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2.3.2三垂线定理


备课组 课 题

2019 届 数学学科 2.3.2 三垂线定理

二次备课教师 上课时间 集体备课内容

课时

二次备课

授课类型

新授课
1、知识与技能:理解三垂线定理及其逆定理的证明,准确把握“空 间三线”垂直关系的实质;掌握三垂线定理及其逆定理解题的一般步骤。

教学目标

2、过程与方法:通过三垂线定理的证明及应用,体会空间线线、线 面垂直关系的转化。 3、情感态度与价值观:培养学生的观察、猜想和论证能力;培养学 生对待知识的科学态度和辩证唯物主义观点。

教学重难点

教学重点:三垂线定理及其逆定理的证明和初步应用。 难点:三垂线定理中的垂直关系及证明过程。
(一)复习和引入新课 提问: (1)直线和平面垂直的定义是什么?(直线垂直于平面内的任

教 学 环 节 及 主 要

意一条直线。 ) (2) 直线和平面垂直的判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交 直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 (3)如图,如果 PO⊥平面 α,PA 与平面 α 交于点 A,则 PO 为平面 α 的垂线,PA 为平 面 α 的斜线,连接垂足 O 与斜足 A 的直线 OA 叫做斜线 PA 在平面 α 内的射影。 (二)猜想和发现 1、揭示问题,引导探究

内 容

根据直线和平面垂直的定义知平面内的任意一条直线都和平面的垂线 垂直。 进一步, 平面内的任意一条直线是否都和平面的一条斜线垂直? (否)

是否平面内的所有直线都不和平 面的一条斜线垂直? 2、模型演示 引导学生用三角板和铅笔在桌面 上搭建模型(如图) 。 如图表示平面的斜线(PO)在平面内有垂线(a) ,且有无数条。这些 直线应具备什么条件,即怎样判定平

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面内的直线与平面的一条斜线垂直 呢? 指导学生用三角板和铅笔在桌 面上搭成模型(如图) ,使铅笔与三 角板的斜边垂直,引导学生观察猜想发现规律,经过实验,发现铅笔和三 角板在平面 α 内的直角边垂直时,便与斜边垂直。 3、结论:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的射影 垂直,那么它也和这条斜线垂直。 (三)证明定理 实验得出的结果是否正确还得进 行证明。 已知:PA、PO 分别是平面 α 的垂 线、斜线,AO 是 PO 在平面 α 上的射 影, a ? ? , a ? OA (如图) 。 求证:a⊥PA。 分析:证明两直线垂直,可转化为证明一条直线垂直于另一条直线所 在的平面, 从本题条件看, PO 在平面 PAO 内, 只要证明 a⊥平面 PAO 即可。 证明: 因为 PO ? ? , 所以 PO ⊥a, 又 a ⊥OA, PO∩OA = O, 所以 a⊥ 平面 POA,所以 a ⊥PA。

(四)揭示定理 上面命题反映了平面内一条直线、平面的斜线和斜线在这个平面内的 射影这三者之间的垂直关系,这就是著名的三垂线定理,下面请大家根据 已知条件和结论,把三垂线定理完整地表达出来。 三垂线定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一条斜线的

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射影垂直,那么它也和这条斜线垂直。 三垂线定理的实质是平面内的直线与平面的斜线垂直的判定定理。这 个定理之所以著名,不仅在于它给了我们一个证明线线垂直的重要方法, 为研究计算空间角、空间距离奠定了基础,而且这个定理的证明方法—— “线面垂直法” ,也是一种非常重要的方法。 刚才我们由 a 与 PA、AO 垂直得到了 a 与平面 PAO 垂直,现在我们再 看,由于 PA 与 a 总垂直,那么当 a 与 PO 垂直时还会有 a⊥平面 PAO 吗? 进一步可得到什么结论?(a⊥AO)这样我们又得到了一个重要定理: 三垂线定理的逆定理:在平面内的一条直线,如果它和这个平面的一 条斜线垂直,那么它也和这条斜线在平面内的射影垂直。 请同学们写出证明过程,并与原定理进行对比。 (五)原、逆定理的比较 相同点: (1)结构相同:都是由线线垂直推证线线垂直; (2)证明方法相同:都采用了线面垂直法。 不同点: (1)用途不同:原定理是用来证空间两直线垂直;逆定理是 用来证平面上两直线垂直。 (2)条件与结论不同:原定理: “与射影垂直” ? “与斜线垂直” ; 逆定理: “与斜线垂直” ?“与射影垂直” 。 (六)定理的应用 例 1:如图,O 是△ABC 的垂心,PO ⊥平面 ABC,连结 PA,求证:BC⊥PA。 分析:PO 是平面的垂线,PA 是平面

的斜线,BC 在平面 ABC 上,所以,欲证 BC⊥PA,只需证明 BC 垂直 PA 在 平面 ABC 上的射影即可。 证明:连结 AO 并延长交 BC 于 D,则 AO 是 PA 在平面 ABC 上的射影。 又 O 是△ABC 的垂心,所以 AD⊥BC,由三垂线定理可得 BC⊥PA。 小结:使用三垂线定理证题的一般步骤是: 一定——定平面及平面内的一条直线;二找——找平面的垂线、斜线

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及射影;三证——证明平面内一直线与射影垂直。 由于逆定理与原定理的实质相同,结构相似,因而使用时也可以按以 上步骤进行,这对我们在复杂图形中使 用定理很有好处。 例 2:正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, 求证: (1)A1C⊥BD; (2)A1C⊥BC1; (3)A1C⊥平面 BDC1。 4、探究:如图,直四棱柱 A?B ?C ?D ? ? ABCD (侧面与底面垂直的棱 柱称为直棱柱)中,底面四边形 ABCD 满足什么条件时, A?C ? B ?D ? ? (七)归纳总结 1、本节课重点学习了三垂线定理及其逆 定理,它们是空间两线垂直的判定与性质定 理,要牢固掌握,并注意原、逆定理的区别与 联系。 2、学会按“一定、二找、三证”的步骤 应用两个定理证明线线垂直。 (八)布置作业 1、已知点 O 是△ABC 的 BC 边上的高上的 任意一点,且 OP⊥平面 ABC,求证 PA⊥BC。 2、如图,PD⊥平面 ABC,AC = BC,D 为 AB 的中点,求证:AB⊥PC。

3、如图,ABCD 是矩形,PA⊥平面 AC,连结 PB、PC、PD,指出图中 有哪些三角形是直角三角形,并说明理由。

教学反思


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