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2014届高三人教A版数学一轮复习精练 7.2 一元二次不等式及其解法 Word版含解析]


双基限时练
巩固双基,提升能力 一、选择题
?x+2,x≤0, ? 1.已知函数 f(x)=? 则不等式 f(x)≥x2 的解集是 ? ?-x+2,x>0,

(

) A.[-1,1] C.[-2,1] B.[-2,2] D.[-1,2]

? ? ?x≤0, ?x>0, ? 解析:依题意得? 或

2 2 ?-1≤x≤0 或 0< ?x+2≥x ? ? ?-x+2≥x

x≤1?-1≤x≤1. 答案:A 2.已知不等式 x2-2x-3<0 的整数解构成等差数列{an}的前三 项,则数列{an}的第四项为( A.3 B.-1 C.2 D.3 或-1 解析:∵x2-2x-3<0,∴-1<x<3, ∴a1=0,a2=1,a3=2,a4=3 或 a1=2,a2=1,a3=0,a4=- 1. 答案:D 3. 若不等式 ax2+4x+a>1-2x2 对任意实数 x 均成立, 则实数 a 的取值范围是( ) B.a>2 或 a≤-3 D.-2<a<2 )

A.a≥2 或 a≤-3 C.a>2

解析:原不等式可化为(a+2)x2+4x+a-1>0,显然 a=-2 时

不等式不恒成立,所以要使不等式对于任意的 x 均成立,必须有 a+
? ?a+2>0, 2>0,且 Δ<0,即? 解得 a>2. ?16-4?a+2??a-1?<0, ?

答案:C 4.在 R 上定义运算⊙:a⊙b=ab+2a+b,则满足 x⊙(x-2)<0 的实数 x 的取值范围为( A.(0,2) C.(-∞,-2)∪(1,+∞) ) B. (-2,1) D.(-1,2)

解析:x⊙(x-2)=x(x-2)+2x+x-2<0?x2+x-2<0?-2<x <1. 答案:B 5 . (2013· 郯 城 调 研 ) 已 知 不 等 式 ax2 - bx - 1≥0 的 解 集 是 1? ? 1 ?- ,- ?,则不等式 x2-bx-a<0 的解集是( 3? ? 2 A.(2,3)
?1 1? C.?3,2? ? ?

)

B.(-∞,2)∪(3,+∞) 1? ?1 ? ? D.?-∞,3?∪?2,+∞?
? ? ? ?

1 1 解析:由题意,知-2,-3是方程 ax2-bx-1=0 的根,所以由 1 ? 1? b 1 ? 1? 1 根与系数的关系,得-2+?-3?=a,-2×?-3?=-a.解得 a=-6, ? ? ? ? b=5,不等式 x2-bx-a<0 即为 x2-5x+6<0,解集为(2,3),故选 A. 答案:A 6. 设 A={x|x2-2x-3>0}, B={x|x2+ax+b≤0}, 若 A∪B=R, A∩B=(3,4],则 a+b 等于( A.7 ) B.-1

C.1

D.-7

解析:由 A 可知 x<-1,或 x>3,如图.

若 A∪B=R, 则 x2+ax+b=0 的两根 x1, x2 必有 x1≤-1, x2≥3. 又 A∩B=(3,4],故 x1=-1,x2=4. ∴-1+4=-a. ∴a=-3,-1×4=b. ∴b=-4.故 a+b=-7. 答案:D 二、填空题 7.(2013· 宁阳二中月考)已知函数 f(x)的定义域为[0,2],则 f(x2- 1)的定义域为__________. 解析:令 0≤x2-1≤2,∴x∈[- 3,-1]∪[1, 3]. 答案:[- 3,-1]∪[1, 3] 8.(2013· 金华调研)已知函数 f (x)=-x2+2x+b2-b+1(b∈R), 若当 x∈[-1,1]时,f(x)>0 恒成立,则 b 的取值范围是__________. 解析:依题意,f(x)的对称轴为 x=1,又开口向下, ∴当 x∈[-1,1]时,f(x)是单调递增函数. 若 f(x)>0 恒成立, 则 f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1>0, 即 b2-b-2>0. ∴(b-2)(b+1)>0. ∴b>2,或 b<-1.

答案:b>2,或 b<-1 9.(2013· 淮南质检)若函数 f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数, 且对一切 x>0,y>0 满足 f(xy)=f(x)+f(y),则不等式 f(x+6)+f(x)< 2f(4)的解集为__________. 解析:由已知,得 f(x+6)+f(x)=f[(x+6)x], 2f(4)=f(16).根据单调性,得(x+6)x<16, 解得-8<x<2.又 x+6>0,x>0,所以 0<x<2. 答案:(0,2) 三、解答题 10.函数 f(x)=x2+ax+3. (1)当 x∈R 时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的范围; (2)当 x∈[-2,2]时,f(x)≥a 恒成立,求 a 的范围. 解析:(1)f(x)≥a, 即 x2+ax+3-a≥0 对 x∈R 恒成立, ∴a2-4(3-a)≤0,解得-6≤a≤2. (2)当 x∈[-2,2]时,f(x)≥a 恒成立, 即 x2+ax+3-a≥0 恒成立, 令 g(x)=x2+ax+3-a a ? - ≤-2, ∴Δ=a2-4(3-a)≤0,或? 2 ?g?-2?=4-2a+3-a≥0 或

?-a≥2, ? 2 ?g?2?=4+2a+3-a≥0.
解得-6≤a≤2,或-7≤a≤-4,即-7≤a≤2. 11.已知 f(x)=x2+(lga+2)x+lgb 满足 f(-1)=-2,且对一切实

数 x,都有 f(x)≥2x. (1)求 a,b; (2)在(1)的条件下,求 f(x)的最小值. 解析:(1)由已知,得 f(-1)=1-(lga+2)+lgb=-2. ∴1=lga-lgb, ∴a=10b. 又∵f(x)≥2x 恒成立. ∴x2+xlga+lgb≥0 对任意的 x 恒成立, ∴Δ=(lga)2-4lgb≤0. ∴(lga)2≤4lgb. ∵a=10b, ∴(lg10b)2≤4lgb. ∴(1+lgb)2≤4lgb?(lgb-1)2≤0. 又∵(lgb-1)2≥0, ∴lgb-1=0?b=10,a=100. ∴a=100,b=10. (2)由(1)知,f(x)=x2+4x+1=(x+2)2-3, ∴当 x=-2 时,f(x)的最小值为-3. 12.(2013· 潍坊质检)已知函数 f(x)和 g(x)的图像关于原点对称, 且 f(x)=x2+2x. (1)求函数 g (x)的解析式; (2)解不等式 g(x)≥f(x)-|x-1|. 解析:(1)设函数 y=g(x)图像上任意一点 P(x,y)关于原点的对称

x ?x + 2 =0, 点为 Q(x ,y ),则? y +y ? 2 =0,
0 0 0 0

? ?x0=-x, 即? ?y0=-y. ?

由题知点 Q(x0,y0)在函数 y=f(x)的图像上, ∴-y=x2-2x,即 y=-x2+2x. 故 g(x)=-x2+2x. (2)由 g(x)≥f(x)-|x-1|,可得 2x2-|x-1|≤0, 当 x≥1 时,2x2-x+1≤0,此时不等式无解; 1 当 x<1 时,2x2+x-1≤0,解得-1≤x≤2. 1? ? 因此原不等式的解集为?-1,2?.
? ?


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