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高中数学配套课件:第1部分 第三章 3.2 古典概型


理解教材新知 第 三 章 概 率
3. 2

考点一

古 典 概 型

把握热点考向

考点二
考点三

应用创新演练

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掷一枚质地均匀的硬币两次,观察哪一面向上.

问题1:这个试验共有哪几种结果?基本事件总数是几?
提示:共有正正、正反、反正、反反四种结果,基本事件 总数是4 问题2:事件A={恰有一次正面向上}包含哪些试验结果? 提示:正反、反正 问题3:问题2中事件A的概率是多少?
1 提示:2

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1.基本事件有如下特点 (1)任何两个基本事件是 互斥的 ; (2)任何事件都可以表示成基本事件的 和 . 2.古典概型的概念

如果某类概率模型具有以下两个特点:
(1)试验中所有可能出现的基本事件 只有有限个 ;

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(2)每个基本事件出现的 可能性相等 .
我们将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模 型,简称古典概型. 3.古典概型的概率公式
A包含的基本事件的个数 基本事件的总数 对于任何事件A,P(A)= .

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一个概率模型是否为古典概型,在于这个试验的 基本事件是否具有古典概型的两个特征——有限性和 等可能性.并不是所有的试验都是古典概型.例如, 在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是否发芽”,

这个试验的基本事件为“发芽”,“不发芽”,而“
发芽”与 “不发芽”这两种结果出现的机会一般是不均等 的.又 返回

如,从规格直径为300 mm±0.6 mm的一批合格 产品中任意抽一件,测量其直径d,测量值可能 是从299.4 mm到300.6 mm之间的任何一个值, 所有可能的结果有无限多个.这两个试验都不

属于古典概型.

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[例1] 列出下列各试验中的基本事件,并指出基本事 件的个数. (1)从字母a,b,c中任意取出两个字母的试验;

(2)从装有形状、大小完全一样且分别标有1,2,3,4,5号的
5个球的袋中任意取出两个球的试验. [思路点拨] 根据基本事件的定义,按照一定的规则找

到试验中所有可能发生的结果,即得基本事件.但要 做到不重不漏. 返回

[精解详析]

(1)从三个字母中任取两个字母的所有

等可能结果即基本事件. 分别是A={a,b},B={a,c},C={b,c}共3个. (2)从袋中取两个球的等可能结果为: 球1和球2,球1和球3,球1和球4,球1和球5,

球2和球3,球2和球4,球2和球5,球3和球4,
球3和球5,球4和球5. 故共有10个基本事件.

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[一点通] 1.求基本事件的基本方法是列举法. 基本事件具有以下特点:①不可能再分为更小的随机事

件;②两个基本事件不可能同时发生.
2.当基本事件个数较多时还可应用列表或树形图求解.

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1.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中
随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为 奇数的所有基本事件数为 A.2 C.4 B.3 D.6 ( )

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解析:用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能

结果为:(1,2),(1,4),(2,3),(3,4),共4种可能.
答案:C

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2.一个不透明的口袋中装有大小形状相同的1个白球
和3个编有不同号码的黑球,从中任意摸出2个球. (1)写出所有的基本事件; (2)求事件“摸出的2个球是黑球”包括多少个基本事件?

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解:(1)从装有4个球的口袋中摸出2个球,基本事 件共有6个:(白,黑1)、(白,黑2)、(白,黑3)(黑

1,黑2)(黑1,黑3)、(黑2,黑3).
(2)事件“摸出的2个球是黑球”={(黑1,黑2),(黑1, 黑3),(黑2,黑3)},包括3个基本事件.

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[例2] 先后抛掷两枚质地均匀的骰子,求: (1)点数之和是4的倍数的概率; (2)点数之和大于5且小于10的概率.

[思路点拨]

用坐标法找出基本事件总数n和事件

A发生的基本事件数m,用公式求解.

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[精解详析]

从图中容易看出,

基本事件与所描点一一对应,
共36种. (1)记“点数之和是4的倍数”的 事件为A,从图中可以看出, 事件A包含的基本事件共有9个:

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(1,3),(2,2),(2,6),(3,1),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2), 1 (6,6),所以 P(A)=4. (2)记“点数之和大于 5 且小于 10”的事件为 B,从 图中可以看出, 事件 B 包含的基本事件共有 20 个(已 20 5 用虚线圈出),所以 P(B)=36=9.

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[一点通]
1.借助坐标系求基本事件的方法: (1)将基本事件都表示成(i,j)的形式,其中第一次 的试验结果记为i,第二次的试验结果记为j. (2)将(i,j)以点的形式在直角坐标系中标出,点所 对应的位置填写i,j之和(差或积,看题目要求). (3)看图,找出符合条件的基本事件.

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2.求古典概型概率的计算步骤是: (1)求基本事件的总数 n; (2)求事件 A 包含的基本事件的个数 m; m (3)求事件 A 的概率 P(A)= n .

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3.有两双不同的袜子,任取 2 只恰好成双的概率是( 1 A.6 1 C.3 1 B.4 1 D.2

)

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解析:设这 4 只袜子为 A1,A2,B1,B2,其中 A1 和 A2 是一双, 1 和 B2 是一双. B 从中任取 2 只有: 1, 2), 1, (A A (A B1),(A1,B2),(A2,B1),(A2,B2),(B1,B2)共 6 个基本 事件,恰好成双有(A1,A2),(B1,B2)共 2 个基本事件, 2 1 则任取 2 只恰好成双的概率为6=3.

答案:C

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4.(2012· 临沂高一检测)先后抛掷两枚骰子,骰子朝上 的面的点数分别为x,y,则满足log2xy=1的概率为 ________.

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解析:基本事件总数为 36,满足 log2xy=1 即 y =2x 的有(1,2)、(2,4)、(3,6),共 3 个. 3 1 ∴概率为36=12.

1 答案:12

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5.一个盒子中放有5个完全相同的小球,其上分别

标有号码1,2,3,4,5.从中任取一个,记下号码后放
回.再取出1个,记下号码后放回,按顺序记录 为(x,y),求所得两球的和为6的概率.

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解:列出所有的基本事件,共25个,如图所示.

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由图可直观地看出,“所得两球的和为 6”包含 5 个 基本事件: (1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1). 5 1 故所求概率为25=5.

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[例3] 袋中有6个球,其中4个白球,2个红球,从袋

中任意取出两球,求下列事件的概率:
(1)A:取出的两球都是白球; (2)B:取出的两球1个是白球,另1个是红球; (3)C:取出的两球中至少有一个白球. [思路点拨] 先列举出所有的基本事件,求出事件A,

B包含的基本事件,再由公式求出P(A),P(B).

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[精解详析]

设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号

为5,6.从袋中的6个小球中任取2个球的取法有(1,2), (1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),共15种. (1)从袋中的6个球中任取两个,所取的两球全是白球的 取法总数,即是从4个白球中任取两个的取法总数,共 有6种,为(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).
6 2 ∴取出的两个球全是白球的概率为 P(A)=15=5;

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(2)从袋中的 6 个球中任取两个,其中一个是红球,而另 一个是白球, 其取法包括(1,5), (1,6), (2,5), (2,6), (3,5), (3,6),(4,5),(4,6)共 8 种. ∴取出的两个球一个是白球,一个是红球的概率为 8 P(B)=15. (3)法一:∵C=A∪B 且 A,B 为互斥事件 14 ∴P(C)=P(A)+P(B)=15.

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法二:∵C 的对立事件为 D,取出的两球中没有白球 (全为红球)而 D 含有 1 个基本事件(5,6) 1 14 ∴P(C)=1-P(D)=1-15=15.

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[一点通] 1.在古典概型中,当基本事件总数为 n 时,每个基 1 本事件发生的概率均为n.要求事件 A 的概率, 关键是求出 基本事件总数 n 和事件 A 中所包含的基本事件数 m,再 m 由古典概型概率公式 P(A)= n 求事件 A 的概率.

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2.对含有“至多”“至少”等类型的问题,直接求解
比较困难或者比较繁琐时,可先求其对立事件的概率, 再求解.

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6.(2012· 抚顺高一检测)从 1,2,3,4 这四个数字中,任取两 个不同的数字构成一个两位数,则这个两位数大于 30 的概率为 1 A.2 1 C.4 1 B.3 1 D.5 ( )

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解析:从 1,2,3,4 这四个数字中,任取两个不同的数字, 可构成 12 个两位数: 12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43, 其中大于 30 的有:31,32,34,41,42,43 共 6 个,所以所得 6 1 两位数大于 30 的概率为 P=12=2.

答案:A

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7.(2011· 福建高考)盒中装有形状、大小完全相同的5个 球,其中红色球3个,黄色球2个.若从中随机取出2

个球,则所取出的2个球颜色不同的概率等于
________.

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解: 5 个球中随机取出 2 个球共有 10 种取法, 从 所取出的 2 个球颜色不同的取法有(红 1,黄 1),(红 1,黄 2),(红 2, 黄 1),(红 2,黄 2),(红 3,黄 1),(红 3,黄 2),共 6 种,故 6 3 所求概率为10=5.

3 答案:5

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8.从装有编号分别为a,b的2个黄球和编号分别为c,d的
2个红球的袋中无放回地摸球,每次任摸一球,求: (1)第1次摸到黄球的概率; (2)第2次摸到黄球的概率.

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解:(1)第 1 次摸球可能的结果有:a,b,c,d,共 4 个,第 1 次摸到黄球的结果有:a,b,所以第 1 次摸 2 到黄球的概率是4=0.5. (2)先后两次摸球的结果有: (a,b),(a,c),(a,d),(b,a),(b,c),(b,d), (c,a),(c,b),(c,d),(d,a),(d,b),(d,c),总 共 12 个,

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其中第 2 次摸到黄球的结果有: (a,b),(b,a),(c,a),(c,b),(d,a),(d,b),共 6 个, 6 所以第 2 次摸到黄球的概率为12=0.5.

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古典概型是一种最基本的概型, 也是学习其他概型的 基础,这也是我们在学习、生活中经常遇到的题型.解题 时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征, 即有限性和等可 m 能性.在应用公式 P(A)= n 时,关键是正确理解基本事件 与事件 A 的关系,从而求出 m、n.

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