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四川省达州市2014届高三数学第一次诊断检测试题 理(含答案)新人教A版


达州市普通高中 2014 届第一次诊断性测试 数学试题(理工农医类)及答案
本试题卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题) .第一部分 1 至 2 页,第二部 分 3 至 4 页,共 4 页.考生作答时,须将答案答在答题卡上,在本试题卷、草稿纸上答题无 效.满分 150 分.考试时间 120 分钟.考试结束后,将本试题卷和答题卡一并交回. 注意事项: 1.选择题必须

使用 2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上. 2.本部分共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 第一部分(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

1.已知全集 U ? R ,集合 A ? {x ? Z y ? A. ?3,5? 2.复数 z ? A.2 B. ?3,5?

x ? 3}, B ? { y y ? x 2 , x ? 5} ,则 A ? B 等于
C. {4,5} D. {3, 4,5}

3?i 的虚部为 1? i
B.-2 C. 2 i

D. ? 2i

3.命题 " ?x ? 1, 2x ? a ? 0" 的否定为 A. ?x ? 1, 2 x ? a ? 0 C. ?x ? 1, 2 x ? a ? 0 B. ?x ? 1, 2 x ? a ? 0 D. ?x ? 1, 2 x ? a ? 0

4.在等差数列 {an } 中,已知 a4 ? a8 ? 16 ,则该数列前 11 项的和 S11 等于 A.58 B.88 C.143 D. 176

5.平行四边形 ABCD 中, AB ? (1, 0) AC ? (2, 2) ,则 AD?BD 等于 A.4 6.已知函数 f ( x) ? lg A. ? 0, ? 2 B.-4 C.2 D. -2

??? ?

??? ?

???? ??? ?

? ?

1? ?

x ,若 f (a) ? f (b) ? 0 且 0 ? a ? b ? 1 ,则 ab 的取值范围是 1? x ? 1? ? 1? ? 1? B. ? 0, ? C. ? 0, ? D. ? 0, ? ? 2? ? 4? ? 4?

7.由数字 1、2、3、4、5 组成没有重复数字,且 3 与 4 相邻,1 与 2 不相邻的五位数的个数 为 A.1120 B.48 C.24 D. 12

1

8.已知 f ( x ) ? A. ?1, ?? ?

? ?(3 ? a ) ( x ? 1) 是 ? ??, ?? ? 上的增函数,则实数 a 的取值范围是 log ( x ? 1) ? ? a
B. ?1,3? C. ? ,3 ?
2

?3 ?2

? ?

D. ? 1, ?

? 3? ? 2?
c, ? )4 (集 x ?合 8 x c)

9. 设 函 数

2 f ( x? ) 2 ( x? 8 x c) ( ? x 2 ? 8x 1? ? x )? 0 } M ? {x | f ( {x1 , x2 ,? , x7 } ? N* ,设 c1 ? c2 ? c3 ? c4 ,则 c1 ? c4 ? A.9 B.8 C. 7

c ) ?( x 3

?2 8x

D. 6

? 10. 定 义 : 如 果 函 数 y ? f ( x) 在 区 间 ? a, b ? 上 存 在 x1 , x2 ( a

x 1?

x b满 足 2 ? ),

f (b) ? f (a) f (b) ? f (a) , f ( x2 ) ? , 则称函数 y ? f ( x) 在区间 ? a, b ? 上的一个双 b?a b?a 1 3 2 中值函数,已知函数 f ( x) ? x ? x ? a 是区间 ? 0, a ? 上的双中值函数,则实数 a 的取值范 3 f ( x1 ) ?
围是 A. ? 0, ?

? ?

2? 3?

B. ? ,3 ?

?2 ?3

? ?

C. ? ,3 ?

?1 ?2

? ?

D. ?1,3?

第二部分(非选择题

共 100 分)

注意事项: 1.必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答.作图 题可先用铅笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚.答在试题卷上无效. 2.本部分共 11 小题,共 100 分. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11、给出右边的程序框图,则输出的结果为_______
2 12、 ( ax ?

1 5 ) 的展开式中各项系数的和为 243,则该展开式中的常数项 x

为______ 13、若函数 f ( x ) ? 4x ? k ?2x ? k ? 3 有唯一零点,则实数 k 的取值范围是 ______
/ 14、定 义 在 R 上 的 奇 函 数 f ( x) 满 足 : 当 x ? 0 时 f ( x) ? xf ( x) ? 0 且

f (2) ? 0 ,则 ( x ? 3) f ( x) ? 0 的解集为______
15、有以下四个命题: (1)函数 f ( x) ? x e 既无最小值也无最大值;
2 x

(2)在区间 ? ?3,3? 上随机取一个数 x ,使得 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 成立的概率为 ;

5 6

2

(3)若不等式 (m ? n)( 16;

a 1 ? ) ? 25 对任意正实数 m, n 恒成立,则正实数 a 的最小值为 m n

5 ? ? 3 ,( x ? 0) ? (4)已知函数 f ( x) ? ? x ? 1 ,若方程 f ( x) ? k ( x ? 2) ? 2 恰有三个不同的 ? x 2 ? 4 x ? 2 ,( x ? 0) ?
实根,则实数 k 的取值范围是 k ? (0, 2) ;以上正确的明天序号是:_______ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16、已知函数

{an }

1 {a ? bn } 是首项为 2,公比为 2 的等比数列,数列 n 是首项为-2,第三项

为 2 的等差数列. (1)求数列 {an },{bn } 的通项式 (2)求数列 {bn } 的前 n 项和 sn 。

17























f(

? x)

? ? ( ? 0? , | ? ? ? A s? ? i ( An x ) | 0 x ?,R ,
2

)

的部分图象如图所示 (1)求 f ( x) 的解析式. (2)已知 g ( x) ? 3 f ( x ?

?
4

) ? f ( x), 且 tan ? ? 3, 求 g ( x) 的值。

18.(本小题满分 12 分)由于当前学生课业负担较重,造成青少年视力普遍下降,现从某中 学随机抽取 16 名学生,经校医用对数视力表检査得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小 数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶)如右: (I )若视力测试结果不低于 5.0,则称为“好视力”,求校医从这 16 人中随机选取 3 人, 至多有 1 人是“好视力”的概率; (II)以这 16 人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校(人数很多) 任选 3 人,记

3

表示抽到“好视力”学生的人数,求 的分布列及数学期望,据此估计该校高中学生好视 力的人数.

19.如图所示,某饲养场要建造一间两面靠墙的三角形露天养殖场,已知已有两面墙的夹角 为 60°(即 ?C ? 60 ) ,现有可供建造第三面围墙的材料 60 米(两面墙的长均大于 60 米) ,为了使得小老虎能健康成长,要求所建造的三角形露天活动室尽可能大,记 ?ABC ? ? , (1)问当 ? 为多少时,所建造的三角形露天活动室的面积最大? (2)若饲养场建造成扇形,养殖场的面积能比(1)中的最大面积更大?说明理由。
?

20.设函数 f ( x) ? e2 (e x ? 1) ? ax3 (1)当 a ? ? 时,求 f ( x) 的单调区间; (2)若当 x ? 0 时 f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围。

1 3

21.(14 分)已知二次函数 h(x)=ax +bx+c(其中 c<3),其导函数 y ? ??( x) 的图象如图,
2

f(x)=6lnx+h(x). ①求 f(x)在 x=3 处的切线斜率;

4

②若 f(x)在区间(m,m+

1 )上是单调函数,求实数 m 的取值范围; 2

③若对任意 k∈[-1,1],函数 y=kx(x∈(0,6])的图象总在函数 y=f(x)图象的上方,求 c 的 取值范围.

达州市普通高中 2014 届第一次诊断性测试数学(理) 参考答案及评分意见 一、选择题 DBBBA DCCAB 二、填空题 11.4 三、解答题 1 16.解:(1)∵数列{ an }是首项 a1 =2,公比 q= 的等比数列, 2 ∴an=2· ( ) 12.10 13. (??, ?3) ? {6} 14. (?2, 0) ? ? 2,3? 15.(2) (3).

1 2

n-1

=2

2-n

, n ? N ???????3 分

?

依题意得数列{bn+an}的公差 d=

2 ? (?2) =2, 2

∴bn+an=-2+2(n-1)=2n-4,

n ? N ? ????????6 分 ? 1? 2?1- n? ? 2 ? ? 1? (2) 设 sn 为{ an }的前 n 项和,由(1)得 Sn= =4?1- n?........9 分 1 ? 2?
∴bn=2n-4-2
2-n



设数列{bn+an}的前 n 项和为 Pn . n( n4) -3), n(?2 ?= 2n ? ? 1? 2 2-n 2 12 分 ∴Tn=Pn-Sn=n(n-3)-4?1- n?=n -3n-4+2 ???? ? 2? 17. 解 :(1) 由 图 像 知 A ? 1 ,

1- 2 则 Pn=

? ? ? 2 ? (? ) ? ? ? 0 得 ? ? ∴ f ( x) ? sin(2 x ? ) 3 6 3
(2)∵ f ( x) ? sin(2 x ?

T ? ? ? ? ? (? ) ? ,∴ T ? ? 2 3 6 2

∴ ??

2? ?2 又 T

????????6 分

?

) ∴ g ( x) ? 3 sin[2( x ? ) ? ] ? sin(2 x ? ) 3 4 3 3

?

?

?

? 3 sin(2 x ? ) ? sin(2 x ? ) 6 3

?

?

5

? 3(sin 2 x cos

?

? cos 2 x sin ) ? sin 2 x cos ? cos 2 x sin 6 6 3 3

?

?

?

= 2 sin 2 x ?????????????????10 分 ∵ tan ? ? 3 ∴ g (? ) ? 2sin 2? ? 3 ?????..12 分 18.解: (1)设事件 Ai 为所取三名学生中有i名是 “好视力” ,至多有 1 名是“好视力” 记为事件 A,? P ( A) ? P ( A0 ) ? P ( A1 ) ?
3 1 2 C12 C4 C12 121 ? ? ??????5 分 3 3 C16 C16 140

(2)由题意知 ? ~ B(3, ), ?的可能取值为0.1.2.3

1 4

???????6 分

27 3 27 2 1 3 2 p(? ? 1) ? c3 ( ) ? p(? ? 0) ? ( )3 ? 4 64 4 4 64 9 1 1 2 3 1 2 ???????8 分 p(? ? 2) ? c3 ( ) ? p(? ? 3) ? ( )3 ? 4 64 4 4 64 所以 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

27 27 9 1 64 64 64 64 27 27 9 1 3 1 3 数学期望 E? ? ? 0 ? ?1 ? ? 2 ? ? 3 ? (或者 E? ? np ? 3 ? ? ?10 分. 4 4 64 64 64 64 4 1 该校高中学生好视力人数约为 5600 ? ? 1400 (人)?????12 分. 4 2 2 2 2 o 19.解: (1)解法一:在 ?ABC 中,由余弦定理: c ? 60 ? a ? b ? 2ab cos60 ..2 分
? a 2 ? b 2 ? ab ? 3600

?3600 ? ab ? a 2 ? b2 ? 2ab

??????????????.4 分 ..................................

?ab ? 3600
..........................6 分

3 ab ? 900 3 此 时 4 ? , S?ABC m6 ? ( a0 x8 分 ?????? AC AB BC 解法二:在 ?ABC 中,由正弦定理: ······· 2 分 ? ? sin ? sin ? sin(? ? ? ) 3 3 ?? ? BC ? 40 3. sin?? ? ? ······ 4 分 化简得: AC ? 40 3. sin ? , 3? ? 1 ? 所以 S?ABC ? AC ? BC ? sin 2 3 ?1 ? ?? 3 ? ? 1200 3. sin ? ? sin?? ? ? ? 1200 3 sin ? ? sin ? ? cos? ? ? ? ·· 6 分 3? 2 ? ?2 ?

1 ? AC ? BC ? sin 2 3 a ? b, ?ABC是等边三角形 ?? ? S?ABC ?

?

)

6

? 1 ? cos 2? ? 3 ? ? 600 3 sin 2 ? ? 3 sin ? ? cos? ? 600 3 ? ? sin 2 ? ? ? 2 2 ? ? ?1 ? ?? ? ? 600 3 ? ? sin? 2? ? ?? 6 ?? ? ?2

?

?

2? ) ? ? 300 3 (0 ? ? ? 3 6? ? ? ? 所以当 2? ? ? , 即 ? ? 时, ( S ?ABC ) max ? 900 3 ······ 8 分 3 6 2 ? 180 (2)法若饲养场建造成扇形时,由 60= ? AC 得 AC ? 3 ? 1 180 5400 所以扇形的面积为 ? 60 ? ????????10 分 ? 2 ? ?
即 S ?ABC ? 600 3. sin? 2? ?

? ?

??

因为 900 3 ?

5400 5400 ? ? 2 3

所以养殖场建造成扇形时面积能比 (1) 中的最大面积更大............................12 分 20.解: (1)当 a ? ? 时, f ( x) ? x (e ? 1) ?

1 1 3 2 x x 3 3 f ' ( x) ? 2 x(e x ? 1) ? x 2 e x ? x 2 ? (2 x ? x 2 )(e x ? 1) ' ' 令 f ( x) ? 0 ,得 x ? 0 或 ? 2 ? x ? 0 ;令 f ( x) ? 0 ,得 x ? ?2

? f ( x) 的单调递增区间为 (?2, ? ?)
f ( x) 的单调递减区间为 (?? , ? 2)
2 x

??.................6 分

( 2 ) 因为f ( x) ? x (e ? 1 ? ax)对x ? 0恒成立,

设g(x)=ex ? ax ? 1( x ? 0)

? f ( x) ? 0恒成立 ? g ( x) ? 0恒成立

? g ' ( x ) ? e x ? a,

当a ? ?1时,g ' ( x) ? 0 对 x ? 0恒成立 ,? g ( x) ? g (0) ? 0 符合题意??.9 分
当 a ? ?1时,由g ( x) ? 0得x ? ln(?a),由g ( x) ? 0得0 ? x ? ln(?a)
' '

? g ( x)在(0,ln(-a))是减函数,在(ln(-a),+?)是增函数
而 又g (0) ? 0,? g (ln(?a)) ? 0, 故不符合题意.?????????..12 分 综上述 a的取值范围是 ? ?1, ?? ? . ?????????..13 分 21.解: (1)

? ' ? , ? h ( x) ? 2 x ? 8 , ' 又 ? h ( x)图象为直线,且过(0,-8),(4,0)两点? ? h( x) ? ax 2 ? bx ? c(c ? 3) ? h ' ( x) ? 2ax ? b

7

2a ? 2 ? a ? 1 于是 ? ?? ? h( x ) ? x 2 ? 8 x ? c , ? ?b ? ?8 ?b ? ?8

故 f ( x) ? 6 ln x ? x 2 ? 8 x ? c , ? f ?( x) ?
'

6 ? 2 x ? 8 ? f ?(3) ? 0 x

∴f(x)在点 x ? 3 处的切线斜率为 k ? f (3) ? 0 . ?...........3 分 (2) ? f ?( x) ? x

6 2( x ? 1)( x ? 3) 由 x ? 0令f ?( x) ? 0 ? x ? 1或x ? 3 , 列表如下: ? 2x ? 8 ? x x
(0,1) + 单调递增 1 0 极大值 (1, 3) - 单调递减 3 0 极小值 (3,+∞) + 单调递增

f ?( x)
f(x)

所以 f(x)的单调递增区间为(0,1)和(3,+∞),f(x)的单调递减区间为(1,3).

1 因为f ( x)在(m,m+ )是单调函数 , 2 1 1 ? (m, m ? ) ? (0,1), 或(m, m ? ) ? (1,3), 或(m, m ? 1) ? (3, ??) 2 2 ? 1? ? 5? 故实数 m 的取值范围为 m ? ? 0, ? ? ?1, ? ? ?3, ?? ? ....................8 分 ? 2? ? 2?
(Ⅲ)由题意知: kx ? f ( x)对k ? [?1,1]在x ? (0, 6] 恒成立

? kx ? 6 ln x ? x 2 ? 8 x ? c 在 x ? (0, 6] 恒成立. 6 ln x c ?k? ? x ? 8 ? 在x ? (0, 6], 恒成立 ???????9 分 x x 6 ln x c 令 g ( x) ? ? x ? 8 ? , x ? (0, 6], 则k ? g ( x) max . x x 6(1 ? ln x) c 6 ? c ? x 2 ? 6 ln x ? g ?( x) ? ? 1 ? ? x2 x2 x2 2 6 2( x 2 ? 3) ? ( x ) ? x ? 6 ln x ? 令 则 ? ( x) ? 2 x ? ? x x

? x ? (0, 3)时? ?( x) ? 0 ? ? ( x)在(0, 3)内递减 x ? ( 3, ??)时? ?( x) ? 0 ? ? ( x)在( 3 ? ?)内递增

?当x ? 3时,? ( x) min =? ( 3) ? 9 ? 3ln 3 ? c ? 6 ? 3ln 3 ? 3(2 ? ln 3) ? 0
8

即? ( x) min ? 0 又c ? 3, 故x ? (0, 6]时,g ?( x) ? 0,所以g ( x)在(0, 6]递增 6 ln 6 c c ? g ( x) max ? g (6) ? ? ? 2 ? ln 6 ? ? 2 ???????..12 分 6 6 6 c ? k ? g ( x) max =ln 6 ? ? 2在k ? [?1,1]恒成立 6 c ? -1 ? ln 6 ? ? 2 ? ????..14 分. ? 6 ? ? c ? 6 ? 6 ln 6 ? 又? c ? 3 ?

9


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