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2016理科数学全国卷2


2016 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 24 题,共 150 分,共 4 页。考试 结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项:1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在条 形码区域内。 2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂;非选择题必须使用 0.5

毫米黑色字迹的签字笔 书写,字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效; 在草稿纸、试题卷上答题无效。 4. 作图可先使用铅笔画出,确定后必须用墨色笔迹的签字笔描黑。 5. 保持卡面清洁,不要折叠、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。

第Ⅰ卷
一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的.
(1)已知 围是 (A) (?3,1) (B) (2)已知集合 (A) (B) (C) 在复平面内对应的点在第四象限,则实数 m 的取值范

(?1,3) (C) (1,??)
, (D) ,且 (C)6 (D)8

(D) ,则

(3)已知向量 (A)-8 (4)圆 (A) ? (B)-6

,则 m=

的圆心到直线

的距离为 1,则 a=

4 3

(B) ?

3 4

(C) 3

(D)2

(5)如图,小明从街道的 E 处出发,先到 F 处与小红会合,再一起到位于 G 处的老年 公寓参加志愿者活动,则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为

(A)24 (B)18 (C)12 (D)9 (6)右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积为

(A)20π

(B)24π

(C)28π

(D)32π

(7)若将函数 y=2sin 2x 的图像向左平移

k? 2 k? (C)x= 2
(A)x=

? 个单位长度,则平移后图象的对称轴为 12 ? k? ? ? ? (k ? Z) (B)x= ( k ? Z) 6 2 6 ? k? ? ? ? (k ? Z) (D)x= (k ? Z) 12 2 12

(8) 中国古代有计算多项式值的秦九韶算法, 右图是实现该算法的程序框图,执行该程序框 图,若输入的 x=2,n=2,依次输入的 a 为 2,2,5,则输出的 s=

(A)7 (B)12 (C)17 (D)34 π 3 (9)若 cos(4–α )= 5,则 sin 2α = (A)

7 1 1 (B) (C) ? 25 5 5

(D) ?

7 25

(10) 从区间 ,…, 得到的圆周率

随机抽取 2n 个数

,

, …, , ,

, …,

, 构成 n 个数对



,其中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个,则用随机模拟的方法 的近似值为

(A)

(B)

(C)

(D)

(11)已知 F1,F2 是双曲线 E

的左,右焦点,点 M 在 E 上,M F1 与

轴垂直,

sin

,则 E 的离心率为

(A)

(B)

(C)

(D)2

(12)已知函数 f ( x)(x ? R) 满足 f (? x) ? 2 ? f ( x) ,若函数 y ? 交点为 ( x1, y1 ) , ( x2 , y 2 ) · · · , ( xm , y m ) ,则 (A)0 (B)m (C)2m

x ?1 与 y ? f ( x) 图像的 x

? (x
i ?1

m

i

? yi ) ?

(D)4m

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题 考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 3 小题,每小题 5 分。

(13)△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,若 cos A= b= .

,cos C=

,a=1,则

(14)α、β 是两个平面,m、n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果 m⊥n,m⊥α,n∥β,那么 α⊥β. (2)如果 m⊥α,n∥α,那么 m⊥n. (3)如果 α∥β,m α,那么 m∥β.

(4)如果 m∥n,α∥β,那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等. 其中正确的命题有 。(填写所有正确命题的编号)

(15)有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3。甲,乙,丙三人各取走一张卡片, 甲看了乙的卡片后说: “我与乙的卡片上相同的数字不是 2” ,乙看了丙的卡片后说: “我与 丙的卡片上相同的数字不是 1” ,丙说: “我的卡片上的数字之和不是 5” ,则甲的卡片上的数 字是 。 。

(16) 若直线 y=kx+b 是曲线 y=lnx+2 的切线, 也是曲线 y=ln (x+1) 的切线, 则 b=

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

(17) (本题满分 12 分) Sn 为等差数列 的前 n 项和,且 a1 =1 , S 7 =28 记 ,其中 表示不

超过 x 的最大整数,如[0.9] = 0,[lg99]=1。 (I)求 b1 , b11 , b101 ; (II)求数列 的前 1 000 项和.

(18) (本题满分 12 分) 某险种的基本保费为 a(单位:元) ,继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人的 本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下: 上年度出 险次数 保费 0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 0 1 2 3 4 5

设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下: 一年内出 险次数 概率 0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0. 05 0 1 2 3 4 5

(I)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率; (II)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出 60%的概率; (III)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值. (19) (本小题满分 12 分) 如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,AB=5,AC=6,点 E,F 分别在 AD,CD 上,

AE=CF=

,EF 交 BD 于点 H.将△DEF 沿 EF 折到△

的位置,

.

(I)证明: (II)求二面角

平面 ABCD; 的正弦值.

(20) (本小题满分 12 分)

已知椭圆 E:

的焦点在 轴上,A 是 E 的左顶点,斜率为 k(k>0)的直线交 E

于 A,M 两点,点 N 在 E 上,MA⊥NA. (I)当 t=4, (II)当 时,求△AMN 的面积; 时,求 k 的取值范围.

(21) (本小题满分 12 分)

(I)讨论函数

的单调性,并证明当

>0 时,

(II)证明:当 值为 ,求函数

时,函数 的值域.

有最小值.设 g(x)的最小

请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清题 号

(22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:集合证明选讲 如图,在正方形 ABCD,E,G 分别在边 DA,DC 上(不与端点重合) ,且 DE=DG,过 D 点 作 DF⊥CE,垂足为 F. (I) 证明:B,C,G,F 四点共圆; (II)若 AB=1,E 为 DA 的中点,求四边形 BCGF 的面积.

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直线坐标系 xoy 中,圆 C 的方程为(x+6)2+y2=25. (I)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程;

x ? t cos?
(II)直线 l 的参数方程是 (t 为参数),l 与 C 交于 A、B 两点,

y ? t sin ?
∣AB∣= 10 ,求 l 的斜率。 (24) (本小题满分 10 分) ,选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f(x)= ∣x(I)求 M; (II)证明:当 a,b∈M 时,∣a+b∣<∣1+ab∣。

1 1 ∣+∣x+ ∣,M 为不等式 f(x) <2 的解集. 2 2

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学答案
第Ⅰ卷

一.选择题:
(1) 【答案】A (2) 【答案】C (3) 【答案】D

(4) 【答案】A (5) 【答案】B (6) 【答案】C (7) 【答案】B (8) 【答案】C (9) 【答案】D (10) 【答案】C (11) 【答案】A (12) 【答案】C 第Ⅱ卷

二、填空题

(13)【答案】 (14) 【答案】②③④ (15) 【答案】1 和 3 (16) 【答案】

三.解答题
17.(本题满分 12 分) 【答案】 (Ⅰ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)先求公差、通项 示 ,再根据已知条件求 的前 1 000 项和. ,解得 ; (Ⅱ)用分段函数表 , , ; (Ⅱ)1893.

,再由等差数列的前 项和公式求数列 的公差为 ,据已知有

试题解析: (Ⅰ)设 所以 的通项公式为

(Ⅱ)因为 所以数列 的前 项和为

考点:等差数列的的性质,前 项和公式,对数的运算. 【结束】 18.(本题满分 12 分) 【答案】 (Ⅰ)根据互斥事件的概率公式求解; (Ⅱ)由条件概率公式求解; (Ⅲ)记续保人 本年度的保费为 【解析】 试题分析: 试题解析: (Ⅰ)设 表示事件: “一续保人本年度的保费高于基本保费” ,则事件 发生当 ,求 的分布列为,在根据期望公式求解..

且仅当一年内出险次数大于 1,故 (Ⅱ)设 表示事件: “一续保人本年度的保费比基本保费高出 ” ,则事件 发生当且

仅当一年内出险次数大于 3,故



,故

因此所求概率为 (Ⅲ)记续保人本年度的保费为 ,则 的分布列为

因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为 考点: 条件概率,随机变量的分布列、期望. 【结束】 19.(本小题满分 12 分)

【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) 【解析】 试题分析: (Ⅰ)证 向量法求解. ,再证

.

,最后证

; (Ⅱ)用

试 题 解析 : ( I )由 已知得 . 因此 ,从而 .由



,又由



,故

,



.

由 于是 故 又 所以

得 , . ,而 .

.所以

, ,

.



(II) 如图, 以 则 ,

为坐标原点, ,

的方向为 轴的正方向, 建立空间直角坐标系 , .设 , 是平面 ,

, ,



的法向量,则

,即

,所以可以取

.设

是平面

的法向量,则

,即

,所以可以取

.于是



. 因 此 二 面 角

的正弦值是

.

考点:线面垂直的判定、二面角. 【结束】 20.(本小题满分 12 分)

【答案】 (Ⅰ) 【解析】

; (Ⅱ)

.

试题分析: (Ⅰ)先求直线 设 示 , ,将直线 ,同理用 表示

的方程,再求点

的纵坐标,最后求

的面积; (Ⅱ) ,从而表

的方程与椭圆方程组成方程组,消去 ,再由 求 .

,用 表示

试题解析: (I)设 .

,则由题意知

,当

时,

的方程为



由已知及椭圆的对称性知,直线

的倾斜角为

.因此直线

的方程为

.



代入



.解得



,所以

.

因此

的面积

.

(II)由题意





.





线





程 .











,故

.

由题设,直线

的方程为

,故同理可得



由 当

得 时上式不成立,

,即

.

因此

.

等价于





.由此得 .

,或

,解得

.

因此 的取值范围是

考点:椭圆的性质,直线与椭圆的位置关系. 【结束】 (21) (本小题满分 12 分)

【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) 【解析】

.

试题分析: (Ⅰ)先求定义域,用导数法求函数的单调性, 当

时,



明结论; (Ⅱ)用导数法求函数 解. 试题解析: (Ⅰ) 的定义域为

的最值,在构造新函数

,又用导数法求

.

且仅当 因此当 所以

时, 时,

,所以



单调递增,

(II) 由(I)知, 因此,存在唯一 当 当 因此 时, 时, 在 单调递增,对任意 使得 即 单调递减; 单调递增. 处取得最小值,最小值为 ,

于是

,由

单调递增

所以,由



因为

单调递增,对任意

存在唯一的

使得

所以

的值域是

综上,当

时,





的值域是

考点: 函数的单调性、极值与最值. 【结束】 请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请写清

题号 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲

【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) 【解析】 试 题 分 析 :( Ⅰ ) 证 四边形 试题解析: (I)因为

.

再证 的面积 ,所以 是 面积

四 点 共 圆 ;( Ⅱ ) 证 明 的 2 倍.

则有 所以 由此 (II)由 由 为 由此可得 所以 四点共圆, 斜边 的面积 的中点,知 是 面积 知 ,故 的 2 倍,即 四点共圆. ,连结 ,

因此四边形

考点: 三角形相似、全等,四点共圆 【结束】 (23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

【答案】 (Ⅰ) 【解析】

; (Ⅱ)

.

试题分析: (I)利用



可得 C 的极坐标方程; (II)先将直线 的参

数方程化为普通方程,再利用弦长公式可得 的斜率. 试题解析: (I)由 可得 的极坐标方程

(II)在(I)中建立的极坐标系中,直线 的极坐标方程为 由 所对应的极径分别为 将 的极坐标方程代入 的极坐标方程得

于是







所以 的斜率为



.

考点:圆的极坐标方程与普通方程互化, 直线的参数方程,点到直线的距离公式. 【结束】 (24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 【答案】 (Ⅰ) 【解析】 ; (Ⅱ)详见解析.

试题分析: (I)先去掉绝对值,再分 可得





三种情况解不等式,即 时, .

; (II) 采用平方作差法, 再进行因式分解, 进而可证当 ,

试题解析: (I)



时,由



解得





时,



当 所以

时,由 的解集



解得 . 时,

.

(II)由(I)知,当

,从而 ,

因此 考点:绝对值不等式,不等式的证明. 【结束】


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