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【2013淄博市一模】山东省淄博市2013届高三第一次模拟考试 理科数学 Word版含答案


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淄博市 2012—2013 学年度高三模拟考试试题 理科数学
本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共 4 页.满分 150 分.考试用时 120 分钟,考试结束后,将 试卷和答题卡一并上交.

第Ⅰ卷(选择题


共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1 在复平面内,复数 A 第一象限

5i 的对应点位于( 2?i

) D 第四象限

B 第二象限

C 第三象限

2 2 已知集合 M ? {x | x ? 5x ? 0} , N ? {x | p ? x ? 6} ,则 M ? N ? {x | 2 ? x ? q} ,则

p ? q 等于(
A 6 B 7

) C 8 D 9

3 设命题 p : 函数 y ? sin 2 x 的最小正周期为

x?

?
2

? ;函数 q : 函数 y ? cos x 的图象关于直线 2

对称.则下列的判断正确的是( B ?q 为假
2 2

) D p ? q 为真

A p 为真

C p ? q 为假

4 已知 P 是圆 x ? y ? 1 上的动点,则 P 点到直线 l : x ? y ? 2 2 ? 0 的距离的最小值为 ( A 1 ) B

2

C 2

D 2 2

5 某校有 4000 名学生,各年级男、女生人数如表,已知在全校学生中随 机抽取一名“献爱心”志愿者,抽到高一男生的概率是 0.2,先用分层 抽样的方法在全校抽取 100 名志愿者, 则在高二抽取的学生人数为 ( ) A 40 B 60 C 20 D 30 6 某程序框图如图所示, 该程序运行后, 输出的值为 31, a 等于 则 ( ) A 0 B 1 C 2 D 3 7 已知 ?ABC 的面积为 2,在 ?ABC 所在的平面内有两点 P 、 Q ,满足

PA ? PC ? 0 , QA ? 2BQ ,则 ?APQ 的面积为(
A



1 2

B

2 3

C 1

D 2

x 8 在同一个坐标系中画出函数 y ? a , y ? sin ax 的部分图象,其中 a ? 0 且 a ? 1 ,则下列

所给图象中可能正确的是(



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9 一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示, 则 该几何体的体积为( ) A

9

B 10

C 11

D

23 2

10 设 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 y ? f (x) , 满 足 对 任 意 t ? R 都 有

1 3 f (t ) ? f (1 ? t ) ,且 x ? [0, ] 时, f ( x) ? ? x 2 ,则 f (3) ? f ( ? ) 的值 2 2
等于( A ? ) B ?

1 2

1 3

C ?

1 4

D ?

1 5

11 数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 若 S n ? t 恒成立,则实数 t 的最小值为( A

1 ,且对任意正整数 m , n ,都有 am? n ? am ? an , 5
) D 4

1 4

B

3 4

C

4 3

12 在区间 [1,5] 和 [2,6] 内分别取一个数,记为 a 和 b ,则方程

x2 y2 ? ? 1(a ? b) 表示离心 a 2 b2

率小于 5 的双曲线的概率为( A



1 2

B

15 32

C

17 32

D

31 32

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分. 13 已知抛物线 x ? 4 y 上一点 P 到焦点 F 的距离是 5,则点 P 的横坐标是________.
2

? x ? 1,?1 ? x ? 0 ? 14 若 函 数 f ( x) ? ? ? 的图象与 x 轴所围成的封闭图形的面积为 a ,则 ?c o sx ,0 ? x ? 2 ?
(x ? a 6 ) x2
的展开式中各项系数和为________(用数字作答).

15 观察下列不等式:①

1 1 1 1 1 1 ? 1 ;② ? ? 2 ;③ ? ? ? 3 ;...请写 2 2 6 2 6 12

出第 n 个不等式_____________.
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16 下列结论: ①直线 a , b 为异面直线的充要条件是直线 a , b 不相交; ②函数 f ( x) ? lg x ?

1 的零点所在的区间是 (1,10) ; x

③已知随机变量 X 服从正态分布 N (0,1) ,且 P(?1 ? X ? 1) ? m ,则 P( X ? ?1) ? 1 ? m ; ④已知函数 f ( x) ? 2 x ? 2? x ,则 y ? f ( x ? 2) 的图象关于直线 x ? 2 对称. 三、解答题:本大题共 6 个小题,共 74 分 17.(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (sin( A ? B), sin(

?

?
2

? ? ? ? A)) , n ? (1,2 sin B) , m ? n ? ? sin 2C ,其中 A, B, C 分

别为 ?ABC 的三边 a , b, c 所对的角. (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 sin A ? sin B ? 2 sin C ,且 S?ABC ? 3 ,求边 c 的长. 18.(本小题满分 12 分) 在如图所示的几何体中,四边形 ABCD 是菱形, ADNM 是矩形,平面 ADNM ? 平面

ABCD , ?DAB ? 600 , AD ? 2 , AM ? 1 , E 为 AB 的中点.
(Ⅰ)求证: AN //平面 MEC ; (Ⅱ)在线段 AM 上是否存在点 P ,使二面角 P ? EC ? D 的大小 为

? ?若存在,求出 AP 的长 h ;若不存在,请说明理由. 6

19.(本小题满分 12 分) 在一个盒子中,放有大小相同的红、白、黄三个小球,从中任意摸出一球,若是红球记 1 分,白球记 2 分,黄球记 3 分.现从这个盒子中,有放回地先后摸得两球,所得分数分别记 ... 为 x 、 y ,设 O 为坐标原点,点 P 的坐标为 ( x ? 2, x ? y ) ,记 ? ?| OP |2 . (Ⅰ)求随机变量 ? 的最大值,并求事件“ ? 取得最大值”的概率; (Ⅱ)求随机变量 ? 的分布列和数学期望.

20.(本小题满分 12 分) 设数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,点 (an , S n ) 在直线 y ? (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式;

3 x ? 1 上. 2

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(Ⅱ)在 an 与 an ?1 之间插入 n 个数,使这 n ? 2 个数组成公差为 d n 的等差数列,求数列 { 的前 n 项和 Tn ,并求使 Tn ? 21.(本小题满分 13 分) 已知椭圆 C:

1 } dn

8 5

n 40 ? 成立的正整数 n 的最小值. n ?1 5? 3 27

x2 y2 ? ? 1(a ? 10) 的 右 焦 点 F 在 圆 D : ( x ? 2)2 ? y 2 ? 1 上 , 直 线 a2 3

l : x ? m y ? 3 ( m ? 0) 交椭圆于 M 、 N 两点.
(Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)若 OM ? ON ( O 为坐标原点) ,求 m 的值; (Ⅲ)设点 N 关于 x 轴的对称点为 N1 ( N1 与点 M 不重合),且直线 N1M 与 x 轴交于点 P , 试问 ?PMN 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由.

22.(本小题满分 13 分)
2 ' 已知函数 g ( x) ? (2 ? a) ln x , h( x) ? ln x ? ax ( a ? R ) ,令 f ( x) ? g ( x) ? h ( x) .

(Ⅰ)当 a ? 0 时,求 f (x ) 的极值; (Ⅱ)当 a ? 0 时,求 f (x ) 的单调区间; (Ⅲ)当 ? 3 ? a ? ?2 时,若对存在 ?1 , ?2 ?[1,3] ,使得 | f (?1 ) ? f (?2 ) |? (m ? ln 3)a ? 2 ln 3 恒成立,求 m 的取值范围.

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