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北京四中11-12学年高一下学期期中考试数学试卷


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北京四中 2011-2012 学年度第二学期期中考试 高一数学
满分 150 分,考试时间 120 分钟 卷(Ⅰ ) 一、选择题: (本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1. 若 a ? 0 ? b ,则下列不等式中成立的是( )

1 1 1 1 2 2 ? ? B. C. | a |?| b | D. a ? b a b a?b a 2. ΔABC 中,若 2 sin A ? cos B ? sin C ,则 ΔABC 的形状为(
A. A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形

) D. 等腰直角三角形 )

3. 已知 ?an ? 是等差数列, a1 ? a2 ? 4 , a7 ? a8 ? 28 ,则该数列的前 10 项和 S10 ? ( A. 64 B. 100 C. 110 D. 120

4. 若 A 是正数 a, b 的等差中项,正数 G 是 a, b 的等比中项,则以下结论最准确的是( A. ab ? AG B. ab ? AG C. ab ? AG D. ab ? AG )



? 5. ΔABC 中,若 AB ? 3 , AC ? 1 , ?B ? 30 ,则 ΔABC 的面积为(

A.

3 2

B.

3 4

C.

3 或 3 2

D.

3 3 或 2 4


6. 数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1 , a n ?1 ?

an ,则这个数列的第 10 项 a10 =( 1 ? 2a n
1 21
x y

A. 19

B. 21

C.

1 19

D.

7. 若 x, y ? R ,且 x ? 2 y ? 3 ,则 2 ? 4 的最小值是( A. 2 3 B. 3 2 C. 4 2 D. 6



8. 若非负实数 x, y 满足 ?

?2 x ? 3 y ? 8 ? 0 ,则 x ? y 的最大值是( ?3x ? 2 y ? 7 ? 0
8 3
D. 3



A. 2

B.

7 3

C.

9. ΔABC 中, S 表示 ΔABC 的面积,若 a cos B ? b cos A ? c sin C , S ? 则 ?B ? ( A. 30
?

1 2 (b ? c 2 ? a 2 ) , 4

) B. 45
?

C. 60

?

D. 90

?

10. 等差数列 ?an ? 中,若 a4 ? a6 ? a10 ? a12 ? 90 ,则 a10 ? A. 15 B. 30 C. 45 D. 60

1 a14 =( 3



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二、填空题: (本大题共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11. ΔABC 中,若边 b ?

6 ,边 c ? 2 ,角 B ? 120? ,则角 C ?




12. 等比数列 ?an ? 中,若 a5 ? a1 ? 15 , a4 ? a2 ? 6 ,则 a3 ? 13. 不等式 ( )

1 5

x2 ? x?6

? 55 x?2 x

2

?6

的解集是

。 。

14. ΔABC 中,若边 a, b, c 成等比数列,且 c ? 2a ,则 cos B ? 15. 若不等式 a ?

x2 ? 2 对 x 取一切正数恒成立,则 a 的取值范围是 x
?



16. 数列 ?an ? 中,如果对任意 n ? N 都有 列, k 称为公差比。现给出下列命题: ① 等差比数列的公差比一定不为 0; ② 等差数列一定是等差比数列;

an? 2 ? an?1 ? k ( k 为常数) ,则称 ?an ? 为等差比数 an?1 ? an

③ an ? ?3n ? 2 ,则数列 ?an ? 是等差比数列; 若 ④ 若等比数列是等差比数列,则其公比等于公差比; 其中正确的命题的序号为 。 三、解答题(本大题共 3 小题,共 26 分) 17. (本小题满分 8 分) 如图所示, 将一矩形花坛 ABCD 扩建成一个更大的矩形花园 AMPN , 要求 B 在 AM 上,D 在 AN 上,且对角线 MN 过 C 点, AB =3 米, AD =2 米,要使矩形 AMPN 的面积大于 32 平方 米,则 AN 的长应在什么范围内?

18. (本小题满分 8 分) 已知: ΔABC 中,角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a , b , c ,且 a ? c ? b ?
2 2 2

1 ac , 2

(1)求: cos 2 B 的值; (2)若 b ? 2 ,求: ΔABC 面积的最大值。 19. (本小题满分 10 分) 已知: 等差数列 ?an ? 的公差大于 0, a3 、a5 是方程 x ? 14x ? 45 ? 0 的两根; 且 数列 ?bn ? 的
2

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前 n 项的和 S n ? 1 ?

1 , 3n

(1)求:数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)记 cn ? an ? bn ,求证: cn?1 ? cn 。 卷(Ⅱ ) 一、选择题: (本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1. 下列同解的一组不等式是( ) A. |

x?2 x?2 x?2 |? ?0 与 x ?1 x ?1 x ?1
x?2 x ?1

B.

x?2 ? 0 与 ( x ? 2)(x ? 1) ? 0 x ?1
D. lg

C. 2

? 1 与 ( x ? 2)(x ? 1) ? 0

x?2 x?2 ? 0与 ?1 x ?1 x ?1


2. 在 ΔABC 中,如果 B ? A. 等边三角形 C. 直角三角形

π , AB ? 3 , AC ? 3 ,那么这个三角形是( 6

B. 等腰三角形 D. 等腰三角形或直角三角形

3. 数列 ?an ? 中,如果存在非零的常数 T ,使得 an?T ? an 对于任意正整数 n 均成立,那么就称 数 列 ?an ? 为 周 期 数 列 , 其 中 T 叫 做 数 列 ?an ? 的 周 期 。 已 知 数 列 ?xn ? 满 足

X n?2 ?| xn?1 ? xn | ( x ? N ? ) ,若 x1 ? 1, x2 ? a(a ? 1, a ? 0) ,当数列 ?xn ? 的周期为 3 时,则数
列 ?xn ? 的前 2012 项的和 S 2012 ? ( A. 1342 B. 1340 C. 672 ) D. 670

4. 已知 x ? 0, y ? 0 ,且 x ? 2 y ? 2 ,则

1 4 ? 的最小值是 x y



5. 等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,已知 S1 , 2S 2 , 3S 3 成等差数列,则 ?an ? 的公比等 于 。 6. 若钝角三角形的内角 A 、 B 、 C 成等差数列,且最小边长与最大边长的比值为 m ,则角 B? ,实数 m 的取值范围是 。 二、解答题: (本大题共 2 小题,共 20 分) 7. (本小题满分 8 分) 解关于 x 的不等式: log2 ( x ? 1) ? log4 [a( x ? 2) ? 1] ( a 为常数且 a ? 2 ) 8. (本小题满分 12 分) 已知:数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 1( n ? N )
?

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(Ⅰ )求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ )若数列 ?bn ? 满足 4 并说明理由。
b1 ?1

4 b2 ?14 b3 ?1 ? 4 bn ?1 ? (an ? 1) bn ,判断数列 ?bn ? 是否是等差数列,

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【试题答案】
卷(Ⅰ ) 一、选择题 1-5 ACBBD 6-10 CCDBA 二、填空题 11. 30
?

12. ? 4

13.

?x | x ? 0或x ? 6?

14.

3 4

15. (??,2 2 ]

16. ①④ ③ 三、解答题 17. 解:设 AN 的长为 x 米( x ? 2 ) ∵

3x 3x 2 | DN | | DC | | S ? ,∴ AM |? ,∴ AMPN ?| AN | ? | AM |? x?2 x?2 | AN | | AM |

由 S AMPN ? 32 得

3x 2 x ? 32 ,∵ ? 2 ,∴ x 2 ? 32x ? 64 ? 0 ,即 (3x ? 8)(x ? 8) ? 0 3 x?2

8 8 或 x ? 8 即 AN 长的取值范围是 (2, ) ? (8,?? ) 3 3 1 18. 解: (1)由余弦定理: cos B ? , 4 7 cos 2 B ? 2 cos 2 B ? 1 ? ? ; 8 2 ∴ ?x?
(2)由 cos B ?

1 15 ,得 sin B ? 。 4 4 8 ( a ? c 时取等号) , 3

2 2 b ∵ ? 2 ,∴ ac ? 4 ? a ? c ? 2ac ,得 ac ?

1 2

S ΔABC ?

1 15 15 ,故 S ΔABC 的最大值为 。 ac sin B ? 2 3 3

2 19. 解(Ⅰ a3 , a5 是方程 x ? 14x ? 45 ? 0 的两根,且数列 ?an ? 的公差 d ? 0 , )∵

∴ 3 ? 5 , a5 ? 9 ,公差 d ? a

a5 ? a3 ? 2。 5?3

∴ n ? a5 ? (n ? 5)d ? 2n ? 1。 a 又当 n ? 1 时,有 b1 ? S1 ? 1 ? 当 n ? 2 时,有 bn ? S n ? S n ?1

1 2 b ,∴ 1 ? 3 3 1 1 2 ? ? n ? n ?1 ? n 3 3 3

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2 1 2 ? ? b1 ,∴ n ? n b n 3 3 3 2(2n ? 1) 2( 2n ? 1) (Ⅱ )由(Ⅰ )知 c n ? a n bn ? , c n ?1 ? , n 3 3 n ?1 2(2n ? 1) 2(2n ? 1) 8(1 ? n) c ? ? ? 0 。∴ n?1 ? cn 。 ∴ n ?1 ? c n ? c 3 n ?1 3n 3 n ?1
∵ n ? 1 时, 当 卷(Ⅱ ) 一、选择题 1-3 CDA 4.

9 ?2 2 2

5.

1 3

? 6. 60 , (0, )

1 2

?x ? 1 ? 0 ? 7. 解:原不等式等价于 ?a ( x ? 2) ? 1 ? 0 ?( x ? 1) 2 ? a ( x ? 2) ? 1 ?

?x ? 1 ? 1 ? ? ?x ? 2 ? a ? ?( x ? a)(x ? 2) ? 0 ?
a ∵ ?2

2 ∴ ?

1 1 ?1 ? 1? ? 0 a a

则2 ?

1 ?1 a

1 ? 1 ?x ? 2 ? 从而不等式组等价于 ? ? x ? a或2 ? ? x ? 2 a a ? x ? a或x ? 2 ?
∴ 不等式的解集为 ? x | x ? a或2 ?

? ?

1 ? ? x ? 2? a ?

8. 解: (1)∵ n?1 ? 2an ? 1,∴ n?1 ? 1 ? 2(an ? 1) a a 故数列 ?an ? 1? 是首项为 2,公比为 2 的等比数列。 ∴ n ? 1 ? 2 n , an ? 2 n ? 1 a (2)∵ 1 4 4
b ?1 b2 ?1 b3 ?1

4

4 ?4bn ?1 ? (an ? 1) bn ,∴ (b1 ?b2 ???bn ?n ) ? 2 nbn

2(b1 ? b2 ? ? ? bn ) ? 2n ? nbn ① 2(b1 ? b2 ? ? ? bn ? bn?1 ) ? 2(n ? 1) ? (n ? 1)bn?1 ②
② 得 2bn?1 ? 2 ? (n ? 1)bn?1 ? nbn ,即 nbn ? 2 ? (n ? 1)bn?1 ③ -①

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∴ n ? 1)bn?1 ? 2 ? nbn?2 ④ ( ④ 得 2nbn?1 ? nbn ? nbn?1 ,得 2bn?1 ? bn ? bn?1 ,所以数列 ?bn ? 是等差数列 -③ (3)∵

1 1 1 1 1 ? n?1 ? n?1 ? an 2 ? 1 2 ? 2 2 a n?1

设S ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ,则 S ? ? ??? ? ( ? ??? ) ? ? (S ? ) a 2 a3 an?1 a 2 2 a 2 a3 an a2 2 a n?1

S?

2 1 2 1 2 ? ? ? ? a 2 an?1 3 a n?1 3

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