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专题3


专题 2

匀变速直线运动的三个推论

1. 在连续相等的时间(T)内的位移之差为一恒定值,即△s= aT2(又称匀变速直线运动的判别式)

推证:设物体以初速 v0、加速度 a 做匀变速直线运动,自计时起时间 T 内的位移

S I ? v 0T ?

1 aT 2 2 ①

/>
在第 2 个 T 内的位移

S II ? v0 ? 2T ? 2a(2T ) 2 ? S I ? v0T ?

3 2 aT 2 ②

①②两式得连续相等时间内位移差为

?S ? S II ? S I ? v0T ?

3 2 1 aT ? v0T ? aT 2 ? aT 2 2 2 2 即 ?S ? aT

vt ? v ?
2. 某段时间内中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度 即
2

v 0 ? vt 2

t v t ? v0 ? a t v ? v ? at 0 2② 推证:由 t ① 知经 2 的瞬时速度 2

v v v ? vt v ? vt 1 vt ? 0 v t ? v0 ? (vt ? v0 ) ? v0 ? t ? 0 ? 0 2 2 2 2 2 即 2 由①得 at ? vt ? v0 代入②中得 2
vs
3. 某段位移内中间位置的瞬间速度
2

与这段位移的初、末速度 v0 和 v t 的关系为
2 v2 s ? v0 ? 2a ?

vs ?
2

1 2 (v0 ? vt2 ) 2

推证:由速度位移公式 vt ? v0 ? 2as
2 2





2

s 2



由①得

as ?

1 2 2 (v t ? v 0 ) 2 代入②得

1 2 1 2 2 2 v2 (v t ? v 0 ) ? (v0 ? vt2 ) s ? v0 ? 2 2 2

vs ?

2

1 2 (v0 ? vt2 ) 2
vt vs

2 2

讨论:在同一段匀变速直线运动中,对于加速或是减速,

有何关系?

t t 分析: 若物体做匀加速直线运动,如图甲所示,物体由 A 到 B 历时 t,而经 2 物体的位移不到一半, 即经 2 ,

vt ? vs
物体在中间位置 O 的左侧,所以
2 2



t 若物体做匀减速直线运动,如图乙所示,物体由 A 到 B 历时 t,而经 2 物体的位移已大于整个位移的一半,

vt ? vs
2 。 即达到 O 点的右侧,由于是减速,所以 2 综上可知:物体做匀变速直线运动时,某段位移上中间时刻的速度小于中间位置的速度。

vt ?
另析:由于
2 v2 t ? vs ?

2

v 0 ? vt 2

vs ?
2

1 2 (v0 ? vt2 ) 2
1 2 ? ? (v 0 ? vt2 ? 2v0 vt ) 4
2 v2 t ? vs ? 0



2

2

2 2 (v0 ? vt ) 2 v0 ? vt2 ? v0 ? vt2 ? 2v0 vt ? ? 4 2 4

由于 (vt ? v0 ) ? v ? v ? 2v0 vt ? 0(v0 ? vt )
2 2 0 2 t

vt ? vs

2 2

所以

2

2

例 1、一个做匀加速直线运动的质点,在连续相等的两个时间间隔内,通过的位移分别是 s1 ? 24m,s 2 ? 64m, 每一个时间间隔为 4s,求质点的初速度和加速度。

例 2、某市规定,车辆在市区内行驶的速度不得超过 40 km/h,有一辆车遇到情况紧急刹车后,经时间 t ? 1.5s 停止,量得路面刹车的痕迹长为 s=9m,问这辆车是否违章(刹车后做匀减速运动)?

例 3、从斜面上某一位置,每隔 0.1 s 释放一颗小球,在连续释放几颗后,对在斜面上滑动的小球拍下照片, 如图所示,测得 sAB=15cm,sBC=20cm,试求: (1)小球的加速度 (2)拍摄时 B 球的速度 vB=? (3)拍摄时 sCD=? (4)A 球上面滚动的小球还有几颗?

答案

1.分析:匀变速直线运动的规律可用多个公式描述,因而选择不同的公式,所对应的解法也不同。如: 解法Ⅰ:基本公式法:画出运动过程示意图,如图所示,因题目中只涉及位移与时间,故选择位移公式:

1 2 at 2 1 1 s 2 ? v A ( 2 t ) ? a ( 2 t ) 2 ? ( v A t ? at 2 ) 2 2 s1 ? v A t ?
2 将 s1 ? 24 m 、 s 2 ? 64 m 、 t ? 4 s 代入上式解得: a ? 2.5m / s , v A ? 1m / s

解法Ⅱ:用平均速度公式: 连续的两段时间 t 内的平均速度分别为:

v1 ? s1 / t ? 24 / 4 m / s ? 6 m / s
v1 ?

v2 ? s2 / t ? 64 / 4 m / s ? 16 m / s
v A ? vB 2 v2 ? v B ? vC 2

B 点是 AC 段的中间时刻,则

vB ?

v A ? vc v1 ? v2 6 ? 16 ? ? ? 11(m / s) 2 2 2

得: v A ? 1 m / s

vC ? 21 m / s

a?

vC ? v A 21 ? 1 ? ? 2.5(m / s 2 ) 2t 2? 4
?s 40 ? 2 ? 2.5(m / s 2 ) 2 t 4

解法Ⅲ:用特殊式——判别式解:

由△s= at

2



a?

再由

s1 ? v A t ?

1 2 at 2

解得 v A ? 1 m / s

评注:①运动学问题的求解一般均有多种解法,进行一题多解训练可以熟练地掌握运动学规律,提高灵活运 用知识的能力。从多种解法的对比中进一步明确解题的基本思路和方法,从而形成解题能力。②对一般的匀变速 直线运动问题,若出现相等的时间间隔问题,应优先考虑用判别式△s= at 求解。 2.分析:本题隐含了末速度为零的条件,求出初速度就可判定。
2

解:由于车做匀减速直线运动,则平均速度 又因为 s ? vt

v?

v 0 ? vt 2

所以

9?

v0 ? 0 ? 1.5 2

解得 v0=12m/s=43.2km/h>40km/h

故可判断此车违章 3.分析:释放后小球都做匀加速直线运动,每相邻两球的时间间隔为 0.1s,可以认为 A、B、C、D 各点是一 个球在不同时刻的位置。

解: (1)由

a?

?s T 2 知,小球的加速度

a?

s BC ? s AB 20 ? 15 ? cm / s 2 ? 500cm / s 2 ? 5m / s 2 2 2 T 0.1 s AC 15 ? 20 ? cm / s ? 1.75m / s 2T 2 ? 0.1

(2)B 点的速度等于 AC 段上的平均速度



vB ?

(3)由于相邻相等时间的位移差恒定 即 sCD ? s BC ? s BC ? s AB 所以 sCD ? 2s BC ? s AB ? 40cm ? 15cm ? 25cm ? 0.25m (4)设 A 点小球的速度为 v A  由于 v B = v A + aT 则 v A ? vB ? aT ? 1.75 ? 5 ? 0.1 ? 1.25m / s 所以 A 球的运动时间

tA ?

v A 1.25 ? s ? 0.25s a 5

故在 A 球上方正在滚动的小球还有 2 颗 评注:利用推论结合基本公式求解运动学问题非常方便.


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