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(广东版 第03期)2014届高三数学 名校试题分省分项汇编 专题06 数列 理


广东版(第 03 期)-2014 届高三名校数学(理)试题分省分项汇编: 专题 06 数列
一.基础题组 1.【广东省广州市 2014 届高三年级调研测试】在等比数列 ?an ? 中,若 a2 ? a3 ? 3a1 ,则

a4 ?

.

二.能力题组

a1 ? 1. 【广东省华附、 省

实、 广雅、 深中 2014 届高三上学期期末联考】 已知数列 ?an ? 满足:
对于任意
? 的 n ? N , an ?1 ?

1 , 7

A. ?

2 7

7 an (1 ? an ), 则 a1413 ? a1314 ? ( 2 2 3 B. C. ? 7 7

) D.

3 7

2.【广东省珠海市 2013-2014 学年第一学期期末高三学生学业质量监测】已知数列 ?an ? 的 前 n 项和为 Sn ,且 Sn ? 3n ? 1 ,则 an ? 【答案】 an ? ? 【解析】 .

n ?1 ? 4, . n ?1 ?2 ? 3 , n ? 2

三.拔高题组 1.【广东省中山市高三级 2013-2014 学年第一学期期末统一考试】数列{ an }的前 n 项和为

1 3 S n , S n ? an ? ? n 2 ? n ? 1(n ? N *) . 2 2
(I)设 bn ? an ? n ,证明:数列 ?bn ? 是等比数列; (II)求数列 ?nbn ? 的前 n 项和 Tn ; (Ⅲ)若 cn ?

bn 5 ,数列 {cn } 的前 n 项和 Tn ,证明: Tn ? . 1 ? bn 3

所以 bn ?

1 1 bn ?1 (n ≥ 2) ,而 b1 ? a1 ? 1 ? , 2 2

所以数列 ?bn ? 是首项为

1 1 ?1? ,公比为 的等比数列,所以 bn ? ? ? . 2 2 ?2?

n

2.【广东省佛山市普通高中 2014 届高三教学质量检测一】数列 ?an ? 、?bn ? 的每一项都 是正数, a1 ? 8 , b1 ? 16 ,且 an 、 bn 、 an ?1 成等差数列, bn 、 an ?1 、 bn ?1 成等比数 列, n ? 1, 2,3, . (Ⅰ)求 a2 、 b2 的值; (Ⅱ)求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (Ⅲ)证明:对一切正整数 n ,有

1 1 1 ? ? ? a1 ? 1 a2 ? 1 a3 ? 1

?

1 2 ? . an ? 1 7
2

【答案】(Ⅰ) a2 ? 24, b2 ? 36 ; (Ⅱ) an ? 4n ? n ? 1? , bn ? 4 ? n ? 1? ; (Ⅲ)答案详见解析.

【解析】
2 试题分析:(Ⅰ)依题意, 2bn ? an ? an?1 , an ?1 ? bn bn ?1 ,并结合已知 a1 ? 8 , b 1 ? 16 ,利用

赋值法可求 a2 、

方法二:

1 1 1 1? 1 1 ? ? 2 ? ? ? ? ?. 4n ? 4n ? 1 4n ? 4n ? 3 ? 2n ? 1?? 2n ? 3? 4 ? 2n ? 1 2n ? 3 ?
2

当 n ? 3 时,

1 1 1 ? ?L ? 2 7 23 4n ? 4n ? 1

?

1 1 1 ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ? ? 1 1 ?? ? 1 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? L ? ? ? ? ??? ?? 7 23 4 ?? 5 9 ? ? 7 11 ? ? 2n ? 3 2 n ? 1 ? ? 2 n ? 1 2 n ? 3 ? ?

?

1 1 1?1 1? 1 1 1 2 ? ? ? ? ?? ? ? ? . 7 23 4 ? 5 7 ? 7 14 14 7

当 n ? 1 时,

1 2 1 1 1 1 2 ? ;当 n ? 2 时, ? ? ? ? . 7 7 7 23 7 7 7

综上所述,对一切正整数 n ,有

1 1 1 1 2 ? ? ? ... ? ? a1 ? 1 a2 ? 1 a3 ? 1 an ? 1 7

3.【广东省华附、省实、广雅、深中 2014 届高三上学期期末联考】已知数列 ?an ? 的前 n 项 和为 S n , 记 f (n) ? 2an?1Sn ? n(2Sn ? an?1 ), n ? N?. (1)若数列 ?an ? 是首项与公差均为 1 的等差数列, 求 f (2014) ; (2)若 a1 ? 1, a2 ? 2, 且数列 ?a2n?1? ,?a2n ? 均是公比为 4 的等比数列, 求证:对任意正整数 n , f (n) ? 0.

试题解析: (1)

数列 ?an ? 是首项与公差均为 1 的等差数列,

? ?n ? N? , an ? n, an ?1 ? n ? 1, S n ?

n(n ? 1) . 2

f (n) ? 2an?1Sn ? n(2Sn ? an?1 )

? 2(n ? 1) ?

n(n ? 1) ? n(n ? 1) ? ? n ?2 ? ? (n ? 1) ? 2 2 ? ?

? n(n ? 1)2 ? n(n ? 1)2 ? 0.
故 f (2014) ? 0.

f (1) ? 2(22 ? 3 ? 2) ? 2 ? 0, ??n ? N? , f (n) ? 0.
考点:1. 等差数列、等比数列的通项公式和前 n 项和公式; (2)不等式的证明.

4.【广东省广州市 2014 届高三年级调研测试】已知数列{an}满足 a1 ?

3 3an , an ?1 ? , 5 2an ? 1

n? N? .
(1)求证:数列 ?

?1 ? ? 1? 为等比数列; ? an ?

(2)是否存在互不相等的正整数 m 、 s 、 t ,使 m 、 s 、 t 成等差数列,且 am ?1 、 as ? 1 、

at ? 1 成等比数列?如果存在,求出所有符合条件的 m 、s 、t ;如果不存在,请说明理由.

? 3s ? ? 3m ?? 3t ? ? 1 ? ? 1 ? 1? . 得? s ? ? m ?? t ? 3 ? 2 ? ? 3 ? 2 ?? 3 ? 2 ?

2

即 3m?t ? 2 ? 3m ? 2 ? 3t ? 32 s ? 4 ? 3s . 因为 m ? t ? 2s ,所以 3m ? 3t ? 2 ? 3s . 因为 3m ? 3t ? 2 3m?t ? 2 ? 3s ,当且仅当 m ? t 时等号成立, 这与 m 、 s 、 t 互不相等矛盾. 所以不存在互不相等的正整数 m 、 s 、 t 满足条件. 考点:1.倒数法求数列通项;2.待定系数法求数列通项;3.基本不等式 5. 【广东省揭阳市 2014 届高三学业水平考试】 设数列 ?an ? 是公比为正数的等比数列, a1 ? 2 ,

a3 ? a2 ? 12 .
(1)求数列 ?an ? 的通项公式;

? 3n ? (2)若数列 ?bn ? 满足: bn ? log3 ? ? ? log3 an ,求数列 ?an ? bn ? 的前 n 项和 Sn . ?2?

6.【广东省珠海市 2013-2014 学年第一学期期末高三学生学业质量监测】已知数列 ?an ? 的
3 3 3 各项都是正数,且对任意 n ? N 都有 a1 ? a2 ? a3 ?
*

3 ? an

2 ? Sn ? 2Sn ,其中 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和.

(1)求 a1 、 a2 ; (2)求数列 ?an ? 的通项公式;
n (3)设 bn ? 3 ? ? ?1? n ?1

? ? 2 a ,对任意的 n ? N * ,都有 bn?1 ? bn 恒成立,求实数 ? 的取
n

值范围.

当 n ? 2 时, a2 ? a1 ? 1 ,所以 an ? an?1 ? 1 ? n ? 2? , 所以数列 ?an ? 是一个以 2 为首项, 1 为公差的等差数列,

?an ? a1 ? ? n ?1? d ? 2 ? ? n ?1? ? n ? 1 ;


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