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物理竞赛全套课件


1运动学……3 2动量与动量守恒……68 3机械能与机械能守恒……104 4角动量守恒与刚体定轴转动……154 5相对论……218 6真空中的静电场……287 7静电场中的电介质……368 8恒定电场……407 10磁场对电流的作用……431

11磁场与介质的相互作用……470 12电磁感应……490 13电磁场的基本方程……529 14气体分子热运动的统

计规律……542 15热力学第一定律……596 16热力学第二定律……634 18波动……666 19光的干涉……751 20光的衍射……809 22量子力学的实验基础……868 23量子力学初步……947 24原子结构的量子理论……990

运动学

本章内容
质点运动的描述
description of particle motion

Contents

chapter 1

质点运动的两类基本问题
two basic kinds of particle motion problem

圆周运动及刚体转动的描述
descriptions of circular motion and rigid body motion

相对运动与伽利略变换
relative motion and Galileo transformation

第一节质点运动的描述 1-1
Description of particle motion
固联在参考系上的正交数轴组成的系统,可定量描 述物体的位臵及运动。如直角坐标系、自然坐标系等。

坐标系 θ

卫星

r
φ
运动质点

切线 法线

自然坐标系
由运动曲线上任 一点的法线和切
线组成

n

τ

矢量知识

有大小、有方向,且服从平行四边形运算法则的量。

线段长度(大小);箭头(方向)。

A

手书 印刷

A

(附有箭头) (用黑体字,不附箭头)

矢量表示式 在 X-Y 平面上的某矢量 A 该矢量
Y

A 的坐标式
手书

y
A i

A = xi +yj
印刷

j

0

x

X

= x

+y

i 、j 分别为 X、Y 轴的
单位矢量(大小为1,方向 分别沿 X、Y 轴正向)。

在课本中惯用印刷形式。
在本演示课件中,为了 配合同学做手书作业,采 用手书形式。

矢量加法
服从平行四边形法则 为邻边 若 则 为对角线

反向为

减法相当于将一矢量反向后再相加。

矢量乘法
两矢量的点乘 = 两量大小与它们夹角余弦的乘积

两矢量点乘的结果是标量 在直角坐标中 等于对应坐标乘积的代数和 例如

叉乘
两矢量叉乘的结果是矢量 大小 方向 垂直于两矢量决定的平面,指向
的方向
两矢量所在平面

按右螺旋从叉号前的矢量沿小于 角转向叉号后矢量的旋进方向。



的空间坐标式为

用一个三阶行列式 表示

位置矢量

运动学方程
随时 间变化
其投影式
称为

参 数方程

位移

平均速度

瞬时速度

平均加速度

瞬时加速度

自然坐标系

速度加速度

切向加速度

法向加速度

物理量小结

由运动学方程 投影式 消去 随堂练习一
得轨迹方程 由 运动学方程 坐标式

运动学方程投影式

位矢 质点的轨迹方程 ; 第 2 秒 末的位矢; 第 2 秒 末的速度

和加速度 。

随堂练习二 足球运动轨迹最高点处
的曲率半径

ρ

30 ?
由法向加速度大小
最高点处

cos30?



20× 9.8

30.6(m)

(备选例一)

(备选例二)

随堂小议
一质点作曲线运动,

( 1)

aτ 表示切向加速度, (3)
下列四种表达式中, 正确的是
(请点击你要选择的项目)

r 表示位矢, s 表示路程, v 表示速度,

( 2)

( 4)

(链接1)
一质点作曲线运动,

( 1)

aτ 表示切向加速度, (3)
下列四种表达式中, 正确的是
(请点击你要选择的项目)

r 表示位矢, s 表示路程, v 表示速度,

( 2)

( 4)

(链接2)
一质点作曲线运动,

( 1)

aτ 表示切向加速度, (3)
下列四种表达式中, 正确的是
(请点击你要选择的项目)

r 表示位矢, s 表示路程, v 表示速度,

( 2)

( 4)

(链接3)
一质点作曲线运动,

( 1)

aτ 表示切向加速度, (3)
下列四种表达式中, 正确的是
(请点击你要选择的项目)

r 表示位矢, s 表示路程, v 表示速度,

( 2)

( 4)

(链接4)
一质点作曲线运动,

( 1)

aτ 表示切向加速度, (3)
下列四种表达式中, 正确的是
(请点击你要选择的项目)

r 表示位矢, s 表示路程, v 表示速度,

( 2)

( 4)

第二节 两类问题
1-2

由初始条件定积分常量

随堂练习一

跳伞运动员下落加速度大小的变化规律为

随堂练习二

式中 均为大于零的常量 及 时

任一时刻运动员下落速度大小

的表达式

注意到


对本题的一维情况有



分离变量求积分

(备选例一)

(备选例二)

(备选例三)

(备选例四)

(续选例四)

(备选例五)

第三节圆周、刚体运动
1-3
一质点A作圆周运动

descriptions of circular motion and rigid body motion
约定:反时针为正

角坐标、角位移

约定:反时针为正

角速度

角加速度

一般方法
求解圆周运动问题的一般方法

角线量关系

证明题

续证明

角线关系简例

刚体及其平动
刚 体
形状固定的质点系(含无数
质点、不形变、理想体。)

平 动
刚体任意两点的连线保持方 向不变。各点的 相同,可当作质点处理。

刚体定轴转动
刚体的定轴转动
刚体每点绕同一 轴线作圆周运动, 且该转轴空间位臵 及方向不变。

定轴转动参量
1. 角位臵
描述刚体(上某点)的位置 刚体定轴转动 的运动方程 刚体

刚体中任 一点 (t+△t) (t) 参考 方向

2. 角位移
描述刚体转过的大小和方向

转动平面(包含p并与转轴垂直) 转轴

3. 角速度
描述刚体转动的快慢和方向,

是转动状态量。
常量 匀角速

静止 常量 变角速

用矢量表 示 或 时,它们 与 刚体的 转动方向 采用右螺 旋定则

续参量
角加速度 14 . . 角位臵
描述刚体转动状态改变 描述刚体(上某点)的位置 的快慢和改变的方向 刚体定轴转动 的运动方程 刚体

刚体中任 一点 (t+△t) (t) 参考 方向

2. 角位移

匀角速 常量 匀角加速

转动平面(包含p并与转轴垂直) 转轴

常量 变角加速 描述刚体转过的大小和方向

只有 同描述刚体转动的快慢和方向, 和反 两个方向,故

3. 角速度 定轴转动的

是转动状态量。 也可用标量

静止

常量 变角速 常量 匀角速 中的正和负表方向代替矢量。

用矢量表 示 或 时,它们 因刚体上任意两点的 与 刚体的 转动方向 距离不变,故刚体上各点 采用右螺 的 相同。旋定则

若由 a τ 随堂练习

an an

关键是设法求 线速率
若由

一质点作圆周运动 半径



R = 0.1 m

关键是设法求 角速率 本题很易求

其运动学方程为

θ = 2 + 4 t 3 (SI)
t = 2 s 时, 质点的
切向加速度 法向加速度

12 t
24 t

t=2

48 (rad· s-1) 12 t 48 (rad· s-2) 4.8 ( m ·s-2 )

aτ an

t=2

aτ an

230.4 ( m ·s-2 )

第四节
1-4

relative motion and Galileo transformation

相对运动
运动具有相对性

球作曲线运动

球 垂 直 往 返

如何变换?

运动的合成
描述运动三参量合成的约定 绝对量
静系(不动参考系 S)的量。

相对量
动系(运动参考系 S )的量。

牵连量
动系对静系的量。

位矢的合成
静系 (S) 动系 (S

位矢的合成
) S 相对 S 作平动

Y

Y

v
r相

P

对空间任一点 P S:
S :
绝对位矢

r绝

r绝

相对位矢

r相 r牵

O
Z

r牵
Z

O

X

X

S 相对 S : ( OO )
牵连位矢

位矢合成定理

r



r



r



速度的合成
将位矢合成公式

速度的合成

r r





r r



r



对时间求一次导数



r



速度合成定理

v



v



v




v 在S 观测到P点的速度: 相 对 速 度 v S 相对 S 的速度: 牵 连 速度 v
在 S 观测到P点的速度: 绝 对 速 度




加速度的合成
将位矢合成公式

加速度的合成

v v





v v

相 相

v



对时间求一次导数

v
a
绝 相



加速度合成定理

a



a





a 在S 观测到P点的加速度: 相对加速 度 a S 相对 S 的速加度: 牵连加速度 a
在 S 观测到P点的加速度: 绝对加速度


伽利略变换
伽利略变换是反映两个相对作 匀速直线运动的参考系(惯性系)
静系 (S) 动系 (S

)

Y

Y

v

P

之间的 坐标、速度、加速度 变换。

(x, y, z) (x, y, z )

约定: S 相对于S 作匀速直线运动。

t = 0 时动(S )静(S)两系重合。
( 这里设S 相对S 沿X 轴方向以 速率

O Z Z

O

X X

v 作匀速直线运动。)

坐标变换
伽利略变换是反映两个相对作 坐标变换 匀速直线运动的参考系(惯性系)
静系 (S) 动系 (S

)

Y

Y

v

P

之间的 坐标、速度、加速度 变换。

(x, y, z) (x, y, z )

约定: S 相对于S 作匀速直线运动。 这就是经典力学的时空 t = 0 时动(S )静(S)两系重合。 O 观,认为空间和时间是绝 ( 对的,互不相关的。时间 这里设S 相对S 沿X 轴方向以 与观测坐标系是否运动无 Z Z 速率 关。v 作匀速直线运动。)

O

X X

将坐标变换式对时间求一次导,得

速度变换

加速度变换
静系 (S) 动系 (S

)

Y

Y

v

P

将速度变换式对时间求一次导,并
注意到匀速 求导为零 ,得

(x, y, z) (x, y, z )

加速度变换 O Z


O Z

X X

相对性原理 伽利略的相对性原理
伽利略的加速度变换 表明,在两个相互作 匀速直线运动的参考系(惯性系)中,观测同一质点的力 学运动,其加速度大小和方向,两系观测结果都是一样的。 也就是说,做一切力学实验都无法判断实验者所在系统是 绝对静止还是在作绝对匀速直线运动。 由于任意两个惯性系都可以由伽利略变换联系起来,故

力学规律在一切惯性系中具有相同的 形式,因而是等价的。
这一原理称为伽利略的相对性原理

随堂练习

续练习

(牵)

5

7.07
45°

2.07

(m s

)

45°
-2.07

α

10 7.07 2

2

大小 :

(绝)
-10
2 2

(相)

2.07 7.07 7.37 ( m s ) 方向 : 16.32 arctg 2.07 7.07 即来自西偏北(吹向东偏南)16.32

第二章标题

本章目录
质量与动量
mass and momentum

Contents

chapter 2

动量定理与动量守恒定律
theorem of momentum and law of conservation of momentum

牛顿运动定律及其应用
Newton’s law of motion and its application

第一节
2-1

惯性

任何物体所具有的保持其原有 运动状态的特性。

mass and momentum 惯性定律 若无外界作用,任何物体
都将保持静止或匀速直线运动
状态。

质量、动量
, 质量 物体惯性大小的量度 (用 m 表示) 质量越大,物体运动状态改变就 越困难。 质量的单位是 千克 ( kg )。

动量
质点的动量

, (用 p 表示) 物质运动的一种量度

-1 ) 。 动量的单位是 千克· 米 / 秒 ( kg ·m ·s

p 是质点的质量 m与其运动速度 v 的乘积 p = mv

动量是矢量,动量在经典和近代物理中都是一个重要而 基本的物理概念。为什么用这样一个矢量来作为物质运动 的一种量度,可通过下述的一个普遍规律作初步理解:

无外力作用下,两个作惯性运动的质点发生弹性碰撞 碰 撞 前

m1
01

动量概念理解
图中
1

m2
02

= 2 = =

1
2

01 02 2)

而且普遍满足:

( m1

1)

(m2

碰 撞 后

1
01

即质量与速度增量的乘积总是大 小相等方向相反。 经典力学中,物 体质量保持恒定,上式可写成

(m1
02

1)

=

(m 2

2)

1

2

2

可见,质量与速度的乘积的大小 和方向及其变化,是反映物质运动 和相互作用普遍规律的一个重要的 物理量。特将 m 称为动量 p 。

第二节
2-2
力的概念 concept of force
牛顿将 物体 动量对时间的变化率 定义为 作用在该物体上的 力

theorem of momentum and

law of conservation of momentum
F 是作用在质点上的合外力, F 与动量元增量 d p 同向。 力的单位是 牛顿 ( N )

质点的动量定理 质点动量定理 theorem of momentum of particle
differential form
由力的定义 将


称为 力的 冲量

力与作用时间的乘积

impulse 用 I 表示

质点动量定理 的微分形式为



质点动量的元增量等于它获得的元冲量。 integral form
质点动量定理 的积分形式为 t t0 p p0
0

质点动量的增量等于它获得的冲量。

平均冲力

质点系
第 i 个质点 受系统内其它质点作用的合力:

对各质点应用质点的动量定理

第 i 个质点 受系统外部作用的合力:

考虑到系统内质点之间的作用力是 作用力与反作用力 0 可对对相消,最终:

质点系动量定理
第 i 个质点 受系统内其它质点作用的合力:

对各质点应用质点的动量定理 得

第 i 个质点 受系统外部作用的合力:

考虑到系统内质点之间的作用力是 作用力与反作用力 0 可对对相消,最终:

动量守恒定律
由质点系的动量定理
微分形式 积分形式







定律说明

动量定理、动量守恒定律的应用简例

应用内容提要

例一、逆风行舟 与 动量定理
动量定理简例 逆风行舟动量分析

例二、火箭飞行原理 与 动量守恒定律
加速飞行中的 火箭 多级火箭与质量比 火箭飞行速度微分式

练习一、用动量定理求跳伞某过程中的平均阻力 练习二、动量守恒定律与相对运动概念综合应用

练习三、动量守恒定律在原子系统衰变中的应用

本图为一光滑 水平面的俯视图, 坚壁竖立在水平上。

逆风行舟予备简例
例一、逆风行舟 与 动量定理

动量定理简例

逆风行舟动量分析

加速飞行中的火箭

火箭速度微分式

多级火箭与质量比

随堂练习一

应用动量定理求解平均阻力

随堂练习二

续练习二

随堂练习三

随堂小议
质量为 m ,速度
为 v 的小球,水平 地射向一墙壁,后 被反向弹回,速度

(1)为-2mv, 因为速度方向 变了; (2)为零,因 为速度、质量 均没变。

不变,则小球的动
量变化
(请点击你要选择的项目)

选项1链接答案
质量为 m ,速度
为 v 的小球,水平 地射向一墙壁,后 被反向弹回,速度

(1)为-2mv, 因为速度方向 变了; (2)为零,因 为速度、质量 均没变。

不变,则小球的动
量变化
(请点击你要选择的项目)

选项2链接答案
质量为 m ,速度
为 v 的小球,水平 地射向一墙壁,后 被反向弹回,速度

(1)为-2mv, 因为速度方向 变了; (2)为零,因 为速度、质量 均没变。

不变,则小球的动
量变化
(请点击你要选择的项目)

第三节 牛顿运动定律
若物体 不受外力作用,其运动状态不变 ( a = 0 ) 。

2-3
a

物体所获得的加速度

的大小与物体所受的 成反比,

合外力

Newton’s law of motion a 加速度的方向与合外力的方向相同。
定律表达式

的大小成正比, 与物体的质量

a and its application

两物体间的相互作用力总是等值反向, 且在同一直线上。
1–2 2–1

应用:
运用牛顿运动定律时应注意理解并掌握一些基本方法 牛顿第二运动定律说明了力是产生加速度的原因 ( a = F / m ) ,注意 1. 这个力是合外力,内力不能产生加速度; 2. 力与加速度是瞬时关系,某时刻有力,该时刻 就一定有加速度。 3. 力与加速度是矢量关系,有对应的坐标投影式,
例如 直角坐标投影式
x

ax ,

y
τ

ay

,

z n

az an

自然坐标投影式

aτ ,

牛顿运动定律将质点运动规律进一步与力联系起来, 属动力学问题。质点动力学中也有两类基本问题
一般方法

动力学两类问题

第 一 类

第 二 类
例如
已知 及 或 求得 和



时的

常用的分析方法与步骤
定对象 随堂练习 看运动

随堂练习一
查受力

列方程

常用的分析方法与步骤
定对象 随堂练习 看运动

续练习一
查受力

列方程

匀角速椭圆运动

F 恒与 r 反向

随堂练习二

随堂练习三
F

关电门, 设 列车质量为

当车速达 25 m/s 时 运行多远,车速减至 10 m/s 则总阻力


单位质量受总阻力
关电门时



,x 0= 0, v0= 25 m/s ;

dv dt

dv dt


v = 10 m/s
dx

x=?

需要将速度是时间的函数转换成速度是坐标的函数去求解 dv dv dx dv v d ( 0. 5 v ) d (2. 5 + 0. 5 v )

dt



x
0

dx

dx dt dx dx d (2. 5 + 0. 5 v ) dx d (2. 5 + 0. 5 v ) 10

25

积 分 得

x

102×ln(2.5+0.5v2)25

10

179 (m)

随堂练习四

随堂小议 (1)一定处于静
在惯性参考
止状态,因为其加

速度为零;
(2)不一定处于 静止状态,因为加 速度为零只说明其

系中,若物体
受到的合外力 为零,则物体
(请点击你要选择的项目)

速度不变。

选项1( 链接答案 1)一定处于静
在惯性参考
止状态,因为其加

速度为零;
(2)不一定处于 静止状态,因为加 速度为零只说明其

系中,若物体
受到的合外力 为零,则物体
(请点击你要选择的项目)

速度不变。

选项2( 链接答案 1)一定处于静
在惯性参考
止状态,因为其加

速度为零;
(2)不一定处于 静止状态,因为加 速度为零只说明其

系中,若物体
受到的合外力 为零,则物体
(请点击你要选择的项目)

速度不变。

本章题头

内容提要
功与动能
work and kinetic energy

Contents

chapter 3

保守力与势能
conservative force and potential energy

机械能守恒定律
principle of conservation of mechanical energy

碰撞
collision

第一节
3-1

work and kinetic energy
, 。 。

质点系动能定理
对单个质点

下面作一简要证明

证明

注意:

随堂练习一 功的概念与特点
力(功)与状态(动能)及系统(质点系)的分析

=2吨

(

= 6×103 N/s )

2.25 107

练习二

练习三

第二节
3-2
保守力做功的 非保守力做功的 大小,只与运动 大小,不仅与物体 conservative force and potential energy 的始 末位臵有关, 物体的始 末位 而且还与物体的运 臵有关,与路径 动路径有关。 无关。

保守力的功:
下面将进一步讨论几种常见的保守力
及其做功的共同特点

重力的功

万有引力的功 弹力的功

重力的功

引力的功

续引力功

弹力的功






保守力功小结

势能概念

初态 势能

末态 势能

保守力做正功,物体系的势能减少; 保守力做负功,物体系的势能增加。 通常写成
末态 势能 初态 势能

势能性质

势能曲线
选地面 为势能零点 选 为势能零点 选无形变处 为势能零点

:离地面高度

力势关系
势能是标量,保守 力是矢量。两者之间 是否存在某种普遍的 空间关系?

普遍关系
三维空间中某质点在保守力 作用下势能发生微变

随堂小议
近 地 点

卫星
质量

(1)G M m ( 2) G M m (3)G M m

m
地球
质量

远 地 点

r2 r1 r1 r2 r2 r1 r1 r2 r2 r1 r1
r2 r1 r2

A

O

M

B

r1

r2
上图中,

卫星在A,B两点处
的势能差为
(请点击你要选择的项目)

( 4) G M m

近 地 点

卫星
质量

m
地球
质量

选项1链接答案 r r 2 1 m (1)G M r1 r2 远
地 点

A

O

M

B

( 2) G M m (3)G M m

r2 r1 r1 r2 r2 r1 r1
r2 r1 r2

r1

r2
上图中,

卫星在A,B两点处
的势能差为
(请点击你要选择的项目)

( 4) G M m

近 地 点

卫星
质量

m
地球
质量

选项2链接答案 r r 2 1 m (1)G M r1 r2 远
地 点

A

O

M

B

( 2) G M m (3)G M m

r2 r1 r1 r2 r2 r1 r1
r2 r1 r2

r1

r2
上图中,

卫星在A,B两点处
的势能差为
(请点击你要选择的项目)

( 4) G M m

近 地 点

卫星
质量

m
地球
质量

选项3链接答案 r r 2 1 m (1)G M r1 r2 远
地 点

A

O

M

B

( 2) G M m (3)G M m

r2 r1 r1 r2 r2 r1 r1
r2 r1 r2

r1

r2
上图中,

卫星在A,B两点处
的势能差为
(请点击你要选择的项目)

( 4) G M m

近 地 点

卫星
质量

m
地球
质量

选项4链接答案 r r 2 1 m (1)G M r1 r2 远
地 点

A

O

M

B

( 2) G M m (3)G M m

r2 r1 r1 r2 r2 r1 r1
r2 r1 r2

r1

r2
上图中,

卫星在A,B两点处
的势能差为
(请点击你要选择的项目)

( 4) G M m

principle of conservation of mechanical energy

第三节 机械能
3-3

某一力学系统的 机械能 是该系统的 动能 与 势能 之 和



系统的

系统的

系统的

机械能

动能

势能

在一般情况下,系统的机械能并不保持恒定。

principle of conservation

系统机械能发生变化的

of mechanical energy

外因: 系统外各种形式的力对系统做功,简称 内因:系统内存在非保守力做功(如摩擦消耗),简称
只有在一定条件下,系统的机械能才能保持恒定。

守恒条件与结果
条 件:
即 若 外力和非保守内力不做功,或其总功为零时,

结 果:系统的机械能
若用
0

保持恒定,

表示此过程中系统机的械能


则 即

表过程中某时刻系统的机械能
0



0

系统机械能不变

此结果既是大量观测的总结和归纳,还可从动能定理和势能概念推演出来 :

(推演及文字表述) 守恒定律推演





续推演(推演及文字表述)

若某一过程中外力和非保守内力都不对 系统做功,或这两种力对系统做功的代数和 为零,则系统的机械能在该过程中保持不变。





随堂练习一:
机械能守恒定律的应用 用守恒定律求运动参量( x, v, a )和 力(F ),一般较简便,注意掌握。 用守恒定律求解有条件

基本方法和步骤:

分析条件选系统; 根据过程状态算功能; 应用定律列、解方程。

第二宇宙速度


半 球



练习二 球面任意点 P 处
由静止开始释放 滚至 Q 点处开始 切向脱离球面



证明:









半 球



续练习二 证 明: 球面任意点 P处
球面任意点 P 处 由静止开始释放

R

半 球取系统:地球,质点。

θ

v

滚至 Q 点处开始 由静止开始释放 切向脱离球面

滚至 Q 点处开始
内力:重力。 外力:支撑力,但不做功。 切向脱离球面



故 在 P — Q 过程中机械能守恒 在 Q 点处脱离球面时,质点动力学方程为

· · ·(1)
· · ·(2) · · ·(6)

由 (1) 得 由 (2) 得

· · ·(3) · · ·(4)

即 由 (5) 、 (6) 得

证明:

由 (3) 、 (4) 得

· · ·(5)

.

第三宇宙速度

经典黑洞

黑洞新证据
据美联社 2 0 0 4
年 2月19 日报道,欧 洲和美国天文学家宣 布,他们借助 X 射 线太空望远镜,在一 个距地球大约 7 亿光 年的星系中观测到了 这一强大的 X 射线爆 发是黑洞撕裂恒星的 确凿证据。

据天文学家的描
“RX-J1242-11”的星 系中央地带观测到了 这场“生死决斗”。 黑

洞的质量约为太阳

耀眼的 X 射线爆发。 述 , 他 们 在 代 号 为

质量的一亿倍,而
该恒星与太阳的质 量差不多。
摘自《人民日报》

和平号有控坠落
空间站椭圆轨道的扁率,与运行 速度 有关 。设地球质量为 空 间站在近地点时到地心的距离为 , 的取值范围是
逐步减小 ,并在预设位臵达下限 开始坠落、烧毁、余烬落入安全区。

空间站在椭圆轨道 上运行,若近地点至地 心的距离为 ,在该 点的运动速率为 , 椭圆轨道的扁率与 的大小有关。 的 取值范围是

续和平号

在运行中,若间歇向前 喷发燃气(逆向点火制 动)减小运行速度,可 逐步改变椭圆轨道扁率, 进入预期的低轨道,然 后更精确地控制最后一 次逆向点火制动时间和 姿态,使 , 令其按预定地点落入稠 密大气层坠毁。

第四节 碰撞

3 -4 m 1

m1

v2 v1 collision m1

碰撞系统的动量

m1 v 1
对于

m2v 2

m 1 u1

m 2 u2

,因孤立系统不考虑外力,动量守恒。

其内力为弹性力(保守力)做功。对心正碰,碰后系统弹性势

能完全恢复到无形变的初态,系统机械能守恒,且动能守恒。

完全弹性碰撞

v1
m1 v 1 m1 v 1 m2v 2 m2v 2

v2
m 1 u1 m 1 u1
m 2 u2 m 2 u2

续全弹碰

v1
v1m v 1 1
m1 v 1 m2v 2
2

v2
m 1 u1
2

v 2 mv

m 2 u2 m 2 u2

m 1 u1

m1 v 1
1 2

m1 v

2 1

由 (1) 得 由 (2) 得 (4) (3) 得 即

m 1 u1 m 2 u2 m2v 2 全弹碰速度公式 2 1 2 2 1 1 m 2 u2 m m 2 v2 1 u1 2 2 2 m2 ( v 1 u1 m 1 u2 v 2 ) m2 ( 2 2 2 2 v 1 u1 m 1 u2 v 2 )

… (1) … (2) … (3) … (4)

v 1 u1 v2 v 1 v1

u2 v 2 u1 u2

… (5)

由 (3) 和 (5) 得

( m1

v2

( m2

m 2 ) u1 2 m 2 u2 ( m1 m2 ) m 1 ) u2 2 m 1 u1 ( m1 m2 )

v2 v 1

归纳上述推导结果

公式讨论
u1 u2

v1
v2
讨论:

( m1 ( m2

m 2 ) u1 2 m 2 u2 ( m1 m2 ) m 1 ) u2 2 m 1 u1 ( m1 m2 )

v1
v1 v2 v2

v2 v1
v1

v2

完全非弹性碰撞

随堂练习一

v1

( m1

m 2 ) u1 2 m 2 u2 ( m1 m2 )

1,2,为同类粒子, m 相同,在一水平面 X-Y 上 发生弹性碰撞,粒子系统在水平的各个方向 上无 外力作用,其碰撞过程如下图所示: Y , ,

随堂练习二

1

1

400 m/s
碰前 静

2

碰后 2

30 °

X







1,2,为同类粒子, m 相同,发生弹性碰撞。 1, 2,为同类粒子,

Y

m 相同,在一水平面 X-Y 上 1 , , 发生弹性碰撞,粒子系统在水平的各个方向 上无 400 m/s 外力作用,其碰撞过程如下图所示: 30° 1

续练习二 v
v2

u

碰前



碰后

Y

: , , 1 u1 m 2 1 m u1 2

X-Y , 为, 水平面 X

判知 三矢量构成 1 直角三角形

由题意知,系统在水平面上动量守恒,且动能守恒。30

22 0 mv 1 m v 2 2 1 1 静 碰前 m v1 m v2 0
2 2

400 m/s

u° 1 v1 v2 2 碰后 2 2 u1 v 1 v 2

得 由三角关 系可算得

2,

v 1 u1 cos v 2: u1 sin

X 3 346 (m· s-1) 400× 2 1 -1) 200 (m · s 400 × , 2 ,

2 2

90? 30? 60?

附一:非弹碰

附二:恢复系数

本章题头

内容提要
角动量与角动量守恒

Contents

chapter 4

angular momentum and law of conservation of angular momentum

刚体的定轴转动
rotation of rigid-body with a fixed axis

刚体作定轴转动时的功能关系
relation of work with energy in rotation of rigid-body

刚体的角动量守恒
law of conservation of angular momentum of rigid-body

第一节
大量天文观测表明

r m v sin
定义:

4-1

速度

v
r

v

常量
位矢

m
质量

m angular momentum and O 对 O 点的 角动量 为 law of conservation of angular momentum L r p r mv L 大小: L r m v sin v 方向: r ( mv )
运动质点

r

问题的提出
问题的提出
地 球 上 的 单 摆 质点 对
的角动量

大小
太 阳 系 中 的 行 星



变变



大小会变

大小未必会变。靠什么判断?

质点角动量定理
导致角动量 随时间变化的根本原因是什么? 思路: 分析 由 则

与什么有关?

两平行矢量的叉乘积为零


质点 对参考点 的

角动量的时间变化率

位臵 等于 矢量

所受的 叉乘 合外力



微分形式 是力矩的矢量表达:
即 力矩

大小
方向

垂直于 所决定 的平面,由右螺旋法 则定指向。




质点

对给定参考点

角动量的时间变化率 称为质点的

所受的合外力矩

角动量定理

的微分形式

如果各分力与O点共面,力矩只含正、反两种方向。可设顺时针为正 向,用代数法求合力矩。

质点的角动量定理也可用积分形式表达

积分形式



称为 冲量矩 这就是质点的

角动量的增量

角动量定理

的积分形式

例如,
单摆的角动量大小为 L = mv r, v为变量。 在 t = 0 时从水 平位臵静止释放,初角动量大小为 L0= m v0 r =0; 时刻 t 下 摆至铅垂位臵, 角动量大小为 L⊥ = m v⊥ r 。则此过程单摆 所受的冲量矩大小等于 L-L0= m v⊥ r = m r 2gr 。

归纳

质点的

角动量定理 归纳
所受的合外力矩

角动量的时间变化率

冲量矩
当 即

角动量的增量

0

时, 有

0

物理意义:当质点不受外力矩或合外力矩为零 (如有心力作用)时,质点的角动量 前后不改变。
(后面再以定律的形式表述这一重要结论)

质点角动量守恒
根据质点的 角动量定理

若 即



常矢量 当质点 所受的合外力对某参考点 的力矩 为 守恒。

为零时,质点对该点的角动量的时间变化率 零,即质点对该点的角动量
称为

若质点所受的合外力的方向始终通过参考点,其角动量守恒。如行星绕 太阳运动,以及微观粒子中与此类似的运动模型,服从角动量守恒定律。

应用质点的角动量守恒定律可以证明 开普勒第二定律

开普勒第二定律

行星与太阳的连线在相同时间内扫过相等的面积

时刻 m 对 O 的角动量大小为

定律证明

瞬间 位矢扫过的微面积



(称为掠面速率)
守恒。

因行星受的合外力总指向是太阳,角动量



常量

故,位矢在相同时间内扫过的面积相等

质点系角动量

惯性系中某给定参考点

质点系角动量定理
将 对时间求导

某给定 参考点



外 外 外 内




质点系的角动量 的时间变化率





质点受外力 矩的矢量和
微分形式

外 外

称为

内力矩在求矢 量和时成对相消

微、积分形式



对时间求导 的微分形式

质点系的角动量 的时间变化率

质点受外力 某给定 参考点 矩的矢量和
的积分形式



外 外 外 质点系的 内





内 质点系所受的

冲量矩 质点系的角动量

矩的矢量和 的时间变化率 若各质点的速度或所受外力与参考点共面,则其角动量或力矩只含正反 内力矩在求矢 两种方向,可设顺时针为正向,用代数和代替矢量和。 量和时成对相消 微分形式 称为



角动量增量 质点受外力

外 外

质点系角动量守恒









恒矢量

当质点系所受的合外力矩为零时,其角动量守恒。

两人质量相等
既忽略 滑轮质量 终点线

随堂小议

又忽略 轮绳摩擦
终点线

两人同时到达; ( 1)
用力上爬者先到; ( 2)

一 人 用 力 上 爬

一 人 握 绳 不 动

握绳不动者先到; ( 3)

可能出现的情况是
(请点击你要选择的项目)

(4)以上结果都不对。

两人质量相等 小议链接1
既忽略 滑轮质量 终点线

又忽略 轮绳摩擦
终点线

两人同时到达; ( 1)
用力上爬者先到; ( 2)

一 人 用 力 上 爬

一 人 握 绳 不 动

握绳不动者先到; ( 3)

可能出现的情况是
(请点击你要选择的项目)

(4)以上结果都不对。

两人质量相等 小议链接2
既忽略 滑轮质量 终点线

又忽略 轮绳摩擦
终点线

两人同时到达; ( 1)
用力上爬者先到; ( 2)

一 人 用 力 上 爬

一 人 握 绳 不 动

握绳不动者先到; ( 3)

可能出现的情况是
(请点击你要选择的项目)

(4)以上结果都不对。

两人质量相等 小议链接3
既忽略 滑轮质量 终点线

又忽略 轮绳摩擦
终点线

两人同时到达; ( 1)
用力上爬者先到; ( 2)

一 人 用 力 上 爬

一 人 握 绳 不 动

握绳不动者先到; ( 3)

可能出现的情况是
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(4)以上结果都不对。

两人质量相等 小议链接4
既忽略 滑轮质量 终点线

又忽略 轮绳摩擦
终点线

两人同时到达; ( 1)
用力上爬者先到; ( 2)

一 人 用 力 上 爬

一 人 握 绳 不 动

握绳不动者先到; ( 3)

可能出现的情况是
(请点击你要选择的项目)

(4)以上结果都不对。

小议分析
质点系 若
系统的末 态角动量 忽略轮、绳质量及轴摩擦 系统受合外力矩为零,角动量守恒。 系统的初 态角动量 不论体力强弱,两人等速上升。



若 同高从静态开始 往上爬

系统受合外力矩不为零,角动量不守恒。 可应用质点系角动量定理进行具体分析讨论。

刚体:形状固定的质点系(含无数质点、不形变、理想固体。)
平 动

第二节

定轴转动

平面运动

4-2

定点运动 一般运动

刚体任意 刚体质心 刚体上 rotation of rigid-body with a fixed axis 刚体每点 两点的连线 限制在一平 复杂 各质点都 绕同一轴线 保持方向不 面内,转轴 的运动 以某一定 变。各点的 作圆周运动,可平动,但 与平动 点为球心 且转轴空间 始终垂直于 的混合。 的各个球 位臵及方向 该平面且通 相同,可当 不变。 面上运动。 过质心 作质点处理。

定轴转动参量
1. 角位臵
刚体定轴转动 的运动方程

刚体

刚体中任 一点 (t+△t) (t) 参考 方向

2. 角位移
3. 角速度
静止 常量 变角速

转动平面(包含p并与转轴垂直)

匀角速

转轴 用矢量表 示 或 时,它们 与 刚体的 转动方向 采用右螺 旋定则

4. 角加速度
匀角速 常量 匀角加速 变角加速

单位:

转动方程求导例题
rad rad s -1

rad s -2 rad

rad s -1 rad s -2

匀变角速定轴转动
rad
150p 100p 50p p 53p 52p 51p 50p

rad s

1

rad s

2

p
t
s

t
s

t
s

积分求转动方程
恒量
且t=0 时




任意时刻的 匀变角速定轴转动的角位移方程


匀变角速定轴转动的运动方程

定轴转动刚体在某时刻t 的瞬时角速度为 ,瞬 时角加速度为 , 刚体中一质点P至转轴的距离为r 瞬时线速度 的大小 质点P 瞬时切向加速度 瞬时法向加速度

线量与角量的关系

这是定轴转动中线量与角量的基本关系

质点直线运动或刚体平动

刚 体 公式对比 角位移

的 定 轴 转 动

位移 速度
加速度 匀速直线运动 匀变速直线运动

角速度
角加速度 匀角速定轴转动 匀变角速定轴转动

刚体转动定律引言
质点


刚体平动 的运动定律

F = ma
合外力
惯性质量

合加速度

若刚体作定轴转动,服从怎样的运动定律?
主要概念 使刚体产生转动效果的合外力矩 刚体的转动定律 刚体的转动惯量

合外力矩
M1
外力在转动平面上对转 轴的力矩使刚体发生转动

F2

Ft 2
j2

r2
P2

O

r1

F t1
P1

F1
j1

d2 d1

力矩 M1 = r1 × F1 大小 M1 = r1 F1 sin j1 方向

M2
合外力矩 大小

大小

M = M1 + M 2

= F1 d 1 = Ft 1 r1 M M 2 = r 2 × F2 M 2 = r 2F 2 sin j 2 F 2 r2 = F2 d 2 = Ft

M = F1 d 1

r Ft 2 r2 F2 d 2 = Ft 叉乘右螺旋 1 r1

转动定律
瞬时 角加速度 瞬时 角速度

某质元

Fi
t

qi

n

fi

∑ Fi ri sin j i + ∑ f i ri sin q i = ∑
合外力矩 M 内力矩成对抵消= 0



O

ji

ri

等式两边乘以 i 并对所有质元及其所受力矩求和

Fi sin j i + f i sin q i = a it = ri b

受外力 Fi 受内力 fi ai Fi + f i = 其法向n 分量均通过转轴, 不产生转动力矩。 其切向 t 投影式为

r

ri
b

b

M

=



ri

转动惯量
瞬时 角加速度 瞬时 角速度

某质元 M

Fi
t

qi

n

fi

刚体所获得的角加速度 ∑ Fi ri sin j i + ∑ f i ri sin的大小与刚体受到的 qi = ∑ ri b 合外力矩 合外力矩 M 内力矩成对抵消 =0 的大小成正比, 得 与刚体的转动惯量 M= ∑ ri b 成反比。

O

ji

ri

等式两边乘以 i 即 并对所有质元及其所受力矩求和

sin j i + f i sin q i Fi刚体的转动定律 = a it = ri b

受外力 b fi ∑ Fii 受内力 ai Fi + f i = 与刚体性质及质量分布有 其法向 n 分量均通过转轴, 关的物理量,用 I 表示 不产生转动力矩。 称为 t 转动惯量 投影式为 其切向

=

r

r

转动惯量的计算
将刚体转动定律 M

=I b

与质点运动定律 F

= m a 对比

转动惯量

I

是刚体转动惯性的量度
与刚体的质量、形状、大小 及质量对转轴的分布情况有关

I



质量连续分布的刚体用积分求 I

I I
的单位为

为体积元

处的密度

分立质点的算例
可视为分立质点结构的刚体
转轴
若连接两小球(视为质点) 的轻细硬杆的质量可以忽略, 则



转轴



0.75

质量连续分布的刚体 直棒算例
匀直细杆对中垂轴的 匀直细杆对端垂轴的

平行移轴定理
对质心轴的转动惯量 对新轴的转动惯量 新轴对心轴的平移量 质心 例如: 代入可得 端



新轴

质心轴

匀质薄圆盘对心垂轴的 圆盘算例
取半径为 微宽为 的窄环带的质量为质元

可看成是许多半径不同的共轴 匀质实心球对心轴的 球体算例 薄圆盘的转动惯量 的迭加 距 为 、半径为 、微厚为

的薄圆盘的转动惯量为

其中

常用结果 匀质薄圆盘
转轴通过中心垂直盘面

匀质细直棒

转轴通过端点与棒垂直

R

m
m
L

1 2 mR I= 2

1 2 m L I= 3

匀质矩形薄板
转轴通过中 心垂直板面

其它典型

匀质厚圆筒
转轴沿几何轴

m I= (a 2 + b 2 ) 12 匀质细圆环
转轴通过中 心垂直环面

m I = 2 (R12 + R22 ) 匀质圆柱体
转轴通过中心 垂直于几何轴

I=mR2 匀质细圆环
转轴沿着 环的直径

I=

m 2 m 2 L R + 4 12 匀质薄球壳
转轴通过球心

I=

mR 2

2

2 m R2 I= 3

转动定律例题一
合外力矩 应由各分力矩进行合成 。 在定轴转动中,可先设一个正轴向(或绕向),若分力 矩与此向相同则为正,反之为复。 合外力矩 与合角加速度 方向一致。



时刻对应,何时 何时

则何时 恒定 则何时

, 恒定。

匀直 细杆一 端为轴 水平静 止释放

转动定律例题二 转动 ( T2 – T1 ) R = Ib
m
R

T2

T1

a
m2 m1
轮轴无摩擦 轻绳不伸长 轮绳不打滑 (以后各例同)

I=mR2 2 b 平动 m2 g – T2 = m2a T1 – m1 g = m1a T1 T2 a = Rb 线-角 T1 T2 联立解得 a a m2 m1 g g a= 1 G1 m1+ m2+ 2 m G2 T1 = m1 ( g + a ) m1 g T2 = m2 ( g – a ) m2 g

如果考虑有转动摩擦力矩 Mr ,则 转动式为 ( T2 – T1 ) R – Mr= Ib 再联立求解。

细绳缠绕轮缘 (A) (B)

转动定律例题三
(A)

m

R

m

R (B)

恒力

F

m1

滑轮角加速度 b 细绳线加速度 a

R = 0.1m m = 5kg m 1 = 3kg m 2 = 1kg

物体从静止开始运动时,滑轮的 转动定律例题四 转动方程

质点运动和刚体转动定律

m 1 m 2 和 m 分别应用


b
T2 T2 m2

m

R

T1 T1 m1

m1 g – T1 = m1a T2 – m2 g = m2a ( T1 – T2 ) R = Ib
得 故

a = Rb I = 2 mR2
常量

1

b

( m1 - m 2 ) g = R(m1+ m2+ m 2)


a

G2 G1

a

(m1-m2)g R(m1+ m2+ m 2) (m1 -m2)g R(m1+ m2+ m 2)

gt 2

(rad)

两匀直细杆

两者瞬时角加速度之比 转动定律例题五

q

q

根据

1 2 1 2

q

q

1 3 1 3

地面 从等倾角 处静止释放

短杆的角加速度大 且与匀质直杆的质量无关

第三节
刚体中任一质元 的速率 该质元的动能

4-3

对所有质元的动能求和

relation of work with ∑ energy in rotation ∑ of rigid-body 转动惯量 I



I

力矩的功



的元功

力对转动刚体所作的功用力矩的功来计算
若在某变力矩 的作用下,刚体由 转到 ,

作的总功为

力矩的瞬时功率

拨动圆盘转一周,摩擦阻力矩的功的大小 力矩的功算例
转轴

平放一圆盘

总摩擦力矩



各微环带摩擦元力矩
粗糙水平面

的积分

环带面积 环带质量 环带受摩擦力 环带受摩擦力矩

圆盘受总摩擦力矩
转一周摩擦力矩的总功 得

刚体的动能定理
回忆质点的动能定理
刚体转动的动能定理

由 力矩的元功 转动定律 则

合外力矩的功
称为

转动动能的增量

匀质圆盘

圆盘下摆 时质点 的 动能定理例题一 、切向、法向加速度
盘缘另固 连一质点 水平静 止释放

角速度

的大小


外力矩的功
其中

系统

系统转动动能增量

通过盘心垂直 盘面的水平轴



由转动定律




一端为轴 匀直细杆 水平位臵静止释放

动能定理例题二从水平摆至垂直
外力矩作的总功




本题 代入得 利用 的关系

摆至垂直位臵时杆的

还可算出此时杆上各点的线速度

动能定理例题三从水平摆至垂直
水平位臵静止释放 段,外力矩作正功 段,外力矩作负功

合外力矩的功 ∑
由 得 转轴对质心轴的位移 摆至垂直位臵时杆的 代入得

含平动的转动问题
力 外 力矩 动

力 非保守内力矩
势 转动 动 平动

机械


势 转动

平动

左例 系统(轮、绳、重物、地球)
力 外 力矩

忽略 摩擦
转动 势

力 非保守内力矩 平动 转动 势

平动

此外 可求



第四节
定轴转动刚体的角动量是无数质点对公共转轴的角动量的叠加 任一质元(视为质点)的质量 其角动量大小

4-4

全部质元的总角动量

∑momentum ∑ of rigid-body law of conservation of angular
对质量连续分布的刚体


所有质点都以其垂轴 距离为半径作圆周运动

刚体的角动量定理
回忆质点的角动量定理 (微分形式)

(积分形式)

(微分形式)

合外力矩

角动量的时间变化率
(积分形式)

冲量矩

角动量的增量

刚体系统的角动量定理
若一个系统包含多个共轴刚体或平动物体 系统的总合外力矩 ∑ ∑ 系统的总角动量的变化率 系统的总角动量增量 轻绳 (忽略质量) 同向 ∑ 而 解得

系统的总冲量矩 例如 求角加速度


系统:

静 止 释 放

∑ 总合外力矩 对O的角动量 对O的角动量 ∑ 由 得

主要公式归纳
(微分形式) (积分形式)

∑ ∑



是矢量式 与质点平动对比

刚体的角动量守恒定律
由 若 则 刚体所受合外力矩 即

当刚体所受的合外力矩 刚体的角动量

等于零时, 保持不变。

回转仪定向原理 回转仪定向原理
(转动惯量 ) 回转体

回转体质量呈轴对称分布; 轴摩擦及空气阻力很小。

受合外力矩为零 角动量守恒 恒矢量
其中转动惯量 基 座 万 向 支 架 使其以角速度 为常量

若将回转体转轴指向任一方向 高速旋转

则转轴将保持该方向不变 而不会受基座改向的影响

乘积

角动量守恒的另一类现象 角动量守恒的另一类现象 保持不变, 变小则 变大, 变大则

变小。

张臂

用外力矩 启动转盘后 撤除外力矩

收臂
小 大



乘积

角动量守恒的另一类现象 花样滑冰中常见的例子 保持不变, 变小则
花样滑冰 张臂
张臂 大大 收臂 收臂 小 小 大 大

变大, 变大则

变小。

先使自己 转动起来

用外力矩 启动转盘后 撤除外力矩

小小

恒矢量 外 共轴系统 若 则 共轴系统的角动量守恒
初态 全静 轮、转台与人系统 末态


轮 初 轮
人沿某一转 向拨动轮子

轮 人台

轮 人台 人台




人台 人台

人台 轮



导致人台 反向转动

直升飞机防止机身旋动的措施

直升飞机防旋措施

用 尾 浆
(美洲豹 SA300)
( 海豚 Ⅱ )

用两个对 转的顶浆
(支奴干 CH47)

A、B两轮共轴 A以wA作惯性转动

守恒例题一

两轮啮合后 一起作惯性转动的角速度

wAB

以A、B为系统,忽略轴摩擦,脱离驱动力矩后,系 统受合外力矩为零,角动量守恒。
初态角动量 末态角动量



守恒例题二
木棒 弹

以弹、棒为系统 击入阶段 子弹击入木棒瞬间,系统在

铅直位臵,受合外力矩为零,角动量守恒。 该瞬间之始 该瞬间之末 棒 弹



上摆阶段 弹嵌定于棒内与棒一起上摆,
非保守内力的功为零,由系统动能定理 子弹
外力(重 力)的功

上摆末动能

上摆初动能

外 其中

联立解得

匀质直棒与单摆 小球的质量相等 两者共面共转轴
水 平 静 止 释 放 静 悬 弹碰 忽略摩擦

守恒例题三

满足什么条件时,小球(视为 质点)摆至铅垂位臵与棒弹碰而小 球恰好静止。直棒起摆角速度 对摆球、直棒系统

小球下摆阶段 从水平摆到弹碰即将开始,
由动能定理得

球、棒相碰瞬间在铅垂位臵, 系统受合外力矩为零,角动量守恒。
刚要碰时系统角动量 球 棒 刚碰过后系统角动量 球

弹碰阶段



弹碰过程能量守恒

其中

联立解得

0.577

1.861

相对论

本章内容

Contents

chapter 5

狭义相对论的基本原理与洛仑兹变换
principle of special relativity and Lorentz transformation

狭义相对论的时空观
viewpoint of special relativity space-time

狭义相对论中的质量、动量和能量
mass, momentum and energy of special relativity

广义相对论简介
a brief introduction of general relativity

相对论的创建是二十世纪物理学最伟大的 成就之一。1905年爱因斯坦建立了基于惯性 参考系的时间、空间、运动及其相互关系的 物理新理论 狭义相对论。1915年爱因斯 坦又将狭义相对论原理向非惯性系进行推广, 建立了广义相对论,进一步揭示了时间、空 间、物质、运动和引力之间的统一性质。 本章重点介绍狭义相对论的基本原理,对广 义相对论仅作一简略介绍。

引言

狭义相对论

伽 利 略 … 牛 顿 … 麦克斯韦 … 爱因斯坦 … (1564-1642) (1642-1722) (1831-1879) (1879-1955)
物 理 学 关 键 概 念 的 发 展

历史背景
电磁学

力学

相对论 量子力学

热力学

1600

1700

1800

1900

2000

以牛顿力学和麦克斯韦电磁场理论为代表的经典物理学,到 20世纪初, 1900 年,著名物理学家开尔文在元旦献词中的名言: 已经取得了空前的成就。人类对物质世界的认识,已从宏观低速物体的运 “ 在物理学的天空,一切都已明朗洁净了,只剩下两朵乌云,一朵 动规律逐渐扩展到高速传播的电磁波(包括光波)的场物质运动规律。 与麦克耳孙-莫雷实验(寻找“以太”)有关,另一朵与黑体辐射有 关。” 随着对物质运动多样性的认识范围逐步扩大和深入的同时, 但他却没有料到,这两朵小小的乌云正孕育着一场暴风雨,并促成

也引起了对物质运动统一性问题的思考。 了近代物理学的两大理论支柱 相对论和量子力学的诞生。

伽利略变换

力学规律
如:牛顿定律

谁是谁非 电磁学规律
若 处有两个电荷 对 惯性系,电荷间 的相互作用为静电力。 对 惯性系,是两个运 动电荷,还有磁力作用。

在 在

惯性系观察 惯性系观察

规律不相同
若 处有一光源,迎着 发射光波(电磁波)

在一切惯性系中, 对 力学规律相同。
称为

光速

对 光速

伽利略相对性原理

无实验根据

谁是谁非难以判断

“以太” 论的观点:假设整个宇宙都充满着一种绝

两种哲学观念

光行差测量、双星周期测量以及麦克耳孙-莫雷精密的光干涉实验等), 但没有成功,最精密的实验所测到的也是“零结果”。

对静止的特殊媒质 “以太”(ether,又称能媒)。它 是优于其它参考系的绝对参考系。物理定律在 “以太” 参考系中具有最简单的形式,而对别的参考系,有可能 要改变形式。电磁学定律在不同惯性系有不同的形式是 正常现象。 在物理学史上企图发现 “以太” 曾作过许多努力(如:斐索实验、

爱因斯坦的观点:
相信自然界有其内在的和谐规律。
(必定存在和谐的力学和电磁学规律。)

相信自然界存在普遍性的相对性原理。
(必定存在更普遍的相对性原理,对和谐的力学和电磁学规律都适用。)

相信复杂多变的自然界,存在某种重要的不变性。

双星观测

光速与光源运动状态无关的实例

双星观测 B
B A B

两颗绕共同重心 旋转的恒星 A、B 这里着重讨论 B(伴星)的运动 用伽利略的速度合成将会出现下述问题

1. 沿 B E 光速 沿B E 光速 沿B E 光速 BE 光可追上 B E 光,并 同时到达 E ,因此,伴星的像

不是一个亮点,而是 一个亮弧。 一是测量伴星相继两次通过B点所经历的时间;二是测量伴星由B运动到B 所经历的时间(半周期)乘二。两种方法测所得结果并不相等,这是因为在 第二种方法中, 路程 B E B E 但光速 信号传送所需时间不同。 宇宙中存在大量这种物理双星,有些甚至肉眼也能分辨。 精密的天文观测表明,双星的像是很清晰的两个光点,没有 E 天文台 发现亮弧现象。而且两种方法测周期的结果一样。这只能用 光速与光源运动状态无关的观点,才能得到圆满的解释。

2. 若用两种方法测量伴星的运动周期:

迈克耳孙 莫雷实验
根据“以太”观点,充满宇宙 的“以太”是一切运动的绝对参 考系。 光波靠 “以太” 传播,光 对 “以太” 的绝对速度为 。 若在地球上固定一光源 , 按伽利略的速度合成法则,地 球对以太的绝对运动必满足: 或

寻找 “以太” 失败实 例

迈-莫实验


地球

以太





以太

若能用实验证明光波对 地球的相对运动 符合 上述规律,则地球对以太 的绝对运动将被证实, “以太” 观点成立。
迈克耳孙设计了一种检验方法:





地球

以太

迈克耳孙 莫雷实验

假如存在 “以太”, 的 根据“以太”观点,充满宇宙 的“以太”是一切运动的绝对参 大小必与传播方向有关。 考系。 光波靠 “以太” 传播,光 相对速率 绕中心 O 转动干涉仪, 对 “以太” 的绝对速度为 。 两臂光程差必改变, 若在地球上固定一光源 , 干涉条纹必有移动。 按伽利略的速度合成法则,地 l= 球对以太的绝对运动必满足: 干涉仪转过 90°, 590 nm 两臂位臵取向互换, 玻片 光程差改变达极大, 或 底盘 条纹移动量亦达极大。
底盘 观察记录 干涉条纹

寻找 “以太” 失败实 例 光 地光 光 对 以太 迈克耳孙干涉仪 对 球 对 地球 对 以太


续上

臂长 镜 11 m 迈克耳孙干涉仪

地 对 以 球 以太 太

相对速率

若能用实验证明光波对 若 “以太” 观点成立, 观察记录 地球的相对运动 符合 预期有 0.4 根条纹移动量。

上述规律,则地球对以太 转速度 30 km / s 。 (仪器的灵敏度,可判断 地球 0.01 根条纹的移动量)。 这并不影响实验原理。 的绝对运动将被证实, “以太” 观点成立。 以太 光 对 地球 实测 经过不同季节、不同时间的反复仔细观测记录,没有发现预期的 迈克耳孙设计了一种检验方法: 条纹移动。在历史上曾被称为有关寻找 “以太” 著名的 “零结 结果

玻片 镜

干涉条纹

地球绝对 速度属假 设。在估算 干涉条纹移动 量时用地球的公



第一节两个基本假设 5-1
对所有惯性系, 物理规律都是相同的。

principle of special relativity and
在任何惯性系中, Lorentz transformation 光在真空中的速率 都等于同一量值 c 。

洛仑兹变换序
含义 洛仑兹变换是狭义相对论中联系任意两个惯性参考系之间时 空坐标的变换。对高、低速物质运动兼容。 来由 洛仑兹在研究速度小于光速运动系统中的电磁现象时,曾提 出解决时空变换问题的法则及数学形式,但仍受“以太”观 念束缚。爱因斯坦以狭义相对论的两个基本假设为前提,重 新导出这个变换,并赋予明确的物理意义 ,仍称为洛仑兹变 换。 条件

变换式必须满足狭义相对论的两个基本假设。 时间和空间具有均匀性,变换性质应为线性变换。
对时间和空间不作绝对定义,允许其存在相互依赖的可能性。

模型 在约定惯性系中进行某一事件的时空坐标变换

约定惯性系

相对 沿 方向以匀速 重合开始计时 方向均无相对运动

运动

现推导有相对运动的 X 方向的时空坐标变换式:

推导

相对 沿 方向以匀速

运动

求待定系数

变换式推导

重合开始计时


对任一事件,变换式均应满足 线性变换

相对性原理 重合时原点处沿OX方向发 若在 分别观察此光信号 出一光信号, 传播到达的X坐标和时间关系应满足:
光速不变原理





结果

洛仑兹变换

洛沦兹变换式

其中

或写成

高低速兼容 当

时,

,且

,回到伽利略变换式。

物体不能超光速

则 变为虚数,时空变换式无实际意义。

时空不可分割 变换式揭示了时、空是相互依赖的。

例题系的速率 在约定惯性系中 系相对 v = 0.6 c , 在 系中观察一事件发生的时 空坐标为 t = 2×10 - 4 s, x = 5×10 3 m , 则 该事件发生在 系中的时空坐标为
s, m。

2.38 ×10 - 4 (s)

3.88 ×10 4 (m)

第二节
(中点)

5-2
viewpoint of special relativity space-time

看到: 看到: 因光速不变(不论对 或 )

闪光同时到达 A 、B 壁。 闪光先到达 B 壁,后到达 A 壁。

光到达 B 为事件 2 设: 光到达 A 为事件 1 :两事件非同时发生。 对 :两事件同时发生, 对
即 关) “ 同时 ” 是相对的。(与惯性系有

用洛仑兹变换式判断两事件在不同惯性系中的时空关系
相对论的时空关系,难有生活直接体验,要借助洛仑兹变换式谨慎分析。 (事件1)

两事件的变换

(事件2)

对 对

: :

若已知 根据洛仑兹变换式可求出



下面讨论几种可能遇到的情况:

典型分析
两事件的空间间隔 两事件的时间间隔

同时 同地 同时 同地

同时 异地

异时 同地 异时 异地

异时 异地 要看具体 条件而定

异时
异地

对于有因果关系的关联事件(如:发送与接收,出生与死亡,栽种与收获等) 必有









这是物质运动速度及信号传播速度不能大于光速的必然结果

时间间隔为 4 秒, 在同一地点发生; S 系测得 其时间间隔为 6 秒,则 S 相对于 S 的运动速 度大小为 米 / 秒。

例一 在约定系统中发生的两个事件,若 S 系测得其

解得

2.24×10 8 ( m / s )

雷电 车 尾

例二
“ 爱因斯坦列 车 ”

雷电 车 头

若 则

看到:雷电同时击中车头和车尾。 看到:雷电先击中 。
同时击中 车头在前 正向行驶

设:击中车头为事件1;击中车尾为事件2。 : : 由 得 即

先击中车头

例三
A站
发 10 3 m 收 B站

6×10 3 m

系在 A站 发一信号在 B站 接收所需时间为 秒。 系上观察此过程则认为所需时间为 秒。

设:在A发出信号为事件1;在B收到信号为事件2。
系:此过程需时 系: 由 解得

在约定坐标系中 系的 轴上,放臵着固有长度为一 米的直尺。假设 沿 方向相对于 系运动速度 = 0.6 c , 系上的尺长为 (m)。 则 在 系看

收缩例一

(m)
值及 10.0 8.0 6.0 4.0 2.0 1.0 0 若 值随 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 比值的变化趋势

可取近似式:

运动方向上,火箭缩短 _______ m. 欲使火箭收缩到原 长的一半,应以 v =_______ km . s-1 的速度飞行。

收缩例二 一火箭长 10m , 以 v = 3 km . s-1 的速度飞行,在

解得 此值约为5个氢原子的直径。 因此对 的低速情 况,可不考虑相对论效应。 若
即 得 则

10m v = 3 km . s-1 5×10 10 (m) 5 (A)

2.6×105 (km . s-1)

长度收缩效应
固有长度
在任一惯性系中,测得相对 于该系静止的物体的长度

非固有长度
在任一惯性系中,测得相对 于该系运动的物体的长度 在 系上测得相对于 系 例如: 运动的 系上的静物长度 两端同时读数 系上测得相对于 系 或 在 运动的 系上的静物长度 两端同时读数

相对论结果:

的推导

收缩公式推导 在 上看 是向
负方向运动 两端同时读数



两端同时读数 两端同 时读数

两端同 时读数

两种情况均得







结论:对观测惯性系作相对运动的物体,在运动方向上,
其长度比相对静止时的长度要短。
这种相对论效应有时又简述为:运动的尺子变短了。

假设 :

收缩例三
固有长度
桥 车

问:车过桥时

是否认为桥长可容纳全车长?

看来又如何?
1.1547

在 看来:桥静车动。桥长是固有长度 桥 车长是相对论长度 车 车 173.2 (m) 认为,桥长可容纳全车长。
在 看来:车静桥动。车长是固有长度 车 桥长是相对论长度 桥 桥 151.6 (m) 认为,桥长不能容纳全车长。

200 m 200 m

系中一等腰直角三角形 边长的固有长度如图所示

收缩例四

沿运动方向

的边长相对论长度为

= 0.6 c
而垂直运动方向的边长无缩短

观察到的图形是

1.64

0.8 问: 观察到的是怎样的图形?
由此还可进一步算出角 度和面积的变改。

天线

收缩例五
天线在 系的 轴向的投影

天线长度、姿态 在
运动方向上有长度收缩效应 垂直运动方向上长度无收缩

系观察:

将已知数据代入解得

tan

0.791 (m),

63 26

固有时间

固有时间

用静止于某惯性系的时钟,测得发生在该系同一 地点的两个事件所经历的时间间隔。
例如:
在 系的原点 上,发生了某种物理过程, 用 系上静臵的时钟计时, 过程开始(事件1)时刻 固有时间间隔 过程结束(事件2)时刻

固有时间又称为 固有时间间隔、 原时间隔 或本征时间间隔

非固有时间 用静止于某惯性系的时钟,测得相对于该系运动的惯 性系上同一地点的两个事件所经历的时间间隔。
例如: 在上图中用 系上的时钟测量 系上同一地点的两个 事件所经历的时间间隔。 又称非原时间隔。

时间膨胀效应

时间膨胀效应 过程开始

为简明起见,假设某一过程发生在 约 定坐标系的 系原点,而且,当两坐标 系原点重合 时 过程开始 。 到过程结束时, 系测得所经历的时间为 固有时间 原地结束 系观察此过程在 处结束, 所经历的时间为非固有时间 位移 由洛仑兹变换得 过程结束


其中 故

时间膨胀效应
由洛仑兹变换得 为简明起见,假设某一过程发生在 约 定坐标系的 系原点,而且,当两坐标 系原点重合 时 过程开始 。 即 到过程结束时, 系测得所经历的时间为 故 其中 固有时间 原地结束

续上

过程开始

系观察此过程在 处结束, 结论: 非固有时间大于固有时间。 所经历的时间为非固有时间 位移 即,非固有时间相对于固有

过程结束

即 称为 其中 或

时间 “膨胀” 了。 由洛仑兹变换得 从时钟走时的快慢来说, 即,运动的时钟走慢了。

时间膨胀效应
故 运动的钟缓效应

附:

双生子佯谬

运动的时钟变慢了,但运动是相对的, 和 都认为对方的钟在运动,这将会导致 双方都认为对方的钟变慢了的矛盾结论。这就是时钟佯谬。 若 和 是一对双生子。 乘高速飞船到太空 遨游一段 时间后返回地球 , 发现对方比自己老了,根据运动的相对性 , 将会得出 也发现 对方比自己老了的矛盾结论。称为双生子佯谬。

实际上这种谬误是不会发生的,由于两个时钟或两个双生子 的运动状态并不对称( 例如, 飞离、返回要经历加、减速运动 过程),其结果一定是 的时钟变慢了, 双生子 一定比 年轻。
爱因斯坦曾经预言,两个校准好的钟,当一个沿闭合路线 运动返回原地时,它记录的时间比原地不动的钟会慢一些。这 已被高精度的铯原子钟超音速环球飞行实验所证实。 相对论预言 慢 ( 184 ±23 ) ×10 - 9 s 实 测 慢 ( 203 ±10 ) ×10 - 9 s

膨胀例一
某种不稳定性粒子 其固有寿命 以高速 飞向地面
若按经典时空观计算


宇宙射线可使大气层产生 子, 一种不稳定粒子

在地面观测 它的寿命 有多长

已知

按此寿命 能飞多长距离
地面

2.2×10 6 s 0.995 c 代入得 2.2×10 5 s 10 6600 m 而 经 660 m
子的 实验证明,来自高空的 子, 还能先后通过高差约 2000 m 的山 顶和地面检测实验室。若用经典 时空观计算, 子早就衰变完了。

某高能物理实验室 测得一种不稳定性粒子 p±介子的结果如下:

膨胀例二
从时间膨胀效应评估 6.281×10 - 8 (s)

固有寿命

(2.603±0.002) ×10
粒子沿实验室坐标的 X 轴方向作高速运动 速率

–8

s

理论值

2.604 ×10 - 8 (s) 理论值 - 0.001×10 - 8 (s)
百分误差

0.9100 c
17.135 m

0.04%

从产生到衰亡走过的距离

从长度收缩效应评估
理论值 理论值 百分误差

7.101 (m) 7.104 (m)
0.003 (m) 0.04%

实验值与相对论预言 值的符合程度如何?

速度变换
速度变换

P 的运动速度
沿X方向运动

变换式



其微分式





A (A对地) (A测B) (A测C)

B

速度例一 C
速度例一

0.8

(地测B) (地测C) 由洛仑兹速度变换

(反

0.9 0.9

向)

0.9

0.8

0.8 0.9 0.8 0.9
0.1 1.7

0.357 0.988

0.9 0.8
不能用伽利略速度合成

(反

向)

(B 对 A)

速度例二 (C 对 A)
0.7

0.7
若站在 B 上观测,测得 A 和 C 的速度大小

在 B 上观察时 对应的洛仑兹 速度变换参量 B 测 A(即 A 对 B):

0.7

0.7

与(B 对 A)大小相等方向相反 B测C : 即



0.7

0.7

0.7

0.7 0.7

0.94

随堂小议 请在放映状态下点击你认为是对的答案
在某惯性系中同时发生于同一时刻,不同 地点的两事件,在其它惯性系看来是
(1)同时事件; (2)不同时事件。

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在某惯性系中同时发生于同一时刻,不同 地点的两事件,在其它惯性系看来是
(1)同时事件; (2)不同时事件。

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在某惯性系中同时发生于同一时刻,不同 地点的两事件,在其它惯性系看来是
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牛顿力学的困难
牛顿力学的困难
牛顿第二定律 经典力学认为,物体的质量
第三节

5 - 是恒定的,与运动速度无关。 3
亦恒定。

若在恒力的作用下,物体的加速度 若作用时间足够长,

mass, momentum and energy of special relativity 物体的运动速度,可以超过真空中的光速。
这一结论,与伽利略的速度合成法则可能导致超光速的 结论一样,都没有任何实验依据。并且,被越来越多的实验 事实所否定。

经典力学在高速领域遇到了不可克服的困难。

相对论的 质量
相对论认为,物体的质量

质速关系式 速度 关系式
有关,

不等与物体的运动速度大小

质 速 关系式
物体的 静止质量 运动物体的 质量
10 8 接近光速 则 趋于无穷大 6 4 因此,物体不可能被加速到超光速 2 这一个重要的自然定律,已被大 1 量现代物理实验所证实。 0

物体的运动速度大小

增大 则

增大

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0



质速关系推导 速 关系式的推导
的静止质量均为 的大小相等 不考虑重力 而且两球发生 完全非弹性碰撞
(碰后粘合成一体)


对指定坐标系

(对 (对 ) (对





质量守恒 推导基本思想 动量守恒 洛仑兹速度变换


(对 )

速 关系式的推导
(对 )

续上





系 的静止质量均为

动 对指定坐标系 粘合



静 的大小相等

不考虑重力 对 而且两球发生 系 完全非弹性碰撞 动 (碰后粘合成一体) (对 动 )

(对



粘合 动

(对 ) 的大小、方向待求,暂设为正向

(对



的大小、方向待求,暂设为正向

质量守恒 动量守恒
洛仑兹速度变换 即

质量守恒 动量守恒 洛仑兹速度变换

上述五个方程联立解得

推导基本思想

相对论动力方程 狭义相对论的动力学基本方程
由于质量与速度有关

狭义相对论的动量定义为

狭义相对论的动力学方程为



时,便过渡到经典力学的

的形式。

用静电直线加速器可将电子的速度加速到接近光速。全 长约三公里多的斯坦福直线加速器曾将电子加速到

质速例一

0.9999999997
问:此时电子的质量是其静止质量的几倍?

真 空



0.9999999997 0.9999999994

6×10 -10

4.0825×104

质速例二
细棒 固有长度 静止质量 质量线密度 若以速度 作下述运动,
(A)

(A)

(B)

(B)

动能公式推导
相对论的 动能公式
动能

用分部积分法容易得出

物体的动能等于 物体从静止开始到 以速度 运动时合 外力所做的功。

相对论动能公式

另法推导备选
相对论的 动能公式
用一个质点沿 X 轴受力并作直线运动的简明 例子,从动能定理出发,导出相对论动能公式 动质量

瞬间

( , 都是变量)

代入、约简后得

可得



相对论动能公式

质能关系式 质能关 系式
由物体的 动能 即

静止能量 爱因斯坦: 物体的 总能量
并将
静止能量 物体的总能量 反之亦然,即

称为 普遍的质能关系
简称静能,宏观静止物体的静能包括热能、 若发生变化,必将伴随相应的质量变化,

化学能、以及各种微观粒子相互作用所具有的势能等。

首次揭示质量与能量不可分割,并建立了物质的质量和能 量两个属性在量值上的关系,是近代物理的重要理论支柱。

质能例一
经典力学的动能

时,所取的近似值
故 等式两边乘 即
可见,相对论动能值
本例还可帮助理解 与 经典力学动能值 ,



之间的密切联系。

质能例二 一高速运动电子,当它的动能在数值上等于它的
静止能量时,其速度 根据 题设:在数值上,若





错误 解法

0.866
得 或 得

0.910 1.414

电子的静止质量

质能例三 9.1×10 -31 kg ,

若将其速率由 0.8 c 加速到 0.9 c ,需对它做功 eV. ( 1J = 6.25×1018 eV )

0.8 c

0.9 c
9.1×10 -31

0.667 1.294
0.627

0.627

( 3×108)2

5.14×10–14 (J) = 3.21×105 (eV)

较轻的原子核在一定条件下聚合成较重的原子核称为核 聚变反应。发生核聚变反应时会释放出巨大的能量。已知由氢 的同位素氘核和氚核聚合成氦核的核聚变反应式为
质量数 质子数

质能例四

释放的能量值 1.0086652 u 1.00727647 u 1 u = 1.660552×10 -27kg 4.0026033 u 1.0086652 u 反应后 5.0112685 u

2.0141022 u
3.0160497 u 反应前 5.0301519 u

0.0188834 u 0.0188834 u 释放出与此相应的能量值 2.814×10 –12 (J) = 1.759×107 (eV) 代入数字后算得 相当于煤燃烧时,一个碳原子氧化反应释放热量的 4.4×106 倍。

能量动量关系式
能量

动量
得 相对论 能量 动量 关系式:

消去

再由



相对论的 动量 动能 关系式:

三个运动粒子



能量动量例题
2.32×10 -22 kg.m.s -1 5.40×10 -24 kg.m.s -1 5.33×10 -26 kg.m.s -1

静止质量分别为
1.68×10 -27 kg 9.11×10 -31 kg 0



由 解得

动能值均为 Ek= 100 eV 各粒子的动量大小 各粒子的运动速率
1eV = 1.60×10 -19 J

0.00046 0.01975
这些都是实际存在的运动粒子,例如,本 题中的(1)中子或质子;(2)电子;(3)光子。 光子的静止质量为零,但它的动质量、能 量和动量都不为零,光子能量与动量的比值, 等于真空中的光速 。

基本公式归纳 狭义相对论动力学基本公式归纳
相对论因子 静止质量

质量

动量
力 能量
静止能量

动能

·

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广义相对论简介
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引言
1905年,爱因斯坦建立了基于惯性系的狭义 相对论。1915年,爱因斯坦提出了包括引力场 和非惯性系在内的相对论,即广义相对论。 广义相对论是关于时空性质与物质分布及运 动的相互依赖关系的学说,是研究物质在时空 中如何进行引力相互作用的理论。 广义相对论是近代宇宙论的理论基础,也是 宏观物质运动现代研究领域的重要理论基础。 本章主要介绍广义相对论的两个基本原理。

等效原理
有关引力效应与加速度效应不可区分的一个理想实验
密 封 仓 停 放 于 均 匀 的 引 力 场 中 密 封 仓 在 没 有 引 力 作 用





条 件 下 作 匀 加 速 直 线 运 动

小球对密封仓都以加速度 下落,仓内的观测者不能测出密 封仓是处于引力场中,还是处于无引力作用的匀加速运动状态。

续上
对于一个均匀引力场而言,引力场与一匀 加速参考系等效。换句话说,对于一均匀引 力场而言,引力与惯性力在物理效果上等效。
实际的引力场通常是不均匀的,只在局域小的时空范围内 可看成均匀,等效原理在此范围内成立,即局部等效。 在局域小范围内,一个没有引力场存在的非惯性系(匀加 速参考系)中的物理定律,与在一个有引力场存在的惯性 系中的物理定律是不可区分的。局域惯性系中一切物理定 律均服从狭义相对论原理。 从物体质量的角度来看,等效原理解释了物体的引力质量 与它的惯性质量相等的经验事实。

时空弯曲
基于等效原理,在非惯性系中引入引力场的概念,就有可 能将狭义相对性原理推广到任意参考系。

为解决这个问题,爱因斯坦将空间和时间合为一体,建立四 维空间,并提出了著名的广义相对性原理。该原理的文字表述 如下:

任何参考系对于描述物理现象来说都是等 效的。换句话说,在任何参考系中,物理定 律的形式不变。

光线引力偏移

光的引力偏移
R M

q

日全蚀

广义相对论预言 q =

4GM = 1.75″ 2 c R

多次实测结果与预言相一致

广义相对论预言,引力场中的光线不再沿直线进行,而是偏向于引力场 源的一側。这一效应,还可检验光子具有动质量 m = e /c 2 的事实。 1919年的日全蚀期间,科学家们分别在非洲和南美洲,对掠过太阳表面 的恒星光线受太阳引力作用而发生偏移的效应进行测量,实测结果分别为 1.61″±0.40″和 1.98″±0.16″,与广义相对论预言相一致(若按牛顿引力理 论推算,太阳引力对动质量为m的光子所造成偏移量只有 0.87″)。此类测量 后来还进行过多次,结果都与广义相对论预言。

无线电波偏移

无线电波偏移
“海盗” 火星探测 号 飞船

太阳

采用射电天文学的定位技术测得的偏移角度为 1.761″±0.016″, 与广义相对论的预言符合得很好

无线电波也可看成是能量较低(质量较小)的光子。采用射 电天文望远镜,接收处于太阳后方的射电天体发射的无线电波或 宇宙飞船发射的无线电信号,也能测出太阳引力对无线电波所产 生的偏移效应。近年来,采用射电天文学的定位技术测得的偏移 角度为 1.761″±0.016″, 与广义相对论的预言很符合。

谱线引力红移 光谱线引力红移
天狼星

实测天狼星的一个伴星光谱线 的引力红移是太阳光谱线引力红 移的 30 倍,与广义相对论预言相符。
广义相对论预言,振荡器的固有频率依赖于它所在处的引力场的强弱。引力场越 强,则振荡器的固有频率越低。这种因引力场的作用而使光源的发光频率向光谱低 端(红端)移动的现象称为光谱线的引力红移。 若不考虑引力作用时某种原子光谱中某一谱线的频率为n ,在某一半径为R质量M 很大的恒星表面上同种原子光谱中同一谱线的频率要低一些,其相对频移的理论值 为△n/n =- GM/(c2R) 。太阳的光谱线引力红移△n/n = -2.12×10 – 6 。 用鈷57放射性衰变发出的g 射线在不同高度上做实验也可测引力红移效应,广义相 对论预期的引力红移为2.46×10 -15, 实测结果为( 2.57±0.26 ) ×10 -15, 两者符合得很好。

水星近日进动 水星近日点的进动(旋进)
金星 椭圆轨道
位矢

太阳
地球

水星
近日点

天文观测早已发现,水星相继两次通过近日点时,其位矢扫过的角度大于 2p,总观 测值为每百年前移 5600.73″。按牛顿力学关于行星的摄动理论及岁差等因素,可以算出 引起该项进动的理论值应为每百年 5557.62″, 这比观测值少了 43.11″。由于此差值之大 已是观测精度的数百倍,故引起学术界的高度重视。 爱因斯坦指出,对此问题必须考虑太阳近旁的时空弯曲效应,从而算出水星的进动每 百年 还应再加上 43.03″,这与实测结果每百年差 43.11″±0.45″符合得很好。





黑洞
恒星 黑洞
天鹅座X-1 双星系 X射线源 (其中的黑洞约为太阳质量的九倍)

广义相对论预言,质量极大的天体,其引力可使时空发生极度弯曲,甚 至在天体周围形成一个光波既不能发射又不能反射的区域,称为 “ 黑洞 ”。

天体物理学研究表明,质量大于 3.2倍太阳质量的天体,其引力大到连光 子(光子具有动质量)也不能逃脱,可以形成黑洞。黑洞强力吸引相邻恒 星的表面物质,可形成高速质量流和带电粒子流,从而激发出X射线。 最 早被推断为包含有一个黑洞的双星系是X射线源天鹅座X-1 。目前,通过地 面和卫星观测,已发现了大量可认为含有黑洞的双星系及多星系X射线源。

黑洞新证据
据美联社 2 0 0 4
年 2月19 日报道,欧 洲和美国天文学家宣 布,他们借助 X 射 线太空望远镜,在一 个距地球大约 7 亿光 年的星系中观测到了 这一强大的 X 射线爆 发是黑洞撕裂恒星的 确凿证据。

据天文学家的描
“RX-J1242-11”的星 系中央地带观测到了 这场“生死决斗”。 黑

洞的质量约为太阳

耀眼的 X 射线爆发。 述 , 他 们 在 代 号 为

质量的一亿倍,而
该恒星与太阳的质 量差不多。
摘自《人民日报》

真空中的静电场

本章内容

Contents

chapter 6

electric potential energy electric potential

第一节

6-1

电荷守恒定律

真空库仑定律

续库仑定律

第二节

6-2

电场强度

随堂小议 请在放映状态下点击你认为是对的答案
电场强度 的物理意义表明

(1) E 与 q 成反比,因为 公式中 q0 出现在分母上。 (2) E 与 q 无关,因为分 子 F 中含有 q 因子。
结束选择

小议链接1 请在放映状态下点击你认为是对的答案
电场强度

的物理意义表明

(1) E 与 q 成反比,因为 公式中 q0 出现在分母上。 (2) E 与 q 无关,因为分 子 F 中含有 q 因子。
结束选择

小议链接2 请在放映状态下点击你认为是对的答案
电场强度

的物理意义表明

(1) E 与 q 成反比,因为 公式中 q0 出现在分母上。 (2) E 与 q 无关,因为分 子 F 中含有 q 因子。
结束选择

点电荷的场强

点电荷系场强

电偶极子场强

带电体的场强

带电直线场强

续16

续17

带电平面场强

带电平的场强

续19

两个常用公式

带电圆环场强

续22

带电圆环场强

带电圆盘场强

带电球面场强

续25

带电球面场强

电场线 6-3

电通量

续28

凡例

特例引入下节

高斯定理

续32

续33

续28

请在放映状态下点击你认为是对的答案

随堂小议

若通过一闭合曲面的 通量为零, 则此闭合曲面上的 一定是

(1)为零,也可能不为零; (2)处处为零。
结束选择

小议链接 1 请在放映状态下点击你认为是对的答案
若通过一闭合曲面的 通量为零, 则此闭合曲面上的 一定是

(1)为零,也可能不为零; (2)处处为零。
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小议链接 2 请在放映状态下点击你认为是对的答案
若通过一闭合曲面的 通量为零, 则此闭合曲面上的 一定是

(1)为零,也可能不为零; (2)处处为零。
结束选择

应用:直线

应用:平面

34推广

应用:球面

续41

应用:球体

比较结果

静电保守力
6-4
electric potential energy

续45

点电荷系

续47

保守力小结

环路定理

电势能

续51

点电荷例

电势 6-4
electric potential

电势差

叠加原理

续56

简例

请在放映状态下点击你认为是对的答案

随堂小议

关于电势的概念下列说法中正确的是

(1)场强为零的地方, 电势必定为零;
(2)场强相等的地方, 电势必定相等;

(3)带正电的物体其 电一定是正的;
(4)以上结论都不对。
结束选择

小议链接 1 请在放映状态下点击你认为是对的答案
关于电势的概念下列说法中正确的是

(1)场强为零的地方, 电势必定为零;
(2)场强相等的地方, 电势必定相等;

(3)带正电的物体其 电一定是正的;
(4)以上结论都不对。
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关于电势的概念下列说法中正确的是

(1)场强为零的地方, 电势必定为零;
(2)场强相等的地方, 电势必定相等; (3)带正电的物体其 电一定是正的; (4)以上结论都不对。
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关于电势的概念下列说法中正确的是

(1)场强为零的地方, 电势必定为零;
(2)场强相等的地方, 电势必定相等; (3)带正电的物体其 电一定是正的; (4)以上结论都不对。
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小议链接 4 请在放映状态下点击你认为是对的答案
关于电势的概念下列说法中正确的是

(1)场强为零的地方, 电势必定为零;
(2)场强相等的地方, 电势必定相等; (3)带正电的物体其 电一定是正的; (4)以上结论都不对。
结束选择

电势计算法

带电环双例

带电薄圆盘

带电薄球壳

带电平行线

带电平行板

同轴带电柱

同轴带电环

等势面

点电荷势场

电偶极势场

电容器势场

电导块势场

综合势场图

场势微分式

续78

电势梯度

由V求E例题

导体与电介质

本章内容 Contents
电场与导体的相互作用

chapter 7

interaction of electrostatic field with conductor
capacity

电容
静电场与介质的相互作用

interaction of electrostatic field with dielectric

介质中的高斯定理

Gauss theorem in dielectric

电场的能量
energy of electric field

导体静电感应

interaction of electrostatic field with conductor

导体静电平衡

静电平衡条件

实心导体

空腔无荷导体

空腔有荷导体

静电屏蔽

平衡导体近场

近场公式证明

凡例

电容

capacity

孤立导体电容

电容器电容

平行板电容器

圆柱形电容器

电介质

interaction of electrostatic field with dielectric

位移极化

转向极化

附加场强

相对电容率

束缚电荷密度

例题

电介质的击穿

1.0005 3.5 4.5 5.7 6.8 3.7 7.5 5.0 7.6 5.0 10

3 16 14 6 20 80 200 10 20 10 15

介质高斯定理

Gauss theorem in dielectric

电位移矢量D

介质高斯定理

介质高斯例一

介质高斯例二

介质环路定理

电场能量

energy of electric field

电场能量密度

推广

电场能量例题

随堂小议 请在放映状态下点击你认为是对的答案
如图金属球 A 与同心球壳 B 组成电容器,球 A 带电荷 q 球壳 B 带电荷 Q,测得球与球壳的电 势差为,则电容器的电容值为 q ( 1) VAB q+Q ( 3) VAB
Q
q B A O

Q ( 2) VAB

q+Q ( 4) 2VAB
结束选择

请在放映状态下点击你认为是对的答案 小议链接1 如图金属球 A 与同心球壳 B 组成电容器,球 A 带电荷 q 球壳 B 带电荷 Q,测得球与球壳的电 势差为,则电容器的电容值为 8 ( 1) VAB 8+Q ( 3) VAB
Q
q B A O

Q ( 2) VAB

8+Q ( 4) 2VAB
结束选择

请在放映状态下点击你认为是对的答案

小议链接 如图金属球 A 与同心球壳2 B 组成电容器,球 A 带电荷 q 球壳 B 带电荷 Q,测得球与球壳的电 势差为,则电容器的电容值为
8 ( 1) VAB 8+Q ( 3) VAB

Q
q B A O

Q ( 2) VAB

8+Q ( 4) 2VAB
结束选择

请在放映状态下点击你认为是对的答案 小议链接3 如图金属球 A 与同心球壳 B 组成电容器,球 A 带电荷 q 球壳 B 带电荷 Q,测得球与球壳的电 势差为,则电容器的电容值为 8 ( 1) VAB 8+Q ( 3) VAB
Q
q B A O

Q ( 2) VAB

8+Q ( 4) 2VAB
结束选择

请在放映状态下点击你认为是对的答案 小议链接4 如图金属球 A 与同心球壳 B 组成电容器,球 A 带电荷 q 球壳 B 带电荷 Q,测得球与球壳的电 势差为,则电容器的电容值为 8 ( 1) VAB 8+Q ( 3) VAB
Q
q B A O

Q ( 2) VAB

8+Q ( 4) 2VAB
结束选择

恒定电场

本章内容
Contents
电流密度 current density 恒定电流与电动势 steady current and electromotive force
chapter 8

引言

第一节电流密度

current density

例题

微分式欧姆定律

定律浅释

续6

第二节恒定电流

steady current and electromotive force

恒定电流

恒定电场

性质比较

一铜棒长 2m,两端电压 50mv,设 随堂练习 铜棒电阻率 1.6×10 – 8 Ωm 电流密度 j
欲求 j ,宜先用欧姆定律求电阻.设棒横截面积为 S ,

电阻
电流密度

电流

50×10 – 3 1.6×10 – 8 × 2

1.56×10 6 A· m-2



电动势

非静电力

电源的电动势

续15

续16

随堂小议 请在放映状态下点击你认为是对的答案
关于电动势的概念,下列说法正确的是
(1)电源两端的电势差;
( 2 )将单位正电荷从电源内部的正 极移动到负极时静电场力做的功 ( 3 )将单位正电荷绕闭合回路移 动一周时非静电场力做的功

(4)以上说法都不是
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关于电动势的概念,下列说法正确的是
(1)电源两端的电势差; ( 2 )将单位正电荷从电源内部的正 极移动到负极时静电场力做的功

( 3 )将单位正电荷绕闭合回路移 动一周时非静电场力做的功
(4)以上说法都不是
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关于电动势的概念,下列说法正确的是
(1)电源两端的电势差; ( 2 )将单位正电荷从电源内部的正 极移动到负极时静电场力做的功

( 3 )将单位正电荷绕闭合回路移 动一周时非静电场力做的功
(4)以上说法都不是
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关于电动势的概念,下列说法正确的是
(1)电源两端的电势差; ( 2 )将单位正电荷从电源内部的正 极移动到负极时静电场力做的功

( 3 )将单位正电荷绕闭合回路移 动一周时非静电场力做的功
(4)以上说法都不是
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关于电动势的概念,下列说法正确的是
(1)电源两端的电势差; ( 2 )将单位正电荷从电源内部的正 极移动到负极时静电场力做的功

( 3 )将单位正电荷绕闭合回路移 动一周时非静电场力做的功
(4)以上说法都不是
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Chapter 10 action of magnetic field on the current

磁场对电流的作用

本章内容 Contents

chapter 10

磁场对电流元的作用 action of magnetic field on the current element 磁场对截流线圈的作用 action of magnetic field with current loop 洛伦兹力与霍耳效应 Lorenz force and Hall effect 带电粒子在电场和磁场中的运动 movement of charged particle in electric and magnetic field

第一节

action of magnetic field
on the current element

安培定律
电流元 受的作用力

在磁场



(安培力)

长度为 的载流导线 在磁场中受的安培力 若载流导线各电流元 受力同向,合力大小

求下图载流直导线所受的安培力
均匀磁场

例一

方向 当 当 或 时, 时, 极大, max

例二 求下图半圆电流所受的安培力
匀强
任一电流元均与 正交

故,合力

方向沿Y轴正向

载流导线间的作用

续5(动)

续6(动)

两无限长直电流作用 无限长载流直导线

第二节

action of magnetic field with current loop

磁场对载流线圈作用

续9

载流线圈受磁力矩

侧视图

其中载流线圈的磁矩

俯视图
载流线圈的单位法线

稳定平衡

稳定、非稳定平衡

非稳定平衡



同向



反向

求下图载流线圈所受的安培力及对Y轴的磁力矩

例三

匀强

载流线圈法线 与 ,线圈面积

正交

得载流线圈所受磁力矩

磁力的功

磁力

的功

磁力矩的功

第三节

Lorenz force and Hall effect

洛仑兹力

电场中的载流子

霍耳效应

续17

霍耳效应测磁场

测载流子密度

周期

半径与周期

质谱仪

质谱仪原理

偏转

偏转

螺线

续24

螺距

例四

磁约束

磁约束

磁流体发电

AMS磁谱仪

续32
同上 同上

续33
同上

第四节

movement of charged particle in electric

and magnetic field

电磁合力

速度选择器

磁场与介质相互作用

本章内容

Contents

chapter 11

磁介质的磁化 magnetization of magnetic medium

磁介质中的安培环路定理 Ampere circuital theorem in magnetic medium
铁磁质 ferromagnetic

第一节

magnetization of magnetic medium

介质的磁化、磁导率

磁介质的分类



顺磁质磁化微观机制

抗磁质磁化微观机制

磁化电流

第二节

Ampere circuital theorem in magnetic medium

磁介质安培环路定理

续7

例题

磁介质中的高斯定理

第三节

ferromagnetic

铁磁质的磁滞现象

磁滞回线

常见的铁磁材料

铁磁质磁化微观机制

续14

各磁 畴磁化 方向混 乱,整 体不显 磁性.

磁畴的自发磁化 方向与外场方向相 同或相近的磁畴体 积扩大,反之缩小. 磁畴壁发生运动.

磁畴的 自发磁 化方向 转向外 场方向.

全部 磁畴方 向均转 向外场 方向.

铁磁质的居里点

电磁感应

本章内容 Contents

chapter 12

电磁感应的基本定律 fundamental Law of electromagnetic induction 动生电动势与感生电动势 motional electromotive force and induced electromotive force 自感与互感 self induction and multual induction 磁场的能量 energy of magnetic field

第一节

fundamental Law of electromagnetic induction

电磁感应现象

楞次定律

续3

法拉第电磁感应定律

感应电流与感应电量

例1

思考

例2

例3

从现象到原因

第二节

motional electromotive force and

induced electromotive force

动生电动势

洛仑兹力解释

例4

例5

例6

例7

感生电动势

感生电场

例8

例9

例10

例11

第三节

self induction and multual induction

自感 自感电动势

例12

例13

互感

互感电动势

例14

例15

例16

第四节

energy of magnetic field

磁场能量

续32

例17

电磁场的基本方程

本章内容
Contents
位移电流 displacement current
chapter 13

麦克斯韦方程的积分形式
integral form of Maxwell equations

第一节

displacement current

引言

位移电流

全电流

全电流安培环路定理

例题

第二节

integral form of Maxwell equations

麦氏方程组积分形式

对方程组的解释

方程组再现

历史意义

气体分子动理论

本章内容 Contents
平衡态 概率 统计平均值 气体压强与温度的统计意义

chapter 14

equilibrium state , probabiility, statical mean quantity statical meanning of gas pressure and temperature

玻耳兹曼分布律

Boltzmann distribution maxwell speed distribution

麦克斯韦速率分布律 气体分子的平均自由程
mean free path of gas molecular

平衡态 平衡态 概率 统计平均值
一气体系统若不受外界影响(无物质 和能量交换)或只受恒定的外力场作用 的条件下,气体系统的宏观特性(如温 度、压强等)长时间不随时间改变的状 态称为平衡态。 处于平衡态中的气体,其分子仍不停 作热运动,但其总体平均效果不随时间 改变,是一种动态平衡。

物态参量 不受(或忽略)恒定外力场作用时, 平衡态气体各部分的宏观性质是均匀的; 只受恒定外力场作用时,平衡态气体的 密度并不均匀。但这两种情况下气体的 宏观性质都不随时间变化。
本章除玻耳兹曼分布一节考虑恒定重力场作用 外,均忽略恒定外力场的作用。

描述平衡态的参量称为物态参量或态 参量。如体积、压强、温度等。

微观与宏观量
热现象与物质的分子运动密切相关。大量 分子的无规则运动称为分子的热运动。
气体的微观量
描述单个分子特征的量(大小、质量和速度等)。

单个气体分子的运动具有偶然性和随机性。

气体的宏观量
表征大量分子宏观特征的量(体积、压强和温度等)。 大量分子运动的集体表现具有统计规律性。

气体的宏观量是大量分子行为的统计平均表现

物态参量之间所满足的关系式称为物态方程 物态方程

理想气体的物态方程:
气体的压强 单位: 帕 单位: 立方米

气体的体积
气体的质量

气体的热力学温度

单位: 开

单位: 千克

气体的摩尔质量 单位: 千克 摩尔 气体常数


mol

8.31 J mol

K
10 Pa

1标准大气压(1atm)=1.103

热力学温度

=(摄氏温度t +273.15)

续上 理想气体的物态方程:
对一定量(mol)的气体
三者只要给定 两个就确定了一个平衡态

图中的一点 代表一个平衡态
若气体受外界影响,某平衡态被 破坏,变为非平衡态。物态随时间 而变化称为过程。
图不能表示非平衡态,也不能表示这种非 平衡情况下的动态变化过程。

准静态过程 准静 态过程
若经历非平衡过程后可以 过渡到一个新的平衡态,此 过程称为弛豫,所需时间称 为弛豫时间。 若过程进行得充分缓慢, 使过程中的某一状态到相邻 状态的时间比弛豫时间大得 多,则每一中间态都可近似 地看作平衡态。这样的过程 称为准静态过程。 图中的过程曲线, 都是准静态过程曲线。 平衡态

准静态过程

平衡态

概率
概率

概率 统计平均值

在所有可能发生的事件中,某种事件发生可能性 (或相对机会)的大小。 在很多次的试验中 事件X出现的次数 试验总次数 若可能事件有 种 试验总次数

概率定义式
某事件X 出现的概率

归一化条件

则 种可能事件发生的总次数

各种可能事件的概率之和等于1。称为概率的归一化条件。

概率密度函数

若表示事X的量 可连续变化(例如在某些随机因素影 响下,多次测量某电机的转速可能在某一范围内变化)。
事件出现在 内的概率 与 的位置和 的大小有关 称概率密度或概率密度函数 在 附近单位间 隔内出现的概率

概率密度函数

若函数

的形式已知



等概率假设
在气体动理论中经常用到一些等概率假设,如假设处于 平衡态的气体,每个分子出现在容器内任何一点处的概率 相等;每个分子朝各个方向运动的概率相等(如在直角坐 标中,分子速度的三个分量的各种统计平均值相等)等。

统计平均值
测量值 …

对某量 出现次数 …

进行

次测量,

测量值乘 以出现次数 ……

的统计平均值
… …



值可连续变化



连续变量的平均值等于该量与概率密度函数乘积的积分。

气体微观模型 气体的压强与温度的统计意义
一、理想气体的微观模型
气体分子的大小与分子间的平均距离相 比可以忽略。 分子除碰撞瞬间外,无其它相互作用。

碰撞视为完全弹性碰撞。
这是由气体的共性抽象出来的一个理想 模型。在压力不太大、温度不太低时,与 实际情况附合得很好。

理想气体压强 二、理想气体的压强公式
推导思路 宏观:器壁单位面积所受的压力

微观:大量气体分子频繁碰撞器壁对器壁单位面积的平均冲力
标准状态下 气体的分子数密度 的数量级为 个 个

要考虑分子速度 (大小及方向) 不同的因素

考虑单位时间作 用在单位面积上 的冲量就是压强

亦即

其数量之多已 能很好满足微 观统计的要求

对各种不同速 度间隔的分子 碰壁冲量求和

运用统计平均 值及平衡态概 念得到压强与 微观量的关系

容器盛同种气体,分子质量
射向器壁面元 速度为

压强公式推导 ,居平衡态

的某分子束碰壁后反射

的某分子弹碰中的动量变化为

光 滑 器 壁

反X向 (不与法向平行的速度分量,其相应的动量无变化)

在 时间内,入射分子束斜园柱体的 体积 中速度基本为 其 的分子,都能碰撞器壁一次。 若气体中速度基本为 的分子数密度为 则该组分子与 碰撞而发生的动量变化为

容器盛同种气体,分子质量 ,居平衡态 气体中速度基本为 的分子数密度为 该组分子与 射向器壁面元 碰撞而发生的动量变化为 的某分子束碰壁后反射
速度为 的某分子弹碰中的动量变化为
反X向 (不与法向平行的速度分量,其相应的动量无变化)

续上

光 滑 器 壁

将上式对平衡态气体中从各个不同方 向、以不同速度射向 的各组分子 在 时间内,入射分子束斜园柱体的 求和,其总动量变化为 体积 中速度基本为 其 的分子,都能碰撞器壁一次。
此式包含


(负射向分量)

的分子。只有 的分子才能与 相碰。 若气体中速度基本为 的分子数密度为 因平衡态中两者各占一半,故 则该组分子与 碰撞而发生的动量变化为 能与 碰撞的所有分子的总动量变化为

能与 碰撞的所有分子的总动量变化为 气体中速度基本为 的分子数密度为 该组分子与 碰撞而发生的动量变化为

续上

光 滑 器 壁

容器中气 将上式对平衡态气体中从各个不同方 体总体的分 的 统计平均值 向、以不同速度射向 的各组分子 子数密度

求和,其总动量变化为 得

此式包含 分子受器壁 和 作用的平均冲力为 (负射向分量) 应用动量定理, 的分子。只有 的分子才能与 相碰。
壁对气

因平衡态中两者各占一半,故

器壁 受气体分子作用的平均冲力 能与 碰撞的所有分子的总动量变化为
气对壁 壁对气

器壁 碰撞的所有分子的总动量变化为 受气体分子作用的平均冲力 能与
气对壁 壁对气

续上

由于分子向 X、Y、Z方向运动概率相等
可推知 容器中气 又因 体总体的分 子数密度 则

光 滑 器 壁

的 统计平均值

得 得

气对壁

由此推得:

分子受器壁 作用的平均冲力为 应用动量定理,
壁对气 气对壁

理想气体的压强公式

器壁 受气体分子作用的平均冲力 定义 为大量 气体分子的平均平动动能
气对壁 壁对气

压强统计意义 三、理想气体压强的统计意义
理想气体的压强公式
气对壁

定义

为大量 气体分子的平均平动动能

气体的宏观量压强,是大量气体分子作用于器壁的平均冲 力,由微观量的统计平均值 和 决定。 理想气体压强公式是反应大量分子行为的一种统计规律, 并非力学定律,只对个别分子而言,气体压强没有意义。
注: 推导过程中的 在宏观上很小,但在微观上相对于分子的大小 和 和作用时间应当足够大,保证在 时间内有大量分子与 发生 碰撞。 平衡态中同种气体的分子全同,其出现位臵和各向运动概率相等,这已 包含了分子之间相互碰撞因素的一种动平衡,推导中不必考虑此类碰撞。

气体温度公式 气体温度的统计意义
理想气体 物态方程 可用另一形式表达

其中

分子质量 总分子数 阿伏伽德罗常数 分子数密度
玻耳兹曼常数


理想气体 压强公式

理想气体的

温度公式
气体分子的平均平动动能

注:

阿伏伽德罗常数 玻耳兹曼常数

6.02 10 23 mol 1 23 1.38 10 J K 1

气 体 温 度 的

温度的统计意义 理想气体的
温度公式
气体分子的平均平动动能

统计意义
气体的热力学温度

与 气体分子的平均平动动能

成正比。

气体的热力学温度可看作是对分子热运动剧 烈程度的量度。 气体的温度是大量分子热运动的集体表现, 离开大量分子,温度失去意义。 具有统计意义。

某氧器瓶内,氧气的压强 温度

凡例

1.00 atm ;分子数密度

27 C

视为理想气体,平衡态

氧分子的平均平动动能



3 2 6.21 10

3 2 1.38 10
21

23

27+273

J

由 3 2
(1atm)=1.103 10 Pa
1标准大气压

2 3 3 1.103 10 2 6.21 10 21
25

5

2.66 10



一个电子经过1伏特电势差加速后所获的

动能为1电子伏特(1ev) = 1.602 10 J 如果某理想气体系统的分子平均平动动能要达到1ev,
其温度将会有多高? 由

虚设联想 19

太阳表面温度

K
标准状态下(0 C,1atm)理想气体的 分子平均平动动能 分子数密度

C

5490 C 难以实现

3.53 10 2 ev 2.92 10 25 个 m

3

玻耳兹曼分布 玻耳兹曼分布律

数学表达

麦氏速率分布 麦克斯韦速率分布律
处于平衡态的气体,其分子沿各向运动的机会均 等,这并非意味着每个分子的运动速率完全相同, 而是大量不同运动速度(大小和方向)的分子,在 一定条件下所形成的一种热动平衡状态。
麦克斯韦速率分布律,是表示气体处于热平衡时, 气体的分子数按速度大小(速率)分布的规律。

首先引用一种简明的实验方法,说明气体的分子 数按速率分布的客观规律性:

实验动态示意 麦氏速率分布实验

麦氏分布实验

速率分布含义

速率分布函数 (速率 附近单位间隔内 的分子数与总分子数之比)

到 + 速率间隔内的分子数 处于

总分 子数

分布曲线

速率分布函数

p p
玻耳兹曼常数, 若m、T 给定, 函数的形式可概括为
曲线

快减

快增

速率分布曲线 有单峰,不对称

两者相乘

速率

恒取正

归一化条件
对分子质量为m 、热力学温度为T 、处于平衡态的气体 速率在 到 区间内的分子数 与总 分子数 之比

若将速率区间扩展至 到
即具有一切可能速率的分 子数与总分子数之比应为

最概然速率

与此函数的极大值对应的速率
令 即

称为最概然速率
易得







不同条件比较

(或 用

) 进行比较

相同

相同

麦克斯韦速率分布律应用举例 平均速率
在讨论气体分子平均自由程问题时涉及到分子的算术平均 速率概念;在讨论平均平动动能时涉及到方均根速率概念。 麦克斯韦速率分布函数就是计算此类速率的概率密度函数。

平均速率(算术平均速率)
根据某连续变量 x 的平均值等于该 量与概率密度函数乘积的积分的定义。

注意到

类似

也有 或

方均根速率 方均根速率 ( 的统计平均值的开平方)
即 作为参与统计平均的连续变量


注意到



回忆 联系
类似
也有



速率小结

特征速率例题 氧气摩尔质量 3.20 10
温度

mol

27 C

处于平衡态


气体分子的

27

273

300 ( k )

394 ( m s ) 447 ( m s ) 483 ( m s )

归一化例题

假设有大量的某种粒子,总数目为N,其速率分布函数为

均为正常数,且

为已知

画出该速率分布函数曲线 根据概率分布函数应满足的基本条件,确定系数 求速率在 区间的粒子数
抛物线方程

+

Max

假设有大量的某种粒子,总数目为N,其速率分布函数为

续上概率分布函数应满足 归一化条件
本题

均为正常数,且

为已知

画出该速率分布函数曲线 根据概率分布函数应满足的基本条件,确定系数 求速率在 区间的粒子数

要求

抛物线方程

+

Max



速率在 区间的粒子数 得

随堂小议 请在放映状态下点击你认为是对的答案
f (v)

① ②

o
则代表氧的分布函数曲线为

v

(1)曲线 ①

(2)曲线 ②

结束选择

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f (v)

① ②

o
则代表氧的分布函数曲线为

v

(1)曲线 ①

(2)曲线 ②

结束选择

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f (v)

① ②

o
则代表氧的分布函数曲线为

v

(1)曲线 ①

(2)曲线 ②

结束选择

分子平均动能
理想气体

压强 公式 温度 公式

气体分子的平均 平动动能

只是气体分子运动能量的一部分在某方面产生的统计平均效果

如果将原子看成质点,将分子看成是原子的 刚性连接体(刚性分子),则分子的动能除平 动动能外,对于双原子分子和多原子分子还有 转动动能。

分子平均动能的计算,涉及自由度概念:

独立坐标的数目(

确定某物体空间位臵所需的 自由度 ),称为该物体的自由度数。

单原子分子
平动自由度

双原子分子
平动自由度
转动自由度

三及多原子分子
平动自由度 转动自由度

能量均分定理
理想气体,平衡态,分子平均平动动能 因 故

每个平动自由度的平均平动动能均为
将等概率假设推广到转动动能,每个转动自由度的 转动能量相等,而且亦均等于

(能量按自由度均分定理)

在温度为 的平衡态下,气体分子的每一 个自由度,都平均地具有 的动能。

(能量按自由度均分定理) 分子平均动能

在温度为 的平衡态下,气体分子的每一 个自由度,都平均地具有 的动能。 理想气体,平衡态,分子平均平动动能

因 处于平衡态温度为 的理想气体,若将气体分子看作刚 故 性分子,如果分子有 个平动自由度, 个转动自由度,则

每个平动自由度的平均平动动能均为

将等概率假设推广到转动动能,每个转动自由度的 分 子 转动能量相等,而且亦均等于

(能量按自由度均分定理)

动动能,按一定的原则确定振动自由度。(略)

在温度为 的平衡态下,气体分子的每一 若将分子看作非刚性分子,还要考虑分子的振 个自由度,都平均地具有 的动能。

理想气体处于平衡态时,证明气 体分子的平均动能 是平均平动 动能 的 倍。
简例

气体分子平均动能的含义 气体温度的统计意义

本题是为了帮助理解



成正比的原因。

理想气体内能
某一定量理想气体的内能 分子的平均动能之和。
分子的平均动能

组成气体的全部

mol 气体有

个分子 (阿伏伽德罗常数)
mol

mol 理想气体的内能
理想气体

mol 理想气体的内能

理想气体

内能算例
mol 理想气体的内能

平均自由程
热运动分子之间 频繁碰撞 分子的运动路径 曲折复杂

碰撞时两 分子质心距 离的平均值 称为分子的 有效直径

碰撞时两分子质心距离的平均值称为

碰撞频率 分子的有效直径
碰撞频率

分子在单位时间内与其它分子的平均碰撞次数称

热运动分子之间 碰撞频率的倒数为 相邻两次碰撞时间 频繁碰撞 分子在与其它分子的相邻两次碰撞之间所经历路程的平均值为 分子的运动路径 平均自由程 曲折复杂

碰撞时两 为分子的平均速率 分子质心距 可联系 离的平均值 称为分子的 有效直径 进行估算

碰撞时两分子质心距离的平均值称为 分子的有效直径 若能找出 与 的关系,则 分子在单位时间内与其它分子的平均碰撞次数称 碰撞频率的倒数为 设气体分子数密度 相邻两次碰撞时间

平均自由程

自由程推导

设分子 的碰撞路径ABCD长度

碰撞频率

可求

质心在半径为 、长度为 的圆柱 分子在与其它分子的相邻两次碰撞之间所经历路程的平均值为 则柱内分子数为 体内的分子都会与 相碰。

平均自由程
平均碰撞频率
为分子的平均速率
其中可联系 称为碰撞截面 但其它分子也在运动 进行估算 要作相对速率修正
先假设其它分子静止

平均自由程

自由程算式 平均碰撞频率
相对速率修正
证明略



恒定



随堂小议 请在放映状态下点击你认为是对的答案

( 1)
( 2)

v = 4 v0 , Z = 2Z0 , λ = λ0
v = 2 v0 , Z = 2Z0 , λ = λ0
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v = 2 v0 , Z = 2Z0 , λ = λ0
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热力学第一定律

本章内容

Contents

chapter 15

热力学第一定律 first law of thermodynamics 热力学第一定律对理想气体的应用 application of first law of thermodynamics to ideal gas 循环过程 卡诺循环 cycle Carnot cycle

第一节 引言
热力学是研究物质世界中有关热现象的宏观 理论,它不涉及物质的微观结构,而是将一物质 15 - 1 系统中大量粒子看作一个整体,研究系统所表现 的各种宏观性质和规律。 热力学第一定律是热力学的基本定律,是一个 first law of thermodynamics 包括热现象在内的能量守恒与转化的定律。 热力学第一定律首先涉及到

内能



热量

的基本概念

内能
广义上的内能,是指某物体系统由其内部状态所决定的能量。

某给定理想气体系统的内能,是组成该气体系统的全部 分子的动能之和,其值为 决定,内能 ,是状态参量 ,由状态参量 的单值函数。

真实气体的内能除了其全体分子的动能外还包括分子之间 的引力势能。实验证明人,真实气体的内能,是状态参量 和 (或 )的函数,即 或 。

总之,某给定气体系统的内能。只由该系统的状态所决定, 在热力学中内能是一个重要的状态量。

活塞面积



气体系统体积变化过程 所做的功(体积功)
元功
气体膨胀 气体被压缩 系统对外做正功 系统对外做负功

气体压强

体积从

变到

系统所做的功

沿 a c b 过程的功

沿 a d b 过程的功

系统通过体积变化实现作功。 热力学中的功是与系统始末状 态和过程都有关的一种过程量。

与 过 程 有 关

热量 热量是系统与外界仅由于 温度不同而传递的能量。
质量 比热 吸收热量 温度升高

M c dQ dT



系统由温度 T1 变到温度 T2 的过程中所吸收的热量



系统吸收的热量为正 若计算结果 则表示系统放热。

若改用摩尔热容 即1mol的物质温度升 高1K时所吸收的热量 则

热量必须与过程相联系,只有发生 过程才有吸收或放出热量可言。 系统从某一状态变到另一状态,若其 过程不同,则吸或放的热量也会不同。 故

热量也是过程量

实质
内能 功
状态量 是构成系统的全部分子 的平均能量之和。 是系统的宏观有序机械 运动与系统内大量分子无 规热运动的相互转化过程。 是外界物质分子无规热 运动与系统内物质分子无 规热运动的相互转化过程。
的国际标准单位都是 焦耳 ( J )

过程量

热量

过程量

内能 功 热量

热力学第一定律

热力学第一定律是包括热现象在内的能量守恒与 转化定律的一种表达形式。 该定律的另一种通俗表述是:第一类永动机是不 可能造成的。
第一类永动机是指能不断对外作功而又不需消耗任何形式的能 量、或消耗较少的能量却能得到更多的机械功的机器。

微过程表达式

对于一个无限小的过程,热力学第一定律可写成 热力学第一定律是包括热现象在内的能量守恒与 转化定律的一种表达形式。 式中各量均为代数量,有正有负 该定律的另一种通俗表述是:第一类永动机是不 或 为正,放出热量则为负 系统吸收热量, 可能造成的。 或 为正,内能减少则为负 系统内能增加, 或 为正,外界对系统作功则为负 系统对外作功, 第一类永动机是指能不断对外作功而又不需消耗任何形式的能
量、或消耗较少的能量却能得到更多的机械功的机器。

式中各量的单位制必须统一。

系统从平衡态a 功400J;然后从b态
从b态

平衡态b,吸收热量500J,对外作 回到a态,向外放出热量300J。

凡例

回到a态的过程中,系统内能的变化及对外作的功。

过程 500 400 过程 100 (J) 100 300 200 (J) 外界向系统作功

100 (J)

第二节 等体过程
理想气体的物态方程 理想气体的内能

系统保持体积
过程方程

不变 常量


15 - 2
等V过程系统吸收的热量为

application of first law
其中 等体升压过程所吸收的热量 全部用于增加系统的内能

of thermodynamics to ideal gas

称为定体摩尔热容
本式也是计算 的普遍式

等压过程
理想气体的物态方程 理想气体的内能

系统保持压强 不变
过程方程

常量 故

等压膨胀过程所吸收的热量 一部分用于增加系统的内能 一部分用于对外界做功 常写成
其中 称为定压摩尔热容

定体摩尔热容
理想气体常用式

比热容比 (1mol气体在等体过程中

温度升高1K所吸收的热量)

定压摩尔热容
理想气体常用式

(1mol气体在等压过程中

温度升高1K所吸收的热量)

热力学中还常用到比热容比的概念:

比热容比
理想气体常用式

定压摩尔热容
定体摩尔热容

(定压、定体两种

比热之比或定压、定 体两种摩尔热容之比)

等体等压例题
等体

全过程系统吸收量热、 对外作功及内能变化

262.5 (K) 等压 210 (K) 1.75 10 (J) 外界对系统作功 1.75 10 (J) (J ) 内能减少 2.84 10 (J) 放热

1.09 10

等温过程
理想气体的物态方程 理想气体的内能

系统保持温度 不变
过程方程

常量

等温过程气体吸收的热量全部转化为对外作功。

绝热过程
理想气体的内能
理想气体的物态方程

系统不与外 界交换热量

在绝热过程中

全靠消耗系统自身的内能对外作功 1mol 理想气体绝热功的大小为 值也可由气体的 值及初末态的

值求得

理想气体的物态方程 对于绝热过程 无一恒定
绝热过程方程 过程曲线形态

绝热过程方程
及 理想气体准静态绝热过程

即 两边积分得 常量

由物态方程

得常用的绝热过程方程

常量
消去
其它形式 常量 常量

常量

绝热过程方程 常量 绝热线的斜率

绝热线 等温过程方程
常量 等温线的斜率
T Q

绝热线

等温线

其中
绝热线较陡的物理解释:
的因素只是 等温膨胀 不变,导致 共同因素外,还因消耗内能, 绝热膨胀 除

绝热线较陡
对同一 ,使
Q T

等温绝热例题
等温线 绝热线

20.8 J mol

K 1.4

绝热过程 等温过程 11.94 (K)

5.74 10 (J)

3.76 10 (J)

理想气体物态方程

等值及绝热归纳

过程 等 体 等 压

过程方程
常量

常量


常量

等 温 绝 热


常量



多方过程概念
理想气体物态方程 过程 等体、 等压、 等温 绝热 状态参量 分别不变

但过程量
都变




现在讨论
(多方) 都变

为常量 (含零及非零)时 的普遍情况


多方过程方程 理想气体的物态方程

联立消去


两边积分得 得多方过程方程 常量

(常数)

常量 称为多方指数

多方过程方程 常量
可写成 可以是非整数,给定一 个 对应着一个多方过程 等温、绝热、等压、等体 过程,是多方过程的特例
常量 常量

多方热功算式 称为多方指数
多方过程 系统 对外作功

等温过程
绝热过程 等压过程

内能变化

吸收热量

等体过程 介于等温与绝热之 间的过程

随堂小议 请在放映状态下点击你认为是对的答案
如图,a、b为 P-V 图中两平衡态的代表点,且 pa = pb,则

(1) Ea < Eb (2) Aab < 0
(3) Qab < 0 (4) 以上结论都不对
结束选择

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如图,a、b为 P-V 图中两平衡态的代表点,且 pa = pb,则

(1) Ea < Eb (2) Aab < 0
(3) Qab < 0 (4) 以上结论都不对
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(1) Ea < Eb (2) Aab < 0
(3) Qab < 0 (4) 以上结论都不对
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(1) Ea < Eb (2) Aab < 0
(3) Qab < 0 (4) 以上结论都不对
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循环过程
将热能不断转变为功的装臵称为热机。 热机中的工作物 质(工质、系统)所进行的热力学过程都是循环过程。

系统从某一状态出发经历 一系列变化后又回到了原态的整个变化过程。
循环过程 内能变化
循环曲线包围面积 代表系统作的净功 准静态循环过程

15-3

cycle 净 Carnot cycle
热机 致冷机

顺时针 正循环




系统对外作正功 外界对系统作功

逆时针 逆循环


循环热功转换
吸热膨胀 吸收热量

对外作功 放热压缩 放出热量 外界作功

绝 对 值

吸收的净热量

对外作的净功

循环过程





循环效率
热机的循环效率
工质对外作的净功 工质从高温热源吸收的热量

致冷机的致冷系数
工质从低温热源吸收的热量 外界对工质作的净功

卡诺循环
两个等温 过程构成的一种理想循环 两个绝热
高温热源

低温热源

卡诺循环分析
两个等温 过程构成的一种理想循环 两个绝热
等温膨胀 吸热量 高温热源

等温压缩 放热量 绝热膨胀 过程方程
绝热压缩 过程方程

低温热源 两式对比 得

回顾循环效率和热机效率的普遍定义

卡诺循环效率

高温热源

高温热源温度 越高, 低温热源温度 越低, 卡诺循环效率就越大。

低温热源

回顾逆循环效率和致冷机致冷系数的普遍定义

卡诺逆循环致冷

高温热源

致冷系数随着被致冷物体的温度变化 而变化。被致冷物体的温度 越低, 则卡诺逆循环的致冷系数越小。

低温热源

应用热机效率的一般概念, 导出四冲程火花塞点燃式气油发动机 的理想循环(奥托循环)效率 奥托

例题奥托循环 绝 热 点火等体吸热

吸 气 排 气 等体放热 绝热膨胀 压 缩

等体吸热 等体放热
奥托

主体 两个绝热 过程 两个等体

均为绝热过程,有
大气压

奥托

1mol
单原子理想气体循环如图
105pa

为吸热过程 随堂练习

800 (J)
10-3m-3

面积
循环一次的

100 (J)
证明 TaTc = TbTd





卡诺致冷机使1kg 0 C的水变成 0 C的冰,需作多少功?

致冷例题

环境温度 27 C 高温热源 27+273 = 300 (K)

10.1
1kg 0 C 的水变0 C的冰 需取出热量 3.35 10 3.35 10 (J) 外界需向致冷机作功

被致冷的 0 C 水变 0 C的冰 0 +273 = 273(K) 低温热源
冰的溶解热为 3.35

10 J kg

3.32 10 (J)

热力学第二定律

本章内容
Contents 热力学第二定律 second law of thermodynamics 熵 entropy
chapter 16

16-1

引言

违背热力学第一定律的过程都不可能发生。 不违背热力学第一定律的过程不一定都可以发生。 自然过程是按一定方向进行的。
高温 物体 低温 物体 高温 物体 低温 物体

Q
会自动发生

Q
不会自动发生

16-1

续上

违背热力学第一定律的过程都不可能发生。 不违背热力学第一定律的过程不一定都可以发生。 自然过程是按一定方向进行的。
气体自 由膨胀
高温 物体 低温 物体 高温 物体 低温 物体

Q
会自动发生 会自动发生

Q
不会自动发生 不会自动发生

气体自 动收缩

16-1

续上

违背热力学第一定律的过程都不可能发生。 不违背热力学第一定律的过程不一定都可以发生。 自然过程是按一定方向进行的。
气体自 功转变 由膨胀 成热量
会自动发生 会自动发生 不会自动发生 不会自动发生

气体自 热量自行 动收缩 转变成功

16-1

续上

违背热力学第一定律的过程都不可能发生。 不违背热力学第一定律的过程不一定都可以发生。 自然过程是按一定方向进行的。
热量不可能自动地由低温物体传向高温物体。 热量自行 功转变 气体的体积不可能自动地等温缩小。 转变成功 成热量 热量不可能在不引起其它变化的条件下而全部转变为功。

… …

会自动发生

不会自动发生

各种实际过程进行方向的规律性将用热力学第二定律来表述。

可逆与不可逆过程
一个热力学系统由 某一初态出发,经过 某一过程到达末态后, 如果还存在另一过程, 它能使系统和外界完 全复原(即系统回到 初态,又同时消除了 原过程对外界引起的 一切影响),则 原过程称为可逆过程。
可逆过程只是一种理想模型。 准静态过程可视为可逆过程。

一个热力学系统由 某一初态出发,经过 某一过程到达末态后, 如果不存在另一过程, 它能使系统和外界完 全复原,则原过程称 为不可逆过程。
由于摩擦等耗散因素的实际 存在,不可能使系统和外界完 全复原。因此有关热现象的实 际宏观过程和非准静态过程都 是不可逆过程。

定律的两种表述
不可能将热量从低温物体传 到高温物体而不引起其它变化(即热量不会自动 地从低温物体传到高温物体)。
外界需对系统作功,就属“其它变化”。此表述说明热传导过程的不可逆性。

不可能从单一热源吸取热量 并使它完全变为有用的功而不引起其它变化。
等温膨胀时系统体积增大亦属“其它变化”。此表述说明功变热过程的不可逆 性。 企图制造单一热源且 % 的热机称为第二类永动机。 它并不违背热力学第一定律,但违背热力学第二定律。 开尔文另一表述为:第二类永动机是不可能造成的。

表述的等价性
举一个反证例子: 假如热量可以自动地从低温热源传向 高温热源,就有可能从单一热源吸取热量使之全部变为有用 功而不引起其它变化。
高温热源
高温热源

假 想自 的动 传 热 装 臵

等价于
卡诺热机

低温热源
(但实际上是不可能的)

低温热源

热力学第二定律不但在两种表述上是等价的,而且它在 表明一切与热现象有关的实际宏观过程的不可逆性方面也是 等价的。历史上的两种表述只是一种代表性的表述。
用热力学第二定律证明绝热线与等温线不能相交于两点 若 图上绝热线与等温线相交于两点,

凡例

则可作一个由等温膨胀和绝热压 缩准静态过程组成的循环过程。 系统只从单一热源(等温过 程中接触的恒定热源)吸热 。 完成一个循环系统对外作的 净功为 ,并一切恢复原 状。这违背热力学第二定律的开 尔文表述,故绝热线与等温线不 能相交于两点。

等温线 绝热线

定律的统计意义
热力学第二定律说明热现象的实际宏观过程都是不可逆的。 这种不可逆性是分子的微观统计行为的一种表现。 以气体的自由膨胀为例
孤立容器用隔板等分成 两格

取消隔板,气体自由膨胀 每一个分子有两种可能的等 概率微观分布状态(在A或B) 四个可区分的分子出现 在A、B两半的可能分布方 式,即系统的微观分布状 态总数目是各分子微观态 数目的乘积 即 具体分析如下:

隔 板

中:四个理想气体分子 微观上可区分,宏观上不可区分。 中: 真空

续上
A B A B

1
4

1/16

4/16

6

6/16

4

4/16 1/16

共 16 种微观态

5 种宏观态

1

A

B

A

B

四个分子都集中到A(或B)的 续上 那种宏观态出现的概率最小。
1 4 1/16 4/16

实际热现象中的分子数

很大,

6

6/16

1mol气体中 6.02 10 23 个, 这些分子都自动集中到A(或B) 的概率只有 6.02 10 23

4 共 16 种微观态 5 种宏观态 1

4/16 1/16

10

2 10 23

有人计算过,概率这样小的事件 自宇宙存在以来都不会出现。

气体自由膨胀的不可逆性,从统计观点解释就是一个不 受外界影响的理想气体系统,其内部所发生的过程总是向着 大(或 大)的方向进行的。

的不可逆性,都可以用热力学概率的概念来解释。

统计结论 对于热传导、功热转换等热现象实际宏观过程

一切孤立系统内部所发生的过程,总

是由概率小(包含微观态数目少)的宏观
态向概率大(包含微观态数目多)的宏观 态方向进行的。

堂上小议 请在放映状态下点击你认为是对的答案
判断下列说法中哪一种是不正确的 (1)可逆过程一定是准静过程; (2)准静过程一定是可逆过程; (3)不可逆过程一定找不到另一个过 程使系统和外界完全复原; (4)非准静过程一定是不可逆过程。
结束选择

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16-2

玻耳兹曼熵公式

系统处于某一宏观态的热力学概率 (即该宏观态所含微观态的数目) 系统处于该宏观态时的熵
玻耳兹曼常量
熵的几个重要性质 熵是态函数 熵有可加性

熵是系统无序性的量度
分述如下:

熵的性质
熵是态函数 因 由系统的宏观态决定,故熵 是态函 数,其变化只与系统宏观态的变化有关,与具体过程无关。 熵是系统无序性大小的量度 A B A B

自由膨胀前 可以肯定某分子在A 比较有序

或 无序(混乱)程度小 此宏观态所含微观太数目 少 此宏观态所含微观太数目 多 大 此宏观态的熵 小 此宏观态的熵

自由膨胀后 不知某分子在A还是在B 比较无序 无序(混乱)程度大

熵的性质

续上
熵是态函数 因 由系统的宏观态决定,故熵 是态函 数,其变化只与系统宏观态的变化有关,与具体过程无关。 熵是系统无序性大小的量度 熵具有可加性 熵是系统无序性大小的量度 A B A B 两独立事件出现的总概率是这两个事件概率的乘积。因此, 若一个系统由两个独立的分系统A、B组成,对于某一宏观态, 合系统的热力学概率是两个分系统的热力学概率的乘积,即 。这种相乘关系在熵的表达式中变为相加关系 自由膨胀后 自由膨胀前 不知某分子在A还是在B 可以肯定某分子在A 合系统的熵 比较有序 比较无序 无序(混乱)程度大 或 无序(混乱)程度小

此宏观态所含微观太数目

是各分系统的熵之和 少 此宏观态所含微观太数目 多 大 此宏观态的熵 小 此宏观态的熵 上述几点性质使熵在许多领域得到广泛应用

熵增加原理

继续深入分析理想气体自由膨胀过程 A A B

B

自由膨胀前

系统特点:

自由膨胀后

孤立系统,与外界绝热并且无其它能量和物质交换。
气体向真空部分膨胀,整个系统没有对外作功。 绝热△Q=0,无功A=0,膨胀前后理想气体内能不变 理想气体自由膨胀过程是不可逆过程 自由膨胀过程中总是朝着热力学概率 朝着熵 增加的方向进行的,此过程的熵变 温度不变

大的方向进行,亦即

,通常表达为

孤立系统中的不可逆过程,其微过程的熵变

然而,在热力学中经常要用准静态过程的理论模型去研究问题,准 静态过程是可逆过程。孤立系统中可逆过程的熵变化又有何特点呢?

等温膨胀推熵变
分子数 N

例如: 分子数 N

理想气体等温膨胀

宏观态(T ,V1) 微观态数

W1

宏观态 (T ,V2) 微观态数

W2

此过程的熵变 可以证明

然而,在热力学中经常要用准静态过程的理论模型去研究问题,准 静态过程是可逆过程。孤立系统中可逆过程的熵变化又有何特点呢?

续上

例如: 分子数 N

理想气体等温膨胀
分子数 N

宏观态(T ,V1) 微观态数

W1

宏观态 (T ,V2) 微观态数

W2

此过程的熵变 可以证明
为便于理解假设 再假设膨胀后 则 可见 即




作二等分,

然而,在热力学中经常要用准静态过程的理论模型去研究问题,准 静态过程是可逆过程。孤立系统中可逆过程的熵变化又有何特点呢?

续上

例如: 分子数 N

理想气体等温膨胀
分子数 N

宏观态(T ,V1) 微观态数

W1

宏观态 (T ,V2) 微观态数

W2

此过程的熵变 可以证明
为便于理解假设 再假设膨胀后 其中 则 即






作二等分,



可见

将上述结果

等式两边乘以温度
这是热力学中讲过的等温 可逆过程系统吸收的热量

续上

故得
若系统在任意微小的等温可逆过程中吸收的热量为 则此微过程的熵变 根据热力学第一定律的微分形式
是计算热力学过程 中熵变的基本公式 熵和熵变的单位是 焦耳 · 开 – 1 ( J · K – 1 )

上述从等温可逆过程推出的熵变表达式 对于其它准静态过程(可逆过程)都成立。

熵增原理表达式

如果系统是孤立或绝热系统,则在它所发生的一切 可逆过程中 则 将上述可逆和前面讲过的不可逆种情况综合起来表达
不可逆过程 可逆过程 取 取

孤立(或绝热)系统内部所发生的过程不可逆时, 其熵增加;所发生的过程可逆时,其熵不变。
对于孤立(或绝热)系统整体,其熵有增无减。可见,熵与能量或 动量不同,它不遵守 “守恒定理”。 至于孤立(或绝热)系统内的个别物体,其熵则可能有增有减。但 对于孤立系统整体,其熵只能有增无减。 若讨论对象不能看成孤立或绝热系统,其熵并非只能有增无减,例 如,不把热源包括在内的理想气体可逆放热过程,其熵值减少。

熵判据
熵增加原理是热力学第二定律的熵表达
熵增加原理指出,孤立(或绝热)系统中不可逆过程 总是自发地向着熵增加的方向进行的,与热力学第二定律 的统计意义完全一致。从熵值的变化可判别过程的方向: 由熵值小的态指向熵值大的态。

热平衡的熵判据
对于孤立系统内的各种可能状态而言,平衡态的熵最大。 也可将熵看成是孤立(或绝热)系统是否接近平衡态的 量度:熵值越大,表示系统越接近平衡态。

熵的计算
熵是态函数,系统从某 一状态 A变化到另一状态 B 时,不论经历什么过程, 其熵的变化相同。 只要知道始、末平衡态的 状态参量,就可以假设一个 可逆过程,根据可逆过程熵 变的定义式计算熵变 不 可 逆 过 程 可







对于理想气体

例一 质量为 M,摩尔质量为 m 的理想气体由状态 (TA,VA)变化到状态(TB,VB)的熵变值。

其中

代入后得

例二 冰的溶解热为 3.35 ×105 J ·kg -1
1kg 0℃ 的冰化成同温度的水的熵变

此过程可看成等温过程 T = 273.0 K 全过程吸热

Q = 1 kg×3.35×105 J ·kg -1
= 3.35×105 J
3.35×105 J 273.0 K

熵变

1.23×103 J ·K -1

波动

本章内容 Contents

chapter 18

机械波的产生与描述 generation and description of mechanical wave 波的能量 the energy of wave 声波 sound wave

波的干涉 wave interference 多普勒效应 Doppler effect
电磁波 electromagnetic wave

第一节
振动的传播过程称为波动。 机械振动在媒质中的传播过程称为机械波。 产生机械波的必要条件:
媒质

18-1

generation and description of 波源 作机械振动的物体; mechanical wave 能够传播机械振动的弹性媒质。

波源带动弹性媒质中与其相邻的质点发生振动,振动相继 传播到后面各相邻质点,其振动时间和相位依次落后。 波动现象是媒质中各质点运动状态的集体表现,各质点仍 在其各自平衡位臵附近作振动。

横波与纵波
横波:质点的振动方向与波的传播方向垂直 纵波:质点的振动方向与波的传播方向平行
质点振动方向
软绳

波的传播方向
质点振动方向 软弹簧

波的传播方向
在机械波中,横波只能在固体中出现;纵波可在气体、液体和固体中出现。 空气中的声波是纵波。液体表面的波动情况较复杂,不是单纯的纵波或横波。

几何描述
波面 波前
振动相位相同的点连成的面。 最前面的波面。

波前 波面 波线
平面波 (波面为平面的波)
波线(波射线) 球面波 (波面为球面的波)

波的传播方向。在各向同性媒质中, 波线恒与波面垂直。

波的物理量
波传播方向
波速

波长 周期 频率 波速

振动状态完全相同的相邻两质点之间的距离。
波形移过一个波长所需的时间。

周期的倒数。
单位时间内振动状态(振动相位)的传播速度, 又称相速。机械波速取决于弹性媒质的物理性质。 或

平面简谐波
简谐波
由简谐振动的传播所形成的波动。

对于机械波,若波源及弹性媒质中各质点都持续地作简 谐振动所形成的连续波,则为简谐机械波。 简谐波又称余弦波或正弦波,是规律最简单、最基本的波。 各种复杂的波都可以看作是许多不同频率的简谐波的叠加。 简谐波的一个重要模型是平面简谐波。 平面简谐波的波面是平面,有确定的波长和传播方向,波 列足够长,各质点振动的振幅恒定。

波动方程
一列平面简谐波 (假定是横波)

观测坐标原点任设 (不必设在波源处)

波沿 X 轴正向传播 (正向行波)



位于原点

处质点的振动方程为 沿 轴正向传播 。对应同一时刻 , 点的

已知振动状态以速度

振动状态与原点在

时刻的振动状态相同。

因此,在设定坐标系中,波线上任一点、任意时刻的振动规律为

这就是沿 X 轴正向传播的平面简谐波动方程。它是时间和空间的双重周期函数。

沿 X 轴正向传播的平面简谐波动方程

续上
的形式表达

波动方程常用周期 由 得

波长

或频率

消去波速



分别具有单位时间和单位长度的含义,
组成对应关系 。

分别与时间变量 和空间变量

波方程意义
若给定 ,波动方程即为距原点 处的质点振动方程

距原点

处质点振动的初相

若给定 ,波动方程表示所给定的 时刻波线上各振动 质点相对各自平衡点的位臵分布,即该时刻的波形图。

若 和 都是变量,即 是 和 的函数, 这正是波 动方程所表示的波线上所有的质点的振动位臵分布随时间 而变化的情况。可看成是一种动态的波形图。

续上

正向波
波沿 X 轴正向传播

同一时刻,沿 X 轴正向,波线上各质点的振动相位依次落后。

反向波
波沿 X 轴反向传播

同一时刻,沿 X 轴正向,波线上各质点的振动相位依次超前。

某正向余弦波

例一 时的波形图如下

则此时 点的运动方向

,振动相位



正向波,沿 轴正向微移原波形图判断出 点此时向下运动。并判 断出原点处质点从Y = A向平衡点运动,即初相 。

由图可知

代入得



一平面简谐波以波速例二 沿 X 轴正向传播。 位于 处的 P 点的振动方程为

设 B 点距原点为 P 点振动传到 B 点需时 即 B 点 时刻的振动状态与 P 点 时刻的振动状态相同

得 波动方程

波动方程 y = 0.05 cos p ( 5 x – 100 t ) (SI) 此波是正向还是反向波,并求 A、n、T、u 及 l ; x = 2 m 处质点的振动方程及初相; x1 = 0.2 m及 x2 = 0.35 m 处两质点的振动相位差。 cosa = cos(-a) 0.05 cos p ( 5 x – 100 t ) x cos 100 p ( t – ) 0.05 20 正向波 比较得 0.05 m 100 p 0.02 s 500 Hz 20 m ·s -1 0.4 m 而且得知原点( x = 0 ) 处质点振动初相

例三



x =2m处

x1 = 0.2 m 处的振动相位比原点处的振动相位落后 x2 = 0.35 m 处的振动相位比原点处的振动相位落后
两者的相位差为 100 p

0.05 cos p ( 5×2 – 100 t ) 0.05 cos ( 100 p t –10 p ) 初相为–10 p

0.15 20

0.75 p

正向余弦波方程

一正向余弦波 10 m 时刻 波线上两质点 振动情况如图

例四
旋转矢量法判断取

质点 : 解得 质点 : 解得 或 旋转矢量法判断取

2.5 (m)
的 P 点位臵为 波形图

2.5

7.5 (m)

等于几米 此时的波形图

2.5 10 m

7.5

(m)

请在放映状态下点击你认为是对的答案 随堂小议
以波速 u 沿 X 轴逆向传播的简谐波 t 时刻的波形如下图
A B D

C

(1)A点的速度大于零; (2)B点静止不动; (3)C点向下运动; (4)D点的振动速度小于零。
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以波速 u 沿 X 轴逆向传播的简谐波 t 时刻的波形如下图
A B D

C

(1)A点的速度大于零; (2)B点静止不动; (3)C点向下运动; (4)D点的振动速度小于零。
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以波速 u 沿 X 轴逆向传播的简谐波 t 时刻的波形如下图
A B D

C

(1)A点的速度大于零; (2)B点静止不动; (3)C点向下运动; (4)D点的振动速度小于零。
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以波速 u 沿 X 轴逆向传播的简谐波 t 时刻的波形如下图
A B D

C

(1)A点的速度大于零; (2)B点静止不动; (3)C点向下运动; (4)D点的振动速度小于零。
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以波速 u 沿 X 轴逆向传播的简谐波 t 时刻的波形如下图
A B D

C

(1)A点的速度大于零; (2)B点静止不动; (3)C点向下运动; (4)D点的振动速度小于零。
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第二节
18-2
the energy of wave

波的能量
现象:
上 下
若将一软绳(弹性媒质)划分为多个小单元(体积元)

在波动中,各体积元产生不同程度的 弹性形变, 具有 弹性势能
形变最小 振速 最小 时刻波形

未起振的体积元 抖 动 形变最大 振速 最大

具有振动动能 各体积元以变化的振动速率 上下振动,
理论证明(略), 当媒质中有行波传播时,媒质中一个体积元在作周 期性振动的过程中,其弹性势能 和振动动能 同时增大、同时减 。后面我们将直接应用这一结论。 小,而且其量值相等 ,即

能量密度
设 一平面简谐波 振动速度 动能 势能 总量能
在 处取体积元 体积元的质量

媒质密度

体 积 元 的

可见,波动过程是媒质中各体积元不断地从与其相邻的上一个体积元 接收能量,并传递给与其相邻的下一个体积元的能量传播过程过程。

能量密度 平均能量密度


lim

在一周期内的时间平均值。 单位: 焦耳 米

( J ·m –3 )

借助图线理解



续上 简谐平面波
在密度为 的均匀媒质中传播

某点

处的振动方程

该处的 能量密度 (随时间变化)

该处的 平均能量密度
(时间平均值)

能流、能流密度

体积元的能量取决于其振动状态 振动状态以波速 在媒质中传播

能量以波速

在媒质中传播

能流 单位时间垂直通过的某截面积 的能量 平均能流 一周期内垂直通过某截面积 的能量的平均值 单位:瓦 ( W ) 能流密度(波的强度)垂直通过单位截面积的平均能流

单位:瓦· 米-2 ( W·m –2 )

例五
一频率为 1000 Hz 的声波在空气中传播
波强为 3×10
-2

波强 2 则 1 2000 2 1 2 2 × 3×10 1.3×330
-2

W ·m –2

波速为 330 m ·s -1 空气密度为

1.3 kg ·m -3

1.8×10 – 6 ( m )
因在空气中传播的声波是纵波,此振幅 值表示媒质各体积元作振动时,在波线方向 上相对于各自平衡位臵的最大位移。

此声波的振幅

第三节 声波
一般意义上的声波,是指能引起人的听觉、 频率在 20 ~ 20 000 Hz 的机械波。又称声音或声。 在声学中,声波的频率范围包括 10 - 4 ~ 10 12 Hz 的机械波。 10
-4

~ 20 Hz 次声

频率低,波长长,衰减小。用于探矿、预测风暴、 监视地震和核爆炸等。次声与人体器官(如心脏)的振 动频率相近,对人体有害。 除与人类生活息息相关外,该频段在民用和军用的声 呐(声导航与定位)、水下目标测距及识别等亦常使用。 工处理、医疗等领域有广泛应用。

18-3

20 ~ 20 000 Hz 可听声

20 000 ~ 5×10 8 Hz 超声
5×10 8 ~ 10 12 Hz 特超声

sound wave 频率高,波长短,能量大,穿透力强。在检测、加

该频段的超声频率,已高到可与电磁波的微波频率相 比拟,而具有超声自身的许多优越特性,在固体物理领 域中已得到广泛应用。该频段的低端,在现代电子技术、 激光技术、信息处理和集成光学等领域有重要的应用。 频率高于10 12 Hz 的特超声的波长已可与晶格尺寸相比 拟,是研究物质结构的一种重要的新手段。

声波在媒质中传播的速度。 声速与媒质的特性和媒质的温度有关。 声波在理想气体中的传播速度 标准状态下空气中的声速

声速

气体的摩尔质量 气体的比热容比 气体的温度(K) 气体常量

1.4×8.31×273 29×10 -3 331 ( m ·s –1 )
常温下(20℃) 空气中的声速

344 ( m ·s –1 )
常温下某些媒质中的声速
媒质 铅 海水 铁 玻璃 s– 1 ) 声速 ( m· 1300 1510 5000 6000

对同种气体、在同一状 态下,各种不同频率的声 波传播速度相同。



声强、声强级
瓦· 米 –2 ( W·m –2 ) 单位:

声强 10
-12

声波的 平均能流密度

在最佳音频(约 1000 ~ 4000 Hz)条件下

10

-6

100

( W·m–2 )

(闻阈)

听觉 强度范围
弱到刚能听闻 称标准声强

(痛阈)
强到失去听 觉只有痛觉

听觉 强度范围甚宽,实用上需要以更方便的单位来表示。

声强级

人对声强的主观感觉即响度,用声强级数表示。 单位:分贝 (dB)

贝(B)

10

分贝(dB)

1贝(B) =10分贝(dB), 好比 1米(m) =10分米(dm) 。常用分贝(dB)为单位

附表 几种声音的声强及声 强级数
声 音 (dB) 闻阈 正常呼吸 悄悄话 室内正常谈话 大声喊叫 重型卡车 电动切草机 摇滚乐 痛阈 伤害人体 声强 ( W〃 m
–2

)

声强级 0 10 20 65 80 90 100 115 120 130

10 -12 10 -11 10 -10 3×10 - 6 10 - 4 10 - 3 10 - 2 0.3 1 10

10

分贝(dB), 声强上的 倍相当于声强级的 分贝 10

噪声
噪声有两种意义:
1、物理上指不规则的、间歇的或随机的声振动。 2、指任何难听的、不和谐的声或干扰。 噪声是由不同频率、不同振幅的声音无规则地组合在一 起而出现的。广义上说,任何不需要的声音都属噪声;狭 义上说,噪声是指大于 90dB 以上,对人的工作、健康有影 响的声音。 强烈的噪声(160dB以上)不仅可损坏建筑物,而且还会 使发声体本身因疲劳而受到破坏。 噪声污染问题引起人们广泛关注。大于 90dB 的声响,将 导致噪声污染。

随堂小议 请在放映状态下点击你认为是对的答案
一平面简谐波的频率为 300 Hz。波速为 340 m〃s-1,在截面积为 3.0×10-2 m2 的管 内空气中传播,若在10s内通过该面的能量为 2.7×10-2 J。则波强(能流密度)为

(1)9.0×10 –2 w· m-2 ;

(2)2.7×10-3 J· s-1。
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一平面简谐波的频率为 300 Hz。波速为 340 m〃s-1,在截面积为 3.0×10-2 m2 的管 内空气中传播,若在10s内通过该面的能量为 2.7×10-2 J。则波强(能流密度)为

(1)9.0×10 –2 w· m-2 ;

(2)2.7×10-3 J· s-1。
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一平面简谐波的频率为 300 Hz。波速为 340 m〃s-1,在截面积为 3.0×10-2 m2 的管 内空气中传播,若在10s内通过该面的能量为 2.7×10-2 J。则波强(能流密度)为

(1)9.0×10 –2 w· m-2 ;

(2)2.7×10-3 J· s-1。
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第四节
18-4
wave interference

波的干涉

一入射波传播到带有小孔的屏时,不论入射波的波阵面是什么形状, 通过小孔时,在小孔的另一侧都产生以小孔作为点波源的前进波,可将 其抽象为从小孔处发出的一种次波或子波,其频率与入射波频率相同。

惠更斯原理
媒质中波动传到的各点,都可以看作能够发射 子波的新波源,在这以后的任意时刻,这些子波 的包络面就是该时刻的波面。

波的叠加原理
两波在空间某点 相遇,相遇处质点 的振动是各列波到 达该点所引起振动 的叠加;相遇后各 波仍保持其各自的 特性(如频率、波 长、振动方向等), 继续沿原方向传播。
通常波强不太强的波相遇,满足叠 原理,称为线性波。波强强到不满 足叠加原理的波,称为非线性波。

相干波
波的干涉是在特定条件下波叠加所产生的现象。
振动 频率相同

若有两个波源

振动 方向相同 振动 相位差恒定

它们发出的波列在媒质中相遇叠加时,叠加区 域中各质点所参与的两个振动具有各自的恒定相 位差,某些质点的振动始终加强,某些质点的振 动始终减弱或完全相消。这种现象称为波的干涉。

能产生干涉现象的波称为相干波
其波源称为相干波源

两相干波源的振动方程

y10 y20

A10 cos (w t + j 1) A20 cos (w t + j 2) A1 cos w t + ( j 1 A2 cos w t + ( j 2 A1
2

相干振动合成
A1

A
A2

分别引起 P 点的振动

y1 y2

2pr1 ) l 2pr2 ) l

合振动

y

y1 + y2

A cos (w t + j )
j1

A

A2

2

2 A1 A2 cos ( j 2

r2 r1 ) 2p
l 2pr2 ) l 2pr2 ) l

j

A1 sin ( j 1 A1 cos ( j 1

2pr1 ) A2 sin ( j 2 l 2pr1 ) A2 cos ( j 2 l

两相干波源的振动方程

合成振幅公式
A1

y10 y20

A10 cos (w t + j 1) A20 cos (w t + j 2) A1 cos w t + ( j 1 A2 cos w t + ( j 2 A1
2

A
A2

分别引起 P 点的振动

y1 y2

2pr1 ) l 2pr2 ) l

合振动

y

y1 + y2

A cos (w t + j )
j1

l y1 y2 两振 2pr2 ) 2pr1 ) j j A2 sin ( 2 A sin ( 1 动的相位差 1 l l j 2 p r 2 p r 2 ) 1 j P点给定,则 A1 cos 恒定。 故空间每一点的合成振幅 A 保持恒定 。 ) j A cos ( 2 ( 1 2 l l

A

A2

2

2 A1 A2 cos ( j 2

r2 r1 ) 2p

A


A1

2

A2

2

2 A1 A2 cos (j 2 当

相长与相消干涉
j1
l

r2 r1 ) 2p

j 2 j 1 2p
( 0,1,2,

r 2 r1
l

j 2 j 1 2 p r2 r1 l
0,1,2, )

)







合成振动的振幅最大

合成振动的振幅最小

A
若 则 当 即

A1

2

A2

2

2 A1 A2 cos (j 2

波程差表达式
j1

r2 r1 ) 2p
l

j2

j 1 即两分振动具有相同的初相位
, 称为波程差

取决于两波源到P点的路程差

2p (
则合成振动 的振幅最大

r2 r1
l ) 时

当 即

2p (

r2 r1
l 0,1,2, ) 时

0,1,2,

则合成振动 的振幅最小 波程差为半波长的奇数倍时, 各质点的振幅最小,干涉相消。

波程差为零或为波长的整数倍 时,各质点的振幅最大,干涉相长。

例六
两相干波源 2m 同初相, 振动方向垂直纸面 到定点 P 的距离 50 m 可位于纸面内以 P 为圆心、 以 满足下述条件的 为半径 的一系列圆周上。 相消干涉

50
P ( 相长干涉 当 满足什么条件时 ( 在 P 点发生相消干涉; 在 P 点发生相长干涉。 0,1,2,

1 (m)
)

50
0,1,2,

(m)
)

驻波
波干涉是特定条件下的波叠加, 驻波是特定条件下的波干涉。

振幅相等 发生干涉 条 件: 两列相干波 相向传播

现 象: 干涉区域中形成的驻波
各质点的振幅分布规律恒定 形成一种非定向传播的波动现象 波 腹
max

波 节

min

0

正向行波

反向行波

驻波的形成
在同一坐标系 XOY 中 正向波 反向波 驻波

驻波形成图解

正向波

反向波

= 3 T 4 t7 = T ttt= T 8 = T ///2 0 = 5 T 8 8 3 4

点击鼠标,观 察在一个周期 T 中不同时刻 各波的波形图。
每点击一次, 时间步进

合成驻波

驻波方程
为简明起见, 设 并用



正向波 反向波

驻波方程

改写原式得

注意到三角函数关系



驻波方程

驻波 方 驻 波程 方程



正向波

波腹、波节位置
谐振动因子
驻波中各质点均以同 一频率 作简谐振动。

反向波

振幅分布因子 为简明起见, 设 它的绝对值表示位于坐标 x 处的振动质点 并用 的振幅。即描述振幅沿 X 轴的分布规律。 改写原式得 波 腹 波 节

注意到三角函数关系

波腹处振幅最大

驻波方程 得 波节处振幅最小

相位、能量特点

驻波的相位特点

驻波的能量特点

同一时刻, 相邻两波节之间的各质点 的振动相位相同; 波节两侧的各质点的振动 相位相反。 驻波不是振动相位 的传播过程,驻波的 波形不发生定向传播。

波节体积元不动,动能
其它各质点同时到达最大位移时

波腹及其它质点的动能 波节处形变最大 势能 波腹附近各点速度最大 波节及其它点无形变

最大 最大

其它各质点同时通过平衡位臵时

驻波的能量不作定向传播,其能 量转移过程是动能与势能的相互转 移以及波腹与波节之间的能量转移。

反、入射产生驻波 与 “半波损失” 由入射波与反射波产生驻波
振源
软 绳 当 形 成 驻 波 时
自由端反射 总是出现波腹 由 波 密 媒 质 到 波 疏 媒 质 界 面 反 射

空气

反 射 界 面 上 总 是 出 现 波 腹

当 形 成 驻 波 时

反 射 界 面 上 总 是 出 现 波 节

玻璃

水 声 源


声 源

由 波 疏 媒 质 到 波 密 媒 质 界 面 反 射

固定端反射 总是出现波节

由波密媒质入射在波疏媒质界面上反射,在界面处,反射波的振动相位 总是与入射波的振动相位相同,形成驻波时,总是出现波腹。

半波损失
波密媒质

波疏媒质

入射波

驻波 反射波

由波疏媒质入射在波密媒质界面上反射,在界面处,反射波的振动相位 总是与入射波的振动相位相反,即差了 ,形成驻波时,总是出现波节。 波疏媒质 波密媒质

入射波

驻波

反射波 位相差了 相当于波程差了 ,称为 “半波损失”。

弦驻波演示实验

续上

续上

例七

在弦的驻波实验中,
弦长为 L , 一端接振源,另一端固定,

弦的驻波条件

当振源的振动
频率为 时, 弦上出现驻波的 波腹数目为 m 。 入﹑反射波在弦上的 波长 波速

L

m

m 1,2, L m

n n
L m

n

例八

在下图坐标系中,
垂直波密界面的入射波

由 y入 知

y入 = 0.2cosp(t – 4 x)
入射 反射 波 密

1、反射波方程应折算到以O为坐标原点; 2、波疏到波密反射波相位有 变; 3、反射波相位沿 X 轴负向依此落后。
与 y 入 相对照,可直接写出 y反



y反 = 0.2cos p (t 2

4x) p

= 0.2 cos p t – 8 p +4 x p + p

= 0.2 cos p ( t + 4 x ) + p
p = 0.4 cos (4px + p 2 ) cos (pt+ 2 )

y = y入 y反

反射波方程 两波形成的驻波方程

= 0.4 sin 4px sin pt

请在放映状态下点击你认为是对的答案 随堂小议 x 平面谐波的方程为 y = A cos ω ( t ) u 则 x ω x 和 y 分别代表 u u

(1)振动滞后时间、相位和位移; (2)振动滞后相位、时间和位移; (3)振动位移及滞后时间、相位; (4)振动滞后相位、振动位移及振 动滞后时间。
结束选择

请在放映状态下点击你认为是对的答案 小议链接1 x 平面谐波的方程为 y = A cos ω ( t ) u 则 x ω x 和 y 分别代表 u u

(1)振动滞后时间、相位和位移; (2)振动滞后相位、时间和位移; (3)振动位移及滞后时间、相位; (4)振动滞后相位、振动位移及振 动滞后时间。
结束选择

请在放映状态下点击你认为是对的答案 小议链接2 x 平面谐波的方程为 y = A cos ω ( t ) u 则 x ω x 和 y 分别代表 u u

(1)振动滞后时间、相位和位移; (2)振动滞后相位、时间和位移; (3)振动位移及滞后时间、相位; (4)振动滞后相位、振动位移及振 动滞后时间。
结束选择

请在放映状态下点击你认为是对的答案 小议链接3 x 平面谐波的方程为 y = A cos ω ( t ) u 则 x ω x 和 y 分别代表 u u

(1)振动滞后时间、相位和位移; (2)振动滞后相位、时间和位移; (3)振动位移及滞后时间、相位; (4)振动滞后相位、振动位移及振 动滞后时间。
结束选择

请在放映状态下点击你认为是对的答案 小议链接4 x 平面谐波的方程为 y = A cos ω ( t ) u 则 x ω x 和 y 分别代表 u u

(1)振动滞后时间、相位和位移; (2)振动滞后相位、时间和位移; (3)振动位移及滞后时间、相位; (4)振动滞后相位、振动位移及振 动滞后时间。
结束选择

第五节
18-5
Doppler effect

多普勒效应
当观察者与波源之间有相对运动时,观察者所测得的频 率不同于波源频率的现象,称为多普勒效应。 以机械波为例,

在静止媒质中:

波源的振动频率(恒定) 波在媒质中的传播速率(取决于媒质的性质,与波源运动无关) 设观察者和波源在同一直线上运动 观察者相对于媒质的运动速率 波源相对于媒质的运动速率 观察者测得的频率 分别讨论下述四种情况观察者所测得的

1.

静发静收 波源和观察者均相对于媒质静止。
波源的振动频率

观察者测得的频率

两个相邻等相位面之间的距离是一个波长 观察者测得的频率 ,是单位时间内连续通过接收器的等 相位面的数目,亦即单位时间内连续通过接收器的完整的波 的个数。 观察者测得的频率就是波源的振动频率。

2.

波源静止观察者向波源运动。
波源的振动频率

静发动收
观察者测得的频率

观察者每秒接收到的整波数,即观察者测得的频率为

观察者测得的频率是波源的振动频率的
如果波源静止观察者背离波源运动,观察者测得的频率为

倍。

3.

动发静收 观察者静止,波源(相对于媒质)向观察者运动。
一列等间距的小石子,等时先后落入水中,
(点击鼠标) 它们所激起的水波的波阵面分布是一系列偏心圆。

先看一个普通现象

激励的移动方向

波面间距较宽

波面间距较窄

若在空气中有一个振动频率恒定的定向运动声源, 它所激起的声波的波阵面分布,则是一系列偏心球面。

3.

续上 观察者静止,波源(相对于媒质)向观察者运动。
波源的振动频率 观察者测得的频率

波速 取决于媒质的性质,与波源是否运动无关。 波源振动一周,波阵球面向外传播一个波长 ,波源同时向右移动 在运动方向上波阵面分布变密,相当于波长变短,其等效值
位于右方的观察者每秒接收到的整波数,即观察者测得的频率为

, 。

如果波源以速度

离开观察者,观察者测得的频率为

4.

动发动收 观察者和波源同时相对于媒质运动。
波源的振动频率 观察者测得的频率

这时观察者每秒接收到的整波数,由观察者的运动和波源运动

两种因素同时决定,观察者测得的频率为
当波源和观察者同时相向运动时

当波源和观察者同时 相背 运动时

波源的振动频率

结果归纳 多普勒效应 观察者测得的频率
(向) (背)

例九
波源或观察者 的运动速率为 波速 的 0.5 倍 若波源静止,观察 者向着波源运动; 若观察者静止,波 源向着观察者运动。 上述两种情况下 观察者测得的频率 是波源频率的几倍 波源静止,观察者向着波源运动





1.5
观察者静止,波源向着观察者运动





2
可见,两种情况的效果显然不同。

冲击波


前面在介绍波源相对于媒质运动所引起的多普勒 效应时,讨论了 波源速率 波速 的情况。

冲击波

,波源就会冲出自身发出的波阵面 ,在

时间内,

它所发出的波的一系列波面的包络是一个圆锥体, 称为 马赫锥。这种波称为 冲击波。

马 赫 锥
马赫锥的 顶角 满足 称为马赫数

高速快艇在其两侧激起的舷波, 超音速飞机飞行生成的声波, 高速子弹飞行激起的声波等,都属冲击波。 冲击波大都由非线性振动引起, 如强烈爆炸。冲击波可使媒 质的密度、速度和温度急剧变化,并产生高温、高压。

声暴

声 暴


当波源的运动速率刚好等于波速时, ,马赫锥的顶角

p ,锥面变为平面。

波源在各时刻发射的波,几乎与波源自身共处于同一平面,

这时冲击波的能量非常集中、强度和破坏力极大,这种现 象称为 “声暴”。 例如,当飞机刚好以声速飞行时,机体所产生的任一振动
都将尾随在机体附近,并引起机身的共振,给飞行带来危险。 因此,超音速飞机在飞行时都要尽快越过这道音速的屏障。

第六节
18–6
electromagnetic wave

电磁波

产生与传播

过程浏览

振子的近场

续上

电磁波接收

续 7 续上

电磁波方程

电磁波特性

电磁波能量

电磁波谱

电磁波多普勒效应 附 电磁波的多普勒效应
电磁波(包括光波)不需要弹性介质并可在真空中传播。

在真空中电磁波的传播速率恒等于 c ,与波源运动状态无关。
因此,电磁波的多普勒效应,只须考虑波源与观察者之间 的相对速度。若两者在一直线上运动,其相对运动速率为 当 远小于光速时,
相向运动 相背运动



c


并非远小于光速而需要作相对论修正时,

c
c

相向运动 相背运动

光的干涉

本章内容

Contents

chapter 19

相干光 光程 coherent light optical path 分波阵面干涉 wavefront-splitting interference 分振幅干涉 amplitude-splitting interference

迈克耳孙干涉仪 Michelson interferometer

光波

可见光

常用单色光源

第一节
19-1

coherent light optical path

光干涉的必要条件

相干光

光程

光程差与相位差

透镜无附加光程差

续上

分波面与分振幅

第二节
19-2
wavefront-splitting interference

19-2

杨氏双缝干涉

条纹间距关系式

洛埃镜实验

紧靠镜端处总是产生暗纹,说明在镜端处反射光与入射光 的相位差为 ,相当于光程差 ,称为 半波损失。

双面镜实验

双棱镜实验

分波面法小结

第三节
19-3
amplitude-splitting interference

分振幅干涉

平行平面膜反射

反射条件

总光程差公式

平行平面膜透射

透射附加光程差

等倾干涉条纹

平行膜例一

算例

续上

防反(增透)膜

增反膜

多层增反膜例题

非平行膜等厚干涉

劈尖干涉

垂直入射总光程差

劈尖等厚条纹

劈尖厚度变化

劈尖夹角变化

劈尖例一 3.0mm
充油( )后测得 2.1mm

1.055 1.43

(rad)

劈尖例二

920 (nm)

牛顿环

在牛顿环实验中

牛顿环例题 589 nm
暗环

4.00 mm 6.00 mm

6.79 m

第四节
19-4 Michelson interferometer

迈克耳孙干涉仪

等倾和等厚光路

吐级

吞级

移级

随堂小议 请在放映状态下点击你认为是对的答案
一折射率为 n , 厚度为e 的平面平行膜被一折射率为 n ' 的 媒质包围。有一单色平行光垂直于薄膜的上表面入射,从薄 膜上、下表面反射的两束光发生干涉,若 n﹥ n ' ,且入射光 在 n '媒质中的波长为 l ' ,则两反射光的程差为

(1)2ne;
' l (2)2ne ?

2n ' l' (3) 2ne ? n 2
' l (4) 2ne ? n

'

;
;

。 2
结束选择

小议链接1 请在放映状态下点击你认为是对的答案
一折射率为 n , 厚度为e 的平面平行膜被一折射率为 n ' 的 媒质包围。有一单色平行光垂直于薄膜的上表面入射,从薄 膜上、下表面反射的两束光发生干涉,若 n﹥ n ' ,且入射光 在 n '媒质中的波长为 l ' ,则两反射光的程差为

(1)2ne;
' l (2)2ne ?

2n ' l' (3) 2ne ? n 2
' l (4) 2ne ? n

'

;
;

。 2
结束选择

小议链接2 请在放映状态下点击你认为是对的答案
一折射率为 n , 厚度为e 的平面平行膜被一折射率为 n ' 的 媒质包围。有一单色平行光垂直于薄膜的上表面入射,从薄 膜上、下表面反射的两束光发生干涉,若 n﹥ n ' ,且入射光 在 n '媒质中的波长为 l ' ,则两反射光的程差为

(1)2ne;
' l (2)2ne ?

2n ' l' (3) 2ne ? n 2
' l (4) 2ne ? n

'

;
;

。 2
结束选择

小议链接3 请在放映状态下点击你认为是对的答案
一折射率为 n , 厚度为e 的平面平行膜被一折射率为 n ' 的 媒质包围。有一单色平行光垂直于薄膜的上表面入射,从薄 膜上、下表面反射的两束光发生干涉,若 n﹥ n ' ,且入射光 在 n '媒质中的波长为 l ' ,则两反射光的程差为

(1)2ne;
' l (2)2ne ?

2n ' l' (3) 2ne ? n 2
' l (4) 2ne ? n

'

;
;

。 2
结束选择

小议链接4 请在放映状态下点击你认为是对的答案
一折射率为 n , 厚度为e 的平面平行膜被一折射率为 n ' 的 媒质包围。有一单色平行光垂直于薄膜的上表面入射,从薄 膜上、下表面反射的两束光发生干涉,若 n﹥ n ' ,且入射光 在 n '媒质中的波长为 l ' ,则两反射光的程差为

(1)2ne;
' l (2)2ne ?

2n ' l' (3) 2ne ? n 2
' l (4) 2ne ? n

'

;
;

。 2
结束选择

多个相干点源干涉

N 个初相相同
的相干点光源

相邻两光线的光程差

相应的相位差

主极大与次极大

相邻两光线在 P 点的相位差 设各光线在 P 点的振幅大小均为 用旋转矢量法求 N 个振动的合成振幅大小 先粗略了解



的变化概貌

同向叠加 (主极大)

自行封闭

同向叠加 (主极大)

同向叠加 (主极大)

自行 封闭

位于相邻 两零值间 (次极大)

自行 封闭

同向叠加 (主极大)


各旋转矢 量的垂直 平分线的 公共交点

的普遍关系



合成振幅公式

同向叠加。用罗彼塔法则得 主极大 当 旋矢自行封闭 在两个相邻的主极大之间, 存在 个 ,从而 存在 个次极大(处于每 两相邻零值位臵的中间)。据 此可应用 公式算出次极大 的幅值,可以发现,当 N 增大 时,次极大相对于主极大迅速 变小。

相邻两光线的相位差

设相干点光源的强度相同, 而且 已给定,随 N 的增 大,屏幕上主极大处的条纹越 清晰明亮,次极大处的条纹相 对越来越暗,甚至不被察觉。

附图一

N=2

N=3
N=4 N =10

N 很大

-2

-1

0

1

2

N 增大,主极大条纹变亮变窄,次极大数目变多而相对强度变小。

附图二

N=2 N=3 N=4 N =10 N 很大

N个相干线光源干涉条纹示意图

光的衍射

本章内容 Contents
惠更斯 - 菲涅耳原理 Huygens-Fresnel principle 单缝衍射 single slit diffraction 圆孔衍射 circular hole diffraction 光栅衍射 grating diffraction X射线衍射 X ray diffraction

chapter 20

衍射现象

第一节
20-1

Huygens-Fresnel principle

惠菲原理

根据这一原理,原则上可计算任意形状孔径的衍射问题。 本章的重点不是具体解算上述积分,而是运用该原理有关子 波干涉的基本思想去分析和处理一些典型的衍射问题。

两类衍射

条件实现

第二节
20-2

single slit diffraction

单缝衍射

夫琅禾费单缝衍射基本光路

衍射图样

单缝子波

半波带法

续上

单缝公式

缝宽因素

波长因素

例题1

例题2

第三节
20- 3 circular hole diffraction

圆孔爱里

圆孔公式

分辨本领

瑞利判据

畧偏临界

分辨星星

如果用望远镜观
察到在视场中靠得

若将该望远镜的

物镜孔径限制得更
小,则可能分辨不

很近的四颗星星恰
能被分辨。

出这是四颗星星。

提高分辨

1.342 10

2.349 10
1

相机例题
1.22
5 (rad)

3 (mm)

425.8 (mm 1)

人眼例题
D = 2 mm, = 550 nm

1.22

3.35 10 8.35 10 3.35 (mm)

4 (rad)

2 (mm)

第四节
20- 4
grating diffraction

光柵衍射

双重因素

光栅方程

由光栅方程

观察条件 即 若

除 外,看不到任何衍射级。
若光栅常数 d <4×10 - 4 mm 即刻线密度 高于2500条 mm

光栅常数

其最短波长为 4×10 - 4 mm 对于可见光,

则观察不到衍射现象 若 得
并非取任何比值 的 情况下都能观察到衍射现象



以至各级的衍射角太小,各级 谱线距零级太近,仪器无法分 辨,也观察不到衍射现象。

缺级现象

光栅光谱

※ 对同级明纹,波长较长的光波衍射角较大。 ※ 白光或复色光入射,高级次光谱会相互重叠。

光栅例一

光栅例二
600 n m

2×6×10 - 4 0.469 由第三级谱缺级判断 28° 而且第三级谱缺级
max

2.56×10 - 3(mm) 0.85×10 - 3(mm) 最大取 4.27 取整数4

光栅常数 ( a + b ) a 的可能最小宽度 在上述条件下最多 能看到多少条谱线

4 ( 3) 2
(缺)

1

0

1

2 (3) 4
(缺)

最多能看到 7

条谱线

光栅例三

第五节
20- 5

X ray diffraction

X射线衍射
1895年,德国物理学家伦琴在研究 阴极射线管的过程中,发现了一种穿透 力很强的射线。 金属靶 高能 电子束
高 压 电 源

X射线
1901年获首届诺贝尔 物理学奖

由于未知这种射线的实质(或本性), 将它称为 X 射线。

X 射线发现17年后,于 1912年,德国物理学家劳厄 找到了 X 射线具有波动本性 的最有力的实验证据:

劳厄

发现并记录了 X 射线通过 晶体时发生的衍射现象。
由此,X射线被证实是一种频率 很高(波长很短)的电磁波。 在电磁波谱中,X射线的波长范 围约为 0.005 nm 到 10 nm,相当
1914年获诺贝尔物理学奖

于可见光波长的 10万分之一 到 50 分之一 。

劳厄斑 劳厄的 X 射线衍射实验原理图
晶体 (硫化铜) 记 录 干 板

X 射 线

衍射斑纹(劳 厄 斑)
晶体中有规则排列的原子,可看作一个立体的光栅。原子的线度和间 距大约为10 - 10 m 数量级,根据前述可见光的光栅衍射基本原理推断,只 要 入射X 射线的波长与此数量级相当或更小些,就可能获得衍射现象。

布喇格父子
1912年, 英国物理学 家布喇格父 子提出 X射 线在晶体上 衍射的一种 简明的理论 解释 布 喇格定律, 又称布喇格 条件。

1915年布喇格父子获诺贝尔物理学奖,小布 喇格当年25岁,是历届诺贝尔奖最年轻的得主。

三维空间点阵
晶体结构中的三维空间点阵

氯化钠晶体 氯离子
Cl


钠离子
Na

点阵的散射波
X射线
原子或离子中的电子在 晶体结构中的三维空间点阵 外场作用下做受迫振动。

晶体中的 原子或离子

晶体点阵 氯化钠晶体 中的每一阵 点可看作一 个新的波源, 氯离子 向外辐射与 + Cl X 射 入射的 线同频率的 钠离子 电磁波,称 为散射波。

Na

散射波干涉
X射线 X射线
晶体点阵的散射波可以相互干涉。 原子或离子中的电子在
外场作用下做受迫振动。

包括 晶体点阵 中的每一阵 面中点阵 点可看作一 散射波干涉 个新的波源, 和 向外辐射与 入射的 X射 面间点阵 线同频率的 散射波干涉 电磁波,称 为散射波。

任一平面上的点阵散射波的干涉
入射
X射线 入射角
平面法线

零级衍射谱
镜面反射方向

掠射角
任一平面 上的点阵

干涉结果总是在镜面反射方向上出现最大光强 称为该平面的零级衍射谱

零级谱证明 任一平面上的点阵散射波的干涉
用图示法作简易证明
Z 入射角
平面法线

入射
X射线

镜面反射方向

A
B C

C D

掠射角
A
B X C Y 任一平面 上的点阵

; CC C C AD , A A CC A A B B 干涉结果总是在镜面反射方向上出现最大光强
光程相等 干涉得最大光强 即光程差为零 称为该平面的零级衍射谱

面间散射波干涉 面间点阵散射波的干涉
面1

作截面分析

面2

面3



布喇格定律 面间点阵散射波的干涉
入射角 掠射角 求出相邻晶面距 离为 d 的两反射 光相长干涉条件

层间两反射 光的光程差
相长干涉得 亮点的条件

布喇格定律
或布喇格条件

分出不同间距 d 的晶面。 对任何一种 方向的晶面, 只要满足布喇 格公式,则在 该晶面的反射 方向上,将会 发生散射光的 相长干涉。

公式应用 根据晶体中原子有规则的排列,沿不同的方向,可划

根据布喇格公式
若已知晶体结构,可通过测 求入射X射线的波长及波谱。 求晶面间距及晶体结构。

若已入射X射线波长,可通过测

衍射图样举例

NaCl 单晶的 X 射线衍射斑点

石英 (SiO2) 的 X 射线衍射斑点

DNA的衍射图

DNA的X射线衍射图 DNA结构图

算例 根据布喇格公式
NaCl 晶体
主晶面间距为 2.82×10-10 m 对某单色X射线
的布喇格第一级 强反射的 掠射角为 15°

15°

2 × 2.82×10-10 × 1.46×10-10 (m)

15°

入射X射线波长 第二级强反射 的掠射角

0.5177

31.18 °

请在放映状态下点击你认为是对的答案 随堂小议

若光栅常量 (a ? b) 一定,在光栅后观察衍 射光谱的透镜焦距为 f ,在第二级光谱中测得 波长 l1 , l 2 两谱线的间距为 ?l ,则
(1)?l 随 f 的增大而增大; (2) ?l 随 f 的减小而减小; (3) ?l 与 f 的大小无关; (4) ?l 随参加衍射的总缝 数 N 的增大而增大
结束选择

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若光栅常量 (a ? b) 一定,在光栅后观察衍 射光谱的透镜焦距为 f ,在第二纹光谱中测得 波长 l1 , l 2 两谱线的间距为 ?l ,则
(1)?l 随 f 的增大而增大; (2) ?l 随 f 的减小而减小; (3) ?l 与 f 的大小无关; (4) ?l 随参加衍射的总缝 数 N 的增大而增大
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若光栅常量 (a ? b) 一定,在光栅后观察衍 射光谱的透镜焦距为 f ,在第二纹光谱中测得 波长 l1 , l 2 两谱线的间距为 ?l ,则
(1)?l 随 f 的增大而增大; (2) ?l 随 f 的减小而减小; (3) ?l 与 f 的大小无关; (4) ?l 随参加衍射的总缝 数 N 的增大而增大
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若光栅常量 (a ? b) 一定,在光栅后观察衍 射光谱的透镜焦距为 f ,在第二纹光谱中测得 波长 l1 , l 2 两谱线的间距为 ?l ,则
(1)?l 随 f 的增大而增大; (2) ?l 随 f 的减小而减小; (3) ?l 与 f 的大小无关; (4) ?l 随参加衍射的总缝 数 N 的增大而增大
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若光栅常量 (a ? b) 一定,在光栅后观察衍 射光谱的透镜焦距为 f ,在第二纹光谱中测得 波长 l1 , l 2 两谱线的间距为 ?l ,则
(1)?l 随 f 的增大而增大; (2) ?l 随 f 的减小而减小; (3) ?l 与 f 的大小无关; (4) ?l 随参加衍射的总缝 数 N 的增大而增大
结束选择

量子力学的实验基础

本章内容
黑体辐射 radiation of black body

Contents

chapter 22

光电效应与康普顿效应 photoelectric effect and Compton effect
氢原子光谱的实验规律 experiment law of atomic spectrum 物质的波粒二像性 wave-particle dualism of matter

四个主要内容

主要内容

第一节
22-1
radiation of black body

热辐射

定性图述

单色辐出度

辐出度

一般辐射的复杂性

黑体

黑体实验模型

黑体辐射测量
黑体(小孔表面) 分光元件

集光透镜 平行光管
会聚透镜及探头 分光元件(如棱镜或光栅等)将不同波长的辐射按一 定的角度关系分开,转动探测系统测量不同波长辐射的强 度分布。再推算出黑体单色辐出度按波长的分布。

黑体辐射规律
MBl ( T )
黑 体 的 单 色 辐 出 度 斯特藩-玻耳兹曼定律 -4 s = 5.67×10 - 8 W· m - 2· K

维恩位移定律

b = 2.898 ×10 - 3 m · K
波长 l

0

1

2

3

4

5

6

10- 6 m

但沿用经典物理概念(如经典电磁辐射理论和能量均分定 理)去推导一个符合实验规律的黑体单色辐出度函数 均遇到困难。其中一个著名的推导结果是 (瑞利—金斯公式) 当 则 经典物理概念竟然得出如此荒唐的结论,物理学史上称 黑体辐射问题所处的困境成为十九世 之为 “ 紫外灾难 ” 。 末“物理学太空中的一朵乌云”,但它却孕育着一个新物理 概念的诞生。 时,即波长向短波(紫外)方向不断变短时,

紫外灾难

普朗克公式
1900年10月19日,德国物理学家普朗克提出了一个 其波长表达式为 描述黑体单色辐出度分布规律的数学公式,

光在真空中的速率 普朗克常量

玻耳兹曼常量 J ·s

数值为 6.63×10 - 34

并很快被检验与实验结果相符。

MBl ( T )
4

10 W

11

m -2

理论曲线 m
-1

普朗克的黑体

单色辐出度函数及曲线线
MBl (T) = 2phc 2 l
5

3

e

kl T

hc

1 1

2 1

0

波长 l

0

1

2

3

4

5

10- 6 m

1900年12月24日,普朗 克在《关于正常光谱的能量分布定律的理论》 一文中提出能量量子化假设,量子论诞生。

能量子假设

组成黑体腔壁的分子或原子 可视为带电的线性谐振子; 这些谐振子和空腔中的辐射场 相互作用过程中吸收和发射的能 量是量子化的,只能取一些分立 值:e , 2 e , ,n e ; 频率为n 的谐振子,吸收和发 射能量的最小值 e = h n 称为 能量子(或量子)

h

= 6.63×10 - 34 J ·s

称为普朗克常量

黑体例一
2.898×10 490 nm 5.91×10 3 ( K )
_3 _

490×10 9

5.67×10 ×(5.91×10 3 )4
_2 7 6.92×10 ( W ·m )

_8

黑体例二
2.898×10 -3 m ·K

4.965
4.965

4.965 2.898×10 -3 m ·K

黑体例三

黑体例四
5.6705×10
-8

W· m-2 · K-4

5.6705×10

-8

W· m-2 · K-4

第二节
22-2
photoelectric effect and Compton effect

爱因斯坦与康普顿

1905年提出光量子(光子) 理论,成功解释光电效应。

1923年用X射线通过石墨的散射实
验进一步证明光的粒子性。光子与 电子碰撞服从能量及动量守恒定律。

光电效应实验
光束射到金属表面使 电子从金属中脱出的现 象称为光电效应。 频 率 相 同
饱和光电流 光强较强

饱和光电流
光强较弱

U = - Ua 时 i = 0 即光电子恰
被遏止,不能到达阳极。光电子 最大初动能可用遏止电势差与电 子电荷乘积的大小来量度。

光束射到金属表面使 电子从金属中脱出的现象 称为光电效应。 频 率 相 同 饱和光电流 光强较强 饱和光电流 光强较弱

实验基本规律

U = - Ua 时 i = 0 光

即光电子 恰被遏止,不能到达阳极。光电子 最大初动能等于 反向电场力的功


光电子最大初动能随入射光频 率增大而线性增大,与光强无关。

轴截距 称为截止频率或 红限, ,入射光频 率小于截止频率时无论光 强多 遏止电势差的大小与入射光 大都不能产生光电效应。每种 的频率成线性关系,与光强无关。 金属有自己的截止频率。
与材料 无关的普适常量
与材料 有关的常量

饱和光电流与光强成正比。 在饱和状态下,单位时间由阴极 发出的光电子数与光强成正比。

时无论光强多弱, 光照与电子逸出几乎同时发生。

波动理论的困难

光量子理论

光子能、质、动量式

光电效应方程

红限、逸出功数据表 某些金属和半导体的截止频率(红限)及逸出功
金 截止频率 逸出功 属 14 (10 Hz) (eV) 金 截止频率 逸出功 属 14 (10 Hz) (eV)

銫 Cs 銣 Rb 钾 K 钠 Na 锑 Sb 钙 Ca 锌 Zn 铀 U

4.69 5.15 5.43 5.53 5.68 6.55 8.06 8.76

1.94 2.13 2.25 2.29 2.35 2.71 3.34 3.63

铝 Al 硅 Si 铜 Cu

9.03 9.90 10.80

3.74 4.10 4.47

钨 W
锗 Ge 硒 Se 银 Ag 铂 Pt

10.97
11.01 11.40 11.55 15.28

4.54
4.56 4.72 4.78 6.33

光子论的成功解释
频率 一定,光强 越大则单位时间打在金属表面的 光子数就越多,产生光电效应时单位时间被激发而逸出 的光电子数也就越多,故饱和电流 与光强 成正比。

每一个电子所得到的能量只与单个光子的能量 有关, 即只与光的频率 成正比,故光电子的初动能与入射光的 频率 成线性关系,与光强 无关。
一个电子同时吸收两个或两个以上光子的概率几乎为零, 因此,若金属中电子吸收光子的能量 即入射光频率 时,电子不能逸出,不产生光电效应。 光子与电子发生作用时,光子一次性将能量 交给电子, 不需要持续的时间积累,故光电效应瞬时即可产生。 爱因斯坦因此而获得了1921年诺贝尔物理学奖

用波长l=0.35mm的紫外光照射金属钾做光电效应实验,求 (1)紫外光子的能量、质量和动量;

光电效应例题

(2)逸出光电子的最大初速度和相应的遏止电势差。
(1)由爱因斯坦光子理论 光子能量
- 19

5.68×10
6.31×10 (2)由爱因斯坦方程
- 36

(J )

光子质量
光子动量

(Kg)

1.89×10 - 27 (Kg ·m ·s- 1 )

查表, 钾的逸出功 A = 2.25 eV, 代入后解得 6.76×10 5 (m ·s- 1 ) 由截止电势差概念 及爱因斯坦方程解得 1.3 (V )

康普顿效应概述
用X射线照射一散射体(如石墨)时,X射 线发生散射,散射线中除有波长和入射线 l 相同的成分外, 还有波长 l l 的成分。这种现象称为康普顿效应。

谱线 l 称位移线
称 波长偏移量 或 康普顿偏移

l l l

l

l l l

l
外层电子

l
X 射 线
其光子能量比可见 光光子能量大上万倍

l
l
散射体
康普顿最初用石墨, 其原子序数不太大、 电子结合能不太高。

原子核与内层电 子组成的原子实

偏移 — 散射角实验 l ~ j 实验
l l l l l l

波长偏移量

l l l

射 线 源

l

散射体

散射角

l

不同物质实验

l

l

l

l

l

l

用X射线照射一散射体(如石墨)时,X 射线发生散射,散射线中除有波长和入射线 l 相同的成分 外,还有波长 l l 的成分。这种现象称为康普顿效应。 谱线 l 称位移线 l l l l l l l 称 波长偏移量 l 康普顿偏移 或 外层电子 l l X 射 线
其光子能量比可见 光光子能量大上万倍 散射体 康普顿最初用石墨,其原子序 数不太大、电子束缚能不太高。

散射要点归纳 要 点 归 纳:
1. 射线 波长 散射线中除有波长与入 相同的成分外,还有 的成分。

l

原子核与内 层电子组成 的原子实

l l 波长偏移量 l l l 射 线 源 l

l

l l

l

散射体

散射角

2. 波长偏移量 随散射角 的增大而增加,与 散射物质无关。 3. 各种散射物质对同一散射 角 ,波长偏移量 相等。当 散射物的原子序数增加时,散射 线中的 谱线强度增强, 谱 线的强度减弱。

l

偏移机理示意图
光的波动理论无法解释散射线中存在波长 l 康普顿用光子理论予以解释并给出波长偏移量 散射线中的 l 成分 是光子与原子实 发生弹性碰撞 的结果。

l

的成分。 的理论公式。

散射线中的 l l 成分 是光子与外层电子 发生弹性碰撞 的结果。 c c c

c

l
X 射 线
X射线光子能量

c

l
电子静止质量

l

原子实视为静止,其质量

散射体
散射物质原子外 层电子的结合能

故外层电子可视为自由电子 与光子碰撞前近似看成静止

光子与外层电子发生弹性碰撞时,服从动量守恒和能量 康普顿偏移公式 守恒定律。由此推导出波长偏移量表达式:

康普顿偏移公式

电子静止质量 故

普朗克常量 -12

真空中光速

均为常量

为常量,用

表示,称为 康普顿波长

2.43×10

(m)

0.00243 ( nm ) 随 的增大而增大 与散射物质无关 并与实验结果相符

散射体

光子与原子实发生弹性碰撞时,也服从动量守恒和能量 守恒定律。由此可推导出与康普顿偏移公式相似的形式:

有关现象解释

散射物质原子实的质量 为 10 -26 ~ 10-23 kg 数量级 -7 -10 -16 -19 为10 ~ 10 (m) 即10 ~ 10 ( nm ) 数量级 故 这样小的波长偏移量,仪器无法分辩,可认为

这就是散射线中波长为

的谱线。

散射物质的原子序数增大,原子核对电子的束缚力增强,组成原子 实的电子数目相对增多,可作为自由电子看待的电子数目相对减少,散 射线中的 谱线强度相对减弱, l 谱线的强度相对增强。

康普顿因发现康普顿效应而获得了1927年诺贝尔物理学奖

偏移公式推导
光子 电子 弹性碰撞
大小:

初能量
末 能 量
大小:



末 动 量

初动量

能量守恒
动量守恒

能量守恒
动量守恒

续36



应满足相对论的能量与动量的关系 联立解得 写成波长差的形式即为康普顿偏移公式:

康普顿、光电效应比较 康普顿效应与光电效应的异同
康普顿效应与光电效应都涉及光子与电子的相 互作用。 在光电效应中,入射光为可见光或紫外线,其 光子能量为ev数量级,与原子中电子的束缚能相差 不远,光子能量全部交给电子使之逸出,并具有初 动能。光电效应证实了此过程服从能量守恒定律。
在康普顿效应中,入射光为X射线或 g射线,光子 能量为10 4 ev 数量级甚至更高,远大于散射物质中电 子的束缚能,原子中的外层的电子可视为自由电子, 光子能量只被自由电子吸收了一部分并发生散射。 康普顿效应证实了此过程可视为弹性碰撞过程,能 量、动量均守恒,更有力地证实了光的粒子性。

康普顿效应例一

假定某光子的能量 在数值上恰好等于一个 静止电子的固有能量 ,求该光子的波长。


得 2.43×10
联想:

6.63×10 -31 8 9.11×10 ×3×10
-12

-34

(m)

0.00243 ( nm )

康普顿波长

其数值恰等于本题所设光子的波长。即,若一个光子的能量在数值 上等于一个静止电子的固有能量时,该光子的波长在数值上等于康普顿 波长(在研究实物粒子的波动性时又称为电子的康普顿波长)。

止频率为 9.03×1014 Hz ),能否产生光电效应?能 否观察到康普顿效应(假定所用的仪器不能分辨出 小于入射波长的千分之一的波长偏移)? 3×10 8 ( 200×10 -9) 1.5×10 (Hz)
15

康普顿效应例二 用波长为 200 nm 的光照射铝(Al 的 截

截止频率 可产生光电效应
时(逆向散射)
max

max max

0.00243 ( nm ) 0.00486 nm 200 nm

0.00486 ( nm )
0.001

0.0000243

观察不到康普顿效应

康普顿效应例三
动能

2 2 3.00×10 +2×0.00243×0.5

3.12×10-2 (nm)

弹碰前系统能量:
弹碰后系统能量: 能量守恒

6.63×10-34 ×3×10 8 ×( 3.00 3.12) ×10 2 ×10 -9 2.25×10 -16( J ) 1.59×10 3 ( ev )

康普顿效应例四

动量守恒
式中入射光子动量

随堂小议 请在放映状态下点击你认为是对的答案
在光电效应中,光电流的大小主要依赖于 (1)入射光的频率 ; (2)入射光的相位和频率; (3)入射光的强度; (4)入射光的强度和频率。
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第三节
22-3
experiment law of atomic spectrum

氢原子光谱
实验系统示意图
氢 灯 平行光管 分光元件

检测系统

巴耳末系 赖曼系

波长 0.8

0.6
可 见 光

0.4

0.2

mm

普芳德系

布喇开系

帕邢系

紫 外 线

5.0

4.0


3.0


2.0
线

从1885年至1924年科 学家们先后在可见光、 紫外和红外区发现了氢 原子的光谱线系列,并 m m 1.0 得到普遍的实验规律:

里德伯常量
普芳德系 布喇开系 m= 4 m=5
帕邢系 m= 3 巴耳末系 m=2 赖曼系 m= 1

l: 1 n: 6
5.0

1 5
4.0 3.0 2.0

1 4
1.0 mm

l : 1 n : 3
0.8 0.6

2 34 4 56
0.4

1 23 2 34
0.2 波长 m m

实验规律

系序数 m 系内的线序数 l 系序数+线序数 n = m + l

谱线的波长
称为氢原子的里德伯常量 称为波数

的倒数

里兹组合原则
氢原子光谱的谱线有 非连续性、稳定性 和 规律性 三个最明显的特点:

研究其它元素(如碱金属元素)的原子光谱亦发现具有同 样特点。其谱线规律可用类似的公式表达

为改正数,由具体的元素和原子光谱线系确定。 在原子光谱中,组成每一线系的谱线,一般可表成两项 之差的形式 称为里兹组合原则, 可见, 称为光谱项。

非连续性、稳定性和规律相似性 是原子光谱谱线的普遍特点。

经典理论的困难
1911年卢瑟福根据a粒子散射实验提出了原子有核模型。原子的质量 几乎集中于带正电的原子核,而核的半径只占整个原子半径的万分之一 至十万分之一;带负电的电子散布在核的外围。卢瑟福的原子有核模型 成功地解释了a 粒子散射实验。

然而,将经典电磁理论用于卢瑟福的原子模型却无法解释 原子光谱的实验规律。

经典理论认为
绕核运动的电子不断辐射电磁 波,轨道半经随能耗而连续变小, 其光谱应是连续变化的带状光谱。 绕核运动的电子因轨道变小必 迅速落入原子核。因此,原子及 其光谱应是不稳定的。 无法理解

原子光谱实验规律 非连续的线状光谱

光谱状态稳定
谱线分布有规律可循

玻尔续量子实验
1913年玻尔将普朗 克、爱因斯坦的量子 理论推广到卢瑟福的 原子有核模型中,并 结合原子光谱的实验 规律,提出他的氢原 子理论,奠定了原子 结构的量子理论基础。 为此他获得1922年诺 贝尔物理学奖。

定态假设 玻尔的氢原子理论的三个重要假设
定态假设 量子化条件假设

频率条件假设

定态假设
原子中的电子只能 在一些半径不连续的 轨道上作圆周运动。 在这些轨道上运动 的电子不辐射(或吸收) 能量而处于稳定状态, 称为定态。 相应的轨道称为 定态轨道









量子化条件假设 玻尔的氢原子理论的三个重要假设
定态假设 量子化条件假设

频率条件假设

量子化条件假设 定态假设
原子中的电子只能 在定态轨道上运动的 在一些半径不连续的 电子,其角动量只能取 轨道上作圆周运动。 h / (2p) 的整数倍,即 在这些轨道上运动 h L = m v r = n 的电子不辐射(或吸收) 2p = n h 能量而处于稳定状态, 称为定态。 称为 角动量量子化条件 相应的轨道称为 … 为量子数 n = 1,2,3, 定态轨道

v r

m









频率条件假设 玻尔的氢原子理论的三个重要假设
定态假设 量子化条件假设

频率条件假设

量子化条件假设 频率条件假设
电子从某一定态向另 在定态轨道上运动的 一定态跃迁时将发射 电子,其角动量只能取 (或吸收)光子。 h / (2p) 的整数倍,即 若初态和终态的能 h L 量分别为 =mvr= n = 和 mn h En 2 pE 且 En Em 则发射光子的频率 称为 角动量量子化条件

En

n
v r
m

n = 1,2,3, … 为量子数
称为 玻尔的频率条件

n = ( En - Em )

h

电子轨道半径 玻尔氢原子理论中电子定态轨道半径 的计算
库仑力 向心力

v r
时,

m
库仑力 向心力

由 角动量量子化条件

h L = m v r = n 2p = n h n = 1,2,3, …
联立解得

为电子轨道的最小半径 称为 玻尔半径 表成
则氢原子的可能轨道半径为 即

能量公式 氢原子的能量公式
电子在 轨道上运动具有的总能量

设无穷远势能为零,则

动能 是 势能

之和

能量量子

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