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第二讲 三角变换与解三角形


第二讲

三角变换与解三角形

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin(α± β)=sin αcos β± cos αsin β. (2)cos(α± β)=cos αcos β?sin αsin β. tan α± tan β (3)tan(α± β)= . 1?tan αtan β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)s

in 2α=2sin αcos α. (2)cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α. 2tan α (3)tan 2α= . 1-tan2α 3.三角恒等变换的基本思路 (1)“化异为同”,“切化弦”,“1”的代换是三角恒等变换的常用技巧. “化异为同”是指“化异名为同名”,“化异次为同次”,“化异角为同角”. (2)角的变换是三角变换的核心,如 β=(α+β)-α,2α=(α+β)+(α-β)等. 4.正弦定理 a b c = = =2R(2R 为△ABC 外接圆的直径). sin A sin B sin C 变形:a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. a b c sin A= ,sin B= ,sin C= . 2R 2R 2R a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C. 5.余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B, c2=a2+b2-2abcos C. b2+c2-a2 a2+c2-b2 推论:cos A= ,cos B= , 2bc 2ac 2 2 2 a +b -c cos C= . 2ab 6.面积公式 1 1 1 S△ABC= bcsin A= acsin B= absin C. 2 2 2 7.三角形中的常用结论 (1)三角形内角和定理:A+B+C=π. (2)A>B>C?a>b>c?sin A>sin B>sin C. (3)a=bcos C+ccos B.

1.(2013· 浙江)已知 α∈R,sin α+2cos α= 4 A. 3 答案 C 解析 ∵sin α+2cos α= 10 , 2 3 B. 4 3 C.- 4

10 ,则 tan 2α 等于 2 4 D.- 3

(

)

5 ∴sin2α+4sin α· cos α+4cos2α= . 2 用降幂公式化简得:4sin 2α=-3cos 2α, sin 2α 3 ∴tan 2α= =- .故选 C. cos 2α 4 2.(2013· 辽宁)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c.若 asin Bcos C+csin Bcos 1 A= b,且 a>b,则 B 的大小为 ( ) 2 π π 2π 5π A. B. C. D. 6 3 3 6 答案 A a c 1 解析 由条件得 sin Bcos C+ sin Bcos A= , b b 2 1 由正弦定理,得 sin Acos C+sin Ccos A= , 2 1 1 ∴sin(A+C)= ,从而 sin B= , 2 2 π 又 a>b,且 B∈(0,π),因此 B= . 6 3.(2013· 陕西)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状为 A.锐角三角形 C.钝角三角形 答案 B 解析 由 bcos C+ccos B=asin A,得 sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即 sin(B+C)= π sin2A,所以 sin A=1,由 0<A<π,得 A= ,所以△ABC 为直角三角形. 2 4.(2012· 广东)在△ABC 中,若∠A=60° ,∠B=45° ,BC=3 2,则 AC 等于 ( 3 A.4 3 B.2 3 C. 3 D. 2 答案 B 解析 利用正弦定理解三角形. AC BC 在△ABC 中, = , sin B sin A ) B.直角三角形 D.不确定 ( )

2 3 2× 2 BC· sin B ∴AC= = =2 3. sin A 3 2 5. (2013· 安徽)设△ABC 的内角 A, B, C 所对边的长分别为 a, b, c.若 b+c=2a,3sin A=5sin B,则角 C=________. 2π 答案 3 解析 由已知条件和正弦定理得:3a=5b,且 b+c=2a, 5b 7b 则 a= ,c=2a-b= 3 3 a2+b2-c2 1 2π cos C= =- ,又 0<C<π,因此角 C= . 2ab 2 3

题型一 三角恒等变换 π? 1 2 例 1 (1)若 α∈? ( ) ?0,2?,且 sin α+cos 2α=4,则 tan α 的值等于 2 3 A. B. C. 2 D. 3 2 3 3π ? π 12 π 3 ,π ,sin(α+β)=- ,sin?β- ?= ,则 cos?α+ ?=________. (2)已知 α,β∈? ?4 ? ? 4? 13 ? 4? 5 审题破题 (1)利用同角三角函数关系式先求 sin α 或 cos α,再求 tan α;(2)注意角之间 π? ? π? 的关系? ?α+4?=(α+β)-?β-4?. 56 答案 (1)D (2)- 65 π 1 1 1 0, ?,且 sin2α+cos 2α= ,∴sin2α+cos2α-sin2α= ,∴cos2α= , 解析 (1)∵α∈? ? 2? 4 4 4 1 1 ∴cos α= 或- (舍去), 2 2 π ∴α= ,∴tan α= 3. 3 3π ? 3π 4 ,π ,所以 α+β=? ,2π?,所以 cos(α+β)>0.易得 cos(α+β)= . (2)因为 α,β∈? ?4 ? ?2 ? 5 π π π 3π ? 又 <β- < ,所以 cos? ?β-4?<0, 2 4 4 π? 5 易得 cos? ?β-4?=-13. π? π 故 cos? ?α+4?=cos[(α+β)-(β-4)] π? ? π? =cos(α+β)cos? ?β-4?+sin(α+β)sin?β-4? 5 3 12 4 56 - ?+?- ?× =- . = ×? 5 ? 13? ? 5? 13 65

反思归纳

(1)公式应用技巧:①直接应用公式,包括公式的正用、逆用和变形用;②

常用切化弦、异名化同名、异角化同角等. (2)化简常用技巧:①注意特殊角的三角函数与特殊值的互化;②注意利用角与角之间 的隐含关系,如 2α=(α+β)+(α-β),θ=(θ-φ)+φ 等;③注意利用“1”的恒等变形, 如 tan 45° =1,sin2α+cos2α=1 等. π π π ? 1 cos?π-β?= 3, ? β? 变式训练 1 (1)若 0<α< , - <β<0, cos? ?4+α?=3, ?4 2? 3 则 cos?α+2?等于( 2 2 3 3 5 3 6 A. B.- C. D.- 3 3 9 9 答案 C π ? 1 π +α = ,0<α< , 解析 ∵cos? 4 ? ? 3 2 π 2 2 ? ∴sin? ?4+α?= 3 . π β? 3 π 又∵cos? ?4-2?= 3 ,-2<β<0, π β? 6 ∴sin? ?4-2?= 3 , β? ??π ? ?π β?? ∴cos? ?α+2?=cos??4+α?-?4-2?? π π β π π β +α?cos? - ?+sin? +α?sin? - ? =cos? 4 4 2 4 4 ? ? ? ? ? ? ? 2? 1 3 2 2 6 5 3 = × + × = . 3 3 3 3 9 π 1 cos 2α 0, ?,则 (2)已知 sin α= +cos α,且 α∈? 的值为________. 2 ? ? 2 π? ? α - sin? 4? 14 2 cos2α-sin2α cos 2α 解析 = π 2 α- ? sin? ? 4? 2 ?sin α-cos α? ?cos α+sin α??cos α-sin α? = =- 2(cos α+sin α). 2 ?sin α-cos α? 2 1 1 ∵sin α= +cos α,∴cos α-sin α=- , 2 2 1 3 两边平方得 1-2sin αcos α= ,∴2sin αcos α= . 4 4 π ? ∵α∈? ?0,2?, 3 7 ∴cos α+sin α= ?cos α+sin α?2= 1+ = , 4 2 cos 2α 14 ∴ =- . π 2 α- ? sin? ? 4? 答案 - 题型二 解三角形 例2 △ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,asin Asin B+bcos2A= 2a.

)

b (1)求 ; a (2)若 c2=b2+ 3a2,求 B. 审题破题 (1)利用正弦定理,化去角 B 的三角函数,再化简求值;(2)由条件结构特征, 联想到余弦定理,求 cos B 的值,进而求出角 B. 解 (1)由正弦定理,得 asin B=bsin A,

又 asin Asin B+bcos2A= 2a, b 所以 bsin2A+bcos2A= 2a,即 b= 2a.所以 = 2. a (2)由余弦定理和 c2=b2+ 3a2, ?1+ 3?a 又 0° <B<180° ,得 cos B= . 2c 1 由(1)知 b2=2a2,故 c2=(2+ 3)a2.可得 cos2B= . 2 2 又 cos B>0,故 cos B= ,又 0° <B<180° ,所以 B=45° . 2 反思归纳 关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正、余弦定理及有关 三角形的性质,常见的三角变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一 角、统一函数、统一结构”,这是使问题获得解决的突破口. 变式训练 2 (2013· 山东)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a+c=6, 7 b=2,cos B= . 9 (1)求 a,c 的值; (2)求 sin(A-B)的值. 解 (1)由余弦定理得: a2+c2-b2 a2+c2-4 7 cos B= = = , 2ac 2ac 9 14 即 a2+c2-4= ac. 9 14 ∴(a+c)2-2ac-4= ac,∴ac=9. 9 ?a+c=6, ? 由? 得 a=c=3. ?ac=9 ? 7 (2)在△ABC 中,cos B= , 9 7?2 4 2 ∴sin B= 1-cos2B= 1-? ?9? = 9 . a b 由正弦定理得: = , sin A sin B 4 2 3× 9 asin B 2 2 ∴sin A= = = . b 2 3 π 1 又 A=C,∴0<A< ,∴cos A= 1-sin2A= , 2 3 2 2 7 1 4 2 10 2 ∴sin (A-B)=sin Acos B-cos Asin B= × - × = . 3 9 3 9 27

题型三 解三角形的实际应用 例 3 某城市有一块不规则的绿地如图所示,城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形

的环境标志,小李、小王设计的底座形状分别为△ABC、△ABD,经测量 AD=BD=14, BC=10,AC=16,∠C=∠D.

(1)求 AB 的长度; (2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比,不考虑其他因素,小李、小王谁的设计 使建造费用较低,请说明理由. 审题破题 首先借助余弦定理列式, 通过等量关系求出角 C 的大小, 进而求 AB 的长度; 然后借助正弦定理比较三角形的面积大小,并作出判断. 解
2

(1)在△ABC 中,由余弦定理得,

AB =AC2+BC2-2AC· BCcos C =162+102-2×16×10cos C.① 在△ABD 中,由余弦定理及∠C=∠D 整理得, AB2=AD2+BD2-2AD· BDcos D =142+142-2×142cos C.② 由①②得: 142+142-2×142cos C=162+102-2×16×10cos C, 1 整理可得 cos C= , 2 又∠C 为三角形的内角,所以∠C=60° . 又∠C=∠D,AD=BD,所以△ABD 是等边三角形, 即 AB 的长度是 14. (2)小李的设计符合要求.理由如下: 1 S△ABD= AD· BDsin D, 2 1 S△ABC= AC· BCsin C, 2 因为 AD· BD>AC· BC,∠C=∠D,所以 S△ABD>S△ABC. 又已知建造费用与用地面积成正比,故选择△ABC 建造环境标志费用较低. 即小李的设计使建造费用较低. 反思归纳 应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步: (1)分析题意,准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解题中的有关名词、术语, 如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等; (2)根据题意画出示意图,并将已知条件在图形中标出;

(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正、余弦定理等有关知识正 确求解; (4)检验解出的结果是否具有实际意义,对结果进行取舍,得出正确答案. 变式训练 3 (2013· 江苏)如图, 游客从某旅游景区的景点 A 处下山至 C 处有两种路径. 一种 是从 A 沿直线步行到 C,另一种是先从 A 沿索道乘缆车到 B,然后从 B 沿直线步行到 C.现有甲、乙两位游客从 A 处下山,甲沿 AC 匀速步行,速度为 50 m/min.在甲出发 2 min 后,乙从 A 乘缆车到 B,在 B 处停留 1 min 后,再从 B 匀速步行到 C.假设缆车 12 匀速直线运动的速度为 130 m/min,山路 AC 长为 1 260 m,经测量 cos A= ,cos C 13 3 = . 5

(1)求索道 AB 的长; (2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短? (3)为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 分钟, 乙步行的速度应控制在什么范围内? 12 3 解 (1)在△ABC 中,因为 cos A= ,cos C= , 13 5 5 4 所以 sin A= ,sin C= . 13 5 从而 sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C) =sin Acos C+cos Asin C 5 3 12 4 63 = × + × = . 13 5 13 5 65 AB AC 由正弦定理 = ,得 sin C sin B AC 1 260 4 AB= ×sin C= × =1 040(m). sin B 63 5 65 所以索道 AB 的长为 1 040 m. (2)假设乙出发 t 分钟后,甲、乙两游客距离为 d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离 A 处 130t m, 所以由余弦定理得 12 d2=(100+50t)2+(130t)2-2×130t×(100+50t)× 13 =200(37t2-70t+50), 1 040 由于 0≤t≤ ,即 0≤t≤8, 130 35 故当 t= min 时,甲、乙两游客距离最短. 37 BC AC (3)由正弦定理 = , sin A sin B

得 BC=

AC 1 260 5 ×sin A= × =500(m). sin B 63 13 65

乙从 B 出发时,甲已走了 50×(2+8+1)=550(m),还需走 710 m 才能到达 C. 500 710 1 250 625 设乙步行的速度为 v m/min,由题意得-3≤ v - ≤3,解得 ≤v≤ , 50 43 14 所以为使两位游客在 C 处互相等待的时间不超过 3 min ,乙步行的速度应控制在 ?1 250,625?(单位:m/min)范围内. 14 ? ? 43

典例

(12 分)已知向量 a=(cos ωx,sin ωx),b=(cos ωx, 3cos ωx),其中 0<ω<2.函数 f(x) 1 π =a· b- ,其图象的一条对称轴为 x= . 2 6 (1)求函数 f(x)的表达式及单调递增区间; A? (2)在△ABC 中,a,b,c 分别为角 A,B,C 的对边,S 为其面积,若 f? ? 2 ?=1,b=1, S△ABC= 3,求 a 的值. 规范解答 解 1 (1)f(x)=a· b- 2

1 =cos2ωx+ 3sin ωxcos ωx- 2 1+cos 2ωx 3 1 = + sin 2ωx- 2 2 2 π ? =sin? ?2ωx+6?.[3 分] ωπ π? π 当 x= 时,sin? 1, ? 3 +6?=± 6 ωπ π π 即 + =kπ+ ,k∈Z. 3 6 2 ∵0<ω<2,∴ω=1.[5 分] π 2x+ ?. ∴f(x)=sin? 6? ? π π π 令- +2kπ≤2x+ ≤ +2kπ,k∈Z, 2 6 2 π π ∴kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 3 6 π π ∴函数 f(x)的单调递增区间为[kπ- ,kπ+ ],k∈Z.[7 分] 3 6 A? ? π? (2)f? ? 2 ?=sin?A+6?=1, π π 7 在△ABC 中,0<A<π, <A+ < π, 6 6 6 π π π ∴A+ = ,A= . 6 2 3 1 由 S△ABC= bcsin A= 3,b=1,得 c=4.[9 分] 2

π 由余弦定理得 a2=42+12-2×4×1×cos =13, 3 故 a= 13.[12 分] π? 评分细则 (1)f(x)没有化成 sin? ?2ωx+6?的得 1 分;(2)k∈Z 没写的扣 1 分;(3)得出 A= π 的给 1 分. 3 阅卷老师提醒 问题的能力. (2)此类问题的一般解法是先将三角函数化成 y=Asin(ωx+φ)的形式, 利用三角函数求值 确定三角形的一个角,然后和正、余弦定理相结合解题. (3)解题中要充分注意在三角形中这个条件,重视角的范围. (1)三角形和三角函数的结合是高考命题的热点,灵活考查分析、解决

cos?π-2α? 2 1.已知 =- ,则 sin α+cos α 等于 π 2 sin?α- ? 4 7 7 1 A.- B. C. 2 2 2 答案 D

( 1 D.- 2

)

π sin?2α- ? 2 cos?π-2α? cos 2α 解析 =- = π π π sin?α- ? sin?α- ? sin?α- ? 4 4 4 π 2 =2cos(α- )= 2cos α+ 2sin α=- , 4 2 1 ∴sin α+cos α=- ,故选 D. 2 π? ? 1? 2.(2012· 江西)已知 f(x)=sin2? ?x+4?,若 a=f(lg 5),b=f?lg 5?,则 A.a+b=0 C.a+b=1 答案 C 解析 将函数整理,利用奇函数性质求解. π 2x+ ? 1-cos? 2? 1+sin 2x ? π ? 由题意知 f(x)=sin2? = , ?x+4?= 2 2 1 1 令 g(x)= sin 2x,则 g(x)为奇函数,且 f(x)=g(x)+ , 2 2 1 1 1 1 ? ? ? a=f(lg 5)=g(lg 5)+ ,b=f? ?lg 5?=g?lg 5?+2, 2 1 lg ?+1=g(lg 5)+g(-lg 5)+1=1,故 a+b=1. 则 a+b=g(lg 5)+g? ? 5? π 3.(2013· 天津)在△ABC 中,∠ABC= ,AB= 2,BC=3,则 sin ∠BAC 等于 4 B.a-b=0 D.a-b=1

(

)

(

)

A.

10 10

B.

10 5

3 10 C. 10

D.

5 5

答案 C 在△ABC 中,由余弦定理得 AC2=BA2+BC2-2BA· BCcos∠ABC=( 2)2+32- π 2× 2×3cos =5. 4 BC AC ∴AC= 5,由正弦定理 = 得 sin ∠BAC sin ∠ABC π 2 3×sin 3× 4 2 3 10 BC· sin∠ABC sin∠BAC= = = = . AC 10 5 5 解析 4.设 α、β 均为锐角,且 cos(α+β)=sin(α-β),则 tan α 的值为 A.2 答案 C 解析 由已知得 cos αcos β-sin αsin β=sin αcos β-cos αsin β,即 cos α(cos β+sin β)= sin α(sin β+cos β),∵β 为锐角, ∴cos β+sin β≠0,因此有 cos α=sin α, 从而 tan α=1. 5.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(a2+c2-b2)tan B= 3ac,则角 B 的值为 π A. 6 π 5π C. 或 6 6 答案 D 解析 由(a2+c2-b2)tan B= 3ac, a2+c2-b2 3 cos B 3 cos B 得 = · ,即 cos B= · , 2ac 2 sin B 2 sin B 3 π 2π ∴sin B= .又∵0<B<π,∴角 B 为 或 .故选 D. 2 3 3 6.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c 且满足 csin A=acos C.当 3sin A- π? cos? ( ) ?B+4?取最大值时,A 的大小为 π π π 2π A. B. C. D. 3 4 6 3 答案 A 解析 由正弦定理得 sin Csin A=sin Acos C. 因为 0<A<π,所以 sin A>0,从而 sin C=cos C. π 3π 又 cos C≠0,所以 tan C=1,则 C= ,所以 B= -A. 4 4 π ? 于是 3sin A-cos? ?B+4?= 3sin A-cos(π-A) π A+ ? . = 3sin A+cos A=2sin? ? 6? ( π B. 3 π 2π D. 或 3 3 ) B. 3 C.1 D. 3 3 ( )

3π π π 11π π π ∵0<A< ,∴ <A+ < ,从而当 A+ = , 4 6 6 12 6 2 π π ? 即 A= 时,2sin? ?A+6?取最大值 2.故选 A. 3

专题限时规范训练
一、选择题 π? 4 3 ? 7π? 1.已知 cos? ?α-6?+sin α= 5 ,则 sin?α+ 6 ?的值是 2 3 2 3 A.- B. 5 5 4 4 C.- D. 5 5 答案 C π? 4 3 3 3 4 3 ? π? 4 解析 cos? ?α-6?+sin α= 5 ?2sin α+ 2 cos α= 5 ?sin?α+6?=5, 7π? 4 ? π? 所以 sin? ?α+ 6 ?=-sin?α+6?=-5. π ? 2.(2013· 四川改编)设 sin 2α=-sin α,α∈? ?2,π?,则 tan 2α 的值是 3 1 A. 3 B.2 3 C. D. 2 2 答案 A π ? 解析 ∵sin 2α=-sin α,∴sin α(2cos α+1)=0,又 α∈? ?2,π?,∴sin α≠0,2cos α+1 -2 3 1 3 2tan α =0 即 cos α=- ,sin α= ,tan α=- 3,∴tan 2α= = = 3. 2 2 1-tan2α 1-?- 3?2 3.已知锐角△ABC 的面积为 3 3,BC=4,CA=3,则角 C 的大小为 A.75° 答案 B 1 3 解析 由题意知, ×4×3×sin C=3 3,∴sin C= . 2 2 又 0° <C<90° ,∴C=60° . 4.在△ABC 中,若 0<tan A· tan B<1,那么△ABC 一定是 A.锐角三角形 C.直角三角形 答案 B 解析 由 0<tan A· tan B<1,可知 tan A>0,tan B>0,即 A,B 为锐角,tan(A+B)= tan A+tan B >0,即 tan(π-C)=-tan C>0,所以 tan C<0,所以 C 为钝角,所以△ABC 1-tan Atan B 为钝角三角形,选 B. π? 1 2sin2α+sin 2α π ? α + 5.已知 tan? 等于 4?=2,且-2<α<0,则 π α- ? cos? ? 4? 2 5 A.- 5 3 5 B.- 10 B.钝角三角形 D.形状不确定 ( ) B.60° C.45° D.30° ( ) ( )

(

)

(

)

3 10 C.- 10 答案 A

2 5 D. 5

π? tan α+1 1 1 解析 由 tan? ?α+4?=1-tan α=2, 得 tan α=-3. π 10 又- <α<0,可得 sin α=- . 2 10 2 2sin α+sin 2α 2sin α?sin α+cos α? 故 = π 2 α- ? cos? ?sin α+cos α? ? 4? 2 2 5 =2 2sin α=- . 5 3 6.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知 C=2A,cos A= ,b=5,则 4 △ABC 的面积为 15 7 15 7 A. B. 4 2 答案 A 3 1 解析 cos A= ,cos C=2cos2A-1= , 4 8 3 7 sin C= ,tan C=3 7, 8 如图,设 AD=3x,AB=4x,CD=5-3x,BD= 7x. BD 7x 在 Rt△DBC 中,tan C= = =3 7, CD 5-3x 3 1 15 7 解之得:BD= 7x= 7,S△ABC= BD· AC= . 2 2 4 7.函数 f(x)=sin 2x-4sin3xcos x(x∈R)的最小正周期为 π π π A. B. C. D .π 8 4 2 答案 C 解析 f(x)=sin 2x-2sin 2xsin2x ( ) ( 5 7 C. 4 5 7 D. 2 )

=sin 2x(1-2sin2x) 1 =sin 2xcos 2x= sin 4x, 2 2π 2π π 所以函数的周期为 T= = = ,选 C. ω 4 2 8.在△ABC 中,AC= 7,BC=2,B=60° ,则 BC 边上的高等于 3 3 3 A. B. 2 2 3+ 6 3+ 39 C. D. 2 4 答案 B 解析 设 AB=a,则由 AC2=AB2+BC2-2AB· BCcos B 知 7=a2+4-2a,即 a2-2a-3 =0,∴a=3(负值舍去). ( )

∴BC 边上的高为 AB· sin B=3× 二、填空题

3 3 3 = . 2 2

π 9.在锐角△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 b=2,B= 且 sin 2A+sin(A 3 -C)=sin B,则△ABC 的面积为________. 答案 3

解析 ∵sin 2A=sin B-sin(A-C), ∴2sin Acos A=sin(A+C)-sin(A-C), ∴2sin Acos A=2cos Asin C. ∵△ABC 是锐角三角形,∴cos A≠0, π ∴sin A=sin C,即 A=C=B= , 3 1 3 ∴S△ABC= ×2×2× = 3. 2 2 π? 3 sin α-cos 2α+1 π 3π 10.设 <α< ,sin? 的值为________. ?α-4?=5,则 3 4 tan α 14+5 2 答案 50 π 3π 解析 方法一 由 <α< , 3 4 π? 3 π π π 得 <α- < ,又 sin? ?α-4?=5, 12 4 2 π? 4 所以 cos? ?α-4?=5. π π 所以 cos α=cos[(α- )+ ] 4 4 π π π π 2 α- ?cos -sin?α- ?sin = , =cos? 4 4 ? ? ? ? 4 10 4 7 2 所以 sin α= . 10 sin α+2sin2α 14+5 2 故原式= =cos α(1+2sin α)= . sin α 50 cos α π? 3 3 2 方法二 由 sin? ?α-4?=5,得 sin α-cos α= 5 , 18 两边平方,得 1-2sin αcos α= , 25 7 即 2sin αcos α= >0. 25 π 3π π π 由于 <α< ,故 <α< . 3 4 3 2 32 因为(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α= , 25 4 2 故 sin α+cos α= , 5 7 2 2 解得 sin α= ,cos α= . 10 10

sin α+2sin2α 14+5 2 故原式= =cos α(1+2sin α)= . sin α 50 cos α 11.(2012· 湖北)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.若(a+b-c)(a+b+c)= ab,则角 C=________. 2π 答案 3 解析 应用余弦定理求角. 由(a+b-c)(a+b+c)=ab,得 a2+b2-c2=-ab, a2+b2-c2 1 则 cos C= =- . 2ab 2 2π 又因为角 C 为△ABC 的内角,所以 C= . 3 12.给出下列四个命题: π? kπ 3π ①f(x)=sin? ?2x-4?的对称轴为 x= 2 + 8 ,k∈Z; ②函数 f(x)=sin x+ 3cos x 的最大值为 2; ③函数 f(x)=sin xcos x-1 的周期为 2π; π? ? π π? ④函数 f(x)=sin? ?x+4?在?-2,2?上是增函数. 其中正确命题的个数是________. 答案 2 π π 解析 ①由 2x- =kπ+ ,k∈Z, 4 2 kπ 3π 得 x= + (k∈Z), 2 8 π? kπ 3π 即 f(x)=sin? ?2x-4?的对称轴为 x= 2 + 8 ,k∈Z,正确; π? ②由 f(x)=sin x+ 3cos x=2sin? ?x+3?知,函数的最大值为 2,正确; 1 ③f(x)=sin xcos x-1= sin 2x-1,函数的周期为 π,故③错误; 2 π? π ④函数 f(x)=sin? 故④错误. ?x+4?的图象是由 f(x)=sin x 的图象向左平移4个单位得到的, 三、解答题 π? 13.(2013· 安徽)已知函数 f(x)=4cos ωx· sin? ?ωx+4?(ω>0)的最小正周期为 π. (1)求 ω 的值; π? (2)讨论 f(x)在区间? ?0,2?上的单调性. 解 π? (1)f(x)=4cos ωx· sin? ?ωx+4?

=2 2sin ωx· cos ωx+2 2cos2ωx = 2(sin 2ωx+cos 2ωx)+ 2 π? =2sin? ?2ωx+4?+ 2.

因为 f(x)的最小正周期为 π,且 ω>0. 2π 从而有 =π,故 ω=1. 2ω π? (2)由(1)知,f(x)=2sin? ?2x+4?+ 2. π π π 5π 若 0≤x≤ ,则 ≤2x+ ≤ . 2 4 4 4 π π π 当 ≤2x+ ≤ , 4 4 2 π 即 0≤x≤ 时,f(x)单调递增; 8 π π 5π 当 ≤2x+ ≤ , 2 4 4 π π 即 ≤x≤ 时,f(x)单调递减. 8 2 π? 综上可知,f(x)在区间? ?0,8?上单调递增, π π? 在区间? ?8,2?上单调递减. 14.在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,a2+b2=4abcos C,且 c2= 3ab. (1)求角 C 的大小; (2)设函数 f(x)=sin(ωx-C)-cos ωx(ω>0),且直线 y= 3与函数 y=f(x)图象相邻两交点 间的距离为 π,求 f(A)的取值范围. 解 (1)由余弦定理知 a2+b2-c2=2abcos C, 3 . 2

∵a2+b2=4abcos C,c2= 3ab, ∴4abcos C- 3ab=2abcos C,cos C=

π 又∵0<C<π,∴C= . 6 π ? (2)f(x)=sin? ?ωx-6?-cos ωx 3 3 = sin ωx- cos ωx 2 2 π = 3sin(ωx- ). 3 2π π 由已知 =π?ω=2,则 f(A)= 3sin(2A- ), ω 3 π 5π π π 4π ∵C= ,∴0<A< ,- <2A- < . 6 6 3 3 3 π? 3 ∴根据正弦函数图象知- <sin? ?2A-3?≤1, 2 3 ∴- <f(A)≤ 3 2


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