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第8节 函数与方程


第8节 课时训练 【选题明细表】 知识点、方法 函数零点个数 确定函数零点所在区间 函数零点的综合问题

函数与方程 练题感 提知能

题号 2、5、7、8、16 1、3、4、6、9 10、11、12、13、14、15

一、选择题 1.(2013 山东青岛模拟)函数 f(x)=1-xlog2x 的零点所在区间是 ( C

)

(A)( , ) (B)( ,1) (C)(1,2) (D)(2,3) 解析:因为 y= 与 y=log2x 的图象只有一个交点,所以 f(x)只有一个零 点.又 f(1)=1,f(2)=-1,故函数 f(x)=1-xlog2x 的零点所在的区间是 (1,2).故选 C. 2.函数 f(x)=ex+3x 的零点个数是( (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 解析:易知 f(x)=ex+3x 在 R 上单调递增, 又∵f(-1)=e-1-3<0,f(1)=e+3>0, ∴函数只有一个零点,故选 B. B )

3.(2013 乐山市第一次调研考试)“a>1”是“函数 f(x)=ax-1-2(a>0 且 a≠1)在区间[1,2]上存在零点”的( B (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件 解析:若 f(x)=ax-1-2 在[1,2]上存在零点,则 f(1)·f(2)<0, ∴-1·(a-2)<0,∴a>2,则必有 a>1,但 a>1 推不出 a>2,∴“a>1”是 “f(x)在[1,2]上存在零点”的必要不充分条件.故选 B. 4.(2013 年高考重庆卷)若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的两个零点分别位于区 间( A ) (B)(-∞,a)和(a,b)内 )

(A)(a,b)和(b,c)内

(C)(b,c)和(c,+∞)内 (D)(-∞,a)和(c,+∞)内 解析:∵a<b<c, ∴f(a)=(a-b)(a-c)>0, f(b)=(b-c)(b-a)<0,f(c)=(c-a)(c-b)>0, ∴f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,故选 A. 5.已知关于 x 的方程 xln x=ax+1(a∈R),下列说法正确的是( (A)有两不等根 (B)只有一正根 (C)无实数根 (D)不能确定 B )

解析:由 xln x=ax+1(a∈R)知 x>0,

∴ln x=a+ ,作出函数 y1=ln x 与 y2=a+ 的图象,

易知选 B. 6.函数 f(x)=ln x+ex 的零点所在的区间是( (A)(0, ) (B)( ,1) (C)(1,e) (D)(e,+∞) 解析:f(x)=ln x+ex 在(0,+∞)上是增函数,且 f( )=ln + =-1+ >0, 结合选项知应选 A. 7.对于函数 f(x)=x|x|+px+q,现给出四个命题,其中所有正确命题的 序号是( B ) A )

①q=0 时,f(x)为奇函数;②y=f(x)的图象关于点(0,q)对称;③ p=0,q>0 时,f(x)有且只有一个零点;④f(x)至多有 2 个零点. (A)①④ (B)①②③ (C)②③ (D)①②③④

解析:当 q=0 时,f(x)=x(|x|+p),显然是奇函数,故①正确;由于 g(x)=x(|x|+p)是奇函数,图象关于原点对称,q≠0 时,f(x)=g(x)+q 的图象由 g(x)的图象向上(或向下)平移|q|个单位得到,所以 f(x)的 图象关于点(0,q)对称,故②正确;当 p=0,q>0 时,由 f(x)=x|x|+q=0 可得 x=- ,只有一个根,函数只有一个零点,故③正确;当 p<0,q=0 时, 函数 f(x)=x|x|+px 有三个零点 0,p,-p,所以④错误.故选 B.

8.(2013 山东济南模 拟)f(x)=|2x-1|,f1(x)=f(x),f2(x)=f(f1(x)),?,fn(x)=f(fn-1(x)), 则函数 y=f3(x)的零点个数为( (A)2 (B)3 (C)4 (D)5 解析:f3(x)=|2f2(x)-1|的零点,即 f2(x)= 的实根,即|2f1(x)-1|= 的 实根,又 f1(x)=f(x).所以 f(x)= 或 f(x)= .而以上两方程各有两个实 根,故共有 4 个实根.故选 C. 二、填空题 9.函数 f(x)=3x-7+ln x 的零点位于区间(n,n+1)(n∈N)内,则 n= . C )

解析:由于 f(1)=-4<0, f(2)=ln 2-1<0,f(3)=2+ln 3>0, 又 f(x)在(0,+∞)上为增函数, 所以零点在区间(2,3)内,故 n=2. 答案:2 10.已知 0<a<1,k≠0,函数 f(x)= 个零点,则实数 k 的取值范围是 . 若函数 g(x)=f(x)-k 有两

解析:函数 g(x)=f(x)-k 有两个零点,即 f(x)-k=0 有两个解,即 y=f(x) 与 y=k 的图象有两个交点.分 k>0 和 k<0 作出函数 f(x)的图象.

当 0<k<1 时,函数 y=f(x)与 y=k 的图象有两个交点;当 k=1 时,有一个 交点;当 k>1 或 k<0 时,没有交点,故当 0<k<1 时满足题意. 答案:{k|0<k<1} 11.(2014 四川德阳模拟)若 x1,x2 是函数 f(x)=x2+mx-2(m∈R)的两个 零点,且 x1<x2,则 x2-x1 的最小值是 .

解析:由于Δ =m2+8>0,故函数 f(x)一定有两个不同的零点,且两个零 点异号,故 x2>0,x1<0,所以 x2-x1= 答案:2 12.(2013 河北邯郸一模)已知 f(x)= 恰有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 且函数 y=f(x)+ax . = ≥2 .

解析:当 x<0 时,f(x)=(x+1)2- ,把函数 f(x)在[-1,0)上的图象向右平 移一个单位即得函数 y=f(x)在[0,1)上的图象,继续右移可得函数 f(x)在[0,+∞)上的图象.如果函数 y=f(x)+ax 恰有 3 个不同的零点, 即函数 y=f(x),y=-ax 的图象有三个不同的公共点,实数 a 应满足 -a<- ,即 a> .

答案:( ,+∞) 13.(2013 四川省广元市高三第一次诊断)若函数 f(x)=x2+2a|x|+4a2-3 有且只有一个零点,则实数 a= 解析:对于函数 f(x)=x2+2a|x|+4a2-3, ∵f(-x)=f(x), ∴f(x)为偶函数, ∴y=f(x)的图象关于 y 轴对称, ∴f(x)只有一个零点 0 且 a>0, 由 f(0)=4a2-3=0, 解得 a= . 答案: 三、解答题 14.是否存在这样的实数 a,使函数 f(x)=x2+(3a-2)x+a-1 在区间 [-1,3]上与 x 轴有且只有一个交点.若存在,求出 a 的范围;若不存在, 说明理由. 解:∵Δ =(3a-2)2-4(a-1)=9 + >0, .

∴若存在实数 a 满足条件,则只需 f(-1)·f(3)≤0 即可. f(-1)·f(3)=(1-3a+2+a-1)·(9+9a-6+a-1)=4(1-a)(5a+1)≤0, ∴a≤- 或 a≥1. 检验:①当 f(-1)=0 时,a=1,

∴f(x)=x2+x. 令 f(x)=0, 即 x2+x=0, ∴x=0 或 x=-1. 方程在[-1,3]上有两个根,不合题意,故 a≠1. ②当 f(3)=0 时,a=- , 此时 f(x)=x2- x- . 令 f(x)=0, 即 x2- x- =0, 解得 x=- 或 x=3. 方程在[-1,3]上有两根,不合题意,故 a≠- . 综上所述,a<- 或 a>1. 15.已知 f(x)=x2+2mx+3m+4. (1)m 为何值时,有两个零点且均比-1 大; (2)若函数 f(x)=|4x-x2|+a 有 4 个零点,求实数 a 的取值范围. 解:(1)法一 设 f(x)的两个零点分别为 x1,x2,

则 x1+x2=-2m,x1·x2=3m+4. 由题意,知

? ? ∴-5<m<-1. 故 m 的取值范围为(-5,-1). 法二 由题意,知

即 ∴-5<m<-1. ∴m 的取值范围为(-5,-1). (2)令 f(x)=0,得|4x-x2|+a=0, 即|4x-x2|=-a. 令 g(x)=|4x-x2|, h(x)=-a. 作出 g(x)、h(x)的图象.

由图象可知,当 0<-a<4, 即-4<a<0 时,

g(x)与 h(x)的图象有 4 个交点, 即 f(x)有 4 个零点. 故 a 的取值范围为(-4,0). 16.设 f(x)=3ax2+2bx+c,若 a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求证: (1)a>0 且-2< <-1; (2)函数 y=f(x)在(0,1)内有两个零点. 证明:(1)因为 f(0)>0,f(1)>0, 所以 c>0,3a+2b+c>0. 由条件 a+b+c=0,消去 b,得 a>c>0; 由条件 a+b+c=0,消去 c,得 a+b<0, 2a+b>0,故-2< <-1. (2)抛物线 f(x)=3ax2+2bx+c 的对称轴为 x=- , 在-2< <-1 的两边乘以- , 得 <- < . 又因为 f(0)>0,f(1)>0, 又 f(- )= = =-

=-

<0,

所以方程 f(x)=0 在区间(0,- )与(- ,1)内分别有一实根. 故函数 y=f(x)在(0,1)内有两个零点.


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