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2016年全国高中数学联赛江苏赛区初赛及答案(word)


2016 年全国高中数学联赛江苏赛区初赛 一、填空题(每小题 7 分,共 70 分) ) 1.关于 x 的不等式 x ? a ? b 的解集为 ?x 2 ? x ? 4?,则 ab 的值是 -3。

2.从 1, 2, 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9 中任取两个不同的数,则取出的两数之和为偶数的概率。4/9

3.已知 f ?x ?

是周期为 4 的奇函数且当 x ? ?0,2? 时 f ?x? ? x 2 ? 16x ? 60 ,则 f 2 10 的值是。-36

?

?

4.己知直线 l 是函数 f ?x? ? 2 ln x ? x 2 图象的切线,当的斜率最小时 l 的方程是。 4 x ? y ? 3 ? 0

2 2 5.在平面直角坐标系 XOY 中,如果直线 l 将圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 0 平分,且不经过第四象限,

那么 l 的斜率的取位范围是。 ?0,2?

6.己知等边△ABC 的边长为 2,若 AP ?

1 1 AB ? AC , AQ ? AP ? BC ,则△APQ 面积是。 3 3 2 3

?

?

7.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,点 P 在棱 BC 上,点 Q 为棱 CC1 的中点.若过点 A,P.Q
?1 ? 的平面截该正方体所得的截面为五边形.则 BP 的取值范围为。 ? ,1? ?2 ?

8.己知数列 ?an ? 的奇数项依次构成公差为 d1 的等差数列, 偶数项依次构成公差为 d 2 的等差数列. 且对任意 n ? N ? , 都有 an ? an?1 . 若 a1 ? 1, a2 ? 2, 且数列 ?an ? 的前 10 项和 S10 ? 75, 则 a8 ? 11

9.己知正实数 x, y 满足

?x ? 2?2 ? ? y ? 2?2
y x

? 16则 x ? y ? 。4

10.设 M 表示满足下列条件的正整数 n 的和:n 整除 2016 ,且 2016 整除 n .那么 M 的所有不 同正因子几的个数为。360

2

2

二、解答题(每小题 20 分,共 80 分) ) 11.已知

? ?? 1 1 35 ? ? ,? ? ? ? 0, 2 ? ?,求 tan ? 。3/4 或 4/3 sin ? cos ? 12 ? ?

12.如图,点 P 在△ABC 的边 AB 上且 AB=4AP,过 点 P 的直线 MN 与△ABC 外接圆交于点 M, N,且 点 A 是弧 M N 的中点.求证: (1)△ABN ? △ANP。 (2)证明:BM+BN=2MN.

x2 y2 13.在平面直角坐标系 XOY 中.与双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 的右焦点为 F ,过点 F 的直线 l 交曲线 a b

C 于 A, B 两点.若 OF ? AB ? FA ? FB, 求双曲线 C 的离心率 e . 1 ? 2

14.己知凸九边形的任意 5 个内角的正弦与其余 4 个内角的余弦之和都等于某个常数值 ? .若九 个内角中有一个角等于 1200,试求常数 ? 的值.
1? 3 2


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