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映射的概念分类及与函数的关系


映射的概念分类及与函数的关系 1. 映射:对于非空集合 A、B,定义从 A 到 B 得对应法则 f, 对于 A 中的每一个元素 a,按照法则 f 的作用,在 B 中都 有唯一的元素 b 与之对应。这就叫做从 A 到 B 得一个映 射。记作 f:A→B。通常把集合 A 叫做像集(源像) ,集合 B 叫做像。为了理解透彻,对其有两点说明: (1) 集合 A 的遍历性,即集合 A 中的

所有元素都必须 参与法则 f 的作用,也就是说 A 中没有“剩余” 元素,但是集合 B 不要求遍历性,B 中可以有“剩 余”元素,即 B 中可以有一部分元素不存在 A 中 的任何元素与之对应。 (2) 对应的唯一性,即对于 A 中的每一个元素,在法 则 f 作用下,只能对应 B 中的一个元素,即“一 对一” ,如果“一对多” ,则不叫做映射,只能叫 做对应。所以可以说映射是对应的一个子集。同 时, “多对一”也是映射所允许的,因为它仍满足 唯一性。 2. 单射:对于 f:A→B,B 中的每一个不“剩余”的元素 b 在 A 中只有一个 a 与之对应。即除去了“多对一”的情况, 但是仍然保留了 B 中可以有“剩余”元素这一点。 3. 满射:集合 B 中的每一个元素在 A 中都至少有一个元素与 之对应。即对 A、B 都要求遍历性,使 B 中元素也没有“剩

余”的。即“满”之意。当然,也允许“多对一” 。 4. 双射:既单又满谓之双,即“一一对应” ,A、B 元素皆遍 历,并除去了“多对一”的情况。换句话说,映射 f:A→B 反过来(即 f:B→A)也是映射。这大概就是“双”的意思 吧。其他的类型则不然,所以双射的约束是最严苛的。 5. 函数: 是映射的一个子集, 通常将 A 和 B 限定在数集中 (对 实际问题也总能够进行数学建模抽象成数域上的函数) , 集合 A 和 B 分别叫做定义域和值域。法则 f 就抽练为函数 表达式。 显然, 它首先必须是一个满射, 即值域不能有 “剩 余” ,如果有了,则它不是函数值,当然集合 B 就不能叫 做值域了。其次,当函数又满足双射的条件时,自然就是 所谓的严格单调函数了,或者说反函数存在(当然,函数 的分类有许多种,我这样的说法严格来说是不准确的。但 是对于高中生,一般处理的是一元连续实函数,故可以按 此理解) 。 需要说明一点,本人的这些定义并不是教材上的数学 语言,故希望学子们先按照课本的严格定义学习,有一定基 础时再按我说的加深理解。如有错误与遗漏,敬请大家批评 指正并参与讨论


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