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第一节 有关集合的基础知识


第一节 有关集合的基础知识
一 教学目标 1.明白什么是集合,它的三要素是什么? 2.看懂一个集合 3.弄清简单数集表示 4.理解元素与集合、集合与集合之间的关系 二 教学过程 1 集合的定义 一般地,某些确定的对象组成的整体就成为一个集合,也简称集。 例如: (1)大于 10 的数; (2)全体整数; (3)某职业学校的全体女生; (4)直角坐标系中第一象限的点. 他

们分别是由一些确定的对象构成的集合.集合通常用大写的拉丁字母 A,B,C 等表示 2 常见的数集 由数组成的集合叫做数集。下面是常见的数集及其表达符号 全体非负整数组成的集合简称自然数集,记作 N ; 全体正整数组成的集合简称正整数集,记作 N 或 N ? ; 全体整数组成的集合简称整数集,记作 Z ; 全体有理数组成的集合简称有理数集,记作 Q ; 全体实数组成的集合简称实数集,记作 R . (实数集是我们高职考试中要求的最大数集) 3 集合和元素 集合的元素通常用小写拉丁字母 a, b, c 等表示。如果 a 是集合 A 中的元素,就说元素 a 属于集合 A, 记作 a ? A ; 如果 b 不是集合 A 中的元素, 就说元素 b 不属于集合 A, 记作 b ? A 4 集合的分类 (1)如果一个集合中含有有限个元素,这个集合叫做有限集 例如:由北京市新干线学校全体师生构成的集合就是一个有限集. (2)如果一个集合中含有无限多个元素,这个集合叫做无限集 例如:由比 1 大的数构成的集合. (3)如果一个集合中没有一个元素,则集合为空集,记作 ? 5 集合的性质 (1)确定性:一个给定的集合,集合中的元素必须是确定的.这就是说,一个对象是不是这 个集合的元素,是可以判定的.而这个判定标准必须是客观的 例如: 北京市新干线学校的好学生就不能构成一个集合, 原因在好学生的标准在每一个人中 是不一样的,也就是说判定一个学生是否为好学生的标准不是客观的. (2)互异性:一个给定的集合,不应重复出现同一个元素。一个集合中的相同对象,算作 这个集合中的一个元素 例如:在集合 {1,1,2,3} 中,不能说它由 4 个元素组成,因为要去掉一个 1,所以构成这个集
?

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合的元素只有 3 个 (3) 无序性:一个给定的集合,无论里面每一个元素具体的先后是 怎样的顺序,它都代表着同一个集合 例如: {1,2,3} 与 {3,2,1} 这两个集合实质上是一个集合 6 集合的表示 (1)列举法:把集合的元素一一列举出来,写在大括号内,这种表示集合的方法叫做列举 法。 例如,由 1,2,3,4 这 4 个数构成的集合,可以表示为 {1,2,3,4} 只含有一个元素的集合,叫做单元素集合 (2)描述法:把集合中所有元素具有的共同性质描述出来,写在大括号内表示集合的方法, 叫做描述法。 例如,函数 y ? 2 x 图像上所有点构成的集合可以表示为 {( x, y ) | y ? 2 x} (3) 文氏图法:此法又叫韦恩图法 7 集合与集合的关系 (1)子集 定义:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们就说集 合 A 包含于集合 B,或集合 B 包含集合 A,记作 A ? B (或 B ? A) ,也就是说集合 A 是 集合 B 的子集 对于上面的定义做以下两点说明: ① 对于任何一个非空集合 A,因为它的每一个元素都属于集合 A,所以集合 A 是集合 A 的 子集,即 A ? A ; ② 我们规定,空集是任何一个集合的子集。也就是说对于任何一个集合 A,有 ? ? A (2)真子集 定义:如果集合 A ? B ,并且在集合 B 中至少有一个元素不属与集合 A,那么集合 A 叫做 集合 B 的真子集,记作 A ? B 或 B ? A
? ?

对于空集而言,我们规定空集是任何非空集合的真子集 (3)两个集合相等 定义:对于两个集合 A 与 B,如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 中的元素,同时集合 B 中的任何一个元素都是集合 A 中的元素,我们就说集合 A 等于集合 B,记作 A ? B 。 一般地,对于集合 A,B,若有 A ? B且B ? A ,则 A ? B 二 典题详解 例 1 下列语句能够成为集合的是( ) A 个子高的男生 B 漂亮的女生 C 著名的作家 D 三角形全体 分析与解答:对于一句话能否构成一个集合,我们要看这句话又没有明确的判定标准,或者 讲判定标准是否客观。本题很明显前三个选项都是比较模糊的概念,即“多高算高”“多漂 、 亮算漂亮”“多著名算著名”这每一个人的判定标准不一样,所以构不成集合。故本题选 D 、 例 2 请列举出集合 {1,2,3} 的全部子集,并求出这个集合一共有几个子集

2

分析与解答:集合 {1,2,3} 的全部子集为: ?,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3} 一共是 8 个子集。 总结:我们不难得出下表 集合 元素个数 0 1 2 3 全部子集 子集个数 1 2 4 8

?

?

{1} {1,2}
{1,2,3}

{1}, ? ?,{1},{2},{1,2}

?,{1},{2},{3},{1,2}, {1,3},{2,3},{1,2,3}

{1,2,3,4}

4

?,{1},{2},{3},{4}, {1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4}, {1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4}, {1,2,3,4}

16

通过上面的表格我们发现:由 n 个元素组成的集合有 2 个子集。 例 3:判断下面各组集合是否为同一个集合,为什么? (1) A ? { y | y ? x ? 1}与B ? {x | y ? x ? 1} ; (2) A ? { y | y ? x ? 1}与B ? { y | y ? x}; (3) A ? { y | y ? x ? 1}与B ? {( x, y) | y ? x ? 1} ; (4) A ? {x | x ? b2 ? b, b ? R}与B ? {x | x ? a2 ? 3a ? 2, a ? R} 分析与解答: 对于判断两个集合是否为同一个集合, 我们要先看两个集合的研究对象是否为 同一类元素,然后再看这同一类的元素的取值范围是一样的。本题具体分如下: (1)本题的两个集合虽然研究对象的名称不一样(一个是 x ,另一个是 y ) ,但是它们都表 示的是要研究一个数,所以研究对象是同一类元素,并且本题的 x, y 的取值范围是一样的, 都是 R ,所以两个集合其实都可以代表实数集 R,故两个集合是同一个集合。 (2)本题的两个集合研究对象是一样的,并且这两个集合对研究对象 y 都没有取值的范围 要求,即两个集合其实都可以代表实数集 R,故两个集合是同一个集合。 对于本题有些同学会觉得集合 A 中是直线 y ? x ? 1, 集合 B 中的直线是 y ? x , 这明显 不一样两个集合怎么会相等呢?要注意本题研究的不是直线, 而是一个数 y 的取值问题, 所 以这些同学的想法不对。 但是如果题目为 A ? {( x, y) | y ? x ? 1}与B ? {( x, y) | y ? x} , 这 就不代表两个相等的集合,原因就是上面这些同学所提到的,请同学们思考。 (3)本题两个集合中,集合 A 研究对象是一个数 y ,而集合 B 研究对象是点 ( x, y ) ,这明

n

3

显研究对象不是同一类元素,所以这两个集合不是同一个集合。 (4)本题两个集合的研究对象是一样的,当我们把两个集合中的式子都配方。

1 1 1 1 1 ? ? (b ? ) 2 ? ? ? ; 4 4 2 4 4 9 1 3 2 1 1 2 对于集合 B: x ? a ? 3a ? ? ? (a ? ) ? ? ? 4 4 2 4 4 1 可见,两个集合都代表由不小于 ? 的数构成的集合,所以两个集合是同一个集合 4
对于集合 A: x ? b ? b ?
2

例 4:已知集合 A ? {a, ab, a 2 }, B ? {1, a, b}, A ? B ,求 a 和 b 分析与解答:两个集合如果相等,两个集合中的每一个元素必须都对应相等。由题意得:

?a 2 ? 1 ?ab ? 1 ?a ? 1 ?a ? ?1 ?a ? 1 或? 2 ?? 或? 或? ? ?ab ? b ?a ? b ?b ? R ?b ? 0 ?b ? 1
又由于集合中要求任何一个集合内的任意两个元素不能相等(集合的互异性) ,所以

a ? 1 ,则 a ? ?1, b ? 0
2 例 5:已知集合 A ? {x | x ? 3 x ? 2}, B ? {x | ax ? 1 ? 0}, 并且满足关系 B ? A , ?

求实数 a 的值 分析与解答:本题是 2004 年西城区高职考试一模试题。具体解答过程如下: 对于集合 A: ( x ? 1)(x ? 2) ? 0 ? x1 ? 1或x2 ? 2 ? A ? {1,2}

1 1 ? B ? {? } a a 1 1 由于 B ? A ,所以 ? ? 1或 ? ? 2或B ? ? ? a a 1 所以实数 a 的取值为 a ? ?1或a ? ? 或a ? 0 2
对于集合 B: ax ? ?1 ? x ? ? 特别注意:本题一定不要忘掉集合 B 是空集的情况 例 6:已知集合

A ? {x | ?7 ? x ? 4}, B ? {x | 3a ? 1 ? x ? 3a ? 1}, 并且满足关系 ? B ,求实数 a 的取 A
值范围 分析与解答:本题是 2004 年北京市高职考试的原题。具体解答过程如下:由于 B ? A ,所 以集合 B 包含于集合 A,如图

由上面的图得不等式组: ?

?3a ? 1 ? ?7 ?a ? ?2 ?? ? ?2 ? a ? 1 ?3a ? 1 ? 4 ?a ? 1

对于本题我们做一下两点反思: 反思一,如果把集合 A 与集合 B 所满足的关系改为 B ? A ,那么一定会有同学认为由于真
?

子集不同于子集, 不能有两个集合相等情况, 那么只要把上一问解答过程中的等号去掉就可

4

以了。 这样的想法表面上看没有问题, 但是再细想想就会发现, 3a ? 1 ? ?7 ? a ? ?2 时, 当 集 合 B ? {x | ?7 ? x ? ?5} , 同 样 满 足 关 系 B ? A ; 当 3a ? 1 ? 4 ? a ? 1 时 , 集 合
?

B ? {x | 2 ? x ? 4} ,同样满足关系 B ? A 。所以这个题目的解答过程应当不变。
?

总结: 对于像这样类型的题目, 所得到的不等式组中的等号不是由原题是子集或者是真子集 决定的,是否有等号需要子集尝试一下看能否相等。但是,如果题目中提到的是子集,那么 就一定会有等号。 反思二:如果将集合 B 改为 B ? {x | a ? 1 ? x ? 3a ? 1} ,那么如何求解。 这时有可能出现 a ? 1 ? 3a ? 1 ,即 B ? ? 的情况(原题中由于 3a ? 1 不可能大于 3a ? 1 , 故不可能出现这一情况) ,所以要分类讨论,具体解答过程如下 (1)当 B ? ? 时: a ? 1 ? 3a ? 1 ? a ? ?1 (2)当 B ? ? 时:由题意得不等式组

?a ? 1 ? 3a ? 1 ?a ? ?1 ? ? ?a ? 1 ? ?7 ? ?a ? ?6 ? ?1 ? a ? 1 ?3a ? 1 ? 4 ?a ? 1 ? ?
综合(1)(2)可知,实数 a 的取值范围为 a ? 1 ,

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