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【五佳教育】2014福建高职统考数学第一轮教材4:三角函数


【五佳教育】2014 福建高职统考数学第一轮教材

(四)三角函数、三角恒等变形与解三角形 A组
(1) 若角 ? 的终边过点 P(a,3a)(a ? 0) ,则 sin ? 的值为( ) (A) (2)

3 10 10

(B)

10 10

(C) ?

3 10 10

(D) ?

10 10

3 的交点的个数为( ) 2 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 a (3)在△ ABC 中, A ? 60?, b ? 1, S ? ABC ? 3 ,则 的值为( ) sin A 8 3 26 3 2 39 (A) (B) (C) (D) 2 7 3 3 81
y ? 1 ? cos x ( x ? ?0, 2? ? ) 的图象与直线 y ?
(4)化简 1 ? sin 20? 的结果是( ) (A) cos10? (B) cos10? ? sin10? (C) sin10? ? cos10? (D) ?(cos10? ? sin10 ?) (5)在△ ABC 中,若 a ? 18, b ? 24, A ? 44? ,则此三角形解的情况为( ) (A)无解 (B)两解 (C)一解 (D)解的个数不能确定 (6)若 sin(? ? ? )cos ? ? cos(? ? ?)sin ? ? m ,且 ? 为第三象限角,则 cos ? 的值为( ) (A) 1 ? m 2 (B) ? 1 ? m 2 (C)

m2 ? 1

(D) ? m 2 ? 1

(7)有以下四种变换方式:

1 ? 个单位长度,再将每个点的横坐标缩短为原来的 ; 2 4 1 ? ② 向右平行移动 个单位长度,再将每个点的横坐标缩短为原来的 ; 2 8 1 ? ③ 每个点的横坐标缩短为原来的 ,再向右平行移动 个单位长度; 2 8 1 ? ④ 每个点的横坐标缩短为原来的 ,再向左平行移动 个单位长度. 2 8
① 向左平行移动

?? ? 其中能将函数 y ? sin x 的图象变为函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图象的是( ) 4? ?
(A)①和④ (B)①和③ (C)②和④ (D)②和③ (8)在△ ABC 中,若 (a ? b ? c)(c ? b ? a) ? 3bc ,则 A =( ) (A) 150? (B) 120? (C) 60? (D) 30?

1 7sin ? ? 3cos? (9)已知 tan ? ? ? ,则 的值为 . 3 4sin ? ? 5cos ? (10)函数 y ? Asin(? x ? ? )( A ? 0, ?? ? ? ? 0,? ? 0) 在一个周期的区间上的图象如图, 则 A= ,? = ,? = .

-1-

1 ? ? (11)已知 tan ? ? 2 , tan ? ? ? ,其中 0 ? ? ? , ? ? ? ? . 3 2 2 (1)求 tan(? ? ? ) ; (2)求 ? ? ? 的值.

7? sin 2 x ? 2sin 2 x ?? ? 3 17? (12)已知 cos ? ? x ? ? , ,求 的值. ?x? 4 1 ? tan x ?4 ? 5 12

(13)一个单摆如图所示,小球偏离铅垂方向的角为 ? (rad),? 作为时间 t

1 ? ?? 的函数,满足关系 ? (t ) ? sin ? 2t ? ? . 2 ? 2?
求: (1)最初时 (t ? 0)? 的值是多少? (2)单摆摆动的频率是多少? (3)经过多长时间单摆完成 5 次完整摆动?

(14) 已知函数 f ( x) ? 2sin x(sin x ? cos x) . (1)求 f ( x) 的最小正周期;

? ? ?? (2)画出函数 y ? f ( x) 在区间 ? ? , ? 上的图象. ? 2 2?

-2-

?? ?? ? ? (15) 已知函数 f ( x) ? sin ? x ? ? ? sin ? x ? ? ? cos x ? a 的最大值为 1. 6? 6? ? ?
(1)求常数 a 的值; (2)求使 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值集合.

B组
13? ? ? 15? ? ? sin ? ? ? ? ? 3cos ? ? ? ? 8? ? 7 ? ? ? 7 ? ? (16) 设 tan ? ? ? ? m ,则 = ? 22? ? 7 ? ? 20? ? ? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? 7 ? ? 7 ? ?
(17) 观

3 , 4 3 3 sin 2 20? ? cos2 50? ? sin 20? cos50? ? ,sin 2 15? ? cos2 45? ? sin15? cos 45? ? ,…, 4 4 归纳得到 .
察 以 下 各 等 式 :

sin 2 30? ? cos 2 60? ? sin 30? cos 60? ?

(18)已知 ? 为第二象限的角,化简: cos ?

1 ? sin ? 1 ? cos ? ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? cos ?

1 1 (19)已知 sin(? ? ? ) ? ,sin(? ? ? ) ? ; 2 3 (1)求证: sin ? cos ? ? 5cos ? sin ? ; (2)求证: tan ? ? 5tan ? .

-3-

(20) 如图为一个观览车示意图.该观览车圆半径为 4.8m, 圆上最低点与地面距离为 0.8m,60 秒转动一圈.途中 OA 与地面垂直.以 OA 为始边,逆时针转动 ? 角到 (1)求 h 与 ? 的函数解 OB .设 B 点与地面距离为 h . 析式; (2)设从 OA 开始转动,经过 t 秒到达 OB ,求 h 与 t 的函数解析式; (3)填写下列表格:

?
h(m) t (s) h(m)

0?

30?

60?

90?

120?

150?

180?

0

5

10

15

20

25

30

(21) 一次机器人足球比赛中,甲队 1 号机器人由点 A 开始作 匀速直线运动,到达点 B 时,发现足球在点 D 处正以 2 倍于自己的速度向点 A 作匀速直线滚动.如图所示,已 知 AB ? 4 2dm, AD ? 17dm, ?BAC ? 45? .若忽略机器 人原地旋转所需的时间,则该机器人最快可在何处截住足球?

-4-

参考答案或提示: (四)三角函数、三角恒等变形与解三角形 A 组 (1)C (2)C 提示:作出 y ? 1 ? cos x ( x ? ?0, 2? ? ) 的图象,直线 y ? (4)B 提
1?
2

3 ,数形结合 2

2


s ? i i ?



n

∵ sin10? ? sin80? ? cos10? ,∴ 1 ? sin 20? ? cos10? ? sin10? 。 (5)B 提示:∵ b sin A ? b sin 44? ? b sin 45? ? 24 ?

2 ? 12 2 ? 18 ? 24 , 2

∴ b sin A ? a ? b ,∴此三角形有两解 (6)B 提示: sin(? ? ? )cos? ? cos(? ? ? )sin ? ? sin[(? ? ? ) ? ? ] ? ? sin ? ? m , ∴ sin ? ? ?m , ? 为第三象限角, cos ? ? 0 , cos ? ? ? 1 ? sin 2 ? ? ? 1 ? m 2 ∵ ∴ ∴ (7)A (8)C 提示:∵ (a ? b ? c)(c ? b ? a) ? (b ? c)2 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc ? a 2 ? 3bc , ∴ b2 ? c2 ? a2 ? bc , c A ? ∴o s

b2 ?c 2 a 2 ? 2b c

b c ? 2 b c

? 2

1

, 0? A 1 ? 又 ? ? 8 0

, A ? 60? ∴

7sin ? ? 3cos ? 7sin ? ? 3cos ? 7 tan ? ? 3 16 cos ? ? ? ?? (9)提示: 4sin ? ? 5cos ? 4sin ? ? 5cos ? 4 tan ? ? 5 11 cos ?
(10) A ? 5, ? ?

?

3 ,? ? ? ? . 8 4

1 2? tan ? ? tan ? 1 3 ?7. ? (11)解 (1)∵ tan ? ? 2 , tan ? ? ? ,∴ tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? ?tan ? 1 ? 2 3 3 1 tan ? ? tan ? 3 ? 1 ,又∵ 0 ? ? ? ? , ? ? ? ? ? , ? ∵ tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? ?tan ? 1 ? 2 2 2 3 2?


?
2

?? ? ? ?

3? 3? 5? 5? ? ,在 与 之间,只有 的正切值等于 1,∴ ? ? ? ? . 2 2 4 4 2

? ? 3 ?? ? 3 (12)解 法一 ∵ cos ? ? x ? ? ,∴ cos cos x ? sin sin x ? , 4 4 5 ?4 ? 5
即 cos x ? sin x ?

3 2 ……① 5

-5-

又有 sin 2 x ? cos2 x ? 1 ……②,∴②-①2 得 2sin x cos x ?

7 ……③, 25

17? 7? ,∴ sin x ? 0,cos x ? 0 , ?x? 12 4 7 2 2 ∴联立①③ sin x ? ? ,∴ tan x ? 7 ,cos x ? ? 10 10
又∵

? 7 2? ? 7 2? 2 2??? ? 2? ? ?? ? ? 2 2 10 sin 2 x ? 2sin x 2sin x cos x ? 2sin x ? 10 ? ? 10 ? ? ? 28 ? ? ∴ sin x 1 ? tan x 1? 7 75 1? cos x
法二 ∵ cos 2( 即 sin 2 x ?

2

?

? 7 ? 7 ? x) ? 2cos 2 ( ? x) ? 1 ? ? ,∴ cos( ? 2 x) ? ? sin 2 x ? ? , 4 4 25 2 25
7 2 2 4 7 17? 7? 1 ? 7 7 ? , 又∵ , ∴ , cs2 x ??1 ? ) ∴o , ( ?? ?x? ? 2x ? 2 5 2 5 25 12 4 6 6
2

49 2sin 2 x sin2 x ?2sin ∴ 2sin 2 x ? 1 ? cos 2 x ? ,又 tan x ? ?7 ,∴ sin2 x 25 1 ? tan x
(3)C

x

7 49 ? 28 ? ? 25 25 ? ? 1? 7 75

1 1 提示:∵ S ? ABC ? bc sin A ,∴ ? 1? c ? sin 60? ? 3 ,∴ c ? 4 2 2

又 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 12 ? 42 ? 2 ?1? 4 ? cos60? ? 13 ,∴ a ? 13 ,



a 13 13 2 39 ? ? ? sin A sin 60? 3 3 2

1 ? ?? 1 ? 1 1 ? 2 1 (13)提示: (1) ? (0) ? sin ? 2 ? 0 ? ? ? sin ? ; (2) f ? ? ? ? ; 2 ? 2? 2 2 2 T 2? 2? ?
(3) t ? 5T ? 5? . (14)解 (1)

f ( x) ? 2sin 2 x ? 2sin x cos x ? 2 ?
∴T ?

1 ? cos 2 x ? ? sin 2 x ? 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 ? 2 sin(2 x ? ) 2 4

2? ?? 2

-6-

y
1+ 2

? - 8 ? - 2

1

O
1- 2

? 8

3? 8

? 2

x

(2)五点法作图(略) (15)解 (1) f ( x) ? (sin x cos

?

? cos x sin ) ? (sin x cos ? cos x sin ) ? cos x ? a 6 6 6 6

?

?

?

? 3 sin x ? cos x ? a

? 2sin( x ? ) ? a 6
∴ f ( x)max ? 2 ? a ? 1,∴ a ? ?1

?

? ? ? 1 (2)∵ f ( x) ? 2sin( x ? ) ?1 ,∴ 2sin( x ? ) ? 1 ? 0 ,∴ sin( x ? ) ? , 6 6 6 2 ? ? 5? 2? ∴ 2k? ? ? x ? ? 2k? ? , k ? Z ,解得 2k? ? x ? 2k? ? , k ?Z , 6 6 6 3
? ? 2? , k ? Z? ∴使 f ( x) ? 0 成立的 x 的取值集合为 ? x 2k? ? x ? 2k? ? 3 ? ?
B组

8? ? (16)提示: tan ? ? ? 7 ?

?? ? ? ? ? m ? tan ? ? ? ? ? m , 7? ? ?

13? ? ?? ? 15? ? ? ? sin ? ? ? ? ? 3cos ? ? ? ? tan ? ? ? ? ? 3 m ? 3 7 7 ? 7? ? ? 原式= ? = ? ? 20? 22? ? ?? m ?1 ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? tan ? ? ? ? ? 1 7 7 ? 7? ? ? ? ? (17)提示: 3 sin 2 (? ? 15?) ? cos2 (? ? 15?) ? sin(? ? 15?) cos(? ? 15?) ? 或 4 3 sin 2 ? ? cos2 ? ? sin ? cos ? ? ,其中 ? ? ? ? 30? ,等等。 4 略证:

-7-

sin 2 (? ? 15?) ? cos 2 (? ? 15?) ? sin(? ? 15?) cos(? ? 15?) 1 ? cos 2(? ? 15?) 1 ? cos 2(? ? 15?) 1 ? ? {sin[(? ? 15?) ? (? ? 15?)] ? sin[(? ? 15?) ? (? ? 15?)]} 2 2 2 1 1 1 1 1 ? ? cos(2? ? 30?) ? ? cos(2? ? 30?) ? [sin 2? ? sin( ?30?)] 2 2 2 2 2 1 1 1 1 ? 1 ? (cos 2? cos 30? ? sin 2? sin 30?) ? (cos 2? cos 30? ? sin 2? sin 30?) ? sin 2? ? sin 30? 2 2 2 2 3 1 3 1 1 1 ?1? sin 2? ? cos 2? ? cos 2? ? sin 2? ? sin 2? ? 4 4 4 4 2 4 3 ? 4 (18) 解:∵ ? 为第二象限的角,∴ sin ? ? 0,cos? ? 0 , ?


(1 ? sin ? ) 2 1 ? sin ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? (1 ? sin ? ) 2 ? ? ? ? , 1 ? sin ? (1 ? sin ? )(1 ? sin ? ) cos ? ? cos ? cos 2 ?

(1 ? cos ? ) 2 1 ? cos ? 1 ? cos ? 1 ? cos ? (1 ? cos ? ) 2 ? ? ? ? , 1 ? cos ? (1 ? cos ? )(1 ? cos ? ) sin ? sin ? sin 2 ?
∴ cos ?

1 ? sin ? 1 ? cos ? 1 ? sin ? 1 ? cos ? ? sin ? ? cos ? ? ? sin ? ? ? sin ? ? cos ? 1 ? sin ? 1 ? cos ? ? cos ? sin ?

1 1 , ,∴ sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? ……① 2 2 1 1 ∵ sin(? ? ? ) ? ,∴ sin ? cos ? ? cos? sin ? ? ……② 3 3 5 1 联立①②解得 sin ? cos ? ? ,cos ? sin ? ? ,∴ sin ?cos ? ?5cos ? sin ? ,得证 12 12 sin ? sin ? (2)由 sin ? cos ? ? 5cos ? sin ? 得 ,∴ tan ? ? 5tan ? ,得证 ?5 cos ? cos ? (20)解 (1) ∵ h ? 0.8 ? OA ? BC ? 0.8 ? 4.8 ? OB sin ? ? 5.6 ? 4.8sin(? ? 90?) , ∴ h ? 5.6 ? 4.8cos? (? ? 0) C 2? ? (2)∵ ? ? , ? ? ?t , ? 60 30
(19)证明 (1)∵ sin(? ? ? ) ? ∴? ? (3)

?
30

t ,∴ h ? 5.6 ? 4.8cos

?
30

t (t ? 0)

?
h(m) t (s) h(m)

0? 0.8
0

30? 1.44
5

60? 3.2
10

90? 5.6
15

120? 8
20

150? 9.77
25

180? 10.4
30

0.8

1.44

3.2

5.6

8

9.77

10.4

-8-

(21) 解 设该机器人最快可在点 C 处截住足球,点 C 在线段 上 , 设 BC ? xdm , 由 题 意 , AD CD ? 2xdm . AC ? AD ? CD ? (17 ? 2 x)(dm) .在△ ABC 中, 由 余 弦 定 理 , 得 BC 2 ? AB2 ? AC 2 ? 2 AB?AC cos A . 即

x2 ? ( 4

2 2)?

(1 7 ? x

2

2?) ? 2

4 2 x( 1 7 ? ?

.) c 得 2 ?解 o s 4 5

37 23 . (dm) .∴ AC ? 17 ? 2 x ? 7(dm) ,或 AC ? ? (dm) (不合题意,舍去) 3 3 答 该机器人最快可在线段 AD 上离点 A 7dm 的点 C 处截住足球. x1 ? 5(dm), x2 ?
文章来源:福州五佳教育网 www.wujiajiaoyu.com(中小学直线提分,就上福州五佳教育)

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