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【优化方案】2014届高考数学(理科,大纲版)一轮复习配套课件:3.5 数列的综合应用(共29张PPT)


§3.5

数列的综合应用

本节目录

教 材 回 顾 夯 实 双 基

考 点 探 究 讲 练 互 动

考 向 瞭 望 把 脉 高 考

知 能 演 练 轻 松 闯 关

教材回顾夯实双基
基础梳理 1.等差、等比数列的综

合应用

等比 (1)若{an}是等差数列,则数列{can}(c>0,c≠1)为_____数列;
(2) 若 {an} 为 正 项 等 比 数 列 , 则 数 列 {logcan}(c>0 , c≠1) 为 等差 _______数列; (3)若{an }既是等差数列又是等比数列,则数列{an}为 非零常数列 ___________.

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2.与银行利率相关的几类模型 (1)银行储蓄单利公式 利息按单利计算,本金为 a 元,每期利率为 r,存期为 x,则本 a(1+xr) 利和 y=___________. (2)银行储蓄复利公式 按复利计算利息的一种储蓄,本金为 a 元,每期利率为 r,存 a(1+r)x 期为 x,则本利和 y=___________. (3)产值模型 原来产值的基础数为 N,平均增长率为 p,对于时间 x 的总产 值 y=______________. N(1+p)x (4)分期付款模型 a 为贷款总额,r 为月利率,b 为月等额本息还款数,n 为贷款 r?1+r? na 月数,则 b= . n ?1+r? -1
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课前热身
1.(201 1·高考陕西卷 )植树节某班 20 名同学在一段直线公路一 侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距 10 米.开始时需将树 苗集中放置在某一树坑旁边.现将树坑从 1 到 20 依次编号, 为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小, 树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( ) A.①和? B.⑨和⑩ 10 C.⑨和? D.○和?

解析:选D.要使所有同学的路程总和最小,则应使放树苗的 树坑两边的树坑尽量保持一样多.由于共有20个树坑,所以 树应放在第10或第11个树坑旁.

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2.若等差数列{an}和等比数列{bn}的首项均为1,且公差d>0, 公比q>1,则集合{n|an=bn}(n∈N*)的元素最多有( A.1个 C.3个 答案:B B.2个 D.4个 )

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3.某厂在 2 002 年底制订生产计划,要使 2 014 年底的总产量 在原有基础上翻两番,则年平均增长率为( A.412-1
1 1 1

)

B.212
1

C.411-1

D.211-1

答案:A

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4.Sn为等差数列{an}的前n项和,S9=-36,S13=-104,等

比数列{bn}中,b5=a5,b7=a7,则b6等于__________.
答案:± 2 4

5.已知数列{an}中,a1=2,点(an-1,an)(n>1且n∈N)满足y=
2x-1,则an=__________.
答案:2n 1+1


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考点探究讲练互动
考点突破
考点 1 等差数列与等比数列的综合问题

对于同一个数列,某些项在一定的条件下可以成为等比数 列,另一些项在特定条件下也可以成为等差数列,寻找这个 数列项之间的关系是解题的关键.

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例1

已知数列{an}的前 n 项和为 Sn=3n, 数列{bn}满足 b1=-

1,bn+1=bn+(2n-1)(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式 an; (2)求数列{bn}的通项公式 bn; an·n b (3)若 cn= ,求数列{cn}的前 n 项和 Tn. n 【思路分析】 (1)可借助an=Sn-Sn-1(n≥2)求得.

(2)可考虑用累加法求bn. (3)求出an,bn,可求cn,因{an}为等比数列,{bn}为二阶等差

数列,所以{cn}为一阶等差数列,一阶等比数列对应项的积组
成的数列,可考虑用错位相减法求和.
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【解】 (1)∵Sn=3n,∴Sn- 1=3n 1(n≥2). - - ∴an=Sn-Sn-1=3n-3n 1=2×3n 1(n≥2). - 当 n=1 时,2×31 1=2≠S1=a1=3, ?3, n=1, ? ∴an=? n-1 ? ?2×3 , n≥2. (2)∵bn+ 1=bn+(2n-1), ∴b2-b1=1,b3-b2=3,b4-b3=5,?,bn-bn- 1=2n-3. 以上各式相加得 ?n-1??1+2n-3? bn-b1=1+3+5+?+(2n-3)= 2 =(n-1)2. ∵b1=-1,∴bn=n2-2n.
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?-3, n=1, ? (3)由题意得 cn=? n- 1 ? ?2?n-2?×3 , n≥2.

当 n≥2 时,Tn=-3+2×0×31+2×1×32+2×2×33+?+2(n n -1 -2)×3 , ∴3Tn=-9+2×0×32+2×1×33+2×2×34+? +2(n-2)×3n, - 相减得-2Tn=6+2×32+2×33+?+2×3n 1-2(n-2)×3n. - ∴Tn=(n-2)×3n-(3+32+33+?+3n 1) 3n-3 ?2n-5?3n+3 =(n-2)×3n- = . 2 2 n=1, ?-3, ? ?2n-5?3n+3 ∴Tn=??2n-5?3n+3 ∴Tn= (n∈N*). 2 , n≥2, ? 2 ?
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【误区警示】

(1)运用an =Sn -Sn-1 要注意n≥2,验证n=1

时,是否满足,若不满足要分段书写. (2)错位相减法求和一定要注意格式和项数.

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考点2

数列在实际中的应用

数列来源于生活也反作用于生活,解决这一类问题的关键是要 通过分析问题中的量及这些量的关系,尤其如“每年(月)比上一 年(月)?”这些反映数量之间的递推关系的语言,并把生活语言

借助符号转化为数列语言,从而将实际问题转化为数列问题.

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例2 有关单位决定投入资金进行生态环境建设,并以此继续 发展旅游产业,根据规划,本年度投入 800 万元,以后每年投
1 入比上年增加 ,本年度该项旅游收入估计为 400 万元,由于 5 该项建设对该项旅游业的促进,预计今后的旅游收入每年会比 1 上年增加 .假设本年度为第一年, 10 年内总投入和该项旅游 求 4 6 10 5 10 业的总收入各为多少万元?(( ) ≈6.19,( ) ≈9.31). 5 4 1 【思路分析】 每年的投入资金是以 800 为首项, 公比为(1+ ) 5
的等比数列,求和 S10.每年的旅游总收入以 400 为首项,公比 1 为(1+ )的等比数列,求和 T10. 4
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1 第 1 年投入为 800 万元,第 2 年投入为 800×(1+ ) 5 1 n- 1 万元,?,第 n 年投入为 800×(1+ ) 万元,所以,10 年内 5 的总投入为 1 1 10- 1 S10=800+800×(1+ )+?+800×(1+ ) 5 5 6 10 800×[1-? ? ] 5 6 10 = =4 000×[( ) -1] 6 5 1- 5 =4 000×5.19=20 760(万元). 【解】

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第 1 年旅游业收入为 400 万元,第 2 年旅游业收入为 400×(1 1 1 - + )万元,?,第 n 年旅游业收入为 400×(1+ )n 1 万元,所 4 4 以,10 年内的旅游总收入为 1 1 10-1 T10=400+400×(1+ )+?+400×(1+ ) 4 4 5 10 =1 600×[( ) -1]=13 296(万元). 4 所以 10 年内总投入 20 760 万元,总收入为 13 296 万元.

【思维总结】

本题是求两个等比数列的前10项和.
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考点3

数列的综合问题

数列的综合问题主要有以下两类:一是已知函数的条件,利

用函数的性质图象研究数列问题,如恒成立、最值问题
等.二是已知数列条件,利用数列的范围、公式、求和方法

等知识对式子化简变形,从而解决函数问题.

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4 已知数列{an}的前 n 项和 Sn= (an-1), 数列{bn}的前 n 3 7 13 项和 Tn= n2+ n,n∈N*. 2 2 (1)求数列{an},{bn}的通项公式;

例3

(2)若对于任意的 n∈N*,有 M·n≥bn 成立,求实数 M 的取 a 值范围.

【思路分析】

(1)利用 Sn+1-Sn 求 an,Tn-Tn-1 求 bn.

bn bn (2)M·n≥bn 转化为 M≥ ,求 的最大值. a an an

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4 【解】 (1)∵Sn= (an-1),n∈N*, 3 4 ∴Sn+1= (an+ 1-1). 3 4 4 ∴Sn+1-Sn= (an+ 1-an),即 an+ 1= (an+1-an), 3 3 ∴an+ 1=4an,n∈N*. 4 又 a1=S1= (a1-1),所以 a1=4. 3 ∴{an}是首项为 4,公比为 4 的等比数列. 从而{an}的通项公式是 an=4n,n∈N*. 当 n=1 时,b1=T1=10,当 n≥2 时,bn=Tn-Tn- 1=7n+3, n=1 也适合这个公式,故 bn=7n+3,n∈N*.
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(2)由(1)知,对于任意的 n∈N*,有 M·n≥bn 成立, a 7n+3 7n+3 * 等价于 M≥ n 对任意的 n∈N 成立, 等价于 M≥( n )max. 4 4 7?n+1?+3 + 4n 1 7n+10 而 = ,由于 7n+10-4(7n+3)=-21n- 7n+3 4?7n+3? 4n 7n+10 2<0,则 <1 对任意的 n∈N*成立, 4?7n+3? 7n+3 7n+3 7×1+3 5 ∴{ n }是单调递减数列.∴( n )max= = , 41 2 4 4 5 故实数 M 的取值范围是[ ,+∞). 2
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【思维总结】

本题的难点是对M·n≥bn的转化及的单调性的 a

判定.本题的解法仍然采用了“不等式恒成立”问题的常用 方法求最值.

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方法感悟
方法技巧

1.等差、等比混合问题,一般根据其中一个数列设定未知量,
根据另一个数列建立等式关系. 2.数列的综合问题的四个转化

(1)非等差、等比数列与等差、等比数列的转化.
(2)函数与数列的转化. (3)不等式与数列的转化.

(4)实际问题与数列的转化.

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失误防范
1.将实际问题转化为数列问题时应注意: (1)分清是等差数列还是等比数列; (2)分清是求an还是求Sn,特别要准确地确定项数n. 2.解题过程中,若出现an-1或Sn-1时, 要注意对n=1的验证.

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考向瞭望把脉高考
命题预测
从近几年的高考试题来看,主要是以等差、等比数列为载体, 与函数、方程、不等式、解析几何相融合的解答题,每年试 题较新,难度中档偏上,个别省份为数列应用题或者与极 限综合. 在2012年高考中,课标全国卷给定递推关系求和,四川卷考 查了取整函数与数列的结合,大纲全国卷、广东卷则是数列 与不等式结合.

预测2014年高考,试题以主观题出现,关注“数列与不等式、
函数、解析几何”的综合,综合考查学生运用数列知识解决综 合问题的能力.
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规范解答

(本题满分 13 分)(2011· 高考湖南卷)某企业在第 1 年初购

买一台价值为 120 万元的设备 M, 的价值在使用过程中逐年 M 减少.从第 2 年到第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年开始,每年初 M 的价值为上年初的 75%. (1)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; a1+a2+?+an (2)设 An= , An 大于 80 万元, M 继续使用, 若 则 n 否则须在第 n 年初对 M 更新.证明:须在第 9 年初对 M 更新.

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【解】 (1)当 n≤6 时,数列{an}是首项为 120,公差为-10 的等差数列,an=120-10(n-1)=130-10n;(2 分) 3 当 n≥6 时,数列{an}是以 a6 为首项, 为公比的等比数列, 4 ?3?n-6.(4 分) 又 a6=70,所以 an=70× 4 ? ? 因此,第 n 年初,M 的价值 an 的表达式为

?130-10n,n≤6, ? an=? ?3 ?n- 6,n≥7. (6 分) ?70× ?4 ? ?

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(2)证明:设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和,由等差及等比数列的 求和公式得 当 1≤n≤6 时,Sn=120n-5n(n-1),An=120-5(n-1)=125 -5n;当 n≥7 时,由于 S6=570, 3 ?1-?3 ?n- 6 ?= 故 Sn=S6+(a7+a8+?+an)=570+70× ×4× 4 ? ?4 ? ? ?3 ?n- 6 780-210× 4 3 ?n- 6 ? ? ? 780-210× 4 . ? ? ,(10 分)An= n ?3? 2 780-210× 4 ? ? 47 易知{An}是递减数列,又 A8= =82 >80, 8 64 ?3? 3 780-210× 4 ? ? 79 A9= =76 <80, 9 96 所以须在第 9 年初对 M 更新.(13 分)
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【名师点评】

本题考查利用数列知识解决实际问题,既考

查了等比、等差数列的前n项和,又考查了分段数列和分类讨
论思想,对文科学生难度偏大.

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