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【创新设计】2016届 数学一轮课件(文科)北师大版 第五章 平面向量 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示


第2讲
? 夯基释疑

平面向量基本定理及 坐标表示

考点一 概要 ? 考点突破 考点二 考点三 ? 课堂小结

例1 例2 例3

训练1

训练2
训练3

夯基释疑

1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.( ) → → (2)在△ABC 中,向量AB,BC的夹角为∠ABC.( ) (3)若 a,b 不共线,且 λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则 λ1=λ2, μ1=μ2.( ) (4)若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件可表 x1 y1 示成 = .( ) x2 y2

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考点突破 考点一 平面向量基本定理的应用
→ 例 1 在△ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD 平分∠ACB.若CB=a, → → CA=b,|a|=1,|b|=2,则CD=( ) 1 2 2 1 3 4 4 3 A. a+ b B. a+ b C. a+ b D. a+ b 3 3 3 3 5 5 5 5

解析 (1)法一 因为 CD 平分∠ACB,由角平分线定理, C AD AC |b| 得DB=BC= =2, |a| → → 2→ 所以AD=2DB= AB. 3 → → → 所以CD=CA+AD A B D 2 2 → → → → → =CA+ AB=CA+ (CB-CA) 3 3 2→ 1→ 2 1 = CB+ CA= a+ b. 3 3 3 3
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深度思考: 角平分线定理 你知道吗?若 知道的话可结 合平面向量基 本定理解决;若 不知道的话可 用特殊三角形 解决,不妨试试.
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考点突破 考点一 平面向量基本定理的应用

→ 例 1 在△ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD 平分∠ACB.若CB=a, → → CA=b,|a|=1,|b|=2,则CD=( ) 1 2 2 1 3 4 4 3 A. a+ b B. a+ b C. a+ b D. a+ b 3 3 3 3 5 5 5 5

解析 法二 (特殊值法)构造直角三角形,
让 CB=1,CA=2,AB= 3, 3 则∠DCB=30° ,所以 BD= . 3 → 1→ → → → 故BD= BA,CD=CB+BD 3 1 2 1 =a+ (b-a)= a+ b. 3 3 3 答案 B
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C

A

D

B

一般情况下的结论,一定适合特 殊情况,这充分体现了选择题的特 点。要善于利用特殊值法解题,简 便、易想、准确!
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考点突破 考点一 平面向量基本定理的应用

规律方法
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边 形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算. (2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一 组基底, 并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式, 再通过 向量的运算来解决.

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考点突破 考点一 平面向量基本定理的应用
1 【训练 1】 设 D, E 分别是△ABC 的边 AB, BC 上的点, AD= AB, 2 2 → → → BE= BC.若DE=λ1AB+λ2AC(λ1,λ 2 为实数),则 λ1+λ2 的值为 3 ________.
→ → → 1→ 2→ 解析 DE =DB+BE= AB+ BC 2 3 1→ 2 → → = AB+ (BA+AC) 2 3 1→ 2→ =- AB+ AC, 6 3 1 2 所以 λ 1=- ,λ 2= , 6 3 1 即 λ 1+λ 2= . 2 1 答案 2
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C

E A D B

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考点突破 考点二 平面向量的坐标运算
【例题 2】(1)(2014· 北京海淀区模拟)已知平面向量 a=(1,1),b 1 3 =(1,-1),则向量 a- b=( ) 2 2 A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2) → → (2)在平行四边形 ABCD 中, AC 为一条对角线, 若AB=(2, 4), AC → =(1,3),则BD=( ) A.(-2,-4) B.(-3,-5) C.(3,5) D.(2,4) ?1 1? 3 ?3 3? 1 1 3 ? ? ? ? 解析 (1)因为2a=?2,2?,2b=?2,-2?,所以2a-2b=(-1,2). → → → → → → → → (2)由题意得BD=AD-AB =BC-AB=(AC-AB)-AB
→ → =AC-2AB

=(1,3)-2(2,4)=(-3,-5).

答案

(1)D (2)B
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考点突破 考点二 平面向量的坐标运算

规律方法
向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行.若 已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程 中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.

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考点突破 考点二 平面向量的坐标运算
训练 2 (1)(2014· 揭阳二模)已知点 A(-1,5)和向量 a=(2,3), → 若AB=3a,则点 B 的坐标为( ) A.(7,4) B.(7,14) C.(5,4) D.(5,14) → → (2)在△ABC 中, 点 P 在 BC 上, 且BP=2PC, 点 Q 是 AC 的 → → → 中点,若PA=(4,3),PQ=(1,5),则BC等于( ) A.(-2,7) B.(-6,21) C.(2,-7) D.(6,-21)

→ 解析 (1)设点 B 的坐标为(x,y),则AB =(x+1,y-5). ? ? ?x=5, ?x+1=6, → 解得? 由AB=3a,得? ? ? ?y=14. ?y-5=9, → → → → → → (2)BC=3PC=3(2PQ-PA) =6PQ-3PA =(6,30)-(12,9)=(-6,21). 答案 (1)D (2)B
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考点突破

考点三

向量共线的坐标表示

例 3 平面内给定三个向量 a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)若(a+kc)∥(2b-a),求实数 k; (2)若 d 满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|= 5,求 d 的坐标.

(1)解 a+kc=(3+4k,2+k),
2b-a=(-5,2),

(2)解 设 d=(x,y), 则 d-c=(x-4,y-1),

又 a+b=(2, 4), |d-c|= 5, 由题意得 2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0, ? ?4(x-4)-2(y-1)=0, ∴? 16 2 2 ? ?(x-4) +(y-1) =5, 解得 k=- . 13 ? ?x=3, ? ?x=5, 解得? 或? ? ?y=-1 ? ?y=3.
∴d 的坐标为(3, -1)或(5, 3).
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考点突破

考点三

向量共线的坐标表示

规律方法
(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式: ①若 a=(x1, y1), b=(x2, y2), 则 a∥b 的充要条件是 x1y2-x2y1=0; ②若 a∥b(a≠0), 则 b=λa. (2)向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行,也可以由 平行求参数.当两向量的坐标均非零时,也可以利用坐标对应成 比例来求解.

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考点突破

考点三

向量共线的坐标表示

训练 3 (1)已知梯形 ABCD,其中 AB∥CD,且 DC=2AB,三 个顶点 A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点 D 的坐标为________. (2)已知向量 a=(3,1),b=(1,3),c=(k,7),若(a-c)∥b, 则 k=________. → → 解析 (1)∵在梯形 ABCD 中,DC=2AB,AB∥CD, ∴DC=2 AB. → 设点 D 的坐标为(x,y), 则DC=(4,2)-(x,y)=(4-x,2-y), y → D 4 AB=(2,1)-(1,2)=(1,-1),

∴(4-x,2-y)=2(1,-1), 即(4-x,2-y)=(2,-2)
? ? ?4-x=2, ?x=2, ∴? 解得? ? ? ?2-y=-2, ?y=4,

3 2 1

A B
1 2 3

C

故点 D 的坐标为(2,4). (2)依题意得 a-c=(3-k,-6),由(a-c)∥b, 得-6=3(3-k),解得 k=5.
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O

4 x

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课堂小结

思想方法

1.对平面向量基本定理的理解 (1)平面向量基本定理实际上是向量的分解定理,并且是平 面向量正交分解的理论依据,也是向量的坐标表示的基础. (2)平面向量一组基底是两个不共线向量,平面向量基底可 以有无穷多组. (3)用平面向量基本定理可将平面中任一向量分解成形如 a =λ1e1+λ2e2 的形式,是向量线性运算知识的延伸.
2.向量共线的作用 向量共线常常用来解决交点坐标问题和三点共线问题,向 量共线的充要条件用坐标表示为 x1y2-x2y1=0.

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课堂小结

易错防范

1.要注意点的坐标和向量的坐标之间的关系,向量的终 点坐标减去起点坐标就是向量的坐标,当向量的起点是原点时 ,其终点坐标就是向量的坐标。 2. 向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、 终点的相对 位置有关系,两个相等的向量,无论起点在什么位置,它们的 坐标都是相同的.
3.若 a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a∥b 的充要条件不能 x1 y1 表示成 = ,因为 x2,y2 有可能等于 0,所以应表示为 x2 y2 x1y2-x2y1=0.

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(见教辅)

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