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2013版高中全程复习方略课时提能演练:6.1不等关系与不等式


课时提能演练(三十四)
(45 分钟 一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.(2012·楚雄模拟)设 a, c,d∈R, a>b, b, 且 c>d, 则下列结论正确的是( (A)a+c>b+d (C)ac>bd (B)a-c>b-d a b (D) > d c ) ) 100 分)

1 1 2.设 a

,b 为正实数,则“a<b”是“a- <b- ”成立的( a b (A)充分不必要条件 (C)充要条件 (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

1 3.(预测题)设 a=( )0.5, b=0.30.5, c=log0.30.2.则 a、 c 的大小关系是( b、 2 (A)a>b>c (C)b<a<c (B)a<b<c (D)a<c<b )

)

4.(2012·荆州模拟)下列命题正确的是( (A)ac<bc?a<b 1 1 (C) < ?a>b a b

(B)a<b?lga<lgb (D) a< b?a<b )

5.(2012·宝鸡模拟)已知 0<a<b,且 a+b=1,下列不等式成立的是( (A)log2a>0 (C)2ab>2 (B)2a-b>1 (D)log2(ab)<-2 ) (D)(1,4)

6.若 1<a<3,-4<b<0,则 a-|b|的取值范围是( (A)(-1,3) (B)(-3,6) (C)(-3,3)

二、填空题(每小题 6 分,共 18 分) 7.(2012·武汉模拟)有甲、乙两个粮食经销商每次在同一粮食生产地以相同的 价格购进粮食,他们各购进粮食两次,各次的粮食价格不同,甲每次购粮 20 000 千克,乙每次购粮 10 000 元,在两次统计中,购粮方式比较经济的是 x2 x3 8.(易错题)设 x, 为实数, y 满足 3≤xy ≤8, 4≤ ≤9, 4的最大值是 则 y y
2

. .

9.设 a>b>c>0, x= a2+(b+c)2, y= b2+(c+a)2, z= c2+(a+b)2, x, 则 y,z 的大小顺序是 .

三、解答题(每小题 15 分,共 30 分) 10.某公司租赁甲、乙两种设备生产 A,B 两类产品,甲种设备每天能生产 A 类 产品 5 件和 B 类产品 10 件,乙种设备每天能生产 A 类产品 6 件和 B 类产品 20 件.已知设备甲每天的租赁费为 200 元,设备乙每天的租赁费为 300 元,现该公 司至少要生产 A 类产品 50 件,B 类产品 140 件,所需租赁费最多不超过 2 500 元,写出满足上述所有不等关系的不等式. x y 11.已知 b>a>0,x>y>0,求证: > . x+a y+b 【探究创新】 (16 分)已知奇函数 f(x)在 R 上是单调递减函数,α ,β ,γ ∈R,α +β >0, β +γ >0,γ +α >0,试说明:f(α )+f(β )+f(γ )的值与 0 的关系.

答案 解析
1.【解析】选 A.∵c>d,∴-c<-d,而 a>b,不是同向不等式,不能相加,得 不出 a-c>b-d,故 B 错误.当 0>c>d 时,ac>bd 错误.同理对于 D 项,只有 c 与

a b d 同时为正时, > 才成立,由不等式的基本性质可知 A 正确. d c 1 1 2.【解题指南】对于充要条件问题,主要从两方面入手:看 a<b 时 a- <b- a b 1 1 是否成立,若成立则充分条件具备,反之不具备,再从 a- <b- 入手看 a<b a b 是否成立即可. 1 1 【解析】选 C.∵0<a<b,∴ > >0, a b 1 1 ∴- <- <0, a b 1 1 1 1 由同向不等式的可加性得 a- <b- ,故充分条件具备.若 a- <b- ,则 a a b a b 1 1 -b+( - )<0, b a 即(a-b)(1+ 1 )<0, ab

1 ∵a,b 为正实数,∴1+ >0,故 a-b<0, ab ∴a<b 成立,故必要条件具备,故选 C. 3.【解析】选 C.∵y=x0.5 在第一象限内是增函数, ∴a>b,且 a<1,而 c=log0.30.2>log0.30.3=1. ∴b<a<c. 4.【解析】选 D.若 c<0,则 A 错.若 a<b<0,则 lga<lgb 无意义.若 a<0,b> 0,则 C 错.由不等式的性质可知 a< b,则 a<b 成立 . 1 5.【解析】选 D.由已知,0<a<1,0<b<1,a-b<0,0<ab< ,log2(ab)< 4

-2,故选 D. 6.【解析】选 C.由-4<b<0,得 a-|b|=a+b, 又 1<a<3,故-3<a+b<3,故选 C. 7.【解析】设第一次购粮的价格为每千克 x 元,第二次购粮的价格为每千克 y 元,x≠y,则甲两次购粮的平均价格为甲平均= 乙两次购粮的平均价格为乙平均= 20 000x+20 000y 1 = (x+y). 40 000 2

20 000 2xy = , 10 000 10 000 x+y + x y

1 2xy ∵甲平均-乙平均= (x+y)- 2 x+y (x+y)2-4xy (x-y)2 = = >0,∴甲平均>乙平均. 2(x+y) 2(x+y) ∴乙购粮方式比较经济. 答案:乙 x3 x2 m 8.【解题指南】利用待定系数法,即令 4=( ) ·(xy2)n,求得 m,n 后整体代换 y y 求解. x3 x 2 m 2 n 【解析】设 4=( ) (xy ) ,则 x3y-4=x2m+ny2n-m, y y
?2m+n=3, ? ∴? ?2n-m=-4. ? ?m=2, ? 即? ?n=-1. ?

x3 x2 2 2 -1 ,∴ 4=( ) (xy ) , y y

x2 2 1 1 1 又由题意得 ( ) ∈[16,81], 2∈[ , ] , y xy 8 3 x3 x2 2 1 x3 所以 4=( ) · 2∈[2,27],故 4的最大值是 27. y y xy y 答案:27

【方法技巧】解决最值问题的新方法 此类问题的一般解法是先用待定系数法把目标式用己知式线性表示,再利用不 等式的性质求出目标式的范围,对于多项式问题,也可以考虑用线性规划的方 法求解. x 【变式备选】已知 x,y 为正实数,满足 1≤lg(xy)≤2,3≤lg ≤4,求 lg(x 4y2) y 的取值范围. 【解析】设 a=lgx,b=lgy,则 lg(xy)=a+b, x lg =a-b,lg(x4y2)=4a+2b, y 设 4a+2b=m(a+b)+n(a-b), ∴?
? m ? n ? 4, ? m ? 3, 解得 ? ? m ? n ? 2. ? n ? 1.

x ∴lg(x4y2)=3lg(xy)+lg , y x ∵3≤3lg(xy)≤6,3≤lg ≤4, y ∴6≤lg(x4y2)≤10. 9. 【解析】∵a>b>c>0,∴y2-x2=b2+(c+a)2-a2-(b+c)2=2c(a-b)>0, ∴y2>x2,又 x>0,y>0,∴y>x, z2-y2=c2+(a+b)2-b2-(c+a)2=2a(b-c)>0,故 z2>y2,又 z>0,y>0, ∴z>y,故 z>y>x. 答案:z>y>x 【一题多解】特值代换法,令 a=3,b=2,c=1, 则 x= 18,y= 20,z= 26,故 z>y>x.

答案:z>y>x 10.【解析】设甲种设备需要生产 x 天,乙种设备需要生产 y 天,则甲、乙两种 设备生产 A,B 两类产品的情况如表所示: A 类产品(件) (≥50) 甲设备(每天) 乙设备(每天) 则 x、y 满足的关系为: 5 6 B 类产品(件) 租赁费(元) (≥140) 10 20 200 300

?5x+6y≥50, ?10x+20y≥140, ?200x+300y≤2 500, ?x∈N,y∈N. ?

?5x+6y≥50, ?x+2y≥14, 即? 2x+3y≤25, ?x∈N,y∈N. ?

【方法技巧】用不等式表示不等关系问题的解题步骤 (1)阅读理解、认真审题,把握问题中的关键量,找准不等关系; (2)引进数学符号,把文字语言“翻译”成对应的数学符号语言,用不等式表示 不等关系; (3)设变量后,数量化不等关系(列出不等式(组)). 11.【解题指南】利用作差比较法进行证明. x y x(y+b)-y(x+a) 【证明】 - = x+a y+b (x+a)(y+b) = bx-ay , (x+a)(y+b)

∵b>a>0,x>y>0, ∴bx>ay,x+a>0,y+b>0,



bx-ay x y >0,∴ > . (x+a)(y+b) x+a y+b

【探究创新】 【解析】由α+β>0 得α>-β, ∵f(x)是 R 上的单调递减函数,故 f(α)<f(-β), 又∵f(x)是 R 上的奇函数,故 f(α)<-f(β), ∴f(α)+f(β)<0. 同理可得 f(β)+f(γ)<0,f(α)+f(γ)<0, ∴2f(α)+2f(β)+2f(γ)<0, 故 f(α)+f(β)+f(γ)<0.


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