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初高中衔接教材第二讲因式分解(1)




















第二讲 因式分解(一)
因式分解是代数式的一种重要的恒等变形, 它与整式乘法是相反方向的变形. 在分式运 算、解方程及各种恒等变形中起着重

要的作用.是一种重要的基本技能. 因式分解的方法较多,除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完 全平方公式)外,还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等.

一、公式法(立方和、立方差公式)
在第一讲里,我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公式:

(a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 (立方和公式) (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ? a3 ? b3 (立方差公式)
由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形,所以把整式乘法公式反过来写,就得到:

a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 )
这就是说,两个数的立方和(差),等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的 差(和). 运用这两个公式,可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解. 【例 1】:把下列多项式因式分解: (1) 、 9(a ? b) ? (2a ? b)
2 2

(2) 、 x ? 2 x y ? xy
3 2

2

(3) 、8 ? x

3

(4) 0.125 ? 27b

3

(5) 、 ma ? ab ? mb ? b

2

(6) 、 x ? 3x ? 2
2

【例 2】分解因式:
3 4 (1) 3a b ? 81b 7 6 (2) a ? ab

十字相乘法
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1. x2 ? ( p ? q) x ? pq 型的因式分解 这类式子在许多问题中经常出现,其特点是:(1) 二次项系数是 1;(2) 常数项是两个 数之积;(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和.

x2 ? ( p ? q) x ? pq ? x2 ? px ? qx ? pq ? x( x ? p) ? q( x ? p) ? ( x ? p)( x ? q)
因此, x2 ? ( p ? q) x ? pq ? ( x ? p)( x ? q) 运用这个公式,可以把某些二次项系数为 1 的二次三项式分解因式. 【例 3】把下列各式因式分解: (1) x2 ? 7 x ? 6 (2) x 2 ? 13x ? 36

(3) x 2 ? 5 x ? 24

(4) x 2 ? 2 x ? 15

【例 4】把下列各式因式分解: (1) x2 ? xy ? 6 y 2 (2) ( x2 ? x)2 ? 8( x2 ? x) ? 12

4 2 (3) x ? 7 x ? 18

(4) ( x ? 2 x) ? 9
2 2

课后作业 1.把下列各式分解因式:
3 (1) a ? 27 3 (2) 8 ? m 3 (3) ?27 x ? 8

(4) ?

1 3 1 3 p ? q 8 64

3 3 (5) 8 x y ?

1 125

(6)

1 3 3 1 3 x y ? c 216 27

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2.把下列各式分解因式: (1) xy3 ? x4 (3) a2 (m ? n)3 ? a 2 b3 3.把下列各式分解因式: (1) x2 ? 3x ? 2 (4) x 2 ? 6 x ? 27 4.把下列各式分解因式: (1) ax5 ? 10ax 4 ? 16ax3 (4) x 4 ? 7 x 2 ? 18 (2) a n ? 2 ? a n ?1b ? 6a n b2 (3) ( x2 ? 2 x)2 ? 9 (2) x 2 ? 37 x ? 36 (5) m2 ? 4mn ? 5n2 (3) x 2 ? 11x ? 26 (6) (a ? b)2 ? 11(a ? b) ? 28 (2) xn?3 ? xn y3 (4) y 2 ( x2 ? 2 x)3 ? y 2

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