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江西省师大附中2015届高三上学期10月月考数学试卷(文科)


江西省师大附中 2015 届高三上学期 10 月月考数学试卷(文科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. (5 分)若全集 U={1,2,3,4,5,6},M={2,3},N={1,4},则集合{5,6}等于() A.M∪N (?UN) B.M∩N C.(?UM)∪(?UN) D. (?UM)∩

2. (5 分)命题 p:若 a、b∈R,则|a|+|b|>1 是|a+b|>1 的充分而不必要条件;命题 q:函数 y= 的定义域是(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) ,则() B.“p 且 q”为真 C. p 真 q 假 D.p 假 q 真

A.“p 或 q”为假

3. (5 分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是() A.y=x
3

B.y=|x|+1
x

C.y=﹣x +1
2

2

D.y=2

﹣|x|

4. (5 分)已知函数 f(x)=e ﹣1,g(x)=﹣x +4x﹣3,若有 f(a)=g(b) ,则 b 的取值范 围为() A.
0.5

B.(2﹣

,2+



C.

[1,3]

D. (1,3)

5. (5 分)若 a=3 ,b=ln2,c=logπsin A.b>a>c B.a>b>c

,则() C.c>a>b
3 2

D.b>c>a

6. (5 分)若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x ﹣ax ﹣2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值 等于() A.2 B. 3 C. 6 D.9 7. (5 分) 若 , 为两个单位向量, 且 ? ( + ) = , 记 , 的夹角为 θ, 则函数 y=sin (θ?x+ 的最小正周期为() A.8 B. 6 )

C. 4

D.2 , 则 Z=

8. (5 分) 已知 O 为坐标原点, A (1, 2) , 点P (x, y) 满足约束条件 的最大值为() A.﹣2

?

B . ﹣1

C. 1

D.2 )的图象如图所示,为了

9. (5 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,ω>0,|φ|< 得到 y=cos2x 的图象,则只要将 f(x)的图象()

A.向左平移 C. 向左平移

个单位长度 个单位长度

B. 向右平移 D.向右平移

个单位长度 个单位长度

10. (5 分)设定义在 R 上的函数

,若关于 x 的方程 f (x)+af(x)

2

+b=0 有 5 个不同实数解,则实数 a 的取值范围是() A.(0,1) B.(﹣∞,﹣1) C.(1,+∞) 2,﹣1)

D.(﹣∞,﹣2)∪(﹣

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把答案填在题中横线上) 11. (5 分)已知函数 f(x)=x +f′(1)x ﹣x,则函数 f(x)的图象在点(1,f(1) )处的切 线方程是. 12. (5 分)若 sin(π﹣a)= ,a∈(0,
2 3 2

) ,则 sin2a﹣cos

的值等于.

13. (5 分)已知偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x) ,当 x∈(0,1)时,f(x)=2 ,则 f(﹣ )=.

x

14. (5 分)正项等比数列{an},满足 a2a4=1,S3=13,bn=log3an,则数列{bn}的前 10 项和是. 15. (5 分)设 f(x)=asin2x+bcos2x,其中 a,b∈R,ab≠0.若 x∈R 恒成立,则 ① ② ; ; 对一切

③f(x)既不是奇函数也不是偶函数; ④f(x)的单调递增区间是 ⑤存在经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相交. 以上结论正确的是(写出所有正确结论的编号) . ;

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (12 分)已知函数 f(x)=sinx(2cos (1)求 θ 的值; (2)若 f(2x﹣ )= ,且 x∈( π,π) ,求 sin2x 的值.
* 2

﹣1)+cosx?sinθ(0<θ<π)在 x=π 处取最小值.

17. (12 分)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+c(c 为常数,n∈N ) ,且 a1,a2,a5 成公比不为 1 的等比数列. (1)求 c 的值; (2)设 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.

18. (12 分)如图,在棱长均为 4 的三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D、D1 分别是 BC 和 B1C1 的中 点. (1)求证:A1D1∥平面 AB1D; (2)若平面 ABC⊥平面 BCC1B1,∠B1BC=60°,求三棱锥 B1﹣ABC 的体积.

19. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足(2a﹣c)cosB=bcosC; (1)求角 B 的大小; (2)设 =(sinA,cos2A) , =(4k,1) (k>1) ,且 ? 的最大值是 5,求 k 的值. 20. (13 分) 数列{an}的前 n 项和为 Sn, 点P (Sn, an) 在直线 (3﹣m) x+2my﹣m﹣3=0 (m∈N+, m≠3)上 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的公比 q=f(m) ,数列{bn}满足 b1=3,bn= f(bn﹣1) (n∈N+,n≥2) ,求证: { }为等差数列,并求通项 bn

(3)若 m=1,Cn=

,Tn 为数列{Cn}的前 n 项和,求 Tn 的最小值.

21. (14 分)已知函数 f(x)=ln(x﹣1)﹣k(x﹣1)+1(k∈R) , (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 f(x)≤0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (Ⅲ)证明: +…+ < (n∈N,n>1) .

江西省师大附中 2015 届高三上学期 10 月月考数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. (5 分)若全集 U={1,2,3,4,5,6},M={2,3},N={1,4},则集合{5,6}等于() A.M∪N B.M∩N C.(?UM)∪(?UN) D. (?UM)∩ (?UN) 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 根据 M,N,以及全集 U,确定出所求集合即可. 解答: 解:∵全集 U={1,2,3,4,5,6},M={2,3},N={1,4}, ∴M∪N={1,2,3,4}, 则(?UM)∩(?UN)=?U(M∪N)={5,6}. 故选:D. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)命题 p:若 a、b∈R,则|a|+|b|>1 是|a+b|>1 的充分而不必要条件;命题 q:函数 y= 的定义域是(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) ,则() B.“p 且 q”为真 C. p 真 q 假 D.p 假 q 真

A.“p 或 q”为假

考点: 复合命题的真假. 分析: 若|a|+|b|>1,不能推出|a+b|>1,而|a+b|>1,一定有|a|+|b|>1,故命题 p 为假.又由 函数 y= 的定义域为 x∈(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) ,q 为真命题.

解答: 解:∵|a+b|≤|a|+|b|, 若|a|+|b|>1,不能推出|a+b|>1,而|a+b|>1,一定有|a|+|b|>1,故命题 p 为假. 又由函数 y= 的定义域为|x﹣1|﹣2≥0,即|x﹣1|≥2,即 x﹣1≥2 或 x﹣1≤﹣2.

故有 x∈(﹣∞,﹣1]∪[3,+∞) .

∴q 为真命题. 故选 D. 点评: 本题考查复合命题的真假,解题时要注意公式的灵活运用,熟练掌握复合命题真假 的判断方法. 3. (5 分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是() A.y=x
3

B.y=|x|+1

C.y=﹣x +1

2

D.y=2

﹣|x|

考点: 函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的判断. 专题: 常规题型. 2 分析: 首先由函数的奇偶性排除选项 A, 然后根据区间 (0, +∞) 上 y=|x|+1=x+1、 y=﹣x +1、 y=2
﹣|x|

=

的单调性易于选出正确答案.
3 2
﹣|x|

解答: 解:因为 y=x 是奇函数,y=|x|+1、y=﹣x +1、y=2 所以选项 A 错误; 又因为 y=﹣x +1、y=2
2
﹣|x|

均为偶函数,

=

在(0,+∞)上均为减函数,只有 y=|x|+1 在(0,+∞)

上为增函数, 所以选项 C、D 错误,只有选项 B 正确. 故选:B. 点评: 本题考查基本函数的奇偶性及单调性. 4. (5 分)已知函数 f(x)=e ﹣1,g(x)=﹣x +4x﹣3,若有 f(a)=g(b) ,则 b 的取值范 围为() A. 考点: 专题: 分析: 解答:
a x 2

B.(2﹣

,2+



C.

[1,3]

D. (1,3)

函数的零点与方程根的关系. 计算题;压轴题. 利用 f(a)=g(b) ,整理等式,利用指数函数的性质建立不等式求解即可. 解:∵f(a)=g(b) ,
2

∴e ﹣1=﹣b +4b﹣3 2 a ∴﹣b +4b﹣2=e >0 2 即 b ﹣4b+2<0,求得 2﹣ <b<2+ 故选 B 点评: 本题主要考查了函数的零点与方程根的关系.
0.5

5. (5 分)若 a=3 ,b=ln2,c=logπsin A.b>a>c 考点: 专题: 分析: 解答: B.a>b>c

,则() C.c>a>b D.b>c>a

对数值大小的比较. 函数的性质及应用. 利用对数函数和指数函数的单调性比较大小. 0.5 0 解:∵a=3 >3 =1,

0<ln1<b=ln2<lne=1, c=logπsin <logπ1=0,

∴a>b>c. 故选:B. 点评: 本题考查对数值大小的比较,是基础题,解题时要认真审题,注意对数函数和指数 函数的单调性的合理运用. 6. (5 分)若 a>0,b>0,且函数 f(x)=4x ﹣ax ﹣2bx+2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值 等于() A.2 B. 3 C. 6 D.9 考点: 函数在某点取得极值的条件;基本不等式. 专题: 计算题. 分析: 求出导函数,利用函数在极值点处的导数值为 0 得到 a,b 满足的条件;利用基本不 等式求出 ab 的最值;注意利用基本不等式求最值需注意:一正、二定、三相等. 解答: 解:∵f′(x)=12x ﹣2ax﹣2b, 又因为在 x=1 处有极值, ∴a+b=6, ∵a>0,b>0, ∴ ,
2 3 2

当且仅当 a=b=3 时取等号, 所以 ab 的最大值等于 9. 故选:D. 点评: 本题考查函数在极值点处的导数值为 0、考查利用基本不等式求最值需注意:一正、 二定、三相等.

7. (5 分) 若 , 为两个单位向量, 且 ? ( + ) = , 记 , 的夹角为 θ, 则函数 y=sin (θ?x+ 的最小正周期为() A.8 B. 6



C. 4

D.2

考点: 平面向量数量积的运算;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质;平面向量及应用. 分析: 利用数量积运算性质、三角函数的周期性即可得出. 解答: 解:∵ , 为两个单位向量,且 ?( + )= , ∴ = ∴cosθ= . ∴ . =1+cosθ,

∴函数 y=sin(θ?x+

)=

的最小正周期 T=

=6.

故选:B. 点评: 本题考查了数量积运算性质、三角函数的周期性,属于基础题.

8. (5 分) 已知 O 为坐标原点, A (1, 2) , 点P (x, y) 满足约束条件 的最大值为() A.﹣2

, 则 Z=

?

B . ﹣1

C. 1

D.2

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由于点 P(x,y)满足约束条件 Z= ? ,画出可行域.设 P(x,y) .可得

=x+2y,化为 y=﹣ x+ ,当此直线经过点 M(0,1)时,Z 取得最大值. ,画出可行域.

解答: 解:由于点 P(x,y)满足约束条件 设 P(x,y) . 则 Z= ? =x+2y,

化为 y=﹣ x+ , 当此直线经过点 M(0,1)时,Z 取得最大值=0+1×2=2. ∴Z= ? 的最大值为 2.

故选:D.

点评: 本题考查了利用线性规划的可行域求最大值,考查了数形结合的思想方法,属于基 础题.

9. (5 分)函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,ω>0,|φ|< 得到 y=cos2x 的图象,则只要将 f(x)的图象()

)的图象如图所示,为了

A.向左平移 C. 向左平移

个单位长度 个单位长度

B. 向右平移 D.向右平移

个单位长度 个单位长度

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题. 分析: 先根据图象确定 A 和 T 的值,进而根据三角函数最小正周期的求法求 ω 的值,再将 特殊点代入求出 φ 值从而可确定函数 f(x)的解析式,然后根据诱导公式将函数化为余弦函 数,再平移即可. 解答: 解:由图象可知 A=1,T=π,∴ω= ∴f(x)=sin(2x+φ) ,又因为 f( ∴ ∵|φ| +φ= +2kπ,φ= )=sin( (k∈Z) =2 +φ)=﹣1

,∴φ= )=sin( +2x﹣ )=cos(2x﹣ )﹣ ) ]=cos2x=y

∴f(x)=sin(2x+

∴将函数 f(x)向左平移

可得到 cos[2(x+

故选 C. 点评: 本题主要考查根据图象求函数解析式和方法和三角函数的平移变换.根据图象求三 角函数解析式时,一般先根据图象确定 A 的值和最小正周期的值,进而求出 w 的值,再将特 殊点代入求 φ 的值.

10. (5 分)设定义在 R 上的函数

,若关于 x 的方程 f (x)+af(x)

2

+b=0 有 5 个不同实数解,则实数 a 的取值范围是() A.(0,1) B.(﹣∞,﹣1) C.(1,+∞) 2,﹣1)

D.(﹣∞,﹣2)∪(﹣

考点: 函数与方程的综合运用;根的存在性及根的个数判断. 专题: 综合题;压轴题. 2 分析: 题中原方程 f (x)+af(x)+b=0 有且只有 5 个不同实数解,即要求对应于 f(x)= 某个常数有 3 个不同实数解,故先根据题意作出 f(x)的简图,由图可知,只有当 f(x)=1

时,它有三个根.且当 f(x)=k,K>0 且 k≠1 时,关于 x 的方程 f (x)+af(x)+b=0 有 5 个不同实数解,据此即可求得实数 a 的取值范围. 解答: 解:∵题中原方程 f (x)+af(x)+b=0 有且只有 5 个不同实数解, ∴即要求对应于 f(x)等于某个常数有 3 个不同实数解, ∴故先根据题意作出 f(x)的简图: 由图可知,只有当 f(x)=1 时,它有三个根. 故关于 x 的方程 f (x)+af(x)+b=0 中, 有:1+a+b=0,b=﹣1﹣a, 2 且当 f(x)=k,k>0 且 k≠1 时,关于 x 的方程 f (x)+af(x)+b=0 有 5 个不同实数解, 2 ∴k +ak﹣1﹣a=0, a=﹣1﹣k,∵k>0 且 k≠1, ∴a∈(﹣∞,﹣2)∪(﹣2,﹣1) 故选 D.
2 2

2

点评: 数形结合是数学解题中常用的思想方法,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握 数学问题的本质;另外,由于使用了数形结合的方法,很多问题便迎刃而解,且解法简捷. 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请把答案填在题中横线上) 3 2 11. (5 分)已知函数 f(x)=x +f′(1)x ﹣x,则函数 f(x)的图象在点(1,f(1) )处的切 线方程是 2x+y=0. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;导数的运算. 专题: 计算题;导数的概念及应用. 分析: 求导函数,确定切点处的斜率与切点的坐标,即可求得函数 f(x)的图象在点(1, f(1) )处的切线方程. 解答: 解:∵函数 f(x)=x +f′(1)x ﹣x 2 ∴f′(x)=3x +2f′(1)x﹣1, ∴f′(1)=3+2f′(1)﹣1, ∴f′(1)=﹣2. 3 2 ∴f(x)=x ﹣2x ﹣x, ∴f(1)=1﹣2﹣1=﹣2, ∴函数 f(x)的图象在点(1,f(1) )处的切线方程是 y﹣(﹣2)=﹣2(x﹣1) 故答案为:2x+y=0.
3 2

点评: 本题考查导数知识的运用,考查导数的几何意义,确定切点处的斜率与切点的坐标 是关键. 12. (5 分)若 sin(π﹣a)= ,a∈(0,
2

) ,则 sin2a﹣cos

的值等于



考点: 二倍角的余弦;二倍角的正弦. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: 由正弦的诱导公式,得 sina= ,再根据同角三角函数的关系算出 cosa= = (舍负) .化简 sin2a﹣cos
2

得到关于 sina、cosa 的式子,将前面算出的

数据代入即可得到所求的值. 解答: 解:∵ 又∵ 因此,sin2a﹣cos
2

,∴sina= . ,∴cosa= = (舍负)

=2sinacosa﹣ (1+cosa) ﹣ =

=2× × ﹣ (1+ )= 故答案为:

点评: 本题着重考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的三角函数公式和三角函数的诱 导公式等知识,属于基础题. 13. (5 分)已知偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x) ,当 x∈(0,1)时,f(x)=2 ,则 f(﹣ )= .
x

考点: 专题: 分析: 解答:

函数奇偶性的性质. 函数的性质及应用. 利用函数的奇偶性与周期性即可得出. 解:∵偶函数 f(x)满足 f(x+2)=f(x) , =
x

∴f(﹣ )=



∵当 x∈(0,1)时,f(x)=2 , ∴ ∴ = = = . .

故答案为: . 点评: 本题考查了函数的奇偶性与周期性,属于基础题.

14. (5 分)正项等比数列{an},满足 a2a4=1,S3=13,bn=log3an,则数列{bn}的前 10 项和是﹣ 25. 考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由题意可得 a32=a2a4 =1,解得 a3=1,由 S3=13 可得 a1+a2=12,则有 a1 q =1, a1+a1q=12,解得 q 和 a1 的值,由此得到 an 的解析式,从而得到 bn 的解析式,由等差数列的 求和公式求出它的前 10 项和. 解答: 解:∵正项等比数列{an}满足 a2a4=1,S3=13,bn=log3an, ∴a32=a2a4 =1,解得 a3=1. 由 a1+a2+a3=13,可得 a1+a2=12. 设公比为 q,则有 a1 q =1,a1+a1q=12,解得 q= ,a1=9. 故 an =9×( )n﹣1=3
3﹣n 2 2

. =﹣25,

故 bn=log3an=3﹣n,则数列{bn}是等差数列,它的前 10 项和是

故答案为:﹣25. 点评: 本题主要考查等比数列的定义和性质,等比数列的通项公式,等差数列的前 n 项和 公式的应用,求出 an =3
3﹣n

,是解题的关键,属于中档题. 对一切

15. (5 分)设 f(x)=asin2x+bcos2x,其中 a,b∈R,ab≠0.若 x∈R 恒成立,则 ① ② ; ;

③f(x)既不是奇函数也不是偶函数; ④f(x)的单调递增区间是 ⑤存在经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相交. 以上结论正确的是①②③(写出所有正确结论的编号) . 考点: 两角和与差的正弦函数;正弦函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: 先化简 f(x)的解析式,利用已知条件中的不等式恒成立,得到 函数的最大值,得到 x= 是三角函数的对称轴,将其代入整体角令整体角等于 kπ+ 是三角 求出辅 ;

助角 θ,再通过整体处理的思想研究函数的性质. 解答: 解:∵f(x)=asin2x+bcos2x= sin(2x+θ)

∵ ∴2× +θ=kπ+

∴θ=kπ+ ∴f(x)═ 对于① 对于②, ∴ sin(2x+kπ+ =± = )=± + sin(2x+ )

sin(2× sin(

)=0,故①对 )|= sin( ) ,

) ,|f(

,故②正确.

对于③,f(x)不是奇函数也不是偶函数 对于④,由于 f(x)的解析式中有±,故单调性分情况讨论,故④不对 对于⑤∵要使经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相交,则此直线须与横轴平行, 且|b|> ,此时平方得 b >a +b 这不可能,矛盾,
2 2 2

∴不存在经过点(a,b)的直线于函数 f(x)的图象不相交故⑤错 故答案为:①②③. 点评: 本题考查三角函数的对称轴过三角函数的最值点、考查研究三角函数的性质常用整 体处理的思想方法. 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16. (12 分)已知函数 f(x)=sinx(2cos (1)求 θ 的值; (2)若 f(2x﹣ )= ,且 x∈( π,π) ,求 sin2x 的值.
2

﹣1)+cosx?sinθ(0<θ<π)在 x=π 处取最小值.

考点: 三角函数中的恒等变换应用;二倍角的正弦. 专题: 三角函数的求值. 分析: (1)化简得 f(x)=sin(x+θ)从而可求 θ 的值; (2)若 f(2x﹣ )= ,且 x∈( π,π) ,可先求 从而可求 sin2x 的值. 解答: 解: (1)f(x)=sinxcosθ+cosx?sinθ=sin(x+θ) ∴ ∴ , ,

(2) ∴ 由 ∴ ∴ = 点评: 本题主要考察三角函数中的恒等变换应用和二倍角的正弦公式的应用,属于中档题. 17. (12 分)在数列{an}中,a1=1,an+1=an+c(c 为常数,n∈N ) ,且 a1,a2,a5 成公比不为 1 的等比数列. (1)求 c 的值; (2)设 ,求数列{bn}的前 n 项和 Sn.
*

=

=

考点: 数列的求和;等比数列的性质. 专题: 计算题. 分析: (1)利用递推关系判断出数列{an}为等差数列,将 a1,a2,a5 用公差表示,据此三 项成等比数列列出方程,求出 c. (2)写出 bn,据其特点,利用裂项的方法求出数列{bn}的前 n 项和 Sn. 解答: 解: (1)∵an+1=an+c ∴an+1﹣an=c ∴数列{an}是以 a1=1 为首项,以 c 为公差的等差数列 a2=1+c,a5=1+4c 又 a1,a2,a5 成公比不为 1 的等比数列 2 ∴(1+c) =1+4c 解得 c=2 或 c=0(舍) (2)由(1)知,an=2n﹣1 ∴ ∴ =

点评: 求数列的前 n 项和时,应该先求出通项,根据通项的特点,选择合适的求和方法. 18. (12 分)如图,在棱长均为 4 的三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D、D1 分别是 BC 和 B1C1 的中 点. (1)求证:A1D1∥平面 AB1D; (2)若平面 ABC⊥平面 BCC1B1,∠B1BC=60°,求三棱锥 B1﹣ABC 的体积.

考点: 直线与平面平行的判定;棱柱、棱锥、棱台的体积. 专题: 计算题;证明题. 分析: (1)欲证 A1D1∥平面 AB1D,根据直线与平面平行的判定定理可知只需证 A1D1 与 平面 AB1D 内一直线平行,连接 DD1,根据中位线定理可知 B1D1∥BD,且 B1D1=BD,则四 边形 B1BDD1 为平行四边形,同理可证四边形 AA1D1D 为平行四边形,则 A1D1∥AD 又 A1D1?平面 AB1D,AD?平面 AB1D,满足定理所需条件; (2)根据面面垂直的性质定理可知 AD⊥平面 B1C1CB,即 AD 是三棱锥 A﹣B1BC 的高,求 出三棱锥 A﹣B1BC 的体积,从而求出三棱锥 B1﹣ABC 的体积. 解答: 解: (1)证明:连接 DD1,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, ∵D、D1 分别是 BC 和 B1C1 的中点. ∴B1D1∥BD,且 B1D1=BD ∴四边形 B1BDD1 为平行四边形 ∴BB1∥DD1,且 BB1=DD1 又因 AA1∥BB1,AA1=BB1 所以 AA1∥DD1,AA1=DD1 所以四边形 AA1D1D 为平行四边形,所以 A1D1∥AD 又 A1D1?平面 AB1D,AD?平面 AB1D 故 A1D1∥平面 AB1D; (2)在△ ABC 中,棱长均为 4,则 AB=AC,D 为 BC 的中点,所以 AD⊥BC 因为平面 ABC⊥平面 B1C1CB,交线为 BC,AD?平面 ABC 所以 AD⊥平面 B1C1CB,即 AD 是三棱锥 A﹣B1BC 的高 在△ ABC 中,AB=AC=BC=4 得 AD=2 在△ B1BC 中,B1B=BC=4,∠B1BC=60° 所以△ B1BC 的面积为 4 ∴三棱锥 B1﹣ABC 的体积即为三棱锥 A﹣B1BC 的体积 V= × × =8

点评: 本题主要考查了线面平行的判定,以及三棱锥的体积的计算,同时考查了推理论证 的能力、计算能力,转化与划归的思想,属于中档题. 19. (12 分)在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足(2a﹣c)cosB=bcosC; (1)求角 B 的大小; (2)设 =(sinA,cos2A) , =(4k,1) (k>1) ,且 ? 的最大值是 5,求 k 的值.

考点: 正弦定理的应用;平面向量的坐标运算. 专题: 计算题. 分析: (1)先根据正弦定理将边的关系转化为正弦值的关系,再由两角和与差的正弦公式 和诱导公式求出 cosB 的值,最后确定角 B 的值. (2)先根据向量数量积的运算表示出 ,再运用余弦函数的二倍角公式将 2A 化为 A 的关

系,最后令 t=sinA,转化为一个一元二次函数求最值的问题. 解答: 解: (I)∵(2a﹣c)cosB=bcosC,∴(2sinA﹣sinC)cosB=sinBcosC 即 2sinAcosB=sinBcosC+sinCcosB=sin(B+C) ∵A+B+C=π,∴2sinAcosB=sinA∵0<A<π,∴sinA≠0. ∴cosB= ∵0<B<π,∴B= (II) .
2

=4ksinA+cos2A=﹣2sin A+4ksinA+1,A∈(0,
2 2


2

设 sinA=t,则 t∈(0,1].则 ∵k>1,∴t=1 时,

=﹣2t +4kt+1=﹣2(t﹣k) +1+2k ,t∈(0,1]

取最大值.依题意得,﹣2+4k+1=5,∴k= .

点评: 本题主要考查正弦定理、和向量的数量积运算和三角函数求最值的问题.向量和三 角函数的综合题是 2015 届高考的热点问题,每年必考,要给予重视. 20. (13 分) 数列{an}的前 n 项和为 Sn, 点P (Sn, an) 在直线 (3﹣m) x+2my﹣m﹣3=0 (m∈N+, m≠3)上 (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的公比 q=f(m) ,数列{bn}满足 b1=3,bn= f(bn﹣1) (n∈N+,n≥2) ,求证: { }为等差数列,并求通项 bn

(3)若 m=1,Cn=

,Tn 为数列{Cn}的前 n 项和,求 Tn 的最小值.

考点: 数列与解析几何的综合. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: (1) 由题设, (3﹣m) Sn+2man﹣m﹣3=0, 所以 (3﹣m) a1+2ma1﹣m﹣3=0?a1= 故(3﹣m)Sn﹣1+2man﹣1﹣m﹣3=0,由此能求出 an. (2)由 q= ,b1=3,a1=1,由 ,由此能得到{ 并能求出 bn. }为等差数列, ,得 =1,

(3) 解答: 解: (1)

,利用错位相减法求和即可得出 Tn 的最小值.

∴{an}等比且 令 n=1 得(3﹣m)S1+2ma1﹣m﹣3=0, ∴(3+m)a1=m+3?a1=1∴ (2)

由 ∴ 等差且

(3)当 m=1 时, ∴ 令 由差错位相减法可得 ∴ 由 Tn+1﹣Tn>0?{Tn}递增 ∴





点评: 本题考查数列的通项公式的求法和等差数列的证明,考查数列前 n 项和最小值最大 是多少.解题时要认真审题,仔细解答,注意数列性质的合理运用. 21. (14 分)已知函数 f(x)=ln(x﹣1)﹣k(x﹣1)+1(k∈R) , (Ⅰ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若 f(x)≤0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (Ⅲ)证明: +…+ < (n∈N,n>1) .

考点: 利用导数研究函数的单调性. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ) 先求导,再分类讨论,根据导数即可得出函数的单调区间. (Ⅱ)利用导数研究函数的单调性,求出函数的最大值,使最大值小于等于 0,可求出 k 的取 值范围; (Ⅲ)由(1)可知,若 k=1,当 x∈(1,+∞)时有 f(x)≤0,由此得到 lnx<x﹣2(x>1) , 依次取 x 的值为 2,3,…,n,累加后利用放缩法可证不等式成立. 解答: 解: (Ⅰ)∵f(x)=ln(x﹣1)﹣k(x﹣1)+1, (x>1) ∴f′(x)= ﹣k,

当 k≤0 时,f′(x)>0 恒成立,故函数在(1,+∞)为增函数, 当 k>0 时,令 f′(x)=0,得 x= 当 f′(x)>0,即 1<x< 当 f′(x)<0,即 x> 时,函数为增函数, 时,函数为减函数,

综上所述,当 k≤0 时,函数 f(x)在(1,+∞)为增函数, 当 k>0 时,函数 f(x)在(1, )为增函数,在( ,+∞)为减函数.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当 k≤0 时,f′(x)>0 函数 f(x)在定义域内单调递增,f(x)≤0 不恒成 立, 当 k>0 时,函数 f(x)在(1, 当 x= 时,f(x)取最大值,f( )为增函数,在( )=ln ≤0 ,+∞)为减函数.

∴k≥1, 即实数 k 的取值范围为[1,+∞) (Ⅲ)由(Ⅱ)知 k=1 时,f(x)≤0 恒成立,即 ln(x﹣1)<x﹣2 ∴ <1﹣ ,

取 x=3,4,5…n,n+1 累加得, ∵ = = < =



+…+

< + + +…+

=

, (n∈N,n>1) .

点评: 本题考查利用导数求函数的极值,函数的恒成立问题,不等式的证明,体现了分类 讨论的数学思想,不等式的放缩,是解题的难点.


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