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高中数学人教必修一课件:第二章 复习与小结


第二章复习与小结(2)

问题: 某种细胞分裂时,由1个分裂为2个,2个分为4
个,……,一个这样的细胞分裂x次后,得到的细胞的 个数 y 与 x 的函数关系是: y ? 2 .
x

现在我们来研究相反的问题.如果要求这种细胞 经过多少次分裂,大约可以得到1万个,10万个…… 细胞,则分裂次数 x 与细胞个数 y 的

关系式是:x ? log 2 y . 在指数函数y=2x中,x为自变量(x∈R),y是x的函 数(y>0),由指数式y=2x可得到对数式x=log2y,对于任 意一个y∈(0,+∞)通过式子x=log2y,x在R中都有唯 一确定的值和它对应.也就是说,可以把y作为自变量, x作为y的函数,这时我们就说x=log2y ( y>0 )是函数 y=2x(x∈R)的反函数.

在函数x=log2 y中,y是自变量,x是函数.但习惯上, 我们通常用x表示自变量,y表示函数.为此,我们常对 调函数x=log2 y中的字母x、y,它写成 y=log2 x .这样, 对数函数y=log2x(x >0)是指数函数 y=2x(x∈R)的 反函数. 由上述讨论可知,对数函数y=log2x( x >0 )是指 数函数y=2x(x∈R)的反函数;同时,指数函数y=2x (x∈R)也是对数函数y=log2x( x >0 )的反函数.因 此,指数函数y=2x(x∈R)与对数函数y=log2x(x >0 ) 互为反函数.

一般地,对数函数y=logax(a>0且a≠1)和指数 函数 y=ax( a>0且a≠1 )互为反函数. 它们的图象 关于直线 y=x 对称.
1 x y?( ) 2
y

y ? 2x

y? x

y ? log 2 x
1 0 1

x

y ? log 1 x
2

2 例1.若 log a ? 1 ,则 a 的取值范围是( C ) 3 3 3 A. 1 ? a ? B. 0 ? a ? 1或1 ? a ? 2 2 2 2 ? a ? 1 0 ? a ? 或a ? 1 C. D. 3 3

1 x 例 2.函数 f(x)的图象与函数 g(x)=( ) 的图象关于直线 2
y=x 对称,则 f(2x-x2)的单调减区间为( C ) A.(- ? ,1) B.[1,+ ? ] C.(0,1) D.[1,2]

a b 例3. 已知 2 =3 =k(k≠1),且

2a+b=ab,

则实数 k 的值为( D )

A.6

B.9

C.12

D.18

x 1 例4.求函数y ? lg( ) ? lg(100 x ), x ? [ ,10]的值域. 10 10

解:y ? (lg x ? lg10) ? (lg100 ? lg x ) ? (lg x ? 1) ? (2 ? lg x )
=( lg x ) ? lg x ? 2
2

令 lg x ? t , y ? t ? t ? 2, t ? [?1,1]
2

1 2 9 y ? (t ? ) ? , t ? [?1,1] 2 4 9 值域为[- ,0] 4

例5.设a>0且a≠1,函数y=a2x+2ax-1在[-1,1] 上的最大值是14,求a的值.
解:令 t=ax(a>0 且 a≠1), 则原函数化为 y=(t+1) -2(t>0).
①当 0<a<1 时, x∈[-1,1],t=a 此时
x

2

? 1? ∈?a,a?, ? ?

? 1? f(t)在?a,a?上为增函数. ? ?

?1? ?1 ?2 所以 f(t)max=f?a?=?a+1? -2=14. ? ? ? ? ?1 ?2 所以?a+1? =16, ? ?

1 1 即 a=- 或 a= . 5 3 1 又因为 a>0,所以 a= . 3
?1 ? ∈?a,a?, ? ?

②当 a>1 时,x∈[-1,1],t=a 此时
?1 ? f(t)在?a,a?上是增函数. ? ?

x

所以 f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14, 1 解得 a=3(a=-5 舍去).综上得 a= 或 a=3. 3

例5.设a>0且a≠1,函数y=a2x+2ax-1在[-1,1] 上的最大值是14,求a的值.
解:令 t=ax(a>0 且 a≠1), 则原函数化为 y=(t+1) -2(t>0).
①当 0<a<1 时, x∈[-1,1],t=a 此时
x

2

? 1? ∈?a,a?, ? ?

? 1? f(t)在?a,a?上为增函数. ? ?

?1? ?1 ?2 所以 f(t)max=f?a?=?a+1? -2=14. ? ? ? ? ?1 ?2 所以?a+1? =16, ? ?

1 1 即 a=- 或 a= . 5 3 1 又因为 a>0,所以 a= . 3
?1 ? ∈?a,a?, ? ?

②当 a>1 时,x∈[-1,1],t=a 此时
?1 ? f(t)在?a,a?上是增函数. ? ?

x

所以 f(t)max=f(a)=(a+1)2-2=14, 1 解得 a=3(a=-5 舍去).综上得 a= 或 a=3. 3

《乐学》蓝皮书部分作业题点评

课后作业
1.《乐学》第二章小结与测试
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