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山东省青岛市58中2016届高三上学期期中考试数学(文)试题


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2015—2016 学年第一学期期中模块测试 高三数学(文)试卷
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。第Ⅰ卷为选择题,共 50 分;第Ⅱ卷为非选择 题,共 100 分,满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 2.第Ⅰ卷共 3 页,每小题有一个正确答案,请将选出的答案标号(A、B、C、D) 涂在答题卡上。第Ⅱ卷共 3 页

,将答案用黑色签字笔(0.5mm)写在答题纸上。

第Ⅰ卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题列出的四个选项中,有 一项是符合题目要求的. 1. 已知 U ? x x ? ?1 , A ? ? x log 1 (3 ? x) ? ?2?, B ? ? x
2

?

?

? ? ? ?

? ? ? ?

?

? 4 ? 1? ,则 (CU A) ? B = ? x ?1 ?

A. ?

B. x x ? ?1

?

?

C. x ?1 ? x ? 3

?

?

D. ?3?

2. 下列说法正确的是 A.命题“p∨q”为真命题,则命题“p”和命题“q”均为真命题 B.已知 x∈R,则“x>1”是“x>2”的充分不必要条件 C.命题“若 am ? bm ,则 a ? b ”的逆命题是真命题
2 2

D.命题“? x∈R, x ? x ? 0 ”的否定是: “? x∈R, x ? x ? 0 ”
2 2

3. 三次函数 f ( x) 当 x ? 1 时有极大值 4,当 x ? 3 时有极小值 0,且函数过原点,则 f ( x) ? A. y ? x ? 6 x ? 9 x
3 2

B. y ? x ? 6 x ? 9 x
3 2

C. y ? x ? 6 x ? 9 x
3 2

D. y ? x ? 6 x ? 9 x
3 2

4. 设 a、b 为两条不同的直线, ?、? 为两个不同的平面.下列命题中,正确的是 A.若 a、b 与 ? 所成的角相等,则 a / / b B.若 ? ? ? , m / /? ,则 m ? ? D.若 a / /? , b / / ? ,则 a / / b C.若 a ? ? , a / / ? ,则 ? ? ?

n( x ?? 5. 函 数 f ( x)? A s i ?

)A (? ? 0, ?

0 ?,?0 ?? 的 图)象 如 图 所 示 , 为 了 得 到

g ( x) ? A sin ? x 的图象,可以将 f ( x) 的图象

A.向右平移

? 个单位长度 12 ? C.向左平移 个单位长度 12

B.向右平移

? 个单位长度 6 ? D.向左平移 个单位长度 6

6. 如图,水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为 2, 且侧棱 AA1 ? 面 A1B1C1,正视图是边长为 2 的正方形, 俯视图为一个等边三角形,则该三棱柱侧视图的面积为 A.4 B.2 3 C. 2 2 D.

3

7. 已知等差数列 ?an ?中, a7 ?
A. ?

? ,则 tan( a6 ? a7 ? a8 ) 等于 4
C. ? 1 D.1

3 3

B. ? 2

8. 已知 a 、 b 都是正实数,函数 y ? 2ae ? b 的图象过(0,1)点,则
x

1 1 ? 的最小值是 a b

A. 3 ? 2 2

B. 3 ? 2 2

C.4

D.2

9. 如图所示,在 Δ ABC 中, AB ? 3, BC ? 5, AC ? 2 . 若 O 是 Δ ABC 的外心,则

AO ? BC ?
A. ? 2 B. ?

1 2

C.

1 2

D. 1

10. 已 知 y ? f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 对 任 意 的 x1 , x2 ? (??,0] , 都 使

( x2 ? x1 )[ f ( x2 ) ? f ( x1 )] ? 0 成立,则当 f (sin x) ? f (cosx) 时, x 的取值范围
A. (2k? ?

?

4 3? ), k ? Z C. (2k? ? ,2k? ? 4 4

?

4

,2k? ?

?

), k ? Z

B. (k? ?

, k? ? ), k ? Z 4 4 ? 3? ), k ? Z D. ( k? ? , k? ? 4 4

?

?

第Ⅱ卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

x 的定义域是 x ?1 ? 3 12. 已知 sin( ? x ) ? ,则 sin 2 x 的值为 4 5 ? ? ? ? ? ? 13. 已知向量 a =(2,1), b =(0,1), c =(2,3),若λ ∈R 且( a +λ b )∥ c ,
11. 函数 f ( x ) ? ln

则λ =
14.若数列 {an } 满足 a1 ? a2 ? a3 ? 15.

??? ? an ? n2 ? 3n ? 2 ,则 an ? ___________
y

f ?( x ) 为定义在 R 上的函数 f ( x) 的导函数,

f ?( x ) y ? 3 而 的图象如图所示,
则 y ? f ( x) 的单调递增区间是____ .

1

?1

0

1

3

x

三、解答题:本大题 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本题满分 12 分) 已知 a ? (sin x,? cos x),b ? (cosx,

3 cos x) ,函数 f ( x) ? a ? b ?

3 2

(1)求 f ( x ) 的最小正周期,并求其图象对称中心的坐标 (2)当 0 ? x ?

?
2

时,求函数 f ( x ) 的值域

17.(本题满分 12 分) 设Δ ABC 的内角 A,B,C 所对的边长分别为 a, b, c ,且 a cos B ? 3, b sin A ? 4 (1)求边长 a (2)若Δ ABC 的面积 S ? 10 ,求Δ ABC 的周长 L

18.(本题满分 12 分) 已知公比为 q 的等比数列{ an }是递减数列,且满足 a1 ? a2 ? a3 ? (1)求数列{

13 1 , a1a2 a3 ? 9 27

an

}的通项公式;

(2)求数列 ?(2n ? 1) ? an ?的前 n 项和 Tn

19.(本题满分 12 分) 如图所示,Δ ABC 和Δ BCD 所在平面互相垂直,且 AB ? BC ? BD ? 2 ,

?ABC ? ?DBC ? 1200 ,E,F,G 分别为 AC,DC,AD 的中点
(1)求证: EF ? 平面BCG (2)求三棱锥 D-BCG 的体积 (锥体体积 V ?

1 Sh ,S 为底面面积,h 为高) 3

20. (本题满分 13 分) 数列

?an? 中

a1 ?

1 ,前 n 项和 Sn ? n2an ? 2n(n ? 1), n ? N ?. . 2

(1)证明数列 ?

?n ?1 ? Sn ? 是等差数列; ? n ?

(2)设 bn ?

1 Sn ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求: Tn n (2n ? 1)
2

21.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 其中 a ? R (1)若函数 f ( x), g ( x) 有相同的极值点,求 a 的值 (2)若存在两个整数 m, n ,使得函数 f ( x), g ( x) 在区间 ( m, n ) 上都是减函数。求 n 的最大值。

1 3 1 1 x ? (a ? 1) x 2 ? 4(a ? 5) x , g ( x) ? 5 ln x ? ax 2 ? x ? 5 , 3 2 2

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2015—2016 学年第一学期期中模块测试 高三数学(文科)参考答案

注意事项: 1.本答案只作参考之用;具体评分标准由阅卷老师制定。 2.“尽信书,不如无书” ,希望同学们不唯答案为是,积极思考出更出色的解答。

一、选择题
(1-5) D D B C B (6-10)B C A C D 12.
7 13. 2 25

二、填空题
11. (??,0) ? (1,??) 14.
?6, n ? 1 ? an ? ? n ? 2 , n ? 2, n ? N * ? ? n

15. (??,3]

三、解答题
16.
解: (1) f ( x) ? sin( 2 x ? (2) [?

?

k ? ) ,最小正周期是 ? ,对称中心是 ( ? ? ,0) k ? Z 3 2 6

3 ,1] 2
4 3 ,又? cos B ? 0 ,? cos B ? ,? a ? 5 3 5

17.
解: (1)两式相除,得 tan B ? (2)由 S ?

1 a 2 ? c2 ? b2 ac sin B ,得 c ? 5 ,又由 cos B ? 得b ? 2 5 2 2ac

?l ? 10 ? 2 5

18.

1 ? an ? ( ) n ?1 3

19.
证明: (1)由条件可证Δ ABC ? Δ DBC,? CA ? CD 又 G 是 AD 的中点,? CG ? AD

又? BA ? BC,? BG ? AD
BG 和 CG 是平面 BCG 的两条相交直线

? AD ? 面BCG
又? EF // AD

? EF ? 面BCG
(2)做辅助线:在面 ABC 内,作 AO ? CB , 交 CB 延长线于点 O 由面面垂直,可以得到 AO ? 面BDC ,因为 G 是 AD 的中点,所以 G 到面 BCD 的距离 h 等 于 AO 的一半

1 1 VD ? BCG ? VG ? BCD ? S DBC h ? 3 2

20. 、 、 、

?

n n ?1

21.解: (1)? g ( x) 的定义域是 (0,??) ,由题设知, f ?( x) ? 0和g ?( x) ? 0 有相同的正根,
f ?( x) ? ( x ? 4)[x ? (a ? 5)] ? 0 ,得到的正根只能是 a ? 5 。 (隐含 a ? ?5 )
代入到 g ?( x) ? 0 得 a(a ? 4)(a ? 6) ? 0

? a ? 0或a ? ?4
(2)? g ?( x) ?

ax2 ? x ? 5 ,设 h( x) ? ax2 ? x ? 5 x

区间 ( m, n ) 即为 ?

? f ?( x) ? ( x ? 4)[x ? (a ? 5)] ? 0
2 ?h( x) ? ax ? x ? 5 ? 0

的解集(注意其中 x>0,以下不再赘述)

首先 f ?( x) ? ( x ? 4)[x ? (a ? 5)] ? 0 的解集是 (0, a ? 5) (隐含 a ? 5 ? 0 ) 对 h( x) ? 0 进行分类讨论, (关键在于结合图象,从开口、对称轴、端点值等分析综合) ①当 a ? 0 时, h( x) ? 0 的解集为 (5,??) ,而 f ?( x) ? 0 的解集为 (0,5) ,显然不合题意。 ②当 a ? 0 时,首先要保证Δ ? 1 ? 20 a ? 0 ,即 0 ? a ? 结合 h( x) 的图象:开口向上,对称轴为 x ?

1 20

1 1 ? 10 又? a ? 5 ? ? 5 ? 10 2a 20

?对称轴落在区间 (0, a ? 5) 的右侧,
又 h(a ? 5) ? a(a ? 5) ? (a ? 5) ? 5 ? a[(a ? 5) ?1] ? 0 , h(0) ? 5 ? 0
2 2

故在 (0, a ? 5) 内,恒有 h( x) ? 0 ,不合题意。该情况舍去 ③当 ? 5 ? a ? 0, 结合 h( x) 的图象:开口向下,对称轴 x ?

1 ? 0 ,又 h(0) ? 5 2a

所以要使条件成立,必须 h(a ? 5) ? 0 ,得 ? 4 ? a ? 0 ,?1 ? a ? 5 ? 5 又 n 是整数 ? n 的最大值为 4


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