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对数与对数运算及性质


对数与对数运算
一、基础知识 (1)定义 指数式与对数式间的关系 当a 时, a x ? N ? 下列指数式化为对数式,对数式化为指数式. 1 例 1: 2?7 ? ; ln100=4.606. 128

(3) log2.5 6.25 ? lg 0.01? ln e ? log2 64

.

(4) . l

g2 2 ? lg 2 ? lg5 ? lg5 ; (5)

lg 27 ? lg8 ? 3lg 10 lg1.2

注:两个特殊对数:常用对数 lgN,自然对数 lnN

2 (6) lg52 ? lg8 ? lg5lg 20 ? (lg 2)2 3

e?

练习:1 、对数式 log( a?2) (5 ? a) 中实数 a 的取值范围 是 。 。 。 题型 3:用规定代数式表示 例 1:用 log a x , log a y , log a z 表示下列各式: (1) log a

2、若 log x ( 2 ? 1) ? ?1 , 则 x ? 3.已知 f (e x ) ? x ,则 f(5)等于
x 4.若 f 10 ? x ,则 f ? 3? ?

xy ; z2

(2) log a

x3 y
5

z

.

? ?

(2)有关公式
log a 1 ?

, log a a ?

. ; (2) log 2
1

例 2:已知 log18 9 ? a,18b ? 5, :用 a, b 表示 log36 45

练习: (1) log5 25 = (3) lg 10000=

1 = 16 .(4)ln1=
).



(5)若 log7[log3(log2x) ]=0,则 x 2 =( A. 3 B. 2 3 C. 2 2 D. 3 2

基本公式 (1) loga (MN ) ? (2) loga M
N ?

1 1 则 m 之值为 ( ) . ? ?2, a b A.15 B. 15 C.± 15 D.225 2、已知 log 2 3 = a, log 3 7 = b,用 a,b 表示 log 42 56.
练习 1、 已知 3a ? 5b ? m , 且

; ; . .
(2) logam b =
n

(3) loga M n ? 换底公式 log a b ?
课外补充公式: (1) loga n b ? (3) a
log a b

=

(4)

1 ? loga b

三、对数函数及性质 根据图象,你能归纳出对数函数的哪些性质? a>1 0<a<1 图 象 性 质 (1)定义域: (2)值域: (3)过定点: (4)单调性:

二、题型 1:单独对数的运算 (1) log3 243 ; (2) log9 27 ; (3) log 4 3 81; 题型 2:对数的混合运算 lg 243 7 (1) ; (2). lg14 ? 2lg ? lg7 ? lg18 lg 9 3

比较大小 1、比较下列各组数中两个值的大小: (1) log3 5.4????? log3 5.5 (2) log 1 ?????? log 1 e
3 3

4、函数 y=log2|x|的大致图象是(

) y

(3) lg 0.02????? lg3.12 (5) log2 7 ????? log 4 50 对数不等式 1、求下列函数的定义域: (1) y ? log2 (2 x ? 1)

(4) ln 0.55????? ln 0.56 (6) log7 5????? log6 7

o A

1

x

- o 1 B

1

x

- o 1 1 C

x

o 1 D

x

(7) log 0.5 0.3 , log 0.3 3 , log3 2

5、若函数 f ( x) ? log1 x ,则 f ( ), f ( ), f (?3) 的大小
2

1 4

1 3

(2) y ? lg

1 x ?1

关系为 奇偶性



1 、( 1 ) 函 数 f ( x) ? lg x ? 1 ? lg x ? 1 的 奇 偶 性 是 (3) f ( x) ? 。

log 1 ( x ? 1) (4) f ( x) ? log( x?1) (3 ? x)
3

2、 函数 f ( x) ? log a

1? x (a ? 0, a ? 1) ? ?1 ? x ? 1? 的奇 1? x

偶性为
1+ x 3、f(x)=log2 的图象关于原点对称,则实数 a 的值为 a- x ). ________. 4、已知函数 f ? x ? ? log a

2、不等式的 log 4 x ? A. (2, ??)

1 解集是( 2

1 1 C. ( , ??) D. (0, ) 2 2 3、若 loga2<1,则实数 a 的取值范围是( ) A.(1,2) B.(0,1)∪(2,+∞) 1 C.(0,1)∪(1,2) D.(0, ) 2 图象
B. (0, 2) 1、 (1)将函数 y ? log3 ( x ? 2) 的图象向 到函数 y ? log3 x 的图象; (2) 将函数 y ? log3 x ? 2 的图象向 得到函数 得

1 ? kx ?a ? 1? 是奇函数, x ?1

(1)求 k 的值。 (2)判断 f ?x ? 在 ?1,??? 上的单调性,并 运用单调性的定义予以证明.

y ? log3 x 的图象。
2、 当 a>1 时,在同一坐标系中,函数 y ? a ? x 与 y ? log a x
的图象是( ). 函数值与值域 1.已知 g(x)= ?

? ex ?ln x

x?0 1 , 则 g[g(3)]=________. x?0
).

2. 函数 y ? 2 ? log 2 x ( x ≥1) 的值域为( A. (2, ??) B. (??, 2) C. ? 2, ?? ? 3、当 a>1 时,函数 y= loga x 和 y=(1-a)x 的图像只可能 是( ) D. ?3, ?? ?

3、已知函数 y ? loga x(a ? 0, a ? 1) 在 x ? [2,4] 上的最 大值比最小值多 1 ,实数 a 的值为 。 4、已知函数 f(x)=2 log 1 x 的值域为[-1,1],则函数 f(x)
2

的定义域是( ) 2 A.[ , 2] 2 1 C.[ ,2] 2

B.[-1,1] D.(-∞, 2 ]∪[ 2,+∞) 2


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