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《状元之路》2016届高考数学理新课标A版一轮总复习 2-9


高考进行时 一轮总复习 · 数学(新课标通用A版 · 理)

第二章
函数、导数及其应用

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第二章

函数、导数及其应用

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第九节

r />函数模型及其应用

课前学案 基础诊断

课堂学案 考点通关

自主园地 备考套餐

开卷速查

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第二章

第九节

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1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特 考 征,了解直线上升、指数增长、对数增长等不同函 纲 数类型增长的含义. 导 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函 学 数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模 型)的广泛应用.

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课前学案

基础诊断
夯基固本 基础自测

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1.三种函数模型性质比较 y=ax(a>1) 在(0,+ ∞)上的 单调性 y=logax(a>1) y=xn(n >0)

1 ____函 单调□ 2 ____函 单调□ 3 单调□ 数 数 ____函数

4 ____ 越来越□ 5 ____ 相对平稳 增长速度 越来越□

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随x值增大,图 随x值增大,图像 图像的变 化 6 ____轴 与□ 7 ____轴接近 像与□ 接近平行 平行 随n值变 化而不同

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2.几种常见的函数模型 8 ______________; (1)一次函数模型:y=□ k (2)反比例函数模型:y=x(k≠0); 9 ________________; (3)二次函数模型:y=□ (4)指数函数模型:y=N(1+p)x(x>0,p≠0)(增长率问题);

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(5)对数函数模型y=blogax(x>0,a>0且a≠1); (6)幂函数模型y=axn+b(a,b为常数,a≠0); a (7)y=x+ 型(x≠0); x (8)分段函数型.

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答案: 1 递增 □ 2 递增 □ 3 递增 □ 4 快 □ 5 慢 □ 6 y □ 7 x □ 8 ax+b,?a≠0? □ 9 ax2+bx+c?a≠0? □

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1 个防范——实际问题的定义域 要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数 的定义域. 1个步骤——解决实际应用问题的一般步骤 (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初 步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为 符号语言,利用数学知识,建立相应的数学模型;
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(3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下:

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1.f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对 三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是( A.f(x)>g(x)>h(x) C.g(x)>h(x)>f(x) B.g(x)>f(x)>h(x) D.f(x)>h(x)>g(x) )

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解析:由图像知,当x∈(4,+∞)时,增长速度由大到小依次 为g(x)>f(x)>h(x).

答案:B

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2.抽气机每次抽出容器内空气的60%,要使容器内剩下的空 气少于原来的0.1%,则至少要抽( )

(参考数据:lg2≈0.301 0,lg3≈0.477 1) A.15次 C.9次 B.14次 D.8次

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解析:依题意,先建立容器内剩余空气量y与抽气次数x的函数 关系式,即y=(1-0.6)x=0.4x.要使容器内剩余空气少于原来的 0.1%,则有y<0.1%.即0.4x<0.001=10-3,两边取常用对数,得 xlg0.4<-3,即x(2lg2-1)<-3,解得x>7.5.又x∈N*,故x=8.

答案:D

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3.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本,某企业一 个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)= 1 2 x2+2x+20(万

元).一万件售价是20万元,为获取最大利润,该企业一个月应生 产该商品数量为( A.36万件 C.22万件 ) B.18万件 D.9万件

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1 解析:利润L(x)=20x-C(x)=- (x-18)2+142,当x=18时, 2 L(x)有最大值.

答案:B

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4.一种产品的成本原为a元,在今后的m年内,计划使 成本平均每年比上一年降低p%,成本y是经过年数x(0<x≤m) 的函数,其关系式y=f(x)可写成___________________________.
解析:依题意有y=a(1-p%)x(0<x≤m).

答案:y=a(1-p%)x(0<x≤m)

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5.有一批材料可以建成200 m的围墙,如果用此材料在一边靠 墙的地方围成一块矩形场地,中间用同样的材料隔成三个面积相等 的矩形(如图所示),则围成的矩形最大面积为__________.(围墙厚 度不计)

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200-x 200-x 1 解析:设矩形的长为x m,宽为 m,则S=x· = 4 4 4 (-x2+200x). 当x=100时,Smax=2 500 m2.

答案:2 500 m2

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课堂学案

考点通关
考点例析 通关特训

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考点一

一次函数、二次函数模型

【例1】 (1)某电信公司推出两种手机收费方式:A种方式是月 租20元,B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t(分 钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图,当打出电话150分钟时,这 两种方式电话费相差( A.10元 C.30元 ) B.20元 40 D. 元 3

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(2)将进货单价为80元的商品按90元出售时,能卖出400个.若 该商品每个涨价1元,其销售量就减少20个,为了赚取最大的利 润,售价应定为每个( A.115元 C.95元 ) B.105元 D.85元

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解析:(1)设A种方式对应的函数解析式为s=k1t+20, B种方式对应的函数解析式为s=k2t, 1 当t=100时,100k1+20=100k2,∴k2-k1=5. 1 t=150时,150k2-150k1-20=150× -20=10.选A. 5

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(2)设售价定为(90+x)元,卖出商品后获得利润为:y=(90+x -80)(400-20x)=20(10+x)(20-x)=20(-x2+10x+200)=-20(x2 -10x-200)=-20[(x-5)2-225],∴当x=5时,y取得最大值,即 售价应定为:90+5=95(元),选C.

答案:(1)A

(2)C

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?名师点拨 求解一次函数与二次函数模型问题的关注点 (1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决,但 一定要密切注意函数的定义域,否则极易出错; (2)确定一次函数模型时,一般是借助两个点来确定,常用待 定系数法; (3)解决函数应用问题时,最后要还原到实际问题.

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通关特训1

为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科

研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化 为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400 吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关 1 2 系可近似地表示为:y= x -200x+80 000,且每处理一吨二氧化 2 碳得到可利用的化工产品价值为100元. 该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获 利,那么国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损?

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解析:设该单位每月获利为S, 则S=100x-y
?1 2 =100x-?2x -200x+80 ? ? 000? ?

1 =- x2+300x-80 000 2 1 =- (x-300)2-35 000, 2 因为400≤x≤600, 所以当x=400时,S有最大值-40 000. 故该单位不获利,需要国家每月至少补贴40 000元,才能不亏损.

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考点二

分段函数模型

【例2】 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交 通状况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是 车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/ 千米时,造成堵塞,此时车流速度为0千米/小时;当车流密度不超 过20辆/千米时,车流速度为60千米/小时.研究表明:当 20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数.

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(1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式. (2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测 点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x· v(x)可以达到最大,并求出最 大值(精确到1辆/小时).

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解析:(1)由题意:当0≤x≤20时,v(x)=60; 当20≤x≤200时,设v(x)=ax+b. 1 ? ? ?a=-3, ?200a+b=0, 由已知得? 解得? ? ?20a+b=60, ?b=200, 3 ? 故函数v(x)的表达式为 ?60,0≤x≤20, ? v(x)=?200-x ,20<x≤200. ? ? 3

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(2)依题意并由(1)可得 ?60x,0≤x≤20, ? f(x)=?x?200-x? ,20<x≤200. ? 3 ? 当0≤x≤20时,f(x)为增函数,故当x=20时,其最大值为 60×20=1 200;
? 1 1? ?x+200-x?2 10 000 当20<x≤200时,f(x)= x(200-x)≤ ? . ? = 3 3 3? 2 ?

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当且仅当x=200-x,即x=100时, 等号成立. 所以当x=100时,f(x)在区间(20,200]上取得最大值. 综上,当x=100时,f(x)在区间[0,200]上取得最大值f(x)max= 10 000 ≈3 333,即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最 3 大,最大约为3 333辆/小时.

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?名师点拨 应用分段函数模型的关注点 (1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出, 而是由几个不同的关系式构成,如出租车票价与路程之间的关系, 应构建分段函数模型求解. (2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段合理、不 重不漏. (3)分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者).

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通关特训2 根据统计,一名工人组装第x件某产品所用的时间 ? ? ? (单位:分钟)为f(x)= ? ? ? ? c ,x<A, x c ,x≥A A

(A,c为常数).已知工人组装

第4件产品用时30分钟,组装第A件产品用时15分钟,那么c和A的 值分别是( A.75,25 ) B.75,16 C.60,25 D.60,16

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c 解析:由函数解析式可以看出,组装第A件产品所需时间为 A c =15,故组装第4件产品所需时间为 =30,解得c=60,将c=60 4 c 代入 =15,得A=16. A
答案:D

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考点三 【例3】

指数函数模型 一片森林原来面积为a,计划每年砍伐一些树,且每

年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10 1 年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的 ,已知到今 4 2 年为止,森林剩余面积为原来的 . 2 (1)求每年砍伐面积的百分比; (2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年? (3)今后最多还能砍伐多少年?
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解析:(1)设每年砍伐的百分比为x(0<x<1).则 1 1 10 a(1-x) =2a,即(1-x) =2,
10

?1? 解得x=1-?2? ? ?

1 10

.

2 (2)设经过m年剩余面积为原来的 2 ,则
? 1? m ?1? 1 2 m 1 10 2 ? ? ? ? a(1-x) = a,即 2 = 2 , = , 2 10 2 ? ? ? ?
m

解得m=5.故到今年为止,已砍伐了5年.

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(3)设从今年开始,以后砍了n年, 2 则n年后剩余面积为 2 a(1-x)n. 2 1 2 n n 令 2 a(1-x) ≥4a,即(1-x) ≥ 4 ,
?1? n ? ?10 ?2? ?1? ≥?2? ? ?
3 2

n 3 ,10≤2,解得n≤15.

故今后最多还能砍伐15年.

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?名师点拨 应用指数函数模型应注意的问题 (1)指数函数模型,常与增长率相结合进行考查, 在实际问题 中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数 模型来解决. (2)应用指数函数模型时,关键是对模型的判断,先设定模 型,再将已知有关数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型. (3)y=a(1+x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解.

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通关特训3

某位股民购进某支股票,在接下来的交易时间

内,他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%),又经历了n次 跌停(每次下跌10%),则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费 用)为( ) B.略有亏损 D.无法判断盈亏情况

A.略有盈利 C.没有盈利也没有亏损

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解析:设该股民购这支股票的价格为a,则经历n次涨停后的价 格为a(1+10%)n=a×1.1n,经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1- 10%)n=a×1.1n×0.9n=a×(1.1×0.9)n=0.99n· a<a,故该股民这支 股票略有亏损,故选B.
答案:B

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考点四

a 函数y=x+ 模型的应用 x

【例4】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋 的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔 热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源 消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系C(x)= k (0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元,设 3x+5 f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.

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(1)求k的值及f(x)的表达式; (2)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.

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解析:(1)由已知条件得C(0)=8,则k=40, 800 因此f(x)=6x+20C(x)=6x+ (0≤x≤10). 3x+5 800 (2)f(x)=6x+10+ -10 3x+5 ≥2 800 ?6x+10? -10=70(万元), 3x+5

800 当且仅当6x+10= , 3x+5 即x=5时等号成立. 所以当隔热层厚度为5 元.
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cm时,总费用f(x)达到最小,最小值为70万

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a ?名师点拨 应用y=x+ (a>0)求解实际问题的关键点 x a 1.应用基本不等式x+ x ≥2 a (a>0)求解,但要注意等号成立 的条件. 2.如果应用基本不等式求解失效时(即等号不成立),那么用 a 函数的单调性求解.y=x+ x (a>0)在(0, a]上单调递减,在[ a, +∞)上单调递增.

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通关特训4

某村计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜

温室,在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道, 沿前侧内墙保留3 m宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬 菜的种植面积最大?最大面积是多少?

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800 解析:设温室的左侧边长为x m,则后侧边长为 m. x ∴蔬菜种植面积
?800 ? ? 1 ? ? ? y=(x-4) x -2 =808-2 x+ ? ? ?

600? ? x ?(4<x<400).

1 600 ∵x+ x ≥2

1 600 x· x =80,

∴y≤808-2×80=648.

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当且仅当x=

1 600 ,即x=40时取等号, x

800 此时 =20,y最大值=648(m2). x 即当矩形温室的边长各为40 m、20 m时,蔬菜的种植面积最 大,最大面积是648 m2.

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