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高中数学(必修1)第一章集合与第二章函数所有教案


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第一章

集合与函数概念

一. 课标要求: 本章将集合作为一种语言来学习,使学生感受用集合表示数学内容时的简洁 性、准确性,帮助学生学会用集合语言描述数学对象,发展学生运用数学语言进行交流的 能力 . 函数是高中数学的核心概念, 本章把函数作为描述

客观世界变化规律的重要数学模型 来学习,强调结合实际问题,使学生感受运用函数概念建立模型的过程与方法,从而发展 学生对变量数学的认识 . 1. 了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,掌握某些数集的专用符号. 2. 理解集合的表示法,能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描 述不同的具体问题,感受集合语言的意义和作用. 3、理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,培养学生分析、比较、 归纳的逻辑思维能力. 4、能在具体情境中,了解全集与空集的含义. 5、理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的交集与并集, 培养学生从 具体到抽象的思维能力. 6. 理解在给定集合中,一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集 . 7. 能使用 Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用 . 8. 学会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号 y=f(x)的含义;了解函数构成 的三要素,了解映射的概念;体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型,体会对 应关系在刻画函数概念中的作用;会求一些简单函数的定义域和值域,并熟练使用区间表 示法 . 9. 了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、分析法),并能在实际情境中, 恰当地进行选择;会用描点法画一些简单函数的图象. 10. 通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. 11. 结合熟悉的具体函数,理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义,了解奇 偶性和周期性的含义,通过具体函数的图象,初步了解中心对称图形和轴对称图形. 12. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质,体会数形结合的数学方法.
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13. 通过实习作业,使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要 人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1. 教材不涉及集合论理论,只将集合作为一种语言来学习,要求学生能够使用最基本的 集合语言表示有关的数学对象,从而体会集合语言的简洁性和准确性,发展运用数学语言 进行交流的能力. 教材力求紧密结合学生的生活经验和已有数学知识,通过列举丰富的实 例,使学生了解集合的含义,理解并掌握集合间的基本关系及集合的基本运算. 教材突出了函数概念的背景教学,强调从实例出发,让学生对函数概念有充分的感性 基础,再用集合与对应语言抽象出函数概念,这样比较符合学生的认识规律,同时有利于 培养学生的抽象概括的能力,增强学生应用数学的意识,教学中要高度重视数学概念的背 景教学. 2. 教材尽量创设使学生运用集合语言进行表达和交流的情境和机会,并注意运用 Venn 图表达集合的关系及运算,帮助学生借助直观图示认识抽象概念. 教学中,要充分体 现这种直观的数学思想,发挥图形在子集以及集合运算教学中的直观作用。 3. 教材在例题、习题教学中注重运用集合的观点研究、处理数学问题,这一观点,一 直贯穿到以后的数学学习中. 4. 在例题和习题的编排中,渗透了集合中的分类思想,让学生体会到分类思想在生活 中和数学中的广泛运用,这是学生在初中阶段所缺少的. 在教学中,一定要循序渐进,从繁 到难,逐步渗透这方面的训练 . 5. 教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解,而对定义域、值域的繁难计 算,特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡,教师要准确把握这方面的要求,防止拨高 教学. 6. 函数的表示是本章的主要内容之一,教材重视采用不同的表示法(列表法、图象 法、分析法),目的是丰富学生对函数的认识,帮助理解抽象的函数概念. 在教学中,既要 充分发挥图象的直观作用,又要适当地引导学生从代数的角度研究图象,使学生深刻体会 数形结合这一重要数学方法 . 7. 教材将映射作为函数的一种推广,进行了逻辑顺序上的调整,体现了特殊到一般 的思维规律,有利于学生对函数概念学习的连续性 . 8. 教材加强了函数与信息技术整合的要求,通过电脑绘制简单函数动态图象,使学生 初步感受到信息技术在函数学习中的重要作用.
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9. 为了体现教材的选择性,在练习题安排上加大了弹性,教师应根据学生实际,合理地 取舍. 三. 教学内容及课时安排建议 本章教学时间约 13 课时。 1.1 集合 1.2 函数及其表示 1.3 函数的性质 实习作业 复习 4 课时 4 课时 3 课时 1 课时 1 课时

§1.1.1 集合的含义与表示
一. 教学目标: l.知识与技能 (1)通过实例,了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系; (2)知道常用数集及其专用记号; (3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性; (4)会用集合语言表示有关数学对象; (5)培养学生抽象概括的能力. 2. 过程与方法 (1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程,感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 3. 情感.态度与价值观 使学生感受到学习集合的必要性,增强学习的积极性. 二. 教学重点.难点 重点:集合的含义与表示方法. 难点:表示法的恰当选择. 三. 学法与教学用具 1. 学法:学生通过阅读教材,自主学习.思考.交流.讨论和概括,从而更好地完成本节 课的教学目标. 2. 教学用具:投影仪. 四. 教学思路 (一)创设情景,揭示课题
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1.教师首先提出问题:在初中,我们已经接触过一些集合,你能举出一些集合的例子 吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时,教师对学生的活动给予评价. 2.接着教师指出:那么,集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. (二)研探新知 1.教师利用多媒体设备向学生投影出下面 9 个实例: (1)1—20 以内的所有质数; (2)我国古代的四大发明; (3)所有的安理会常任理事国; (4)所有的正方形; (5)海南省在 2004 年 9 月之前建成的所有立交桥; (6)到一个角的两边距离相等的所有的点; (7)方程 x ? 5x ? 6 ? 0 的所有实数根;
2

(8)不等式 x ? 3 ? 0 的所有解; (9)国兴中学 2004 年 9 月入学的高一学生的全体. 2.教师组织学生分组讨论:这 9 个实例的共同特征是什么? 3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果, 在此基础上, 师生共同概括出 9 个实 例的特征,并给出集合的含义. 一般地,指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合 的元素. 4.教师指出:集合常用大写字母 A,B,C,D,?表示,元素常用小写字母 a, b, c, d ? 表示. (三)质疑答辩,排难解惑,发展思维 1.教师引导学生阅读教材中的相关内容,思考:集合中元素有什么特点?并注意个别辅 导, 解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性, 即:确定性.互异性和无序性.只要构成 两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等. 2.教师组织引导学生思考以下问题: 判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由: (1)大于 3 小于 11 的偶数; (2)我国的小河流. 让学生充分发表自己的建解. 3. 让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子,并说明理由. 教师对学生的学习活动给予及时的评价. 4.教师提出问题,让学生思考 b (1)如果用 A 表示高—(3)班全体学生组成的集合, a 表示高一(3)班的一位同学, 是 用 高一(4)班的一位同学, 那么 a , b 与集合 A 分别有什么关系?由此引导学生得出元素与集合的 关系有两种:属于和不属于. 如果 a 是集合 A 的元素,就说 a 属于集合 A,记作 a ? A . 如果 a 不是集合 A 的元素,就说 a 不属于集合 A,记作 a ? A . (2)如果用 A 表示“所有的安理会常任理事国”组成的集合,则中国.日本与集合 A 的关 系分别是什么?请用数学符号分别表示.

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(3)让学生完成教材第 6 页练习第 1 题. 5.教师引导学生回忆数集扩充过程, 然后阅读教材中的相交内容, 写出常用数集的记号. 并让学生完成习题 1.1A 组第 1 题. 6.教师引导学生阅读教材中的相关内容,并思考.讨论下列问题: (1)要表示一个集合共有几种方式? (2)试比较自然语言.列举法和描述法在表示集合时,各自有什么特点?适用的对象是什 么? (3)如何根据问题选择适当的集合表示法? 使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。 (四)巩固深化,反馈矫正 教师投影学习: (1)用自然语言描述集合{1,3,5,7,9}; (2)用例举法表示集合 A ? {x ? N |1 ? x ? 8} (3)试选择适当的方法表示下列集合:教材第 6 页练习第 2 题. (五)归纳整理,整体认识 在师生互动中,让学生了解或体会下例问题: 1.本节课我们学习过哪些知识内容? 2.你认为学习集合有什么意义? 3.选择集合的表示法时应注意些什么? (六)承上启下,留下悬念 1.课后书面作业: 2. 元素与集合的关系有多少种?如何表示?类似地集合与集合间的关系又有多少种 呢?如何表示?请同学们通过预习教材.

§1.1.2 集合间的基本关系
一. 教学目标: 1.知识与技能 (1)了解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集。 (2)理解子集.真子集的概念。 (3)能使用 venn 图表达集合间的关系,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 2. 过程与方法 让学生通过观察身边的实例,发现集合间的基本关系,体验其现实意义. 3.情感.态度与价值观 (1)树立数形结合的思想 . (2)体会类比对发现新结论的作用. 二.教学重点.难点 重点:集合间的包含与相等关系,子集与其子集的概念. 难点:难点是属于关系与包含关系的区别. 三.学法与教学用具

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1.学法:让学生通过观察.类比.思考.交流.讨论,发现集合间的基本关系. 2.学用具:投影仪. 四.教学思路 (—)创设情景,揭示课题 问题 l:实数有相等.大小关系,如 5=5,5<7,5>3 等等,类比实数之间的关系,你 会想到集合之间有什么关系呢? 让学生自由发言,教师不要急于做出判断。而是继续引导学生;欲知谁正确,让我们一 起来观察.研探. (二)研探新知 投影问题 2:观察下面几个例子,你能发现两个集合间有什么关系了吗? (1) A ? {1, 2,3}, B ? {1, 2,3, 4,5} ; (2)设 A 为国兴中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B 为这个班学生的全体组成的集 合; (3)设 C ? {x | x是两条边相等的三角形}, D ? {x | x是等腰三角形}; (4) E ? {2, 4,6}, F ? {6, 4, 2} . 组织学生充分讨论.交流,使学生发现两个集合所含元素范围存在各种关系,从而类比 得出两个集合之间的关系: ①一般地,对于两个集合 A,B,如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素,我 们就说这两个集合有包含关系,称集合 A 为 B 的子集. 记作: A ? B

(或B ? A)

读作:A 含于 B(或 B 包含 A). ②如果两个集合所含的元素完全相同,那么我们称这两个集合相等. 教师引导学生类比表示集合间关系的符号与表示两个实数大小关系的等号之间有什么 类似之处,强化学生对符号所表示意义的理解。并指出:为了直观地表示集合间的关系,我 们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为 Venn 图。如图 l 和图 2 分别是表示问 题 2 中实例 1 和实例 3 的 Venn 图.

B

A(B) 图1 图2

投影问题 3:与实数中的结论“若 a ? b, 且b ? a, 则a ? b ”相类比,在集合中,你能 得出什么结论? 教师引导学生通过类比,思考得出结论: 若 A ? B, 且B ? A, 则A ? B . 问题 4:请同学们举出几个具有包含关系.相等关系的集合实例,并用 Venn 图表示. 学生主动发言,教师给予评价. (三)学生自主学习,阅读理解 然后教师引导学生阅读教材第 7 页中的相关内容,并思考回答下例问题:

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(1)集合 A 是集合 B 的真子集的含义是什么?什么叫空集? (2)集合 A 是集合 B 的真子集与集合 A 是集合 B 的子集之间有什么区别? (3)0,{0}与 ? 三者之间有什么关系? (4)包含关系 {a} ? A 与属于关系 a ? A 正义有什么区别?试结合实例作出解释. (5)空集是任何集合的子集吗?空集是任何集合的真子集吗? (6)能否说任何一人集合是它本身的子集,即 A ? A ? (7)对于集合 A,B,C,D,如果 A ? B,B ? C,那么集合 A 与 C 有什么关系? 教师巡视指导, 解答学生在自主学习中遇到的困惑过程, 然后让学生发表对上述问题看 法. (四)巩固深化,发展思维 1. 学生在教师的引导启发下完成下列两道例题: 例 1.某工厂生产的产品在质量和长度上都合格时,该产品才合格。若用 A 表示合格产 品,B 表示质量合格的产品的集合,C 表示长度合格的产品的集合.则下列包含关系哪些成 立?

A ? B, B ? A, A ? C, C ? A
试用 Venn 图表示这三个集合的关系。 例 2 写出集合{0,1,2)的所有子集,并指出哪些是它的真子集. 2.学生做教材第 8 页的练习第 l~3 题,教师及时检查反馈。强调能确定是真子集关系 的最好写真子集,而不写子集. (五)归纳整理,整体认识 1. 请学生回顾本节课所学过的知识内容有建些, 所涉及到的主要数学思想方法又那些. 2. 在本节课的学习过程中,还有那些不太明白的地方,请向老师提出. (六)布置作业

§1.1.3 集合的基本运算
一. 教学目标: 1. 知识与技能 (1)理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的交集与并集. (2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. (3)能使用 Venn 图表达集合的运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用. 2. 过程与方法 学生通过观察和类比,借助 Venn 图理解集合的基本运算. 3.情感.态度与价值观 (1)进一步树立数形结合的思想. (2)进一步体会类比的作用. (3)感受集合作为一种语言,在表示数学内容时的简洁和准确. 二.教学重点.难点

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重点:交集与并集,全集与补集的概念. 难点:理解交集与并集的概念.符号之间的区别与联系. 三.学法与教学用具 1.学法:学生借助 Venn 图,通过观察.类比.思考.交流和讨论等,理解集合的基本运算. 2.教学用具:投影仪. 四. 教学思路 (一)创设情景,揭示课题 问题 1:我们知道,实数有加法运算。类比实数的加法运算,集合是否也可以“相加” 呢? 请同学们考察下列各个集合,你能说出集合 C 与集合 A.B 之间的关系吗? (1) A ? {1,3,5}, B ? {2, 4,6}, C ? {1, 2,3, 4,5,6}; (2) A ? {x | x是理数}, B ? {x | x是无理数}, C ? {x | x是实数} 引导学生通过观察,类比.思考和交流,得出结论。教师强调集合也有运算,这就是我 们本节课所要学习的内容。 (二)研探新知 l.并集 —般地, 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合, 称为集合 A 与 B 的并集. 记作:A∪B. 读作:A 并 B. 其含义用符号表示为:

A ? B ? {x | x ? A, 或x ? B}
用 Venn 图表示如下:

A

B

请同学们用并集运算符号表示问题 1 中 A,B,C 三者之间的关系. 练习.检查和反馈 (1)设 A={4,5,6,8),B={3,5,7,8),求 A∪B. (2)设集合 A A ? {x | ?1 ? x ? 2}, 集合B ? { x |1 ? x ? 3}, 求A ? B. 让学生独立完成后,教师通过检查,进行反馈,并强调: (1)在求两个集合的并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次. (2)对于表示不等式解集的集合的运算,可借助数轴解题. 2.交集 (1)思考:求集合的并集是集合间的一种运算,那么,集合间还有其他运算吗? 请同学们考察下面的问题,集合 A.B 与集合 C 之间有什么关系? ① A ? {2, 4,6,8,10}, B ? {3,5,8,12}, C ? {8}; ② A ? {x | x是国兴中学2004年9月入学的高一年级女同学}. B={ x | x 是国兴中学
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2004 年 9 月入学的高一年级同学},C={ x | x 是国兴中学 2004 年 9 月入学的高一年级女同 学}. 教师组织学生思考.讨论和交流,得出结论,从而得出交集的定义; 一般地,由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合,称为 A 与 B 的交集. 记作:A∩B. 读作:A 交 B 其含义用符号表示为:

A ? B ? {x | x ? A, 且x ? B}.
接着教师要求学生用 Venn 图表示交集运算.

A

B

(2)练习.检查和反馈 ①设平面内直线 l1 上点的集合为 L1 , 直线 l1 上点的集合为 L2 , 试用集合的运算表示 l1 的 位置关系. ②学校里开运动会,设 A={ x | x 是参加一百米跑的同学},B={ x | x 是参加二百米跑的 同学},C={ x | x 是参加四百米跑的同学},学校规定,在上述比赛中,每个同学最多只能参 加两项比赛,请你用集合的运算说明这项规定,并解释集合运算 A∩B 与 A∩C 的含义. 学生独立练习,教师检查,作个别指导.并对学生中存在的问题进行反馈和纠正. (三)学生自主学习,阅读理解 1.教师引导学生阅读教材第 11~12 页中有关补集的内容,并思考回答下例问题: (1)什么叫全集? (2)补集的含义是什么?用符号如何表示它的含义?用 Venn 图又表示? (3)已知集合.A={x|3≤x≤8},求 CRA (4) S={ x | x 是至少有一组对边平行的四边形}, x | x 是平行四边形}, x | x 设 A={ B={ 是菱形},C={ x | x 是矩形},求.B∩C,CRB,CRA 在学生阅读.思考的过程中,教师作个别指导,待学生经过阅读和思考完后,请学生回 答上述问题,并及时给予评价. (四)归纳整理,整体认识 1.通过对集合的学习,同学对集合这种语言有什么感受? 2.并集.交集和补集这三种集合运算有什么区别? (五)作业 1.课外思考:对于集合的基本运算,你能得出哪些运算规律? 2.请你举出现实生活中的一个实例,并说明其并集.交集和补集的现实含义. 3.书面作业:

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§1.2.1 函数的概念
一、教学目标 1、 知识与技能: 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.高中阶段不仅把函数看成变量之间 的依赖关系, 同时还用集合与对应的语言刻画函数, 高中阶段更注重函数模型化的思想与意 识. 2、过程与方法: (1)通过实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基 础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用; (2)了解构成函数的要素; (3)会求一些简单函数的定义域和值域; (4)能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域; 3、情态与价值,使学生感受到学习函数的必要性的重要性,激发学习的积极性。

二、教学重点与难点: 重点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数;
难点:符号“y=f(x)”的含义,函数定义域和值域的区间表示; 三、学法与教学用具 1、学法:学生通过自学、思考、交流、讨论和概括,从而更好地完成本节课的教学目 标 . 2、教学用具:投影仪 . 四、教学思路 (一)创设情景,揭示课题 1、复习初中所学函数的概念,强调函数的模型化思想; 2、阅读课本引例,体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想: (1)炮弹的射高与时间的变化关系问题; (2)南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题; (3)“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 3、分析、归纳以上三个实例,它们有什么共同点。 4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系; 5、根据初中所学函数的概念,判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系. (二)研探新知 1、函数的有关概念 (1)函数的概念: 设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个 数 x,在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应,那么就称 f:A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数(function). 记作: y=f(x),x∈A. 其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域(domain);与 x 的值相对应

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的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域(range). 注意: ① “y=f(x)”是函数符号,可以用任意的字母表示,如“y=g(x)”; ②函数符号“y=f(x)”中的 f(x)表示与 x 对应的函数值,一个数,而不是 f 乘 x. (2)构成函数的三要素是什么? 定义域、对应关系和值域 (3)区间的概念 ①区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间; ②无穷区间; ③区间的数轴表示. (4)初中学过哪些函数?它们的定义域、值域、对应法则分别是什么? 通过三个已知的函数:y=ax+b (a≠0) 2 y=ax +bx+c (a≠0) y=

k x

(k≠0)

比较描述性定义和集合,与对应语言刻画的定义,谈谈体会。 师:归纳总结 (三)质疑答辩,排难解惑,发展思维。 1、如何求函数的定义域 例 1:已知函数 f (x) = (1)求函数的定义域; (2)求 f(-3),f (

x?3 +
2 )的值; 3

1 x?2

(3)当 a>0 时,求 f(a),f(a-1)的值. 分析:函数的定义域通常由问题的实际背景确定,如前所述的三个实例.如果只给出解 析式 y=f(x),而没有指明它的定义域,那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数 的集合,函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式. 解:略 例 2、设一个矩形周长为 80,其中一边长为 x,求它的面积关于 x 的函数的解析式,并 写出定义域. 分析:由题意知,另一边长为 所以 s=

80 ? 2 x ,且边长为正数,所以 0<x<40. 2
(0<x<40)

80 ? 2 x ? x = (40-x)x 2

引导学生小结几类函数的定义域: (1)如果 f(x)是整式,那么函数的定义域是实数集 R . (2)如果 f(x)是分式,那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合 . (3)如果 f(x)是二次根式,那么函数的定义域是使根号内的式子大于或等于零的实数 的集合. (4)如果 f(x)是由几个部分的数学式子构成的,那么函数定义域是使各部分式子都有 意义的实数集合.(即求各集合的交集) (5)满足实际问题有意义. 巩固练习:课本 P22 第 1

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2、如何判断两个函数是否为同一函数 例 3、下列函数中哪个与函数 y=x 相等? (1)y = ( x )2 ; (3)y = x 2 ; (2)y = ( 3 x 3 ) ; (4)y=

x2 x

分析: 1 ○ 构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决 定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一 函数) 2 ○ 两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数 值的字母无关。 解:(略) (四)巩固深化,反馈矫正: (1)课本 P22 第 2 题 (2)判断下列函数 f(x)与 g(x)是否表示同一个函数,说明理由? ① f ( x ) = (x -1) 0;g ( x ) = 1 ② f ( x ) = x; g ( x ) =

x2

③ f ( x ) = x 2;f ( x ) = (x + 1) 2 ④ f ( x ) = | x | ;g ( x ) = (3)求下列函数的定义域 ① f ( x) ?

x2
② f ( x) ?

1 x? | x |

1 1? 1 x

③ f(x) =

x ?1 +

1 2? x

④ f(x) =

x?4 x?2

⑤ f ( x) ? 1 ? x ? x ? 3 ?1

(五)归纳小结 ①从具体实例引入了函数的概念,用集合与对应的语言描述了函数的定义及其相关概 念;②初步介绍了求函数定义域和判断同一函数的基本方法,同时引出了区间的概念。 (六)设置问题,留下悬念 1、课本 2、举出生活中函数的例子(三个以上),并用集合与对应的语言来描述函数,同时说出 函数的定义域、值域和对应关系。

§1.2.2 函数的表示法

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一.教学目标 1.知识与技能 (1)明确函数的三种表示方法; (2)会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数; (3)通过具体实例,了解简单的分段函数及应用. 2.过程与方法: 学习函数的表示形式,其目的不仅是研究函数的性质和应用的需要,而且是为加深理 解函数概念的形成过程. 3.情态与价值 让学生感受到学习函数表示的必要性,渗透数形结合思想方法。 二.教学重点和难点 教学重点:函数的三种表示方法,分段函数的概念. 教学难点:根据不同的需要选择恰当的方法表示函数,什么才算“恰当”?分段函数 的表示及其图象. 三.学法及教学用具 1.学法:学生通过观察、思考、比较和概括,从而更好地完成本节课的教学目标. 2.教学用具:圆规、三角板、投影仪. 四.教学思路 (一)创设情景,揭示课题. 我们在前两节课中,已经学习了函数的定义,会求函数的值域,那么函数有哪些表示 的方法呢?这一节课我们研究这一问题. (二)研探新知 1.函数有哪些表示方法呢? (表示函数的方法常用的有:解析法、列表法、图象法三种) 2.明确三种方法各自的特点? (解析式的特点为:函数关系清楚,容易从自变量的值求出其对应的函数值,便于用 解析式来研究函数的性质,还有利于我们求函数的值域.列表法的特点为:不通过计算就知 道自变量取某些值时函数的对应值、 图像法的特点是: 能直观形象地表示出函数的变化情况) (三)质疑答辩,排难解惑,发展思维. 例 1.某种笔记本的单价是 5 元,买 x( x? 1,2,3,4,5?) 个笔记本需要 y 元,试用三种 表示法表示函数 y ? f ( x) . 分析:注意本例的设问,此处“ y ? f ( x) ”有三种含义,它可以是解析表达式,可以 是图象,也可以是对应值表. 解:(略) 注意: ①函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等; ②解析法:必须注明函数的定义域; ③图象法:是否连线; ④列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征. 例 2.下表是某校高一(1)班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均 分表:

?

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第一次 王 伟 张 城 赵 磊 班平均分 98 90 68 88.2

第二次 87 76 65 78.3

第三次 91 88 73 85.4

第四次 92 75 72 80.3

第五次 88 86 75 75.7

第六次 95 80 82 82.6

请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析. 分析:本例应引导学生分析题目要求,做学情分析,具体要分析什么?怎么分析?借 助什么工具? 解:(略) 注意: ①本例为了研究学生的学习情况,将离散的点用虚线连接,这样更便于研究成绩的变 化特点: ②本例能否用解析法?为什么? 例 3.画出函数 y ?| x | 的图象 解:(略) 例 4.某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定: (1)乘坐汽车 5 公里以内,票价 2 元; (2)5 公里以上,每增加 5 公里,票价增加 1 元(不足 5 公里按 5 公里计算),已知 两个相邻的公共汽车站间相距约为 1 公里,如果沿途(包括起点站和终点站)设 20 个汽车 站,请根据题意,写出票价与里程之间的函数解析式,并画出函数的图象. 分析:本例是一个实际问题,有具体的实际意义,根据实际情况公共汽车到站才能停 车,所以行车里程只能取整数值. 解:(略) 注意: ①本例具有实际背景,所以解题时应考虑其实际意义; ②象例 3、例 4 中的函数,称为分段函数. ③分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用 一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况. (四)巩固深化,反馈矫正. (1)课本 P27 练习第 1,2,3 题 (2)国内投寄信函(外埠),假设每封信函不超过 20 g ,付邮资 80 分,超过 20 g 而 不超过 40 g 付邮资 160 分,每封 xg (0< x ≤100=的信函应付邮资为(单位:分) (五)归纳小结 理解函数的三种表示方法,在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数, 注意分段函数的表示方法及其图象的画法。 (六)设置问题,留下悬念. (1)课本 P28 习题(A 组)1,2; (2)如图,把截面半径为 25cm 的圆形木头锯成矩形木料,如果矩形的边长为 x ,面 积为 y ,把 y 表示成 x 的函数.

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§1.2.3 映射
一.教学目标 1.知识与技能: (1)了解映射的概念及表示方法; (2)结合简单的对应图表,理解一一映射的概念. 2.过程与方法 (1)函数推广为映射,只是把函数中的两个数集推广为两个任意的集合; (2)通过实例进一步理解映射的概念; (3)会利用映射的概念来判断“对应关系”是否是映射,一一映射. 3.情态与价值 映射在近代数学中是一个极其重要的概念,是进一步学习各类映射的基础. 二.教学重点:映射的概念 教学难点:映射的概念 三.学法与教学用具 1.学法:通过丰富的实例,学生进行交流讨论和概括;从而完成本节课的教学目标; 2.教学用具:投影仪. 四.教学思路 (一)创设情景,揭示课题 复习初中常见的对应关系 1.对于任何一个实数 a ,数轴上都有唯一的点 p 和它对应; 2.对于坐标平面内任何一个点 A,都有唯一的有序实数对( x, y )和它对应; 3.对于任意一个三角形,都有唯一确定的面积和它对应; 4.某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应; 5.函数的概念. (二)研探新知 1.我们已经知道,函数是建立在两个非空数集间的一种对应,若将其中的条件“非空 数集”弱化为“任意两个非空集合”,按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应 关系,这种对应就叫映射(板书课题). 2.先看几个例子,两个集合 A、B 的元素之间的一些对应关系: (1)开平方; (2)求正弦; (3)求平方; (4)乘以 2. 归纳引出映射概念: 一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f ,使对于集合 A

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中的任意一个元素 x ,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f :A →B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射. 记作“ f :A→B” 说明: (1) 这两个集合有先后顺序, 到 B 的映射与 B 到 A 的映射是截然不同的, A 其中 f 表 示具体的对应法则,可以用多种形式表述. (2)“都有唯一”什么意思? 包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思. (三)质疑答辩,排难解惑,发展思维 例 1.下列哪些对应是从集合 A 到集合 B 的映射? (1)A={ P | P 是数轴上的点},B=R,对应关系 f :数轴上的点与它所代表的实数对应; (2)A={ P | P 是平面直角坐标中的点}, B ? ( x, y) | x ? R, y ? R?, 对应关系 f :平 面直角坐标系中的点与它的坐标对应; (3)A={三角形},B= {x | x是圆 对应关系 f :每一个三角形都对应它的内切圆; }, (4)A={ x | x 是新华中学的班级}, B ? x | x 是新华中学的学生? , 对应关系 f :每 一个班级都对应班里的学生. 思考:将(3)中的对应关系 f 改为:每一个圆都对应它的内接三角形;(4)中的对 应关系 f 改为:每一个学生都对应他的班级,那么对应 f :B→A 是从集合 B 到集合 A 的 映射吗? 例 2.在下图中,图(1),(2),(3),(4)用箭头所标明的 A 中元素与 B 中元 素的对应法则,是不是映射?是不是函数关系? A 开平方 B A 求正弦 B

?

?

9 4 1

3 -3 2 -2 1 -1 3 4 5 6 B

300 450 600 90
0

1 2
2 2

3 2

(1)

(2)

1

A

求平方

A

乘以 2 B

1 -1 21 世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。 2 -2 3
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1 4 9 1 2 3 (3) (4) (四)巩固深化,反馈矫正 1、画图表示集合 A 到集合 B 的对应(集合 A,B 各取 4 个元素)

1 2 3 4 5 6

已知:(1) A ? 1, 2,3, 4? , B ? 2, 4, 6,8? ,对应法则是“乘以 2”; (2)A= ? x | x > 0? ,B=R,对应法则是“求算术平方根”; (3) A ? ?x | x ? 0? , B ? R ,对应法则是“求倒数”;
0 (4) A ? ??? | 00 < ?? ? 90 , B ? x | x ? 1? , 对应法则是“求余弦”.

?

?

?

?

2.在下图中的映射中,A 中元素 600 的象是什么?B 中元素 A 求正弦 B

2 的原象是什么? 2

300 450 600 90
0

1 2
2 2

3 2

1

(五)归纳小结 提出问题: 怎样判断建立在两个集合上的一个对应关系是否是一个映射, 你能归纳出几 个“标准”呢? 师生一起归纳:判定是否是映射主要看两条:一条是 A 集合中的元素都要有象,但 B 中元素未必要有原象;二条是 A 中元素与 B 中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对 应形式. (六)设置问题,留下悬念. 1.由学生举出生活中两个有关映射的实例. 2.已知 f 是集合 A 上的任一个映射,试问在值域 f (A)中的任一个元素的原象,是否 都是唯一的?为什么?

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3.已知集合 A ? a, b? , B ? ?1,0,1? , 从集合 A 到集合 B 的映射,试问能构造出多少 映射?

?

?

§1.3.1 函数的最大(小)值
一.教学目标 1.知识与技能: 理解函数的最大(小)值及其几何意义. 学会运用函数图象理解和研究函数的性质. 2.过程与方法: 通过实例,使学生体会到函数的最大(小)值,实际上是函数图象的最高(低)点的 纵坐标,因而借助函数图象的直观性可得出函数的最值,有利于培养以形识数的解题意识. 3.情态与价值 利用函数的单调性和图象求函数的最大(小)值,解决日常生活中的实际问题,激发 学生学习的积极性. 二.教学重点和难点 教学重点:函数的最大(小)值及其几何意义 教学难点:利用函数的单调性求函数的最大(小)值. 三.学法与教学用具 1.学法:学生通过画图、观察、思考、讨论,从而归纳出求函数的最大(小)值的方 法和步骤. 2.教学用具:多媒体手段 四.教学思路 (一)创设情景,揭示课题. 画出下列函数的图象, 指出图象的最高点或最低点, 并说明它能体现函数的什么特征? ① f ( x) ? ? x ? 3 ③ f ( x) ? x ? 2 x ? 1
2

② f ( x) ? ? x ? 3
2

x ?[?1, 2]

④ f ( x) ? x ? 2 x ? 1 x ?[?2, 2]

(二)研探新知 1.函数最大(小)值定义 最大值:一般地,设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 x ? I ,都有 f ( x) ? M ; (2)存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M . 那么,称 M 是函数 y ? f ( x) 的最大值. 思考:依照函数最大值的定义,结出函数 y ? f ( x) 的最小值的定义. 注意:

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①函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0 ? I ,使得 f ( x0 ) ? M ; ②函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 x ? I ,都有

f ( x) ? M ( f ( x) ? m) .
2.利用函数单调性来判断函数最大(小)值的方法. ①配方法 ②换元法 ③数形结合法 (三)质疑答辩,排难解惑. 例 1.(教材 P36 例 3)利用二次函数的性质确定函数的最大(小)值. 解(略) 例 2.将进货单价 40 元的商品按 50 元一个售出时,能卖出 500 个,若此商品每个涨价 1 元,其销售量减少 10 个,为了赚到最大利润,售价应定为多少? 解:设利润为 y 元,每个售价为 x 元,则每个涨( x -50)元,从而销售量减少

10(x ? 50) ,共售出500-10(x-50)=100-10x(个) 个
∴ y=(x-40)(1000-10x)

=-10(x-70)2 ? 9000 (50 ? x <100)
∴ x ? 70时

ymax ? 9000
2 在区间[2,6] 上的最大值和最小值. x ?1

答:为了赚取最大利润,售价应定为 70 元. 例 3.求函数 y ? 解:(略) 例 4.求函数 y ? x ? 1 ? x 的最大值. 解:令 t ? 1 ? x ? 0 有x ? ?t 2 ? 1则

1 5 y ? ?t 2 ? t ? 1 ? ?(t ? ) 2 ? ?t ? 0 2 4 1 ? ? t ? )2 ?0 ( 2 1 5 5 ??(t ? ) 2 ? ? 2 4 4 5 ? 原函数的最大值为 . 4
(四)巩固深化,反馈矫正. (1)P38 练习 4 (2)求函数 y ?| x ? 3| ? | x ? 1| 的最大值和最小值. (3)如图,把截面半径为 25cm 的图形木头锯成矩形木料,如果矩形一边长为 x ,面 积为 y ,试将 y 表示成 x 的函数,并画出函数的大致图象,并判断怎样锯才能使得截面面积 最大?

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(五)归纳小结 求函数最值的常用方法有: (1)配方法:即将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和,然后根据变量的 取值范围确定函数的最值. (2)换元法:通过变量式代换转化为求二次函数在某区间上的最值. (3)数形结合法:利用函数图象或几何方法求出最值. (六)设置问题,留下悬念. 1.课本 P45(A 组) 6.7.8 2.求函数 y ? x ? 2x ?1 的最小值. 3.求函数 y ? x2 ? 2x ? 3当自变量x在下列范围内取值时的最值 . ① ?1 ? x ? 0 ② 0? x?3 ③ x ? (??, ??)

§1.3.1 函数的单调性
一、教学目标 1、知识与技能: (1)建立增(减)函数的概念 通过观察一些函数图象的特征,形成增(减)函数的直观认识. 再通过具体函 数值的大小比较,认识函数值随自变量的增大(减小)的规律,由此得出增(减)函数单调 性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤。 (2)函数单调性的研究经历了从直观到抽象,以图识数的过程,在这个过程中,让学生 通过自主探究活动,体验数学概念的形成过程的真谛。 2、过程与方法 (1)通过已学过的函数特别是二次函数,理解函数的单调性及其几何意义; (2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质; (3)能够熟练应用定义判断与证明函数在某区间上的单调性.

3、情态与价值,使学生感到学习函数单调性的必要性与重要性, 增强学习 函数的紧迫感. 二、教学重点与难点 重点:函数的单调性及其几何意义.
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难点:利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性. 三、学法与教学用具 1、从观察具体函数图象引入,直观认识增减函数,利用这定义证明函数单调性。通过 练习、交流反馈,巩固从而完成本节课的教学目标。 2、教学用具:投影仪、计算机. 四、教学思路: (一)创设情景,揭示课题 1. 观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律: y 1 -1 -1 1 x -1 -1 y 1 1 x -1 -1 y 1 -1 -1 y 1 (2)f(x) = -x+2 -1 1 x 1 ○ 从左至右图象上升还是下降 ______? -1 2 ○ 在区间 ____________ 上,随着 x 的增 y 大,f(x)的值随着 ________ . (3)f(x) = x2 1 1 ○在区间 ____________ 上, -1 1 x f(x)的值随着 x 的增大而 ________ . -1 2 ○ 在区间 ____________ 上,f(x)的值随 着 x 的增大而 ________ . 3、从上面的观察分析,能得出什么结论? 学生回答后教师归纳:从上面的观察分析可以看出:不同的函数,其图象的变 化趋势不同, 同一函数在不同区间上变化趋势也不同, 函数图象的这种变化规律就是函数性 质的反映, 这就是我们今天所要研究的函数的一个重要性质——函数的单调性 (引出课题) 。 (二)研探新知 2 1、y = x 的图象在 y 轴右侧是上升的,如何用数学符号语言来描述这种“上升”呢? 学生通过观察、思考、讨论,归纳得出: 2 函数 y = x 在(0,+∞)上图象是上升的,用函数解析式来描述就是:对于(0,+∞) 2 2 上的任意的 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 x1 <x2 . 即函数值随着自变量的增大而增大,具有 这种性质的函数叫增函数。 2.增函数 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I, 1 x y 1 1 x

1 ○ 随 x 的增大,y 的值有什么变化? 2 ○ 能否看出函数的最大、最小值? 3 ○ 函数图象是否具有某种对称性? 2. 画出下列函数的图象,观察其变化规律:

(1)f(x) = x 1 ○ 从左至右图象上升还是下降 ______? 2 ○ 在区间 ____________ 上,随着 x 的增 大,f(x)的值随着 ________ .

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如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(increasing function). 3、从函数图象上可以看到,y= x2 的图象在 y 轴左侧是下降的,类比增函数的定义,你 能概括出减函数的定义吗? 注意:
1 ○ 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 2 ○ 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) .

4.函数的单调性定义 如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区 间具有(严格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间: (三)质疑答辩,发展思维。 根据函数图象说明函数的单调性. 例 1 如图是定义在区间[-5,5]上的函数 y=f(x),根据图象说出函数的单 调区间,以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数?

解:略 例 2 物理学中的玻意耳定律 P=

k (k 为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当 V k 在区间(0,+∞)上是减函数即可。 V

其体积 V 减少时,压强 P 将增大。试用函数的单调性证明之。 分析:按题意,只要证明函数 P=

证明:略 3.判断函数单调性的方法步骤 利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤: ① 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ② 作差 f(x1)-f(x2); ③变形(通常是因式分解和配方); ④定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负); ⑤下结论(即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性). 巩固练习: 1 ○ 课本 P38 练习第 1、2、3 题;
2 ○ 证明函数 y ? x ?

1 在(1,+∞)上为增函数. x
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例 3.借助计算机作出函数 y =-x2 +2 | x | + 3 的图象并指出它的的单调区间. 解:(略) 思考:画出反比例函数 y ?

1 的图象. x

1 ○ 这个函数的定义域是什么? 2 ○ 它在定义域 I 上的单调性怎样?证明你的结论. (四)归纳小结 函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明.画函数图象通常借助计算机, 求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步: 取 值 → 作 差 → 变 形 → 定 号 → 下结论 (五)设置问题,留下悬念 1、教师提出下列问题让学生思考: ①通过增(减)函数概念的形成过程,你学习到了什么? ②增(减)函数的图象有什么特点?如何根据图象指出单调区间? ③怎样用定义证明函数的单调性? 师生共同就上述问题进行讨论、交流,发表自己的意见。 2、 书面作业:

§1.3.2 函数的奇偶性
一.教学目标 1.知识与技能: 理解函数的奇偶性及其几何意义;学会运用函数图象理解和研究函数的性质;学会判 断函数的奇偶性; 2.过程与方法: 通过函数奇偶性概念的形成过程,培养学生观察、归纳、抽象的能力,渗透数形结合 的数学思想. 3.情态与价值: 通过函数的奇偶性教学,培养学生从特殊到一般的概括归纳问题的能力. 二.教学重点和难点: 教学重点:函数的奇偶性及其几何意义 教学难点:判断函数的奇偶性的方法与格式 三.学法与教学用具 学法:学生通过自己动手计算,独立地去经历发现,猜想与证明的全过程,从而建立奇 偶函数的概念. 教学用具:三角板 投影仪 四.教学思路 (一)创设情景,揭示课题 “对称”是大自然的一种美,这种“对称美”在数学中也有大量的反映,让我们看看下 列各函数有什么共性? 观察下列函数的图象,总结各函数之间的共性.

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f ( x) ? x2
y

f ( x) ?| x | ?1

x( x) ?

1 x2

y

y

0

x

-1 0
-1

1

x

0

x

通过讨论归纳:函数 f ( x) ? x2 是定义域为全体实数的抛物线;函数 f ( x) ?| x | ?1 是定

1 是定义域为非零实数的两支曲线, 各函数之间的共 x2 性为图象关于 y 轴对称.观察一对关于 y 轴对称的点的坐标有什么关系?
义域为全体实数的折线; 函数 f ( x ) ? 归纳:若点 ( x, f ( x)) 在函数图象上,则相应的点 (? x, f ( x)) 也在函数图象上,即函数 图象上横坐标互为相反数的点,它们的纵坐标一定相等. (二)研探新知 函数的奇偶性定义: 1.偶函数 一般地,对于函数 f ( x ) 的定义域内的任意一个 x ,都有 f (? x) ? f ( x) ,那么 f ( x ) 就 叫做偶函数.(学生活动)依照偶函数的定义给出奇函数的定义. 2.奇函数 一般地,对于函数 f ( x ) 的定义域的任意一个 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,那么 f ( x ) 就 叫做奇函数. 注意: ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ②由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任 意一个 x ,则 ?x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称). 3.具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. (三)质疑答辩,排难解惑,发展思维. 例 1.判断下列函数是否是偶函数. (1) f ( x) ? x (2) f ( x) ?
2

x ?[?1, 2]

x3 ? x 2 x ?1
2

解:函数 f ( x) ? x , x ?[?1, 2] 不是偶函数,因为它的定义域关于原点不对称.

x3 ? x 2 函数 f ( x) ? 也不是偶函数,因为它的定义域为 ?x | x ? R且x ? 1 ,并不关于 ? x ?1

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原点对称. 例 2.判断下列函数的奇偶性 (1) f ( x) ? x4 (2) f ( x) ? x5 (3) f ( x) ? x ?

1 x

(4) f ( x ) ?

1 x2

解:(略) 小结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: ①首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称; ②确定 f (? x)与f ( x)的关系 ; ③作出相应结论: 若 f (? x) ? f ( x)或f (? x) ? f ( x) ? 0, 则f ( x)是偶函数 ; 若 f (? x) ? ? f ( x)或f (? x) ? f ( x) ? 0, 则f ( x)是奇函数 . 例 3.判断下列函数的奇偶性: ① f ( x) ? lg (4 ? x) ? g (4 ? x)

?1 2 ? 2 x ? 1 ( x ? 0) ? ② g ( x) ? ? ?? 1 x 2 ? 1 ( x ? 0) ? 2 ?
分析:先验证函数定义域的对称性,再考察 f (? x)是否等于f ( x)或 ? f ( x) .

|4+x >0 且 4 ? x > 0? = ?x | ?4 < x < 4? ,它具有对称 解:(1) f ( x)的定义域是 x
性.因为 f (? x) ? lg (4 ? x) ? lg (4 ? x) ? f ( x) ,所以 f ( x ) 是偶函数,不是奇函数. (2)当 x >0 时,- x <0,于是

?

1 1 g (? x) ? ? (? x) 2 ? 1 ? ?( x 2 ? 1) ? ? g ( x) 2 2
当 x <0 时,- x >0,于是

g (? x) ?

1 1 1 (? x) 2 ? 1 ? x 2 ? 1 ? ?(? x 2 ? 1) ? ? g ( x) 2 2 2


综上可知,在 R ∪R+上, g ( x) 是奇函数. 例 4.利用函数的奇偶性补全函数的图象. 教材 P41 思考题: 规律:偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 说明:这也可以作为判断函数奇偶性的依据. 例 5.已知 f ( x ) 是奇函数,在(0,+∞)上是增函数. 证明: f ( x ) 在(-∞,0)上也是增函数.

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证明:(略) 小结:偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反;奇函数在关于原点对称的区间上 单调性一致. (四)巩固深化,反馈矫正. (1)课本 P42 练习 1.2 P46 B 组题的 1.2.3 (2)判断下列函数的奇偶性,并说明理由. ① f ( x) ? 0, x ?[?6, ?2] ? [2,6] ; ② f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 2 | ③ f ( x) ?| x ? 2 | ? | x ? 2 | ④ f ( x) ? lg ( x 2 ? 1 ? x) (五)归纳小结,整体认识. 本节主要学习了函数的奇偶性,判断函数的奇偶性通常有两种方法,即定义法和图象 法,用定义法判断函数的奇偶性时,必须注意首先判断函数的定义域是否关于原点对称,单 调性与奇偶性的综合应用是本节的一个难点, 需要学生结合函数的图象充分理解好单调性和 奇偶性这两个性质. (六)设置问题,留下悬念. 1.书面作业: 2.设 f ( x)在R上是奇函数,当x >0 时, f ( x) ? x(1 ? x) 试问:当 x <0 时, f ( x ) 的表达式是什么? 解:当 x <0 时,- x >0,所以 f (? x) ? ? x(1 ? x) ,又因为 f ( x ) 是奇函数,所以

f ( x) ? ? f (? x) ? ?[? x(1 ? x)] ? x(1 ? x) .

§1.4 二次函数的图象和性质
【教学目标】 1. 掌握二次函数的图象和性质;同时了解图象的简单变换(平移变换和对称变换); 2. 掌握求二次函数最大值、最小值的方法。 【基本概念】

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1. 二次函数解析式的三种形式:

2. 二次函数的性质;(图像的开口方向、顶点、对称轴、单调性等)

3. 二次函数 y ? ax2 的图像与 y ? a( x ? h) 2 ? k 的图像之间的关系:

【例题选讲】 1. 为得到函数 y=-2x -12x-19 的图像,需要把函数 y=-2x 的图像 ( (A)右移 3 个单位,下移 1 个单位 (C)右移 6 个单位,下移 19 个单位 2. 函数 y ? x | x | 的图象大致是( )
2 2



(B)左移 3 个单位,下移 1 个单位 (D)左移 3 个单位,上移 1 个单位

( A)

(B )

(C )

(D)

3. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 对任意两个不相等实数 a , b ,总有

f (a ) ? f (b) ? 0 成立, a ?b

则必有(

) (B)函数 f ( x ) 是先减少后增加 (D) f ( x ) 在 R 上是减函数

(A)函数 f ( x ) 是先增加后减少 (C) f ( x ) 在 R 上是增函数

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4. 已知函数 f ( x) ? ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? 1 在区间?1,??? 上是减函数,则实数a 的取值 范围( A. a ≤2 ) B. a ≥2 C. a ≤0 D. a ≥0

5. 函数 f ( x) ? x 2 ? x ? 1 ? 3

(1)用分段函数形式表示 f (x) (2)画出该函数图象; (3)指出该函数的单调区间.

6. 已知二次函数当 x ? 4 时有最小值 ? 3 ,且它的图像与 x 轴两交点的距离为 6, 求这个二次函数的解析式。

7. 已知二次函数 f ( x) ? x ? 2 x ? 2
2

(1)当 x ? ?0,4? 时,求 f (x) 的最值; (2)当 x ? ?2,3? 时,求 f (x) 的最值;

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(3)当 x ? ?t , t ? 1? 时,求 f (x) 的最小值;

【巩固提高】 1. 将二次函数 y ? ?2 x 2 的向右平移 3 个单位,再向上平移 2 个单位后,得到的函数的 解析式为 2. 是 已 知 。

f ( x) ? ( x ? 2) 2 , x ? [?1,3] , 则 函 数 f ( x ? 1) 得 单 调 递 减 区 间
. ( ) (D) (??,3] ( )

3. 函数 y ? ?2 x 2 ? 4 x ? 1, x ?[?4,1] 的值域是 (A)[-15,-5] (B)[-5,3] (C) [-15,3]

4.函数 f (x) 在区间 [?2,3] 是增函数,则 y ? f ( x ? 5) 的递增区间是 B. [?7,?2]

A. [3,8]

C. [0,5]

D. [?2,3]

5 为了得到函数 y ? f (?2 x) 的图象,可以把函数 y ? f (1 ? 2 x) 的图象适当平移,
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这个平移是( A

) B 沿 x 轴向右平移

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沿 x 轴向右平移 1 个单位

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1 个单位 2

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C

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沿 x 轴向左平移 1 个单位

D

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沿 x 轴向左平移

1 个单位 2

? x2 ? 2x ? 6. 已知函数 f ( x) ? ? 2 ?? x ? 2 x ?
(1)作出函数 f (x) 的图像; (2)求函数 f (x) 的单调区间;

(0 ? x ? 3) (?2 ? x ? 0)

(3)求函数 f (x) 的最大值和最小值.

7. 已知二次函数 f (x) 满足条件 f (0) ? 1 和 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x 。 (1)求 f (x) ;(2)指出 f (x) 的图像可以通过 y= x 的图像如何平移得到。
2

8. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? a 2 ? a, x ? ?1,3? ,求函数的最小值
g (a)

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§1.5 幂 函 数
一.教学目标 1.知识与技能: 通过对幂函数概念的学习以及对幂函数图像和性质的归纳与概括,让学生体验数学概念 的形成过程,培养学生的抽象概括能力. 2.过程与方法: 使学生理解并掌握幂函数的图像与性质,并能初步运用所学知识解决有关问题,培养学 生的灵活思维能力. 3.情态与价值 让学生自己去探究,把主动权交给学生.然后,再由学生自己结合性质去画幂函数的图 像,让学生在获得一定的感性认识的基础上,从而提高学生获取知识的能力. 二、教学重难点 幂函数的形势及图像 三、教学设计 一、问题情景 下列问题中的函数各有什么共同特征? (1)如果张红购买了每千克 1 元的蔬菜 w(kg),那么她应支付 p=w 元.这里 p 是 w 的 函数. (2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积为 S=a2.这里 S 是 a 的函数. (3)如果立方体的边长为 a,那么立方体的体积为 V=a3.这里 V 是 a 的函数. (4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么这个正方形的边长为 a= 数. (5)如果某人 t(s)内骑车行进了 1km,那么他骑车的平均速度为 v=t-1(km/s).这里 v 是 t 的函数. 由学生讨论,总结,即可得出:p=w,s=a2,a= ,v=t-1 都是自变量的若干次幂的形式. .这里 a 是 S 的函

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教师指出:我们把这样的都是自变量的若干次幂的形式的函数称为幂函数. 二、建立模型 定义:一般地,函数 y=xa 叫作幂函数,其中 x 是自变量,a 是实常数. 教师指出:由于无理指数幂的意义我们还没学到,因此目前只讨论 a 是有理数的情况. 思考讨论:在幂函数 y=xn 中,当 n=0 时,其表达式怎样?定义域、值域、图像如何? 教师指出:此时 y=x0=1;定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),特别强调,当 x 为任何非 零实数时,函数的值均为 1,图像是从点(0,1)出发,平行于 x 轴的两条射线,但点(0, 1)要除外. 三、解释应用 [例题一] 1. 求下列函数的定义域.

解:(1)R. (2)R. (3){x|x≥0}. (4){x|x∈R 且 x≠0).(5){x|x >0}. 2. 求下列函数的定义域,并判断函数的奇偶性.

解:(1){x|x∈R 且 x≠0)},偶函数.(2)R,非奇非偶函数.(3)R,奇函数.(4) {x|x>0},非奇非偶函数. [问题探究] 1. 对于幂函数 y=xa,讨论当 a=1,2,3, 表 13-1 ,-1 时的函数性质.

以上问题给学生留出充分时间去探究,教师引导学生从函数解析式出发来研究函数性质. 2. 在同一坐标系中,画出 y=x,y=x2,y=x3,y= 有的共同性质. ,y=x-1 的图像,并归纳出它们具

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教师讲评:幂函数的性质. (1)所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义,并且图像都过点(1,1). (2)如果 a>0,则幂函数的图像通过原点,并在区间[0,+∞)上是增函数. (3)如果 a<0,则幂函数在(0,+∞)上是减函数,在第一象限内,当 x 从右边趋向于原 点时,图像在 y 轴右方无限地趋近 y 轴;当x趋向于+∞时,图像在 x 轴上方无限地趋近x 轴. 思考讨论:(1)在幂函数 y=xa 中,当 a 是正偶数时,这一类函数有哪种重要性质? (2)在幂函数 y=xa 中,当 a 是正奇数时,这一类函数有哪种重要性质? 教师讲评:(1)在幂函数 y=xa 中,当 a 是正偶数时,函数都是偶函数,在第一象限内是 增函数. (2)在幂函数 y=xa 中,当 a 是正奇数时,函数是奇函数,在第一象限内是增函数. [例题二] 比较下列各题中两个值的大小.

解:(1)∵幂函数 y=x1.5 是增函数,又 0.7>0.6,∴0.71.5>0.61.5. (2)∵幂函数 y= 是减函数,又 2.2>1.8,∴

注意:由于学生对幂函数还不是很熟悉,所以在讲评中要刻意体现出幂函数 y=x1.5 与 y= 的图像的画法,即再一次让学生体会根据解析式来画图像解题这一基本思路. [练 习] 比较下列各题中两个值的大小.

四、拓展延伸 1. 如果把函数图像向上凸的函数称为凸函数,把函数图像向下凸的函数称为凹函数,对于 幂函数 y=xa,x∈[0,+∞),当 a>0 且 a≠1 时,研究其凸凹性. 2. 研究幂指数与幂函数奇偶性的关系. 3. 研究幂指数与幂函数单调性的关系. (以上问题的探究可以借助计算机来完成)

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