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古埃及古希腊数学史


第一讲 数学的起源与早期发展
1、数与形概念的产生

? 数概念的形成可能与火的使用一样古老,大

约是在30万年以前,它对于人类文明的意义 也决不亚于火的使用。 ? 记数 计数 ? 手指计数、石子计数、结绳计数、刻痕计数 等。 ? 《周易》:“上古结绳而治,后世圣人,易 之以书契。”

1、数学起源

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手指计数(伊朗,1966)

1、数学起源

结绳计数(秘鲁,1972)

1、数学起源

文字5000年 (伊拉克, 2001)

1、数学起源

西安半坡遗址出土的陶器残片

荷马史诗《奥德赛》 当主人公奥德修斯刺瞎了独眼巨人 波吕斐摩斯仅有的一只眼睛以后, 那个不幸的盲老人每天都坐在自己 的山洞里照料他的羊群。早晨羊儿 外出吃草,每出来一只,他就从一 堆石子里捡出一颗。晚上羊儿返回 山洞,每进去一只,他就扔掉一颗 石子。当他把早晨捡起的石子全都 扔光时,他就确信所有的羊儿返回 了山洞。

数学的发源地
非洲的尼罗河 西亚的底格里斯河和幼发拉底河 中南亚的印度河和恒河 东亚的黄河和长江
?“河谷文明”

?

2、河谷文明与早期数学
?

古代埃及

?
?

古巴比伦
古代中国

? 这些地区的先民由于从事农业生产的需要,

从控制洪水和灌溉,测量田地的面积、计算 仓库的容积、推算适合农业生产的历法以及 相关的财富计算、产品交换等等长期实践活 动中积累了丰富的经验,并逐渐形成了相应 的技术知识和有关的数学知识。

古代埃及的数学
古代埃及简况
埃及文明上溯到距今6000年左右,从公元前3500年左右开始出现一 些小国家,公元前3000年左右开始出现初步统一的国家。 1、古王国时期:前2686-前2181年。埃及进入统一时代,开始建 造金字塔,是第一个繁荣而伟大的时代。

2、新王国时期:前1567-前1086年。埃及进入极盛时期,建立了 地跨亚非两洲的大帝国。
直到公元前332年亚历山大大帝征服埃及为止。

埃及人创造了连续3000多年的辉煌历史,发明了铜器、创造 了文字、掌握了较高的天文学和几何学知识,建造了巍峨宏伟的 神庙和金字塔。

古代埃及的数学

吉萨金字塔(公元前2600年)(刚果,1978)

古代埃及的数学

莱茵德纸草书

莫斯科纸草书

古代埃及的数学

埃及纸草书 (民主德国, 1981)

1 古埃及的数学
? 两卷古埃及数学资料

公元前1700年左右 ? 莫斯科纸草 25个数学问题 1893年 莫斯科美 术博物馆 ? 莱茵德纸草 85个数学问题 1858年 英国博物 馆 阿姆士 公元前3000年 阿默士纸草 “万物的详尽研究,洞察一切存在及所有晦 涩奥秘的知识”。

2 古埃及的记数制与算术

2 古埃及的记数制与算术
? 根据史料记载,埃及象形文字似乎只限于表

示107以前的数。由于是用象形文字表示数, 进行相加运算是很麻烦的,必须要数“个位 数”、“十位数”、“百位数”的个数。但 在计算乘法时,埃及人采取了逐次扩大2倍 (duplication)的方法,运算过程比较简单

?

乘法:古埃及人采用反复扩大倍数的方法,然后将对应结果相 加。例如兰德纸草书(希特版)第32页,记载着12×12的计算方 法,是从右往左读的。我们以现代数字来表示,这就是倍增法。

1 12
2 24

/ 4 48
/ 8 96合计 144 由上表可知,计算的方法是把12依次扩大2倍,那么12×12 为12的4倍加上12的8倍恰是12的12倍,并把要加的数在右侧 (上表以现代阿拉伯数字为例,因此在左侧标出)标记斜线,算得 结果144。

?

除法:埃及人很早就认识到除法是乘法的逆运算,并蕴含 在实际计算之中。例如,计算1120÷80 1 80 / 10 800 2 160 / 4 320 合计 1120 以上求解的基本思路是10倍的80加上4倍的80,恰好是 1120,即1120中含有14个80。

分数的记法和计算

体积的测量有其自己的符号体系:由象 征何露斯的眼睛的象形文字的部分组成。 何露斯是鹰神,他的眼睛半人半鹰。

? 象征他的眼睛的象形文字的每一个元素分别

表示1/2、1/4、1/8、1/16、1/32、1/64,将 它们组合起来可以表示分母为64的任何分数。

2 古埃及的记数制与算术
何露斯的眼睛本身还带有神秘色彩(太阳和月亮) ? 伊希斯和欧西里斯 ? 何露斯为埃及国王以及法老的守护神 ? 何露斯的眼睛成为了健康、洞察力和富饶的象征
?
? ?

掌管学习和魔法的月神透特 “透特将剩下的1/64给予所有进行了探索并接受了 他的保护的书记们

? 他是一位猎鹰形态的造物神。他的眼睛是太

阳和月亮。当新月出现时,他就成了一个瞎 子,意思是“没有眼睛的人”,而当他的视 力恢复时是“有眼睛的人”。眼盲时的荷鲁 斯时非常危险的,他有时会将朋友误认为敌 人并发起攻击。他是奥西里斯与伊西斯的儿 子,是莱托波里斯的守护神。

3 古埃及的代数
? “计算若干”的问题

方程问题 试位法 ? 公元前1950年:将给定的100单位的面积分 为两个正方形,使二者的边长之比为4:3。 x2+y2=100。 ? 莱因德纸草(等差数列问题):今将10斗麦 子分给10个人,每人依次递降1/8斗,问各得 多少?

3 古埃及的代数
?
?

?

希克索斯纸草 等比数列 一位妇人的家里有7间储藏 室,每间储藏室里有7只猫, 每只猫捉了7只老鼠,每只 老鼠吃了7棵麦穗,每棵麦 穗可以长出7升麦粒。 这个问题的作者是用逐项 相加这一简单方法得到解 答的。没有证据说明作者 使用了求和公式,抑或确 实是用到几何级数的什么 性质。

1 2 4

2801 5602 11204 19607

房屋 猫 老鼠 麦穗 容积 总数

7 49 343 2401 16807 19607

4 古埃及的几何学
埃及几何学是尼罗河的赠礼。 ? 尼罗河周期性泛滥之后为了重划地界,需要有高度 发达的土地测量技术。 ? “大王(法老拉美西斯二世,约公元前1300年)把 土地分成大小相同的小正方形,然后分给每一个埃 及人,同时,指定年税的支付并以此作为国家收入 的来源。如果一个人的土地被河水冲走,他可以找 大王申报所发生的事情,然后大王会派人去调查并 测量减少的土地数量。这样以后就按剩下土地的比 例缴税。
?

阿蒙神庙

卡尔纳克神庙

4 古埃及的几何学
? 和上古时代的许多民族一样,埃及人似乎也

已熟悉这样的事实:如果三角形三边的边长 与3,4,5三个数成正比,则此三角形是直 角三角形。但没有可靠的证据说明他们在建 筑活动中曾用过这个事实。 ? 关于圆面积的计算,埃及人认为它等于一个 边长为此圆直径的8/9的正方形面积,这个结 果导致圆周长与其直径之比是。

新加坡数学教科书《New Mathematics Counts》 “勾股定理”这一章的一幅插图

4 古埃及的几何学
? 一些纸草表明,埃及人在几何方面也能解决

某些有实用价值的问题。他们提出了计算土 地面积、仓库容积、粮食堆的体积、石料和 其他建筑材料多寡等的法则。 ? 等腰梯形面积 三角形的面积 ? 任意四边形面积的公式 ? 棱锥、圆锥、圆柱及半球的体积 ? 方棱锥平头截体体积的计算。

4 古埃及的几何学
?
?

埃及人在体积计算中达到了很高的水平。
莫斯科纸草:“你这样说,一个正四棱台6腕尺高,顶面每 边4腕尺,底面每边2腕尺。你这样做:将4自乘,得16。再 将4乘以2,得8,它就是底边乘以顶边。再将2自乘,得4。 将16加8再加4,得28。再取6的1/3得2。再取28的两倍,得 56。看,这个56正好就是你要求的体积。”

这个惊人的结果表明,埃及人早在公元前1850年就 已熟悉确定 正四棱台体积的方法了。 ? “最伟大的埃及金字塔”
?

4 古埃及的几何学
?

埃及人究竟懂不懂证明,或着懂不懂他们的算法和 公式需要与根据?有一种说法认为莱茵德纸草是按 教科书格式写给当时学生学习用的,因此虽然它在 解一些类型的方程时没有叙述一般法则,但很可能 作者是懂得这些规则的,但想让学生自己去体会出 这些法则,或者想让教师教给他们。不过可以肯定 的是,纸草中所载的问题是当时的商业人员和行政 管理人员应该解决的那类问题,而求解的方法则是 从工作经验中得出的实用法则。

古代巴比伦的数学

古代巴比伦的数学
古代巴比伦简况
? 两河流域(美索不达米亚)文明上溯到距今6000年之
前,几乎和埃及人同时发明了文字-“楔形文字”。

? 古巴比伦王国:前1894-前729年。汉穆拉比(在位

前 1792-前 1750)统一了两河流域,建成了一个强盛 的中央集权帝国,颁布了著名的《汉穆拉比法典》。

? 亚述帝国:前8世纪-前612年,建都尼尼微 (今伊拉
克的摩苏尔市)。

? 新巴比伦王国:前612-前538年。尼布甲尼撒二世

(在位前604-前562年)统治时期达到极盛,先后两次 攻陷耶路撒冷,建成巴比伦“空中花园”。

? 公元前6世纪中叶,波斯国家逐渐兴起,并于公元前
538年灭亡了新巴比伦王国。

古代巴比伦的数学

泥版楔形文

普林顿322

1 古巴比伦的记数制

? 59记作 ? 古巴比伦人的记数系统是60进制

1 古巴比伦的记数制
? 古巴比伦人的这种记数法并不完善。
? 他们用留空位的办法代表零。 ? 古巴比伦人也使用分数,他们总是用60作为

分母。 ? 古巴比伦人的分数系统是不成熟的。 ? 要弄清巴比伦数字的真正数值还必须联系上 下文,依靠智力进行推定

2 古巴比伦的算术
与古埃及人相仿,古巴比伦人的算术运算也是借助 于各种各样的表来进行的。 ? 大约有200块是乘法表、倒数表、平方表、立方表, 甚至还有指数表。 ? 为了便于计算,他们大约在公元前2000年以前已经 编制了从1×1到60×60的乘法表,并用来进行乘法 运算了。 ? 倒数表用于把除法转化为乘法进行,经常要使用分 数。
?

3 古巴比伦的代数
? 在公元前2000年前后,古巴比伦数学已出现

了用文字叙述的代数问题。 ? 可能由于许多代数问题都与几何有关,因此 他们常常用“长”,“宽”,“面积”来代 表未知数和它们的乘积等。

3 古巴比伦的代数
? 给定矩形的面积和周长,试求边长?
? 求一个数,使它的倒数之和等于固定的数? ? 求解一些高次方程

4 古巴比伦的几何
? 在古巴比伦人的心目中,几何是不重要的,

因为实际中的几何问题都很容易转化为代数 问题。 ? 古巴比伦人的几何知识,与他们在代数学上 所取得的成就来比,相对地要逊色得多。 ? 巴比伦几何学的主要特征是它的代数性质, 一些比较复杂的问题虽然以几何术语来表达, 但实质上还是一些特殊的代数问题。

4 古巴比伦的几何
他们的面积和体积计算是按照一些固定的法则和公 式给出的。 ? 例如古巴比伦人在公元前2000年到公元前1600年, 就已熟悉了长方形、直角三角形、等腰三角形以及 直角梯形面积的计算。 ? 他们还掌握了长方体以及特殊梯形为底的直棱柱体 体积计算的一般规则,他们知道取直径的三倍为圆 周的长,取圆周平方的1/12为圆的面积,还用底和 高相乘求得直圆柱的体积。
?

4 古巴比伦的几何
? 在泥板中有足够的证据表明,古巴比伦人还

有把相当复杂的图形拆成一些简单图形的组 合的本领。 ? 但他们错误地认为,圆台和棱台的体积是两 底之和的一半与高的乘积。这一事实表明, 古巴比伦的计算方法还是经验型的,这些结 果都没有经过证明。

勾股定理的广泛使用。 有一块泥板上有这样一个问题:倚墙而立的木杆长30尺, 若上端下滑6尺,问其下端将移离墙多远?

5 古巴比伦的天文学
? 在公元前5000年到公元前4000年间,古巴比

伦人就已开始使用年、月、日的天文历法。 ? 他们的年历是从春分开始的,一年有12个月, 每月有30天,每6年加上第13个月作为闰月。 ? 圆周分为360度,每度60分,每分60秒,1小 时60分,1分60秒的记法,也是来自古巴比 伦。

5 古巴比伦的天文学
? 一个星期有7天,这7天是以太阳、月亮和金、

木、水、火、土七星来命名的,每个星神主 管一天。 ? 所谓“星期”也就是指星的日期。 ? 我们现在的“星期制”就是在古巴比伦时代 所创立的,这种表示方法在今天的英语单词 中还能找到一些痕迹。

小结
古巴比伦和古埃及数学的内容都与那个地区的社会 和生活的需要密切相关。 ? 古巴比伦人对天文学的研究比较感兴趣,因此,相 对而言,他们的以60进位记数法为基础的算术与代 数较为领先。 ? 而古埃及人偏重于测量与建筑施工,因而他们的几 何成果比较突出。 ? 这些表明,数学从她的萌芽之日起,就是以实际需 要为基础的,离开了实际需要,数学研究就缺少了 直接动力,数学也就不能迅速发展了。
?

6 小结
? 需要指出的是,在古巴比伦或古埃及的数学

中,虽然出现了一些令人信服的数学和重要 的公式,但他们的数学知识还仅仅表现为对 于一些实际问题观察的结果以及某些经验的 积累,数学学科所特有的逻辑思维与理论概 括甚至还未被他们觉察,更谈不上掌握了。 而真正科学意义下的理性数学,是由希腊人 为我们提供的。

西汉以前的中国数学

黄河壶口瀑布(中国,2002)

西汉以前的中国数学
《史记· 夏本纪》

大禹治水 (公元前21世纪)

西汉以前的中国数学

殷墟甲骨上数学 (商代, 公元前1400-前 1100年, 1983-84年间 河南安阳出土 )

西汉以前的中国数学

算筹(1971年陕西千 阳县西汉墓出土)

西汉以前的中国数学

6708

筹算记数法

西汉以前的中国数学

2002年湖南龙山里耶战国-秦汉城址考古

西汉以前的中国数学
? 记录了 秦始皇二十六 年(公元前221 年)至三十七年 (公元前210年) 的秦朝历史
秦简 (2002年湖南龙山里耶出土)

西汉以前的中国数学

乘法口诀表 (2002年湖南龙山里耶出土)


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