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名校2014届高三12月月考数学试题分类汇编5:不等式


江苏省名校 2014 届高三 12 月月考数学试题分类汇编 不等式
一、填空题 1、江苏省扬州中学 2014 届高三上学期 12 月月考) x, y 均为正实数, ( 设 且 则 xy 的最小值为 答案:16 ▲

3 3 ? ? 1, 2? x 2? y

?x ? y ? 0 ? 2、 (江苏省南京市第一中学 2014 届高三

12 月月考) 已知实数 x, y 满足 ? x ? 1 且目标函 ? y?0 ?
数 z ? 2ax ? by (a ? 0, b ? 0) 的最大值是 1 ,则 ab 的最大值为 答案:

1 8
2 2

3、 (江苏省诚贤中学 2014 届高三 12 月月考) 设正实数 x, y, z 满足 x ? 3 xy ? 4 y ? z ? 0 , 则当

z 取得最大值时, x ? 2 y ? z 的最大值为____ xy

答案:2 4、 (江苏省东海县第二中学 2014 届高三第三次学情调研)若动点 P( m, n) 在不等式组

?2 x ? y ? 4 n ?1 ? 表示的平面区域内的动点,则 z ? 的取值范围是 ?x ? 0 m ?1 ?y ? 0 ?
答案: [ , 5]



.

1 3

5、江苏省东台市创新学校 2014 届高三第三次月考) x, 是正实数, x+y=1, ( 设 y 且 则 的最小值是 答案: .

1 4

6、 (江苏省阜宁中学 2014 届高三第三次调研)已知 a ? ? x ? 1, 2 ? , b ? ? 4, y ? ,若 a ? b ,则

?

?

?

?

9 x ? 3 y 的最小值为
答案:6



.

7、 (江苏省灌云高级中学 2014 届高三第三次学情调研)已知点 p(a, b)与点Q (1,0)在直
1

线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 的两侧,则下列说法 (1) 2a ? 3b ? 1 ? 0 (2) a ? 0 时,

b 有最小值,无最大值 a

(3) ?M ? R? , 使 a 2 ? b 2 ? M 恒成立 (4) a ? 0且 a ? 1 , b ? 0时 , 则 其中正确的是

b 1 2 的取值范围为(- ?, ? ) ? ( , ? ?) a ?1 3 3
(把你认为所有正确的命题的序号都填上)

答案: (3) (4) 8、 (江苏省粱丰高级中学 2014 届高三 12 月第三次月考)设 x, y 为实数,若 4 x 2 ? y 2 ? xy ? 1 , 则 2x ? y 的最大值是 ▲ 答案:

2 10 5

? x ? 0, ? 9、 (江苏省诚贤中学 2014 届高三 12 月月考) 已知实数 x, y 满足约束条件 ? y ? 2 x ? 1, ( k ?x ? y ? k ? 0 ?

为常数) ,若目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值是 答案:-3

11 ,则实数 k 的值是 ▲ 3

.

? y ? x, ? 10、 (江苏省兴化市安丰高级中学 2014 届高三 12 月月考)已知不等式组 ? y ? ? x, 表示的平 ? x?a ?
面区域 S 的面积为 4 ,若点 P( x, y) ? S ,则 z ? 2 x ? y 的最大值为 6. 答案:6 11 、 江 苏 省 张 家 港 市 后 塍 高 中 2014 届 高 三 12 月 月 考 ) 已 知 点 P 的 坐 标 (

?x ? y ? 4 ? 2 2 ( x , y 满足 ? y ? x ) , 过点 P 的直线 l 与圆 C : x ? y ? 16 相交于 A、 两点, AB B 则 ?x ? 1 ?
的最小值为 答案: 2 6 ▲ .

2

二、解答题 1、 (江苏省扬州中学 2014 届高三上学期 12 月月考) 某种商品原来每件售价为 25 元,年销售 8 万件. (1)据市场调查,若价格每提高 1 元,销售量将相应减少 2000 件,要使销售的总收入不低 于原收入,该商品每件定价最多为多少元? (2)为了扩大该商品的影响力,提高年销售量.公司决定明年对该商品进行全面技术革新 和营销策略改革,并提高定价到 x 元.公司拟投入 ( x ? 600) 万元作为技改费用,投入 50 . 6
2

1

万元作为固定宣传费用,投入

1 x 万元作为浮动宣传费用.试问:当该商品明年的销售量 a 5

至少应达到多少万件时, 才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和?并求出此时 ... ... 商品的每件定价. 解: (1)设每件定价为 x 元,依题意,有 (8 ?

x ? 25 ? 0.2) x ? 25 ? 8 , 1 2 整理得 x ? 65 x ? 1000 ? 0 ,解得 25 ? x ? 40 .

∴ 要使销售的总收入不低于原收入,每件定价最多为 40 元.………7′ (2)依题意, x ? 25 时, 不等式 ax ? 25 ? 8 ? 50 ?

1 2 1 ( x ? 600) ? x 有解, 等价于 x ? 25 时, 6 5

a?

150 1 1 ? x ? 有解, ? 150 ? 1 x ? 2 150 ? 1 x ? 10 ?当且仅当x ? 30时,等号成立? , x 6 5 x 6 x 6 ? a ? 10.2 .

∴ 当该商品明年的销售量 a 至少应达到 10.2 万件时, 才可能使明年的销售收入不低于原收入 与总投入之和,此时该商品的每件定价为 30 元.……14 2、 (江苏省东海县第二中学 2014 届高三第三次学情调研) 某小商品 2012 年的价格为 8 元/件,年销量为 a 件, 现经销商计划在 2013 年将该商品的价格 降至 5.5 元/件到 7.5 元/件之间,经调查,顾客的期望价格为 4 元/件,经测算,该商品的 价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比, 比例系数为 k , 该商品的 成本价格为 3 元/件。 (1)写出该商品价格下降后,经销商的年收益 y 与实际价格 x 的函数关系式。 (2)设 k ? 2a ,当实际价格最低定为多少时,仍然可以保证经销商 2013 年的收益比 2012 年至少增长 20%? 解 : 1 ) 设 该 商 品 价 格 下 降 后 为 x 元 / 件 , 销 量 增 加 到 (a ? (

k ) 件,年收益 x?4

y ?(a?

k ) ( x ? 3 ) , 5 .? x ? 5 x?4

7,…………………………7 分 .5 2a )( x ? 3) ? (8 ? 3)a ? (1 ? 20%) 解之得 x?4
3

(2)当 k ? 2a 时,依题意有 (a ?

x ? 6或4 ? x ? 5 ,…………………………12 分
又 5.5 ? x ? 7.5 所以 6 ? x ? 7.5 因此当实际价格最低定为 6 元/件时, 仍然可以保证经销商 2013 年的收益比 2012 年至 少增长 20%。…………………………14 分 3、 (江苏省东台市创新学校 2014 届高三第三次月考) 近年来,某企业每年消耗电费约 24 万元, 为了节能减排, 决定安装一个可使用 15 年的 太阳能供电设备接入本企业电网, 安装这种供电设备的工本费(单位: 万元)与太阳能 电池板的面积(单位: 平方米)成正比, 比例系数约为 0.5. 为了保证正常用电, 安装后 采用太阳能和电能互补供电的模式. 假设在此模式下, 安装后该企业每年消耗的电费

C (单位:万元)与安装的这种太阳能电池板的面积 x (单位:平方米)之间的函数关系是
C ( x) ? k ( x ? 0, k 20 x ? 100 为常数). 记 F 为该村安装这种太阳能供电设备的费用与该

村 15 年共将消耗的电费之和. (1)试解释 C (0) 的实际意义, 并建立 F 关于 x 的函数关系式; (2)当 x 为多少平方米时, F 取得最小值?最小值是多少万元? 解: (1) C (0) 的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积为 0 时的用电费用, 即未安装电阳能供电设备时全村每年消耗的电费

k ? 24 ,得 k ? 2400 100 2400 1800 ? 0.5 x ? ? 0.5 x, x ? 0 ---------8 分 所以 F ? 15 ? 20 x ? 100 x?5 1800 ? 0.5( x ? 5) ? 0.25 ? 2 1800 ? 0.5 ? 0.25 ? 59.75 (2)因为 F ? x?5 1800 ? 0.5( x ? 5) ,即 x ? 55 时取等号 当且仅当 x?5 所以当 x 为 55 平方米时, F 取得最小值为 59.75 万元
由 C (0) ? (说明:第(2)题用导数求最值的,类似给分) -----------------------16 分 4、 (江苏省灌云高级中学 2014 届高三第三次学情调研) 某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边成角为 60 (如图) ,考虑到防 洪堤坚固性及石块用料等因素,设计其横断面要求面积为 9 3 平方米,且高度不低于 3 米. 记防洪堤横断面的腰长为 x (米)外周长 .......BC 与两腰长的和) y(米) , (梯形的上底线段 . ...... 为 ⑴求 y 关于 x 的函数关系式,并指出其定义域; ⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5 米,则其腰长 x 应在什么范围内? ⑶当防洪堤的腰长 x 为多少米时,堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最 小)?求此时外周长的值.
?

B
4

C

x
60?

A

D

解:⑴ 9 3 ?

1 x 3 ( AD ? BC )h ,其中 AD ? BC ? 2 ? ? BC ? x , h ? x, 2 2 2
? 3 x? 3 ?h ? ? 2 由? ,得 2 ? x ? 6 ? BC ? 18 ? x ? 0 ? x 2 ?

18 x 1 3 ∴ 9 3 ? (2 BC ? x) x ,得 BC ? ? , x 2 2 2
∴ y ? BC ? 2 x ? ⑵y? ⑶y?

18 3x ? , (2 ? x ? 6) ; --------------------6 分 x 2

18 3x ? ? 10.5 得 3 ? x ? 4 ∵ [3, 4] ? [2,6) ∴腰长 x 的范围是 [3, 4] ------10 分 x 2
18 3x 18 3x 18 3x ,即 x ? 2 3 ? [2, 6)时等号成 ? ?2 ? ? 6 3 ,当并且仅当 ? x 2 x 2 x 2

立.∴外周长的最小值为 6 3 米

5


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