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1.4.2 命题的形式及等价关系 【杨高】


第一章 集合和命题

1.4.1 命题的形式及等价关系

1.4.2 命题的形式及等价关系
四种命题形式

回顾 命题大多由条件与结论两部分组成. 它们的一般结构是 “如果 ? ,那么? ” , 其中 ? 为条件, 为结论. ?

“如果 ? ,那么 ? ”真 即 ? ? ? ? “如果

? ,那么 ? ”假 即 ? ? ?

思考 以下面两句话分别作为条件和结论
可以那些构成命题?它们的真假如何? “两个三角形全等” “两个三角形面积相等”

一、原命题与逆命题 把一个命题的条件与结论相互交换,就得到了一

个新的命题,即原命题的逆命题.
原命题
? 为条件, 为结论 ?

逆命题
? ? 为条件, 为结论

“如果 ? ,那么 ? ”

“如果 ? ,那么? ”

显然原命题与逆命题互为逆命题. 例 命题 “对顶角相等”的逆命题是: “如果两个角相等,那么它们是对顶角”

例1.写出下列命题的逆命题,并判断真假. (1) 菱形的对角线互相垂直. 原:若四边形是菱形,则它的对角线互相垂直; 真 逆:若四边形的对角线互相垂直,那它是菱形. 假 (2)若 x ? 1 ,则 | x |? 1. 假 逆:若 | x |? 1,则 x ? 1 . 真 (3)已知 a , b ? R ,若 a ? b,则 a ? b . 假
2 2

逆:已知 a , b ? R ,若 a ? b ,则 a ? b . 真
2 2

思考 : 若原命题与它的逆命题都是真命题,
则条件与结论的关系是什么? 等价

二、原命题与否命题 把一个命题的条件与结论都换成它们的否定, 就得到了一个新的命题,即原命题的否命题. 原命题
? 为条件, 为结论 ?

否命题 非 非? 为条件, ? 为结论 “如果 ? ,那么 ? ”

“如果 ? ,那么 ? ”

例 命题 “对顶角相等”的否命题是: “如果两个角不是对顶角,那么它们不相 等”

例2.写出下列命题的否命题,并判断真假. 2 (1) 如果 x ? 1 ,那么 x ? 1 真 2 x ?1 假 如果 x ? 1 ,那么
若 x ? 0 且 y ? 0 ,则 x 2 ? y 2 ? 0 真 (2) 已知 , 已知 x , y ? R , 若 x ? 0 或 y ? 0 ,则 x 2 ? y 2 ? 0 真
x, y ? R

(3) 若a , b , c 都是正数,则 a ? b ? c 是正数. 真 若a , b , c 至少有一个不是正数, 则 a ? b ? c 不是正数. 假 (4) 若 ab ? 0 , 则 a , b 至少有一个为 0 . 真 若 ab ? 0 , 则 a , b 都不是 0 . 真

三、原命题与逆否命题 把一个命题结论的否定作为条件,条件的否定作 为结论,就得到了一个新的命题,即原命题的逆 否命题. 原命题
? 为条件, 为结论 ?

逆否命题 非 非 ? 为条件, ? 为结论

“如果 ? ,那么 ? ”

“如果? ,那么? ”

例 命题 “对顶角相等”的逆否命题是: “如果两个角不相等,那么它们不是对顶 角”

例3.写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题, 并判断这四个命题的真假. (1)“如果 a ? 0 ,那么 ab ? 0 ” (2)“平行四边形的对角线互相平分” 解:(1) 如果 a ? 0 ,那么 ab ? 0 真
逆: 如果 ab ? 0 ,那么 a ? 0 否: 如果 a ? 0 ,那么 ab ? 0 假



逆否: 如果 ab ? 0 ,那么 a ? 0 真

例3.写出下列命题的逆命题、否命题、 逆否命题,并判断这四个命题的真假. (1)“如果 a ? 0 ,那么 ab ? 0 ” (2)“平行四边形的对角线互相平分”
解:(2) 原:如果一个四边形是平行四边形, 那么它的对角线互相平分. 真 逆:如果一个四边形的对角线互相平分, 那么它是平行四边形. 真 否:如果一个四边形不是平行四边形,那么它的 对角线不互相平分. 真 逆否:如果一个四边形的对角线不互相平分, 那么它不是平行四边形. 真

四、四种命题形式的关系 若 ? ,则 ? 互 否 若? ,则 ?

互逆

若? ,则 ?
互 否

互逆

若 ? ,则 ?

回顾你所完成的例题,必然同真假的命题 可能有哪些?

(选用)例4.常见语句或简单命题的否定(否定形式) (1) a ? A
a? A

(2) 1是奇数 1不是奇数

(3) 3 ? 2
3? 2

(4) a ? 0 或 b ? 0 a ? 0且b ? 0

(5) 1 ? x ? 2 x ?1或x ? 2

(6)1,3,5都是奇数. 1,3,5中至少有一个不是奇数.

(7)a,b,c中至少有两个正数. a,b,c中至多有一个正数.

(选用)例4.常见语句或简单命题的否定(否定形式) (8)所有的正方形都是矩形. 至少有一个正方形不是矩形. (9) 至少存在一个实数 x ,使 x 3 ? 1 ? 0 3 对于任意 x ? R ,成立 x ? 1 ? 0 (10) 对于任意 x ? A , 成立 x ? B 至少存在一个 x ? A ,使 x ? B


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