年后,我国人口数最多为多少(精确到亿)? 活动:师生共同讨论,将实际问题转化为数学表达式,建立目标函数,常采用特殊到一般的方 式,教师引导学生注意题目中自变量的取值范围,可以先考虑一年一年增长的情况,再从中发 现规律,最后解决问题: 1999 年底 人口约为 13 亿; 经过 1 年 人口约为 13(1+1%)亿; 2 经过 2 年 人口约为 13(1+1%) (1+1%)=13(1+1%) 亿; 2 3 经过 3 年 人口约为 13(1+1%) (1+1%)=13(1+1%) 亿; x 经过 x 年 人口约为 13(1+1%) 亿; 20 经过 20 年 人口约为 13(1+1%) 亿. 解:设今后人口年平均增长率为 1%,经过 x 年后,我国人口数为 y 亿,则 x y=13(1+1%) , 20 当 x=20 时,y=13(1+1%) ≈16(亿). 答:经过 20 年后,我国人口数最多为 16 亿. x 点评:类似此题 , 设原值为 N, 平均增长率为 P, 则对于经过时间 x 后总量 y=N(1+p) , 像 x x y=N(1+p) 等形如 y=ka (k∈R,a>0 且 a≠1)的函数称为指数型函数. 思路 2 例 1 求下列函数的定义域、值域:
1

(1)y=0.4 x ?1 ;(2)y=3

5 x ?1

;(3)y=2 +1;(4)y=

x

2x ? 2 . 2x ?1

解: (1)由 x-1≠0 得 x≠1,所以所求函数定义域为{x|x≠1}.由 x≠ ? 得 y≠1, 即函数值域为{y|y>0 且 y≠1}. (2)由 5x-1≥0 得 x≥

1 1 ,所以所求函数定义域为{x|x≥ }.由 5x - 1 ≥0 得 y≥1, 5 5

所以函数值域为{y|y≥1}. x x (3)所求函数定义域为 R,由 2 >0 可得 2 +1>1. 所以函数值域为{y|y>1}. x x x (4)由已知得:函数的定义域是 R,且(2 +1)y=2 -2,即(y-1)2 =-y-2. 因为 y≠1,所以 2 =
x

? y?2 ? y?2 x .又 x∈R,所以 2 >0, >0.解之,得-2<y<1. y ?1 y ?1

因此函数的值域为{y|-2<y<1}. 点评:通过此例题的训练,学会利用指数函数的定义域、值域去求解指数形式的复合函数的 定义域、值域,还应注意书写步骤与格式的规范性. 变式训练

2

1 求函数 y=( ) x ? 3 的定义域和值域. 2
解:要使函数有意义,必须 x+3≠0,即 x≠-3,即函数的定义域是{x|x≠-3}. 因为

1

1 1 1 0 ≠0,所以 y=( ) x ? 3 ≠( ) =1. x?3 2 2

1

又因为 y>0,所以值域为(0,1)∪(1,+∞). 例2

1 x 2 ?2 x ) 的单调区间,并证明. 2 2 (2)设 a 是实数,f(x)=a ? x (x∈R),试证明对于任意 a,f(x)为增函数. 2 ?1 1 x 2 活动: (1)这个函数的单调区间由两个函数决定,指数函数 y=( ) 与 y=x -2x 的复合函数, 2
(1)求函数 y=( (2)函数单调性的定义证明函数的单调性,要按规定的格式书写.

1 2 ( ) x 2 ? 2 x2 y 1 x 2 ? x 2 ?2 x ?2 x 1 ( x ? x )( x ? x ?2) 解法一:设 x1<x2,则 2 ? 2 =( ) 2 1 2 1 ( ) 2 1 2 1 , 1 1 2 2 y1 ( ) x 2 ? 2 x1 2
因为 x1<x2,所以 x2-x1>0. 当 x1,x2∈(-∞,1]时,x1+x2-2<0,这时(x2-x1)(x2+x1-2)<0, 即

y2 >1,所以 y2>y1,函数单调递增; y1

当 x1,x2∈[1,+∞)时,x1+x2-2>0,这时(x2-x1)(x2+x1-2)>0, 即

y2 <1,所以 y2<y1,函数单调递减; y1

所以函数 y 在(-∞,1]上单调递增,在[1,+∞)上单调递减. 解法二: (用复合函数的单调性) : 设 u=x -2x,则 y=(
2

1 u ), 2 1 u ) 是减函数, 2

对任意的 1<x1<x2,有 u1<u2,又因为 y=( 所以 y1<y2,所以 y=(

1 x 2 ?2 x ) 在[1,+∞)是减函数. 2 1 u 对任意的 x1<x2≤1,有 u1>u2,又因为 y=( ) 是减函数, 2 1 x 2 ?2 x 所以 y1<y2.所以 y=( ) 在(-∞,1]上是增函数. 2 1 x 2 ?2 x 引申:求函数 y=( ) 的值域(0<y≤2). 2
点评:(1)求复合函数的单调区间时,利用口诀“同增异减”.

3

(2)此题虽形式较为复杂,但应严格按照单调性的定义进行证明,还应要求学生注意不同题 型的解答方法. 证明:设 x1,x2∈R,且 x1<x2,则 f(x1)-f(x2)= (a ?

2 2 2 2 2(2 x 1 ? 2 x 2 ) ) ? ( a ? ) ? = = . 2 x1 ? 1 2 x 2 ? 1 2 x 2 ? 1 2 x 1 ? 1 (2 x1 ? 1)(2 x 2 ? 1)
x

由于指数函数 y=2 在 R 上是增函数,且 x1<x2, x x x x 所以 2 1<2 2,即 2 1-2 2<0. x x x 又由 2 >0 得 2 1+1>0,2 2+1>0, 所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 因为此结论与 a 取值无关,所以对于 a 取任意实数,f(x)为增函数. 点评:上述证明过程中,在对差式正负判断时,利用了指数函数的值域及单调性. 知能训练 |x| 1.函数 y=a (a>1)的图象是( )

图 2-1-2-8 |x| x 分析:当 x≥0 时,y=a =a 的图象过(0,1)点,在第一象限,图象下凸,是增函数. 答案:B 2.下列函数中,值域为(0,+∞)的函数是( ) A.y=(

1 2-x ) 3

B.y= 1 - 4 x

C.y= 0.5x - 1

D.y= 2 +1

x2

分析:因为(2-x)∈R,所以 y=( [0,+∞);y= 2 +1∈[2,+∞).
x2

1 2-x ) ∈(0,+∞);y= 1 - 4 x ∈[0,1];y= 0.5x - 1 ∈ 3

答案:A x 3.已知函数 f(x)的定义域是(0,1),那么 f(2 )的定义域是( A.(0,1) B.(
x



1 ,1) 2
x 0

C.(-∞,0)

D.(0,+∞)

分析:由题意得 0<2 <1,即 0<2 <2 ,所以 x<0,即 x∈(-∞,0). 答案:C x 2 4.若集合 A={y|y=2 ,x∈R},B={y|y=x ,x∈R},则( ) A.A B B.A B C.A=B D.A∩B= ? 分析:A={y|y>0},B={y|y≥0},所以 A B. 答案:A 5.对于函数 f(x)定义域中的任意的 x1、x2(x1≠x2),有如下的结论: ①f(x1+x2)=f(x1)·f(x2);②f(x1·x2)=f(x1)+f(x2); ③

x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ( x1 ) ? f ( x2 ) )< >0;④ f ( 1 . 2 x1 ? x2 x1 ? x2

4

当 f(x)=10 时,上述结论中正确的是. 分析:因为 f(x)=10 ,且 x1≠x2,所以 f(x1+x2)= 10 确; 因为 f(x1·x2)= 10 1
x x

x

x1

? x 2 = 10x1 ? 10x2 =f(x1)·f(x2),所以①正

x ? x2

≠ 10 1 ? 10 2 =f(x1)+f(x2),②不正确;
x x

因为 f(x)=10 是增函数,所以 f(x1)-f(x2)与 x1-x2 同号,所以
x

f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0,所以③正确. x1 ? x2

因为函数 f(x)=10 图象如图 2-1-2-9 所示是上凹下凸的,可解得④正确.

图 2-1-2-9 答案:①③④ 另解:④

10x1 ? 10x2 10x1 ? 10x2 x1 x2 x ?x ∵10 1>0,10 >0,x1≠x2,∴ > 10 ? 10 ∴ > 10 1 2 , 2 2
x x 2



1 2 x ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 10x1 ? 10x2 ). > 10 2 ∴ > f( 1 2 2 x1 ? x2

x ?x

拓展提升 在同一坐标系中作出下列函数的图象,讨论它们之间的联系. x x+1 x-1 (1)①y=3 ,②y=3 ,③y=3 ; (2)①y=(

1 x 1 x-1 1 x+1 ) ,②y=( ) ,③y=( ) . 2 2 2

活动:学生动手画函数图象,教师点拨,学生没有思路教师可以提示.学生回忆函数作图的方 法与步骤,按规定作出图象,特别是关键点. 答案:如图 2-1-2-10 及图 2-1-2-11.

图 2-1-2-10 图 2-1-2-11 x x+1 x-1 观察图 2-1-2-10 可以看出,y=3 ,y=3 ,y=3 的图象间有如下关系: x+1 x y=3 的图象由 y=3 的图象左移 1 个单位得到; x-1 x y=3 的图象由 y=3 的图象右移 1 个单位得到; x-1 x+1 y=3 的图象由 y=3 的图象向右移动 2 个单位得到.

5

观察图 2-1-2-11 可以看出,y=( y=(

1 x 1 x-1 1 x+1 ) ,y=( ) ,y=( ) 的图象间有如下关系: 2 2 2

1 x+1 1 x ) 的图象由 y=( ) 的图象左移 1 个单位得到; 2 2 1 x-1 1 x y=( ) 的图象由 y=( ) 的图象右移 1 个单位得到; 2 2 1 x-1 1 x+1 y=( ) 的图象由 y=( ) 的图象向右移动 2 个单位得到. 2 2
你能推广到一般的情形吗?同学们留作思考. 课堂小结 思考 我们本堂课主要学习了哪些知识,你有什么收获?把你的收获写在笔记本上. 活动:教师用多媒体显示以下内容,学生互相交流学习心得,看是否与多媒体显示的内容一 致. 本节课,在复习旧知识的基础上学习了数形结合的思想、 函数与方程的思想,加深了对问题的 分析能力,形成了一定的能力与方法. 作业 课本 P59 习题 2.1 B 组 1、3、4. 设计感想 本堂课主要是复习巩固指数函数及其性质 ,涉及的内容较多,要首先组织学生回顾指数函数 的性质,为此,必须利用函数图象,数形结合,通过数与形的相互转化,借助形的直观性解决问 题,本节课要训练学生能够恰当地构造函数 ,根据函数的单调性比较大小,有时要分 a>1,0<a<1,这是分类讨论的思想,因此加大了习题和练习的量,目的是让学生在较短的时间 内,掌握学习的方法,提高分析问题和解决问题的能力,要加快速度,多运用现代化的教学手 段.

6


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