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2013高考数学人教B版课后作业:11-2 复数的概念与运算)


11-2 复数的概念与运算
1.(2011?福建理,1)i 是虚数单位,若集合 S={-1,0,1},则( A.i∈S C.i ∈S [答案] B [解析] i =-1∈S,故选 B. 1-3i 2.(文)(2011?天津文,1)i 是虚数单位,复数 =( 1-i A.2-i C.-1-2i [答案] A [解析] 1-3i = 1- i - - + + 4-2i =

=2-i. 2 ) B.2+i D.-1+2i )
2 3

)

B.i ∈S 2 D. ∈S i

2

2-i - (理)(2011?安徽皖南八校联考)复数 z 满足 z= ,则 z 等于( 1-i A.1+3i 3 1 C. - i 2 2 [答案] C 2-i [解析] ∵z= = 1-i - 3 1 ∴ z = - i,故选 C. 2 2 1+2i 3.(2011?揭阳一中月考)设 a,b 为实数,若复数 =1+i,则( a+bi 3 1 A.a= ,b= 2 2 1 3 C.a= ,b= 2 2 [答案] A [解析] 1+2i=(a+bi)(1+i)=a-b+(a+b)i, 3 ? ?a=2 ,∴? 1 ?b=2 ? B.a=3,b=1 D.a=1,b=3 - 2 + 3+i = , 2 B.3-i 1 3 D. + i 2 2

)

? ?a-b=1 ∴? ?a+b=2 ?

,故选 A.

a 1-i 4.(文)(2011?山东济南一模)设 a 是实数,且 + 是实数,则 a 等于( 1+i 2
A. 1 2 B.-1 D.2

)

C.1 [答案] B [解析] ∵ =

a 1-i a + = 1+i 2

-i 1-i + 2 2

1+a 1+a - i 是实数, 2 2

1+a 又∵a∈R,∴ =0,∴a=-1. 2 2+mi (理)(2011?山东潍坊一模)复数 z= (m∈R)是纯虚数,则 m=( 1+i A.-2 C.1 [答案] A [解析] 因为 z= =-2. 5.(2010?广东江门调研)已知复数 z=a+i(其中 a∈R,i 为虚数单位)的模为|z|=2, 则 a 等于( A.1 C. 3 [答案] D [解析] ∵|z|=2,∴a +1=4,∴a=± 3. 1+ai 6.(文)(2011?安徽文,1)设 i 是虚数单位,复数 为纯虚数,则实数 a 为( 2-i A.2 C.- 1 2 B.-2 D. 1 2 )
2

)

B.-1 D.2

+m 2





?2+m=0, ? 2+m m-2 + i 是纯虚数,所以? 2 2 ?m-2≠0. ?

得m

) B.±1 D.± 3

[答案] A [ 解析 ] 1+ai = 2-i +a - + + = -a + 5

a+



2-a 2a+1 + i 为纯虚 5 5

2-a ? ? 5 =0 数,∴? 2a+1 ? ? 5 ≠0

,∴a=2.

2+i (理)(2011?温州八校期末)若 i 为虚数单位,已知 a+bi= (a,b∈R),则点(a,b) 1-i 与圆 x +y =2 的关系为( A.在圆外 C.在圆内 [答案] A 2+i [解析] ∵a+bi= = 1-i 1 3 = + i(a,b∈R), 2 2 1 ? ?a=2 ∴? 3 ?b=2 ? + 2 +
2 2

) B.在圆上 D.不能确定



?1?2 ?3?2 5 ∵? ? +? ? = >2, ?2? ?2? 2 ?1 3? 2 2 ∴点 P? , ?在圆 x +y =2 外,故选 A. ?2 2?
7. 规定运算?

?a b? ? z i? 若? 设 i 为虚数单位, 则复数 z=________. ?=ad-bc, ?=1-2i, ?c d? ?-i 2? ? z i? 2 ?=2z+i =2z-1=1-2i,∴z=1-i. ?-i 2?

[答案] 1-i [解析] 由已知可得?

8.(2011?无为中学月考)已知复数 z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-2i,它们所对应的 → → → 点分别为 A、B、C.若OC=xOA+yOB,则 x+y 的值是________. [答案] 5 → → → [解析] ∵OC=xOA+yOB,∴(3-2i)=x(-1+2i)+y(1-i),
? ?-x+y=3 ∴? ?2x-y=-2 ?

,解得?

? ?x=1 ?y=4 ?

,故 x+y=5.

9.(2010?上海大同中学模考)设 i 为虚数单位,复数 z=(12+5i)(cosθ +isinθ ),若

z∈R,则 tanθ 的值为________.

[答案] -

5 12

[解析] z=(12cosθ -5sinθ )+(12sinθ +5cosθ )i∈R, 5 ∴12sinθ +5cosθ =0,∴tanθ =- . 12

a2-7a+6 2 10.(2010?江苏通州市调研)已知复数 z= +(a -5a-6)i(a∈R).试求实数 a a+1
分别为什么值时,z 分别为: (1)实数; (2)虚数; (3)纯虚数. [解析]
? ?a -5a-6=0 (1)当 z 为实数时,? ?a+1≠0 ?
2

,∴a=6,

∴当 a=6 时,z 为实数. (2)当 z 为虚数时,? ∴a≠-1 且 a≠6, 故当 a∈R,a≠-1 且 a≠6 时,z 为虚数.
?a -5a-6≠0 ? ? ?a+1≠0
2



a -5a-6≠0 ? ? 2 (3)当 z 为纯虚数时,?a -7a+6=0 ? ?a+1≠0
∴a=1,故 a=1 时,z 为纯虚数.

2

11.(文)(2011?东北四市统考)已知复数 z1=cos23°+isin23°和复数 z2=cos37°+ isin37°,则 z1?z2 为 ( 1 3 A. + i 2 2 1 3 C. - i 2 2 [答案] A [ 解 析 ] ) B. D. 3 1 + i 2 2 3 1 - i 2 2

z1?z2 = cos23°cos37° - sin23°sin37° + (sin37°cos23° +

1 3 cos37°sin23°)i=cos60°+i?sin60°= + i,故选 A. 2 2 (理)若 z=cosθ +isinθ (i 为虚数单位),则使 z =-1 的 θ 值可能是( A. π 6 B. π 4
2

)

C.

π 3

D.

π 2

[答案] D
? ?cos2θ =-1 2 [解析] ∵z =cos2θ +isin2θ =-1,∴? ?sin2θ =0 ?

.

∴2θ =2kπ +π

(k∈Z),

π ∴θ =kπ + .令 k=0 知,D 正确. 2 12.如果复数(m +i)(1+mi)是实数,则实数 m 等于( A.1 C. 2 [答案] B [解析] ∵(m +i)(1+mi)=(m -m)+(m +1)i 是实数,m∈R, ∴由 a+bi(a、b∈R)是实数的充要条件是 b=0, 得 m +1=0,即 m=-1. 3+i 13.(2011?南通调研)若复数 z 满足 z+i= ,则|z|=________. i [答案] 17
3 2 2 3 2

)

B.-1 D.- 2

3+i [解析] ∵z= -i=-3i+1-i=1-4i, i ∴|z|= 17. 14.在复平面内,z=cos10+isin10 的对应点在第________象限. [答案] 三 7π [解析] ∵3π <10< ,∴cos10<0,sin10<0, 2 ∴z 的对应点在第三象限. 15.(文)设复数 z=lg(m -2m-2)+(m +3m+2)i,当实数 m 取何值时. (1)z 是纯虚数. (2) z 是实数. (3)z 对应的点位于复平面的第二象限. [解析]
? m -2m- ? (1)由题意知? 2 ?m +3m+2≠0. ?
2 2 2

=0,

解得 m=3. 所以当 m=3 时,z 是纯虚数.
2
[来源:Ks5u.com]

(2)由 m +3m+2=0,得 m=-1 或 m=-2,

又 m=-1 或 m=-2 时,m -2m-2>0, 所以当 m=-1 或 m=-2 时,z 是实数. (3)由?
? ?
2

2

m2-2m-



? ?m +3m+2>0.

解得:-1<m<1- 3或 1+ 3<m<3. 1 (理)设 z 是虚数,ω =z+ 是实数,且-1<ω <2.

z

(1)求 z 的实部的取值范围; 1- z (2)设 u= ,那么 u 是不是纯虚数?并说明理由. 1+ z [解析] (1)设 z=a+bi(a、b∈R,b≠0), ω =a+bi+

a ? ? b ? 1 ? =?a+ 2 2?+?b- 2 2?i, a+bi ? a +b ? ? a +b ? b
2

∵ω 是实数,∴b-
2 2

a +b2

=0.

又 b≠0,∴a +b =1,ω =2a. 1 ∵-1<ω <2,∴- <a<1, 2

? 1 ? 即 z 的实部的取值范围是?- ,1?. ? 2 ?
1-z 1-a-bi 1-a -b -2bi b (2)u= = = i, 2 2 =- 1+z 1+a+bi +a +b a+1 1 ∵- <a<1,b≠0,∴u 是纯虚数. 2 16.将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次,记 第一次出现的点数为 a,第二次出现的点数为 b. (1)设复数 z=a+bi(i 为虚数单位),求事件“z-3i 为实数”的概率;
[来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COM]

2

2

a-b+2≥0 ? ? (2)求点 P(a,b)落在不等式组?0≤a≤4 ? ?b≥0

表示的平面区域内(含边界)的概率.

[解析] (1)z=a+bi(i 为虚数单位),z-3i 为实数,则 a+bi-3i=a+(b-3)i 为实 数,则 b=3. 1 依题意得 b 的可能取值为 1,2,3,4,5,6,故 b=3 的概率为 . 6 1 即事件“z-3i 为实数”的概率为 . 6 (2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表:
[来源:Ks5u.com]

1 1 2 3 4 5 6 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)

2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)

3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)

4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)

5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)

6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

由上表知,连续抛掷两次骰子共有 36 种不同的结果. 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界).

由图知,点 P(a,b)落在四边形 ABCD 内的结果有:(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、 (2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、 (4,6),共 18 种. 18 1 所以点 P(a,b)落在四边形 ABCD 内(含边界)的概率为 P= = . 36 2

1.(2011?罗源一中月考)已知复数 z1=cosα +isinα ,z2=sinβ +icosβ ,(α ,β ∈ - R),复数 z=z1? z 2 的对应点在第二象限,则角 α +β 所在象限为( A.第一象限 C.第三象限 [答案] C [解析] ∵z=(cosα +isinα )?(sinβ -icosβ )=sin(α +β )-icos(α +β )的对 B.第二象限 D.第四象限 )

应点在第二象限, ∴? ?- ?
? ?

α +β α +β

,∴角 α +β 的终边在第三象限.

2.(2010?安徽合肥市质检)已知复数 a=3+2i,b=4+xi(其中 i 为虚数单位,x∈R), 若复数 ∈R,则实数 x 的值为( A.-6 C. 8 3

a b

) B.6 8 D.- 3

[答案] C [解析] 8 = . 3 2+ai 3.(2010?泰安市质检)若复数 (a∈R)是纯虚数(i 是虚数单位),则 a 的值为( 1-i A.-2 C.1 [答案] D [解析] ∴a=2. 4.若 i 是虚数单位,则满足(p+qi) =q+pi 的实数 p、q 一共有( A.1 对 C.3 对 [答案] D [ 解析 ]
?p=0 ? ? ? ?q=0
2

a 3+2i = = b 4+xi

+2i -xi 2 16+x



12+2x ? 8-3x ? 8-3x 2??i∈R,∴ 2 +? 2=0,∴x 16 + x 16+x ? 16+x ?

)

B.-1 D.2

2+ai = 1- i

+ai -i

+i a+ = +i

i+
2

-a

? ?2-a=0 为纯虚数,∴? ?a+2≠0 ?



)

B.2 对 D.4 对

由 (p + qi) = q + pi 得 (p
?p=0 ? ? ?q=-1

2

2

? ?p -q =q, - q ) + 2pqi = q + pi , 所以 ? ?2pq=p. ?
2

2

2

解得

,或?

, 3 ? ?p=- 2 或? 1 ? ?q=2,

3 ? ?p= 2 或? 1 ? ?q=2,

因此满足条件的实数 p、q 一共有 4 对.

5.设 A、B 为锐角三角形的两个内角,则复数 z=(cotB-tanA)+i(tanB-cotA)对应点 位于复平面的第________象限. [答案] 二 π π π [解析] 由于 0<A< ,0<B< 且 A+B> 2 2 2



π π >A> -B>0 2 2

∴tanA>cotB,cotA<tanB 故复数 z 对应点在第二象限. 5 2 6.关于 x 的不等式 mx -nx+p>0(m,n,p∈R)的解集为区间(- ,2),则复数 m+ni 所 3 对应的点位于复平面内的第________象限. [答案] 三 5 2 [解析] ∵mx -nx+p>0(m、n、p∈R)的解集为(- ,2), 3
[来源:高&考%资(源#网 wxcKS5U.COM]

? ? ∴? ? ?

m<0
5 - 3 5 - 3 +2= >0 = <0

n m

,∵m<0,∴p>0,n<0.

p m

故复数 m+ni 所对应的点位于复平面内的第三象限. 7.(2011?上海文,19)已知复数 z1 满足(z1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位),复数 z2 的虚部为 2,且 z1?z2 是实数,求 z2. [解析] 设 z1=(a+2)+bi,a,b∈R, ∵(z1-2)(1+i)=1-i,∴a-b+(b+a)i=1-i. ∴?
?a-b=1 ? ? ?a+b=-1

∴?

?a=0 ? ? ?b=-1

,∴z1=2-i.

又设 z2=c+2i,c∈R,则 z1z2=(2-i)(c+2i)=(2c+2)+(4-c)i ∵z1z2∈R,∴4-c=0,c=4,∴z2=4+2i.


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