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三角函数和向量综合题


三角函数和向量综合题 1、设向量 a=(4cos α ,sin α ),b=(sin β ,4cos β ),c=(cos β ,-4sin β ). (1)若 a 与 b-2c 垂直,求 tan(α +β )的值; (2)求|b+c|的最大值; (3)若 tan α tan β =16,求证:a∥b. 2、已知向量 m ? ? cos ? ,sin ? ? 和 n ? (1)求 m ? n 的最大值; (2)当 m ? n ?

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2 ? sin ? , cos ? , ? ??? , 2? ?

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8 2 ?? ? ? 时,求 cos ? ? ? 的值。 5 ?2 8?
? ?? ?? ? 3? ,且 m? ? ?1, n 4

3、已知向量 m ? ?1,1? ,向量 n 与向量 m 的夹角为 (1)求向量 n ; (2)若向量 n 与向量 q ? (1,0) 的夹角为

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2

,向量 p ? ? cos A, 2 cos

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2

C? ? ,其中 A, B, C 2?

为 ?ABC 的内角,且 2B=A+C,求 n ? p 的取值范围。 4、已知向量 m ? (a ? sin ? ,? ) , n ? ( , cos ? ) . (1)当 a ?
? ? 2 ,且 m ? n 时,求 sin 2? 的值; 2

? ? ?
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1 2

1 2

(2)当 a ? 0 ,且 m ∥ n 时,求 tan ? 的值. 5、已知→=(cosx+sinx,sinx),→=(cosx-sinx,2cosx). a b (1)求证:向量→与向量→不可能平行; a b ?? (2)若 f(x)=→·b ,且 x∈[-4,4]时,求函数 f(x)的最大值及最小值. a → 6、 f ( x) ? a ? b ,其中向量 a ? (m,cos 2 x) , b ? (1 ? sin 2x,1) , x ? R ,且函数 y ? f ( x) 的图象经过点 (

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? , 2) . 4 (Ⅰ)求实数 m 的值;
(Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的最小值及此时 x 值的集合。

7、设向量 a ? (sin x,cos x), b ? (cos x,cos x), x ? R ,函数 f ( x) ? a ? (a ? b ) . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值与最小正周期; (Ⅱ)求使不等式 f ( x ) ?

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3 成立的 x 的取值集合。 2

8、设函数 f ( x) ? a ? (b ? c ) ,其中向量 a ? (sin x, ? cos x), b ? (sin x, ?3cos x) ,

? ? ?

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? c ? (? cos x,sin x), x ? R .
(Ⅰ)求函数 f ?x ? 的最大值和最小正周期; (Ⅱ)将函数 y ? f ?x ? 的图像按向量 d 平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心 对称,求长度最小的 d . 9、已知向量 a ? (sin ? ,1), b ? (1, cos ? ), ? (Ⅰ)若 a ? b ,求 ? ; (Ⅱ)求 a ? b 的最大值.
?x π? ? ? ? 10、将 y ? 2 cos? ? ? 的图象按向量 a ? ? ? , ?2 ? 平移,则平移后所得图象的解析式为 3 6? 4 ? ? ? ( ) ?x ?? ?x π? A. y ? 2cos ? ? ? ? 2 B. y ? 2cos ? ? ? ? 2 ?3 4? ?3 4? ?x π ? C. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 ? 3 12 ? ?x π ? D. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 ? 3 12 ?

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2

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11、在△ABC 中,A、B、C 所对边的长分别为 a、b、c,已知向量→ m=(1,2sinA),→=(sinA, n 1+cosA),满足→ →,b+c= 3a. m∥ n (1)求 A 的大小; ? (2)求 sin(B+6)的值。 A A 12、 已知角 A,B,C 是△ABC 三边 a,b,c 所对的角,m= ?-cos 2 ,sin 2 ? ,n= ? ? A A? 1 ?cos ,sin ,a=2 3,且 m· . n= 2 2? ? 2 (1)若△ABC 的面积 S= 3,求 b+c 的值; (2)求 b+c 的取值范围. x x 2x 13、已知向量 m=? 3sin 4,1?,n=?cos 4,cos 4?. ? ? ? ? 2π ? (1)若 m· n=1,求 cos? 3 -x?的值; ? (2)记 f(x)=m· n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a-c)cos B =bcos C,求函数 f(A)的取值范围。


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