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1.2.2基本初等函数的导数公式及四则运算(二7)(2)2013.3.4


1.2.1-1.2.2基本初等函数的导数 公式及导数的运算法则

我们今后可以直接使用的基本初等函数的 导数公式
公式1.若f ( x) ? c, 则f '( x ) ? 0; 公式2.若f ( x) ? x n , 则f '( x) ? nx n ?1 ; 公式3.若f ( x ) ? sin x, 则f '( x) ?

cos x; 公式4.若f ( x) ? cos x, 则f '( x) ? ? sin x; 公式5.若f ( x ) ? a x , 则f '( x ) ? a x ln a ( a ? 0); 公式6.若f ( x) ? e x , 则f '( x ) ? e x ; 1 公式7.若f ( x) ? log a x, 则f '( x ) ? ( a ? 0, 且a ? 1); x ln a 1 公式8.若f ( x ) ? ln x, 则f '( x ) ? ; x

例3.求下列函数的导数
(1) y ? sin( ? x) 2 (3) y ? cos(2? ? x)

?

(2) y ? sin

?
3

例4.求下列函数的导数

(1) y ? 4

x

(2) y ? log x
3

(三)函数的和、差、积、商的求导法则 设f(x)、g(x)是可导的 (1) [ f ( x) ? g ( x)]' ? f ' ( x) ? g ' ( x); (2) ( f ( x) g ( x))
'

? f ( x) g ( x) ? f ( x) g ( x)
' '

f ( x) ' f ( x) g ( x) ? f ( x) g ( x) ) ? (3) ( 2 g ( x) g ( x)
' '

特殊地

(cf ( x)) ? cf ( x)(c为常数)
' '

g ? x? 1 ' ( ) ?? 2 g ( x) g ( x)
'

注意:1、前提条件导数存在; 2、和差导数可推广到任意有限个; 3、商的导数右侧分子中间“-”, 先 子导再母导。

例1求 f ( x) ? x ? 2 x ? sin x 在 x ? 0 时的导数 .
3 2

例2

设 y = xlnx , 求 y ?.

例3


x ?1 设 y ? 2 , 求 y ?. x ?1

根据除法公式,有
2 2 ? x ? 1 ? ( x ? 1)( x ? 1)? ? ( x ? 1)?( x ? 1) y? ? ? 2 ? ? x ?1? ( x 2 ? 1) 2 ?

?

( x 2 ? 1)[( x )? ? (1)?] ? [( x 2 )? ? (1)?]( x ? 1) ? ( x 2 ? 1) 2

( x 2 ? 1) ? 2 x( x ? 1) 2 x ? x 2 ? 1 ? ? . 2 2 2 2 ( x ? 1) ( x ? 1)

? 1 , 1:求过曲线y=cosx上点P( ) 3 2
的切线的直线方程.
? ?
解: f ( x) ? cos x,? f ?( x) ? ? sin x, ? 3 ? f ?( ) ? ? sin ? ? . 3 3 2 ? 1

切线问题

3 故曲线在点P( , )处的切线斜率为? , 3 2 2 1 3 ? ? 所求的直线方程为y ? ? ? ( x ? ), 2 2 3 3? 即 3x ? 2 y ? 1 ? ? 0. 3

2.

如果曲线 y=x3+x-10 的某一切线与直线 y=4x+3 平行, 求切点坐标与切线方程. 解: ∵切线与直线 y=4x+3 平行, ∴切线斜率为 4. 又切线在 x0 处斜率为 y? | x=x0 =(x3+x-10)? | x=x0 =3x02+1. ∴3x02+1=4. ∴x0=?1. 当 x0=1 时, y0=-8; 当 x0=-1 时, y0=-12. ∴切点坐标为 (1, -8) 或 (-1, -12).

切线方程为 y=4x-12 或 y=4x-8.

3、若直线y=3x+1是曲线y=ax3
的切线,试求a的值.
解:设直线y=3x+1与曲线y=ax3相切于点 P(x0,y0),则有: y0=3x0+1①, y0=ax03②, 3ax02=3.③ 由①,②得3x0+1=ax03,由③得ax02=1,代 入上式可得:3x0+1=x0,x0=-1/2.
所以a?(-1/2)2=1,

即:a=4

练习: 1 若直线y ? ? x ? b为函数y ? 图象的切线, x 求b的值和切点的坐标.

4.已知曲线 C: y=x3-3x2+2x, 直线 l: y=kx, 且直线 l 与 曲线
C 相切于点 (x0, y0)(x0?0), 求直线 l 的方程及切点坐标. y0 解: 由直线 l 过点(x0, y0),其斜率 k= x , 0 ∵点 (x0, y0) 在曲线 C 上, ∴y0=x03-3x02+2x0. y0 ∴ x =x02-3x0+2. 又 y?=3x2-6x+2, 0 ∴在点 (x0, y0) 处曲线 C 的切线斜率 k=y?|x=x0. ∴x02-3x0+2=3x02-6x0+2. 整理得 2x02-3x0=0. 解得 x0= 3 (∵x0?0). 2 3 1 这时 y0=- 8 , k=- 4 . 3 3 ∴直线 l 的方程为 y=- 1 x, 切点坐标是 ( 2 , - 8 ). 4

5.已知直线y ? x ? 1, 点P为y ? x 上任意一点,
2

求P在什么位置时到直线的距离最短 ?

1 练习:已知曲线 y ? 3 在点P(1,1)处的切线与直线m平 x

行且距离等于 10 ,求直线m的方程.

1 1 解:y ? 3 , y? ? ( 3 )? ? ( x ? 3 )? ? ?3 x ?4 ; x x

? 曲线在P (1,1)处的切线的斜率为 ? y? | x ?1 ? ?3, k 从而切线方程为 ? 1 ? ?3( x ? 1), 即3 x ? y ? 4 ? 0. y

设直线m的方程为3x+y+b=0,由平行线间的距离公 式得:
| b ? ( ?4 ) | 32 ? 1 ? 10 ?| b ? 4 |? 10,? b ? 6或b ? ?14;

故所求的直线m的方程为3x+y+6=0或3x+y-14=0.

小结:基本初等函数的导数公式
公式1.若f ( x) ? c, 则f '( x ) ? 0; 公式2.若f ( x) ? x n , 则f '( x) ? nx n ?1 ; 公式3.若f ( x ) ? sin x, 则f '( x) ? cos x; 公式4.若f ( x) ? cos x, 则f '( x) ? ? sin x; 公式5.若f ( x ) ? a x , 则f '( x ) ? a x ln a ( a ? 0); 公式6.若f ( x) ? e x , 则f '( x ) ? e x ; 1 公式7.若f ( x) ? log a x, 则f '( x ) ? ( a ? 0, 且a ? 1); x ln a 1 公式8.若f ( x ) ? ln x, 则f '( x ) ? ; x

注意:牢记公式呦


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