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2012年陕西省高中数学联赛预赛试卷及答案(word版本)


2012 年全国高中数学联赛陕西省预赛试卷
第一试
一、填空题(80 分) 。 1、已知集合 M = ?1,3,5, 7,9? ,若非空集合 A 满足: A 中各元素都加 4 后构成 M 的一个子 集, A 中各元素都减 4 后也构成 M 的一个子集,则 A =____________. 2、已知两条直线 l1 : y ? 2, l2 : y ? 4, ,设函

数 y ? 3 的图像与 l1 , l2 分别交于点 A, B ,函数
x

y ? 5x 的图像与 l1 , l2 分别交于点 C , D ,则直线 AB 与 CD 的交点坐标是____________.
3、对于正整数 n ,若 n ? p ? q( p ? q, p, q ? N ) ,当 p ? q 最小时,我们称为的“最佳分
*

解” ,并规定 f (n) ? 解” ,则 f (12) ?

q 。例如, 12 的分解有 12 ?1,6 ? 2, 4 ? 3 ,其中 4 ? 3 为 12 的“最佳分 p

3 。关于 f (n) ,下列四个判断: 4 1 3 4 ① f (4) ? 0 ② f (7) ? ③ f (24) ? ④ f (2012) ? 7 8 503
其中,所有正确判断的序号是____________. 4 、 已 知 ?ABC 为 等 腰 直 角 三 角 形 , ?A=

?

2 ? a ? ( c o?s , ? sin ?? ) R ( ,若△) OAB 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形,则 ?ABC 的面

, AB ? a+b , AC ? a ? b , 若

??? ?

? ?

????

? ?

积等于____________. 5、在正四面体 ABCD 中, AO ? 平面 BCD ,垂足为 O .设 M 是线段 AO 上一点,且满足

?BMC ?

?

2

,则

AM =____________. MO
2

6、如图, Rt ?ABC 的三个顶点都在给定的抛物线 x ? 2 py( p ? 0) 上, 且斜边 AB ? x 轴,则斜边上的高 CD =____________. 7、某项游戏活动的奖励分成一、二、三等奖(参与游戏活动的都有奖) , 且相应获奖的概率是以 a 为首项、 2 为公比的等比数列,相应获得的奖金 是以 700 元为首项、 ?140 为等差的等差数列。则参加这项游戏活动获得 奖金的期望是______________元. 8、设 p, q 是两个不同的质数,则 p
q ?1

? q p ?1 被 p ? q 除的余数是___________.
'

9、定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (1) ? 1 ,且对任意的 x ? R ,都有 f ( x) ?

f (log 2 x) ?

log 2 x ? 1 的解集为___________. 2

1 。则不等式 2

10、从公路旁的材料工地沿笔直公路向同一方向运送电线杆到 500m 以外的公路边埋栽,在

500m 处栽一根,然后每隔 50m 在公路边栽一根。已知运输车辆一次最多只能运 3 根,要完 成运载 20 根电线杆的任务, 并返回材料工地, 则运输车总的行程最小为______________ m 。
一、 (本题满分 20 分) 在 ?ABC 中,已知 AB ? 2, AC ? 1 ,且 cos 2 A ? 2sin 2

B?C =1 2

(1)求角 A 的大小和边 BC 的长; (2) 若点 P 在 ?ABC 内运动 (含边界) , 且点 P 到三边距离之和为 d 。 设点 P 到边 BC,CA 的距离为分别为 x, y ,试用表示 d ,并求 d 的取值范围。

二、 (本题满分 20 分) 在平面直角坐标系中,以点 C (t , ) 为圆心的圆经过坐标原点 O ,且分别与 x 轴, y 轴分别 交于点 A, B (不同于原点 O ) 。 (1)求证: ?AOB 的面积 S 为定值; (2)设直线 l : y ? ?2 x ? 4 与圆 C 相交于不同的两点 M , N ,且 OM ? ON ,求圆 C 的标 准方程。

2 t

三、 (本题满分 20 分) 如图,锐角 ?ABC 内接于圆 O ,过圆心 O 且垂直于半径 OA 的直线分别 交边 AB, AC 于点 E , F 。设圆 O 在 B, C 两点处的切线相交于点 P ,求 证:直线 AP 平分线段 EF 。

第二试
四、 (本题满分 30 分) 已知数列 ? an ? 满足 a1 ?

1 , an ? 2an an?1 ? 3an?1 (n ? N * ) . 2

(1)求数列 ? an ? 的通项公式; ( 2 ) 若 数 列 ?bn ? 满 足 bn ? 1 ?
n

1 * (n ? N ) , 且 对 任 意 正 整 数 n(n ? 2) , 不 等 式 an

? n ? log
k ?1

1

3

bk

?

m 恒成立,求整数 m 的最大值。 24

五、 (本题满分 30 分) 对于任意的正整数 n ,证明:

1 1 1 1 7 ? 2 ? 3 3 ??? n ? 2 n 3? 2 3 ? 2 3 ? 2 3 ? (?2) 6

答案
1、 ?5? 2、 (0, 0) 3、②④ 4、1 5、1 6、 2 p 7、 500 8、1 9、 (0, 2) 10、 14000 一、 (1) A ?

?
3

, BC ? 3, (2)d ? [

3 , 3] 2


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