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江苏南通四所名校2011届高三数学一轮复习 空间直角坐标系课件 苏教版


第五节 空间直角 坐标系

基础知识梳理
1.空间直角坐标系 (1)为了确定空间点的位置,我 们建立空间直角坐

基础知识梳理
标系:以单位正方体为载体,以 O为原点,分别以射线OA,OC, OD′的方向为正方向,以线段OA, OC,OD′的长为单位长,建立 , 这时我们说建立了一个 空间直角坐标系 其中点O叫 坐标

原点 ,x轴,y轴,z轴 三条数轴:x轴,y轴,z轴,如 叫 坐标轴 . 图.
(2)通过每两个坐标轴的平面叫 坐标平面, 分别称为xOy平面,yOz平面,xOz平面.

基础知识梳理
2.空间点的坐标 过点P作一个平面平行于平面yOz(这 样构造的平面同样垂直于x轴),这个 横坐标 平面与x轴的交点记为Px,它在x轴上 的坐标为x,这个数x叫做点P 的 纵坐标 ;过点P作一个平面平行 于平面xOz(这样构造的平面同样垂 直于y轴),这个平面与y轴的交点记 竖坐标 作Py,它在y轴上的坐标为y,这个数 y就叫点P的 ;过点P作一个 平面平行于坐标平面xOy(这样构造

基础知识梳理
在空间直角坐标系中,任意 一点P的坐标该如何确定?
【思考· 提示】 一般情况下(以 点P不在坐标平面内为例),由点P先向坐标平 面xOy作垂线,设垂足为M,再由点M向x轴作 垂线,设垂足为N,这样可以得到三条垂线段 ON、NM、MP,可再结合点P的横、纵、竖 坐标应取的符号来确定坐标.

基础知识梳理
3.空间两点间的距离 (1)若A(x1,y1,z1),B(x2,y2, (x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2 z2),则 AB = x2+y2+z2 . (2)特别地,点P(x,y,z)与原 点O之间的距离为

三基能力强化
1.点M(2,-3,1)关于坐标原 点的对称点是______.
答案:(-2,3,-1)

三基能力强化
2.在空间直角坐标系中,若 点B是点A(1,2,3)在坐标平面 yOz内的射影,则OB的长度为 答案: 13 ______.

三基能力强化
3.有下列叙述: ①在空间直角坐标系中,在x轴上 的点的坐标一定可记为(0,b,c); ②在空间直角坐标系中,在y轴上 的点的坐标一定可记为(0,b,0); ③在空间直角坐标系中,在xOy平 面上的点的坐标一定可记为(a,0, c); ④在空间直角坐标系中,在yOz平 面上的点的坐标一定可记为(0,b,

三基能力强化
4.以棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1的棱AB、AD、 AA1所在的直线为坐标轴,建 立空间直角坐标系,则面 1 1 AA1B1B对角线交点的坐标为 答案:( ,0, ) 2 2 ______.

三基能力强化
5.在坐标平面xOy上,到点 A(3,2,5),B(3,5,1)距离相等的 解析: 在坐标平面 点有______个. xOy 内设点 P(x,
y,0),依题意得 (x-3)2+(y-2)2+25 = (x-3)2+(y-5)2+1整理得 1 y=- ,x∈R,所以符合条件的点 2 有无数个. 答案:无数

课堂互动讲练
考点一

建立空间直角坐标系及求空间点的坐标

1.建立空间直角坐标系时应 遵循以下原则: (1)让尽可能多的点落在坐标轴 上或坐标平面内; (2)充分利用几何图形的对称 性.

课堂互动讲练
2.求某点的坐标时,一般先 找这一点在某一坐标平面的射 影,确定其两个坐标,再找出 它在另一轴上的射影(或者通过 它到这个坐标平面的距离加上 正负号)确定第三个坐标.

课堂互动讲练
例1 已知四面体P-ABC中,PA、

PB、PC两两垂直,PA=PB= 2,PC=1,E为AB的中点,试 建立空间直角坐标系并写出点P、 A、B、C、E的坐标.

课堂互动讲练
【思路点拨】 PA、PB、 PC两两垂直,可作坐标轴建 系.

【解】 以P为原点, PA、PB、PC分别为x轴、y 轴、z轴建立如右图所示的 空间直角坐标系,则 P(0,0,0),A(2,0,0), B(0,2,0),C(0,0,1), E(1,1,0).

课堂互动讲练
【点评】 建立适当坐标系的原 则是让更多的点落在坐标轴上,如果给 出的几何体是长方体、正方体等,在建 立空间直角坐标系时,一般选取从同一 顶点出发的三条棱所在的直线分别作为x 轴,y轴,z轴,这样可以使点的坐标更 简单,便于后面的计算.

课堂互动讲练
跟踪训练

1.已知正方体ABCD- A1B1C1D1中,E、F、G、H 分别是AB、BB1、 B1C1、 A1C1的中点,且正方体的棱 长为2.建立适当的坐标系写出 点E、F、G、H的坐标.

课堂互动讲练
解:以D为坐标原点, 以DA、DC、DD1所在直线 为x轴、y轴、z轴建立空间 直角坐标系,如图所示, 则A(2,0,0),B(2,2,0), B1(2,2,2),C1(0,2,2), A1(2,0,2), 所以,由中点坐标公式 可得 E(2,1,0),F(2,2,1), G(1,2,2),H(1,1,2).

课堂互动讲练
考点二 空间的对称点问题

空间中点的对称问题,主要是 关于坐标轴、坐标平面、及点 关于点的对称问题.

课堂互动讲练
例2

求点A(1,2,-1)关于x轴及坐 标平面xOy的对称点B、C的 坐标,以及B、C两点间的距 离. 【思路点拨】 先通过点A向平面

xOy及x轴作垂线,然后再写坐标,由 坐标求距离.

课堂互动讲练
【解】 过A作AM⊥xOy交平面于M, 并延长到C,使CM=AM,则A与C关于坐 标平面 xOy对称,且C(1,2,1). 过A作AN⊥x轴于N,并延长到点B,使 NB=AN,则A与B关于x轴对称,且B(1, -2,1).

课堂互动讲练
∴A(1,2,-1)关于坐标平面xOy对称的 点C(1,2,1); A(1,2,-1)关于x轴对称的点B(1,- 2 2 2
(1-1) +(-2-2) +(1-1)

2,1). ∴BC= =4.

课堂互动讲练
【点评】 (1)关于哪条轴对称, 对应坐标不变;另两个坐标变为原来的 相反数; (2)关于原点对称,三个坐标都变 为原坐标的相反数; (3)可类比平面直角坐标系中对应 情况进行记忆.

课堂互动讲练
互动探究

2.例2条件不变,求点A关于 坐标平面yOz的对称点;若点 P(3,1,2),求点A关于点P的对 称点的坐标.
解:点A关于坐标平面yOz的对 称点坐标为(-1,2,-1); 点A关于点P的对称点的坐标为 (5,0,5).

课堂互动讲练
考点三 空间两点间距离公式的应用

空间中两点间距离公式类同于 平面坐标系中两点间距离公式, 不难记忆,利用公式的前提是 准确找到所用点的坐标.

课堂互动讲练
例3

(解题示范)(本题满分14分) 已知在空间中有三角形ABC, 其中A(1,-2,-3),B(-1, -1,-1),C(0,0,-5),求 【思路点拨】 利用两点间的距离 三角形ABC的面积.

公式求边长.

课堂互动讲练
【解】 根据两点间的距离公式可得: AB= (1+1)2+(-2+1)2+(-3+1)2=3, BC = (-1-0)2+(-1-0)2+(-1+5)2 = 3 2, AC= (1-0)2+(-2-0)2+(-3+5)2=3,9 分 满足 AB=AC,且 AB2+AC2=BC2,即三角 形 ABC 是以 A 为直角的等腰直角三角形,所以 1 1 9 其面积为 S= · AB= · 3= .14 分 AC· 3· 2 2 2

课堂互动讲练
【点评】 利用空间两点间的距 离公式可以判断三角形的形状,进而求 出有三角形的面积等.其关键是根据点 的坐标,求出有关线段的长度,即三角 形三条边的长度,通过边长之间的数量 关系,可以得到三角形的形状,然后再 利用三角形的面积公式进行计算.

课堂互动讲练
自我挑战

3.(本题满分15分)正方形 ABCD,ABEF的边长都是1, 而且平面ABCD与平面ABEF互 相垂直,点M在AC上移动,点 2 N在BF上移动,若CM=BN= a(0<a< ). (1)求MN的长; (2)求a为何值时,MN的长最 短.

课堂互动讲练
解:∵面ABCD⊥面 ABEF, 面ABCD∩面ABEF=AB, AB⊥BE, ∴BE⊥面ABC.2分 ∴AB、BC、BE两两垂 直. ∴以点B为原点,以BA、 BE、BC所在直线为x轴,y 轴和z轴,建立如图所示的 空间直角坐标系.5分

课堂互动讲练
? 2 ? 2 2 ? 2 则 a,0,1- a?,N? a, a,0?.8 分 2 2 ? 2 ? 2 ? ? 2 ? 2 ?2 ? 2 ?2 ? 2 ? (1)MN= a- a? +?0- a? +?1- a-0?2 2 ? ? 2 ? ? 2 ? 2 ? ? 2 ?2 1 2 ?a- ? + .12 分 = a - 2a+1= 2? 2 ? ? M? ?

课堂互动讲练
2 2 (2)当a= 2 时,MN最短为 2



此时,M、N恰为AC、BF的中点.15


规律方法总结
1.一般地,在所给几何图形 中,如果出现了三条两两垂直 的直线,那么就可以利用这三 条直线分别为x轴,y轴,z轴, 建立空间直角坐标系. 2.在建立空间直角坐标系时, 应注意点O的任意性,原点O 的选择要便于解决问题,既有 利于作图的直观性,又要尽可

规律方法总结
3.空间直角坐标系中的中点坐标公 式及三角形的重心坐标公式 (1)已知 P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2, x1+x2 y1+y2 z2), 1P2 的中点坐标为 P( P , , 2 2 z1+z2 ). 2 (2)已知△ABC 的三个顶点 A(x1, 1, y z1), 2, 2, 2), 3, 3, 3), B(x y z C(x y z 则△ABC x1+x2+x3 的重心 G 的坐标为( , 3 y1+y2+y3 z1+z2+z3 , ). 3 3

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