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2013年高考新课标全国(I卷)文科数学试题及答案


2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (全国卷 I 新课标)
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 2 1.已知集合 A={1,2,3,4},B={x|x=n ,n∈A},则 A∩B=( ). A.{1,4} B.{2,3} C.{9,16} D.{1,2} 2.

r />1 ? 2i =( ?1 ? i ?2 1 ?1 ? i 2 A.
1 A. 2

).

1 ?1+ i 2 B.

1 1+ i 2 C.

1 1? i 2 D.
).

3.从 1,2,3,4 中任取 2 个不同的数,则取出的 2 个数之差的绝对值为 2 的概率是(

1 B. 3

1 C. 4

1 D. 6
).

x2 y2 5 4.( ,文 4)已知双曲线 C: 2 ? 2 =1 (a>0,b>0)的离心率为 ,则 C 的渐近线方程为( a b 2 1 1 1 ? x ? x ? x A.y= 4 B.y= 3 C.y= 2 D.y=±x
5.( ,文 5)已知命题 p:?x∈R,2 <3 ;命题 q:?x∈R,x =1-x ,则下列命题中为真命题的是( A.p∧q B. ? p∧q C.p∧ ? q D. ? p∧ ? q 6.( ,文 6)设首项为 1,公比为 A.Sn=2an-1
x x
3 2

).

2 的等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,则( 3
C.Sn=4-3an

).

B.Sn=3an-2

D.Sn=3- ).

2an 7. ( , 文 7)执行下面的程序框图, 如果输入的 t∈[-1,3], 则输出的 s 属于( A.[-3,4] B.[-5,2] C.[-4,3] D.[-2,5]
2

8.( ,文 8)O 为坐标原点,F 为抛物线 C:y = 4 2 x 的焦点,P 为 C 上一点,若 |PF|= 4 2 ,则△POF 的面积为( ). ). A.2 B. 2 2 C. 2 3 D.4 9.( ,文 9)函数 f(x)=(1-cos x)sin x 在[-π ,π ]的图像大致为(

10.( ,文 10)已知锐角△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,23cos A+cos 2A=0,a=7,c=6, 则 b=( ). A.10 B.9 C.8 D.5

2

11.( ,文 11)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( ). A.16+8π B.8+8π
1

C.16+16π D.8+16π 12.( ,文 12)已知函数 f(x)= ? A.(-∞,0] C.[-2,1]

?? x 2 ? 2 x, x ? 0, ?ln( x ? 1), x ? 0.

若|f(x)|≥ax,则 a 的取值范围是(

).

B.(-∞,1] D.[-2,0]

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.( ,文 13)已知两个单位向量 a,b 的夹角为 60°,c=ta+(1-t)b.若 b?c=0,则 t=______. 14.( ,文 14)设 x,y 满足约束条件 ?

?1 ? x ? 3, 则 z=2x-y 的最大值为______. ??1 ? x ? y ? 0,

15.( ,文 15)已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点,AH∶HB=1∶2,AB⊥平面 α ,H 为垂足,α 截球 O 所得 截面的面积为 π ,则球 O 的表面积为______. 16.( ,文 16)设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则 cos θ =______. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.( ,文 17)(本小题满分 12 分)已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 S3=0,S5=-5. (1)求{an}的通项公式; (2)求数列 ?

?

? 1 ? 的前 n 项和. ? a2 n ?1a2 n ?1 ?

2

18.( ,文 18)(本小题满分 12 分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为 A 药,B 药)的疗效,随机地选 取 20 位患者服用 A 药,20 位患者服用 B 药,这 40 位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠 时间(单位:h).试验的观测结果如下: 服用 A 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5 2.5 2.6 1.2 2.7 1.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4 服用 B 药的 20 位患者日平均增加的睡眠时间: 3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4 1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5 (1)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好? (2)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好?

19.( ,文 19)(本小题满分 12 分)如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°. (1)证明:AB⊥A1C; (2)若 AB=CB=2,A1C= 6 ,求三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积.

3

20.( ,文 20)(本小题满分 12 分)已知函数 f(x)=e (ax+b)-x -4x,曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的 切线方程为 y=4x+4. (1)求 a,b 的值; (2)讨论 f(x)的单调性,并求 f(x)的极大值.

x

2

21.( ,文 21)(本小题满分 12 分)已知圆 M:(x+1) +y =1,圆 N:(x-1) +y =9,动圆 P 与圆 M 外切 并且与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最长时,求|AB|.

2

2

2

2

4

请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的 第一个题目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22.( ,文 22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 为圆的切线,切点为 B,点 C 在圆上,∠ABC 的角平分线 BE 交圆于点 E,DB 垂直 BE 交圆于 点 D.

23. ( , 文 23)(本小题满分 10 分)选修 4—4: 坐标系与参数方程已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t , (t ? y ? 5 ? 5sin t

为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =2sin θ . (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ ≥0,0≤θ <2π ).

5

24.( ,文 24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲已知函数 f(x)=|2x-1|+|2x+a|,g(x)=x +3. (1)当 a=-2 时,求不等式 f(x)<g(x)的解集; (2)设 a>-1,且当 x∈ ? ?

? a 1? , ? 时,f(x)≤g(x),求 a 的取值范围. ? 2 2?

6

2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类 (全国卷 I 新课标)
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1. 答案:A 2 解析:∵B={x|x=n ,n∈A}={1,4,9,16}, ∴A∩B={1,4}. 2. 答案:B 解析:

1 1 ? 2i 1 ? 2i ?1 ? 2i ?i ?2 ? i = ?1+ i . ? ? ? 2 2 ?1 ? i ? ?2i 2 2

3. 答案:B 解析:由题意知总事件数为 6,且分别为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),满足条件的事件 数是 2,所以所求的概率为 4. 答案:C

1 . 3

c2 5 c 5 5 解析:∵ e ? ,∴ ? ,即 2 ? . a 4 a 2 2 2 b 1 b 1 2 2 2 ∵c =a +b ,∴ 2 ? .∴ ? . a 2 a 4 b ∵双曲线的渐近线方程为 y ? ? x , a 1 ∴渐近线方程为 y ? ? x .故选 C. 2
5. 答案:B 0 0 3 2 解析:由 2 =3 知,p 为假命题.令 h(x)=x -1+x , ∵h(0)=-1<0,h(1)=1>0, 3 2 ∴x -1+x =0 在(0,1)内有解. 3 2 ∴?x∈R,x =1-x ,即命题 q 为真命题.由此可知只有 ? p∧q 为真命题.故选 B. 6. 答案:D

2 1 ? an a ?1 ? q ? a1 ? an q 3 =3-2an,故选 D. 解析: Sn ? 1 ? ? 2 1? q 1? q 1? 3
n

7. 答案:A 解析:当-1≤t<1 时,s=3t,则 s∈[-3,3). 2 当 1≤t≤3 时,s=4t-t . ∵该函数的对称轴为 t=2, ∴该函数在[1,2]上单调递增,在[2,3]上单调递减. ∴smax=4,smin=3. ∴s∈[3,4]. 综上知 s∈[-3,4].故选 A. 8. 答案:C
7

解析:利用|PF|= xP ? 2 ? 4 2 ,可得 xP= 3 2 . ∴yP= ?2 6 .∴S△POF= 故选 C. 9. 答案:C 解析:由 f(x)=(1-cos x)sin x 知其为奇函数.可排除 B.当 x∈ ? 0, ? 时,f(x)>0,排除 A. 2

1 |OF|?|yP|= 2 3 . 2

? ?

π? ?

当 x∈(0,π )时,f′(x)=sin x+cos x(1-cos x)=-2cos x+cos x+1. 令 f′(x)=0,得 x ? 故极值点为 x ? 10. 答案:D 解析:由 23cos A+cos 2A=0,得 cos A= ∵A∈ ? 0,
2 2

2

2

2 π. 3

2 π ,可排除 D,故选 C. 3 1 . 25

1 π? ? ,∴cos A= 5 . 2? 13 36 ? b 2 ? 49 ∵cos A= ,∴b=5 或 b ? ? (舍). 5 2 ? 6b
故选 D. 11. 答案:A 解析:该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体.

? ?

V 半圆柱=

1 2 π ?2 ?4=8π , 2

V 长方体=4?2?2=16.
所以所求体积为 16+8π .故选 A. 12. 答案:D 解析:可画出|f(x)|的图象如图所示. 当 a>0 时,y=ax 与 y=|f(x)|恒有公共点,所以排除 B,C; 当 a≤0 时,若 x>0,则|f(x)|≥ax 恒成立. 2 若 x≤0,则以 y=ax 与 y=|-x +2x|相切为界限, 由?

? y ? ax, 2 得 x -(a+2)x=0. 2 ? y ? x ? 2 x,
2

∵Δ =(a+2) =0,∴a=-2. ∴a∈[-2,0].故选 D. 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答.第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13.答案:2 解析:∵b?c=0,|a|=|b|=1, 〈a,b〉=60°,∴a?b= 1? 1? ∴b?c=[ta+(1-t)b]?b=0, 2 即 ta?b+(1-t)b =0.
8

1 1 ? . 2 2



1 t +1-t=0. 2

∴t=2. 14.答案:3 解析:画出可行域如图所示. 画出直线 2x-y=0,并平移,当直线经过点 A(3,3)时,z 取最大 值,且最大值为 z=2?3-3=3. 15.答案:

9 π 2

解析:如图, 设球 O 的半径为 R, 则 AH=

2R , 3

OH=

R . 3
2 2

又∵π ?EH =π ,∴EH=1. ∵在 Rt△OEH 中,R = ?

9 ?R? 2 2 ? +1 ,∴R = 8 . ?3?

2

9π . 2 2 5 16.答案: ? 5
∴S 球=4π R =
2

解析:∵f(x)=sin x-2cos x= 5 sin(x-φ ),

2 5 5 ,cos φ = . 5 5 π 当 x-φ =2kπ + (k∈Z)时,f(x)取最大值. 2 π π 即 θ -φ =2kπ + (k∈Z),θ =2kπ + +φ (k∈Z). 2 2 2 5 ?π ? ∴cos θ = cos ? ? ? ? =-sin φ = ? . 5 ?2 ?
其中 sin φ = 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. 解:(1)设{an}的公差为 d,则 Sn= na1 ? 由已知可得 ?

n(n ? 1) d. 2

?3a1 ? 3d ? 0, ?5a1 ? 10d ? 5,

解得 a1=1,d=-1. 故{an}的通项公式为 an=2-n. (2)由(1)知 从而数列 ?

1 1 1? 1 1 ? = ? ? ? ?, a2 n?1a2 n?1 ?3 ? 2n ??1 ? 2n? 2 ? 2n ? 3 2n ? 1 ?

?

? 1 ? 的前 n 项和为 ? a2 n ?1a2 n ?1 ?
9

1? 1 1 1 1 ? ? ? ? ? 2 ? ?1 1 1 3 n = . 1 ? 2n

?

1 1 ? ? ? 2n ? 3 2 n ? 1 ?

18. 解:(1)设 A 药观测数据的平均数为 x ,B 药观测数据的平均数为 y . 由观测结果可得

x=

1 (0.6+1.2+1.2+1.5+1.5+1.8+2.2+2.3+2.3+2.4+2.5+2.6+2.7+2.7+2.8+2.9+3.0 20 1 (0.5+0.5+0.6+0.8+0.9+1.1+1.2+1.2+1.3+1.4+1.6+1.7+1.8+1.9+2.1+2.4+2.5 20

+3.1+3.2+3.5) =2.3,

y=

+2.6+2.7+3.2) =1.6. 由以上计算结果可得 x > y ,因此可看出 A 药的疗效更好. (2)由观测结果可绘制如下茎叶图:

从以上茎叶图可以看出,A 药疗效的试验结果有

7 7 的叶集中在茎 2,3 上,而 B 药疗效的试验结果有 的 10 10

叶集中在茎 0,1 上,由此可看出 A 药的疗效更好. 19. (1)证明:取 AB 的中点 O,连结 OC,OA1,A1B. 因为 CA=CB, 所以 OC⊥AB. 由于 AB=AA1,∠BAA1=60°, 故△AA1B 为等边三角形, 所以 OA1⊥AB. 因为 OC∩OA1=O,所以 AB⊥平面 OA1C. 又 A1C? 平面 OA1C,故 AB⊥A1C. (2)解:由题设知△ABC 与△AA1B 都是边长为 2 的等边三角形, 所以 OC=OA1= 3 . 又 A1C= 6 ,则 A1C =OC + OA12 ,
2 2

故 OA1⊥OC. 因为 OC∩AB=O,所以 OA1⊥平面 ABC,OA1 为三棱柱 ABC-A1B1C1 的高. 又△ABC 的面积 S△ABC= 3 ,故三棱柱 ABC-A1B1C1 的体积 V=S△ABC?OA1=3. 20. x 解:(1)f′(x)=e (ax+a+b)-2x-4. 由已知得 f(0)=4,f′(0)=4. 故 b=4,a+b=8. 从而 a=4,b=4. x 2 (2)由(1)知,f(x)=4e (x+1)-x -4x,
10

f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)? ? e x ?

? ?

1? ?. 2?

令 f′(x)=0 得,x=-ln 2 或 x=-2. 从而当 x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f′(x)>0; 当 x∈(-2,-ln 2)时,f′(x)<0. 故 f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减. -2 当 x=-2 时,函数 f(x)取得极大值,极大值为 f(-2)=4(1-e ). 21. 解: 由已知得圆 M 的圆心为 M(-1,0), 半径 r1=1; 圆 N 的圆心为 N(1,0), 半径 r2=3.设圆 P 的圆心为 P(x, y),半径为 R. (1)因为圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N 内切, 所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线 C 是以 M,N 为左、右焦点,长半轴长为 2,短半轴长为 3 的椭圆(左顶点除外), 其方程为

x2 y2 ? =1 (x≠-2). 4 3

(2)对于曲线 C 上任意一点 P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-2≤2, 所以 R≤2,当且仅当圆 P 的圆心为(2,0)时,R=2. 2 2 所以当圆 P 的半径最长时,其方程为(x-2) +y =4. 若 l 的倾斜角为 90°,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|= 2 3 . 若 l 的倾斜角不为 90°, 由 r1≠R 知 l 不平行于 x 轴, 设 l 与 x 轴的交点为 Q, 则 4,0),所以可设 l:y=k(x+4). 由 l 与圆 M 相切得

| QP | R 可求得 Q(- ? , | QM | r1

| 3k |

1? k 2 x2 y2 2 2 ?4 ? 6 2 当 k= 时,将 y ? , x ? 2 代入 ? =1 ,并整理得 7x2+8x-8=0,解得 x1,2= 4 3 4 4 7 18 所以|AB|= 1 ? k 2 |x2-x1|= . 7 18 2 当 k= ? 时,由图形的对称性可知|AB|= . 7 4 18 综上,|AB|= 2 3 或|AB|= . 7
请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做的 第一个题目计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. 22. (1)证明:连结 DE,交 BC 于点 G. 由弦切角定理得,∠ABE=∠BCE. 而∠ABE=∠CBE, 故∠CBE=∠BCE,BE=CE. 又因为 DB⊥BE, 所以 DE 为直径,∠DCE=90°, 由勾股定理可得 DB=DC. (2)解:由(1)知,∠CDE=∠BDE,DB=DC, 故 DG 是 BC 的中垂线, 所以 BG=

=1,解得 k= ?

2 . 4

3 . 2
11

设 DE 的中点为 O,连结 BO,则∠BOG=60°.

从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°, 所以 CF⊥BF, 故 Rt△BCF 外接圆的半径等于 23. 解:(1)将 ?
2

3 . 2

? x ? 4 ? 5cos t , 2 2 消去参数 t,化为普通方程(x-4) +(y-5) =25, ? y ? 5 ? 5sin t
2

即 C1:x +y -8x-10y+16=0. 将?

? x ? ? cos ? , 2 2 2 代入 x +y -8x-10y+16=0 得 ρ -8ρ cos θ -10ρ sin θ +16=0. y ? ? sin ? ?

所以 C1 的极坐标方程为 2 ρ -8ρ cos θ -10ρ sin θ +16=0. 2 2 (2)C2 的普通方程为 x +y -2y=0.

? x 2 ? y 2 ? 8 x ? 10 y ? 16 ? 0, 由? 2 2 ?x ? y ? 2 y ? 0 ? x ? 1, ? x ? 0, 解得 ? 或? ? y ? 1 ? y ? 2.
所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为 ? 2,

? ?

π? ? π? ? , ? 2, ? . 4? ? 2?

24. 解:(1)当 a=-2 时,不等式 f(x)<g(x)化为|2x-1|+|2x-2|-x-3<0. 设函数 y=|2x-1|+|2x-2|-x-3,

1 ? ? ?5 x , x ? 2 , ? 1 ? 则 y= ? ? x ? 2, ? x ? 1, 2 ? ?3 x ? 6, x ? 1. ? ?
其图像如图所示.从图像可知,当且仅当 x∈(0,2)时,y<0. 所以原不等式的解集是{x|0<x<2}. (2)当 x∈ ? ?

? a 1? , ? 时,f(x)=1+a. ? 2 2?

不等式 f(x)≤g(x)化为 1+a≤x+3.

? a 1? , ? 都成立. ? 2 2? a 4 故 ? ≥a-2,即 a≤ . 2 3 4? ? 从而 a 的取值范围是 ? ?1, ? . 3? ?
所以 x≥a-2 对 x∈ ? ?

12


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