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2015高考数学(理)一轮复习配套限时规范特训:2-13定积分与微积分基本定理


05 限时规范特训
A级 基础达标 1 1.[2014· 东北四校模拟]若?a(2x+x)dx=3+ln2(a>1),则 a 的值
?1

是(

) A.2 C.4 B.3 D.6

?a 1 解析:∵?a(2x+x)dx=(x2+lnx)? =a2+lna-(12+ln1)=a2-1 ?1

?1

+lna. 1 且?a(2x+x)dx=3+ln2.
?1

∴a2-1+lna=3+ln2,∴a=2,故选 A. 答案:A 2.如图所示,曲线 y=x2 和曲线 y= x围成一个叶形图(阴影部 分),则该叶形图的面积是( )

1 A.2 1 C.6

1 B.4 1 D.3

2 ? ? ? ?y=x ?x=1 ?x=0 解析:由? ,解得? 或? ,根据积分的应用可得 ?y= x ? ?y=0 ?y=1 ? ?

2 3 1 ?1 2 1 1 阴影部分的面积为?1( x-x2)dx=(3x2-3x3)? =3-3=3,选 D. ?0 ?0 答案:D

?x ,x∈[0,1] 3.[2014· 长春外国语学校月考]设 f(x)=?1 ?x,x∈?1,e]
为自然对数的底数),则?e f(x)dx 的值为(
?0

2

(其中 e

)

4 A.3 6 C.5
e 1 e

5 B.4 7 D.6
1 2 e1

x3 ?1 解析: ? f(x)dx = ? f(x)dx + ? f(x)dx = ? x dx + ? x dx = 3 ? + ?0 ?0 ?0 ?1 ?0 ?1
?e 1 4 lnx? =3+lne=3,故选 A. ?1

答案:A 4.[2014· 西安中学月考]定积分?4π(16-x2)dx 等于(
?0

)

A.半径为 4 的球的体积 B.半径为 4 的四分之一球的体积 C.半径为 4 的半球的体积 D.半径为 4 的球面积

?4 1 2 解析:?4π(16-x2)dx=(16πx-3πx3)? =3×64π.再将各选项中 ?0 ?0

的结果求出,可知 C 选项中的结果与题目结果一样,故选 C. 答案:C


5. [2014· 长春调研]设 a=?1x
?0

1 3

dx, b=1-?1x
?0

1 2

dx, c=?1x3dx,
?0

则 a、b、c 的大小关系为( A.a>b>c C.a>c>b

) B.b>a>c D.b>c>a
1 - 3 1 -

解析:由题意可得 a=? x
?0
3 2

x +1?1 3 ? = x dx= 1 2 ?0 -3+1

1 3

2 3

?1 3 ? = , 2 ?0

b=1-? x
?0

1

1 2

?1 2 1 x4?1 1 1 3 ? dx=1- 3 =1-(3-0)=3,c=? x dx= 4 ? =4, ?0 ?0 ?

x

2

0

综上 a>b>c,故选 A. 答案:A 1 6.[2014· 丰台模拟]由曲线 y=x与 y=x,x=4 以及 x 轴所围成 的封闭图形的面积是( 31 A.32 1 C.ln4+2 ) 23 B.16 D.ln4+1

解析: 如图,面积 S=?1xdx+
?0 ?4 1 2?1 1 41 ? dx= x ? +lnx? = +ln4. 2 ?0 2 ?1 ?1x

答案:C 7.已知函数 f(x)=3x2+2x+1,若?1-1f(x)dx=2f(a),则实数 a
?

=________.

解析: 因为 x2+x)?
?1 ?-1

= (x3 +

=4,所以 2f(a)=4,即 f(a)=2,所以 f(a)=3a2+2a+1

1 =2,即 3a2+2a-1=0,解得 a=-1 或3. 1 答案:-1 或3

?ln?x-2?,x>2 8.[2014· 泉州质检]设 f(x)=?2x+?a?3t2?dt,x≤2 ? ?0
9,则 a 的值是________.

,若 f(f(3))=

?a 解析: 由 f(f(3))=f(ln1)=f(0)=20+?a(3t2)dt=9, 得 t3? =a3=8, ?0 ?0

即 a=2. 答案:2

9. 如图,在矩形 ABDC 中,AB=1,AC=2,O 为 AC 的中点,抛 物线的一部分在矩形内, 点 O 为抛物线的顶点, 点 B, D 在抛物线上, 在矩形内随机地投一点,则此点落在阴影部分的概率为________. 解析:取 BD 的中点 E,以 O 为坐标原点,OE 所在直线为 x 轴, OA 所在直线为 y 轴建立直角坐标系,则抛物线方程为 y2=x,曲边 三角形 AOB 的面积为 1-?1 2 xdx=1-3x
3 2

?0

?1 1 ? = ,又矩形 ABDC 3 ?0

的面积为 2,根据几何概型的概率计算公式得,此点落在阴影部分的 1 3×2 1 概率为 2 =3. 1 答案:3

10. 如图所示,直线 y=kx 分抛物线 y=x-x2 与 x 轴所围图形为面 积相等的两部分,求 k 的值. 解:抛物线 y=x-x2 与 x 轴两交点的横坐标为 x1=0,x2=1, 所以,抛物线与 x 轴所围图形的面积 x2 1 3 ?1 1 S=? (x-x )dx=( 2 -3x )? =6. ?0 ?
1 0 2

又抛物线 y=x-x2 与 y=kx 两交点的横坐标为 x3=0,x4=1-k,所以, 1-k 2 1 3 ?1-k S 1 1 -k 2 3 ? = ∫ (x - x - kx) d x = ( x - x ) = 0 2 2 3 ?0 6(1-k) . 1 1 又知 S=6,所以(1-k)3=2, 3 3 1 4 于是 k=1- 2=1- 2 . 11.[2014· 大同模拟]如图所示,求由抛物线 y=-x2+4x-3 及 其在点 A(0,-3)和点 B(3,0)处的切线所围成的封闭图形的面积.

解:由题意,知抛物线 y=-x2+4x-3 在点 A 处的切线斜率 k1 =y′|x=0=4,在点 B 处的切线斜率 k2=y′|x=3=-2.因此,抛物线 在点 A 处的切线方程为 y=4x-3,在点 B 处的切线方程为 y=-2x +6.
? ?y=4x-3 3 设两切线相交于点 M,由? 消去 y,得 x=2,即点 ? ?y=-2x+6

3 M 的横坐标为2. 3 在区间[0,2]上,直线 y=4x-3 在曲线 y=-x2+4x-3 的上方; 3 在区间[2,3]上,直线 y=-2x+6 在曲线 y=-x2+4x-3 的上 方. 因此,所求图形的面积是

12. [2014· 信阳调研]在区间[0,1]上给定曲线 y=x2.试在此区间内确定 点 t 的值,使图中的阴影部分的面积 S1 与 S2 之和最小,并求最小值. 解: 面积 S1 等于边长为 t 与 t2 的矩形面积去掉曲线 y=x2 与 x 轴、 直线 x=t 所围成的面积, 2 即 S1=t· t2-?t x2dx=3t3.
?0

S2 的面积等于曲线 y=x2 与 x 轴,x=t,x=1 围成的面积去掉矩 形面积,矩形边长分别为 t2,1-t. 2 1 即 S2=?1x2dx-t2(1-t)=3t3-t2+3.
?t

所以阴影部分面积 4 1 S=S1+S2=3t3-t2+3(0≤t≤1). 1 令 S′(t)=4t2-2t=4t(t-2)=0 时,

1 得 t=0 或 t=2. 1 1 1 2 t=0 时,S=3;t=2时,S=4;t=1 时,S=3. 1 1 所以当 t=2时,S 最小,且最小值为4. B级 知能提升 1.设 a=?1cosxdx,b=?1sinxdx,下列关系式成立的是(
?0 ?0

)

A.a>b C.a+b>1

B.a+b<1 D.a<b

?1 ?1 解析: a=?1cosxdx=sinx? =sin1, b=?1sinxdx=(-cosx)? = ?0 ?0 ?0 ?0

π 1 π 1 1 1-cos1,所以 a=sin1>sin6=2,又 cos1>cos3=2,所以-cos1<-2, 1 1 b=1-cos1<1-2=2,所以 a>b,选 A. 答案:A 2 . [2014·江 西 教 学 质 量 检 测 ] 已 知 函 数 f(x) =
2 ? ? 2x-x ,0≤x≤1 ? ,则函数 f(x)的图象与直线 y=x 围成的封闭图 2 ? - x ,- 1 ≤ x<0 ?

形的面积是________. 1 解析:在 y 轴右边,围成的图形是4个圆面减去一个三角形,其 1 1 面 积 是 S1 = 4 π - 2 , 在 y 轴 左 边 , 围 成 图 形 面 积 是 S2 = 1 1 ?0 1 =-(3x3+2x2)? =6,所以封闭图形的面积 ?-1

1 1 是 S1+S2=4π-3. 1 1 答案:4π-3 3.[2014· 石家庄模拟]如图,过点 A(6,4)作曲线 f(x)= 4x-8的 切线 l;

(1)求切线 l 的方程; (2)求切线 l、x 轴及曲线 f(x)= 4x-8所围成的封闭图形的面积 S. 解:(1)∵f′(x)= 1 1 ,∴f′(6)=2, x-2

1 ∴切线 l 的方程为:y-4=2(x-6),即 x-2y+2=0. (2)令 f(x)=0,则 x=2, 1 令 y=2x+1=0,则 x=-2,


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