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2014年广东省高中数学竞赛试题(部分难题多解)(1)(1)


2014 年广东省高中数学竞赛试题
题 号 (考试时间:2014 年 6 月 21 日上午 10:00-11:20) 二 一 9 10 11 合 计

得 分 评卷人 复核人 注意事项:
1.本试卷共二大题,全卷满分 120 分。 2.用圆珠笔或钢笔作答。 3.解题书写不要超过装订线。 4.不能使用计算器。

一、填空题:本大题共 8 小题,每小题 8 分,共 64 分.把答案填在横线上.
1.设集合 A ? x ax ? 2 ? 0 , B ? ?? 1,2?,满足 A ? B ,则实数 a 的所有取值为

?

?



2.袋中装有大小、形状相同的 5 个红球,6 个黑球,7 个白球,现在从中任意摸出 14 个球, 刚好摸到 3 个红球的概率是 .

?1 3 ? ? 3.复数 ? ? ? 2 2 i? ? ?
4.已知 ?

6n

?n ? N ? ? 的值是



?1 ? x ? y ? 3, 则 2 x 2 ? 3 y 的最大值是 ?? 1 ? x ? y ? 1.



5.已知各项均为正数的等比数列 ?an ? 满足: a2 ? a3 ? 14, a1a2 a3 ? 343,则数列 ?an ? 的通项公式为 .

6.已知 ? 为锐角,向量 a ? ?cos? , sin ? ?, b ? ?1,?1? 满足 a ? b ?

2 2 ,则 3

5? ? ? sin?? ? ?? 12 ? ?



7.若方程 x 2 ? xy ? 2 y 2 ? x ? a ? 0 表示两条直线,则 a 的值是



8. 已知

?

2 ?1

?

21

? a?b 2, 其中 a 和 b 为正整数, 则 b 与 27 的最大公约数是



二、解答题:本大题共 3 小题,共 56 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.
9. (本题满分 16 分) 得分 评卷人 矩形 ABCD 中, AB ? 2, AD ? 4 , E , F 分别在 AD, BC 上, 且 AE ? 1, BF ? 3 , 将四边形 AEFB 沿 EF 折起, 使点 B 在 平面 CDEF 上的射影 H 在直线 DE 上.求二面角 A ? DE ? F 的大小.

10. (本题满分 20 分) 得分 评卷人 过椭圆 C :

x2 y2 ? ?1 的右焦点 F 作直线交椭圆 C 于 25 16

A、B 两点,已知 AB ? 8 ,试求直线 AB 的方程.

11. (本题满分 20 分) 得分 评卷人 数 a 的取值范围. 已知不等式 ?1 ?

? ?

1? ? n?

n?a

? e 对任意正整数 n 都成立,试求实


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