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2015年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试题及答案


二O一五年全国高中数学联赛甘肃赛区预赛试卷标准答案
一、填空题(共 10 小题,每小题 7 分,满分 70 分) 1. 已知 ?ABC 的外接圆半径为 R, 且 2R( s i n 的对边). 那么 ?C 的大小为___________. 答案:45° 2.集合 A ? {x 2a ?1 ? x ? 3a ? 5} , B ? {x 3 ? x ? 33}, A ? (

A 答案: a ? ? ??, ?4 ? ?1, 28 ? . ? ? 3? ?
3. 6
11 1 10 2 9 10 ? C11 6 ? C11 6 ? ... ? C11 6 ?1 被 8 除所得的余数是_____________.
2

A?s i n

2

b 分别是 ? A 、? B C) ? ( 2a ? b) s i n B(其中 a、

B) , 则 a 的取值范围是___________

答案:5

4.在数列 ?an ? 中, a1 ? 2, a2 ? 10, 对所有的正整数 n 都有 an?2 ? an?1 ? an ,则 a2015 ? 答案:-10
5 .如图,在底面为直角梯形的四棱锥 P—ABCD 中,AD∥BC ,∠ABC=90° , PA⊥平面 ABCD,PA=3,AD=2,AB=2 3,BC=6.则二面角 P—BD—A 的大小 为__________. 答案:60° .

.

x2 y 2 6.设双曲线 2 ? 2 ? 1? a ? 0, b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,A 是双曲线 a b
渐近线上的一点, AF2 ? F 1F 2 ,原点 O 到直线 AF 1 的距离为

1 OF1 ,则双曲线的离心率为 3

.

答案:

6 2
1 t

7.已知 a, b 两个互相垂直的单位向量,且 c a ? c b ? 1 ,则对任意的正实数 t, | c ? ta ? b | 的最小值是 ____________. 答案: 7 8.若关于 x 的方程
1? ? 答案: ? k k ? ? 4? ?

x x?4

? kx 2 有四个不同的实数解,则 k 的取值范围为____________.

x2 y2 ? 9.设 x , y 是正实数,且 x ? y ? 1 ,则 的最小值是 x ? 2 y ?1
答案:

.

1 4

10 . 设 f ( x) 是 定 义 在 整 数 集 上 的 函 数 , 满 足 条 件 : ⑴ f (1) ? 1, f (2) ? 0 ; ⑵对 任 意 的 x, y 都 有 f ( x? y) ? f ( x) f (1 ? y? ) f (1 ? x ) f,则 ( y ) f (2015) =___________. 答案:-1
1

二、解答题(共 5 小题,满分 80 分) π 11.(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)=2sin2( -x)- 3cos 2x. 4 (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期和单调递减区间; π (Ⅱ)若 f(x)<m+2 在 x∈ [0, ]上恒成立,求实数 m 的取值范围. 6 π 解析:(Ⅰ)∵f(x)=1-cos( -2x)- 3cos 2x 2 =-(sin 2x+ 3cos 2x)+1 π =-2sin(2x+ )+1, 3 2π ∴f(x)的最小正周期 T= =π, 2 π π π 5π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z 可得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 12 12 5 π ∴f(x)的单调递减区间为[kπ- π,kπ+ ](k∈Z).…………………7 分 12 12 π π π 2 3 π (Ⅱ)∵x∈[0, ],∴ ≤2x+ ≤ π,∴ ≤sin(2x+ )≤1, 6 3 3 3 2 3 π 3 ∴当 sin(2x+ )= 时,f(x)取得最大值为 1- 3,即 f(x)max=1- 3. 3 2 要使 f(x)<m+2 恒成立,需 f(x)max<m+2, ∴1- 3<m+2,解得 m>-1- 3, ∴m 的取值范围是(-1- 3,+∞).…………………14 分 12.(本小题满分 14 分)某花店每天以每枝 5 元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝 10 元的价 格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进 16 枝玫瑰花,求当天的利润 y(单位:元)关于当天需求量 n(单位:枝,n∈N)的函数解析 式. (2)花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得下表:

日需求量 n 频数

14 10

15 20

16 16

17 16

18 15

19 13

20 10

以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. ①若花店一天购进 16 枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求 X 的分布列、数学期望及方差. ②若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花,你认为应购进 16 枝还是 17 枝?请说明理由. 解 (1)当日需求量 n≥16 时,利润 y=80. 当日需求量 n<16 时,利润 y=10n-80. 所以 y 关于 n 的函数解析式为 ?10n-80,n<16, ? y=? (n∈N).…………………6 分 ?80,n≥16 ? (2)①X 可能的取值为 60,70,80,并且 P(X=60)=0.1,P(X=70)=0.2,P(X=80)=0.7. X 的分布列为

X P

60 0.1

70 0.2

80 0.7

X 的数学期望为 E(X)=60× 0.1+70× 0.2+80× 0.7=76. X 的方差为 D(X)=(60-76)2× 0.1+(70-76)2× 0.2+(80-76)2× 0.7=44. ②方法一 花店一天应购进 16 枝玫瑰花.理由如下: 若花店一天购进 17 枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么 Y 的分布列为

Y P

55 0.1

65 0.2

75 0.16

85 0.54

Y 的数学期望为 E(Y)=55× 0.1+65× 0.2+75× 0.16+85× 0.54=76.4. Y 的方差为 D(Y)=(55-76.4)2× 0.1+(65-76.4)2× 0.2+(75-76.4)2× 0.16+(85-76.4)2× 0.54=112.04. 由以上的计算结果可以看出,D(X)<D(Y),即购进 16 枝玫瑰花时利润波动相对较小. 另外,虽然 E(X)<E(Y),但两者相差不大. 故花店一天应购进 16 枝玫瑰花.…………………14 分 方法二 花店一天应购进 17 枝玫瑰花.理由如下:
2

若花店一天购进 17 枝玫瑰花,Y 表示当天的利润(单位:元),那么 Y 的分布列为

Y P

55 0.1

65 0.2

75 0.16

85 0.54

Y 的数学期望为 E(Y)=55× 0.1+65× 0.2+75× 0.16+85× 0.54=76.4. 由以上的计算结果可以看出,E(X)<E(Y),即购进 17 枝玫瑰花时的平均利润大于购进 16 枝时的平均利 润.

故花店一天应购进 17 枝玫瑰花. 13. (本小题满分 16 分)数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an ?1 ?

2n ?1 an (n ? N ? ) . 1 n (n ? )an ? 2 2

(Ⅰ)设 bn ?

2n ,求数列 ?bn ? 的通项公式; an
1 ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Sn ,求 Sn . n(n ? 1)an?1
1 2n?1 2n 1 an?1 an ,即 ? ? n ? ,即 bn ?1 ? bn ? n ? ? n ?1 1 2 an?1 an 2 2 (n ? )an ? 2n 2 1 , b2 ? b1 ? (n ? 1) ? , 2

(Ⅱ)设 cn ?

解: (Ⅰ)由已知可得

而 b2 ? b1 ? 1 ?

1 1 , b2 ? b1 ? 2 ? , 2 2

累加得 bn ? b1 ? 1 ? 2 ? 3 ?

? (n ? 1) ?

n ? 1 n2 ? 1 ? , 2 2

2 n2 ? 1 n2 ? 1 又 b1 ? …………………8 分 ? 1,?bn ? ?1 ? a1 2 2
(Ⅱ)由(1)知 an ?

2n ? 2 2n?1 2n?1 , an ?1 ? , ? 2 (n ? 1)2 ? 1 bn n ?1

cn ?

? (n ? 1)2 ? 1 1 n2 ? 2n ? 2 1 ? n2 ? n n?2 ? 1 ? 1 1 1 ? ? ? ? ? ? ? n?1 ? ? n?2 n ?1 n ?1 n ?1 ? n n ?1 ? n(n ? 1)2 2 n(n ? 1)2 2 ? n(n ? 1)2 n(n ? 1)2 ? 2 ? 2 n ? 2 ( n ? 1)2 ?
? 1 1? 1 1 1 1 ) ? ?( ? )?( ? )? n ?1 2 2 2 2 ? 1? 2 2 ? 2 2 ? 2 3 ? 23 ?[ ? 1 1 ? ] n n ?1 ? n ? 2 ( n ? 1) ? 2 ?

1 1 1 Sn ? ( 2 ? 3 ? 2 2 2

1 1 (1 ? n ) 2 ? 1 ? 1 1 1 n ? 2? 2 ? 1 ? ?1 ? …………………16 分 ? ?2 ? ? ?1 ? ( ) n ?1 ? ? n ?1 ? ? 1 2 2 2 ( n ? 1) ? 2 2 2 n ? 1 ? ? ? ? 1? 2 a( x ? 1) 14. (本小题满分 18 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? . x ?1
(Ⅰ)若函数 f ( x)在(0, ??) 上为单调增函数,求 a 的取值范围;

3

(Ⅱ )设 m ? n ? 0, 求证 : ln m ? ln n ? 解析: (I) f ?( x) ?

2(m ? n) . m?n

1 a( x ? 1) ? a( x ? 1) ( x ? 1)2 ? 2ax x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? ? ? . ………………5 分 x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2 x( x ? 1)2

因为 f ( x)在(0, ??) 上为单调增函数,所以 f ?( x) ? 0在(0, ??) 上恒成立.

即x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? 0在(0, ??)上恒成立. 1 当x ? (0, ??)时,由x 2 ? (2 ? 2a) x ? 1 ? 0, 得2a ? 2 ? x ? . x 1 1 1 设g ( x) ? x ? , x ? (0, ??). g ( x) ? x ? ? 2 x ? ? 2. x x x 1 所以当且仅当x ? , 即x ? 1时, g ( x)有最小值2. x

所以2a ? 2 ? 2 ? a ? 2.
故 a 的取值范围是 (??, 2]. …………10 分

m 2( ? 1) 2(m ? n) (II) 要证 ln m ? ln n ? , 只需证 ln m ? n . m?n m n ?1 n

m 2( ? 1) m 只需证 ln ? n ? 0. m n ?1 n

…………14 分

设h( x) ? ln x ?

2( x ? 1) . x ?1

由(I)知 h( x)在(0, ??) 上是单调增函数,又

m ? 1, n

m 2( ? 1) m m 所以h( ) ? h(1) ? 0,即ln ? n ? 0成立. m n n ?1 n
所以

m?n m?n ? . ln m ? ln n 2

…………18 分

2 y2 15. (本小题满分 18 分)已知椭圆 C: x 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0? 的左右焦点设 F1 , F2 与椭圆短轴的一个端点

a

b

构成边长为 4 的正三角形. (Ⅰ )求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ )过椭圆 C 上任意一点 P 做椭圆 C 的切线与直线 F1 P 的垂线 F1M 相交于点 M,求点 M 的轨迹方程;

4

(Ⅲ )若切线 MP 与直线 x=-2 交于点 N,求证:

| NF1 | 为定值. | MF1 |

解析: (Ⅰ )依题意,2c=a=4,∴c=2,b= 2 3 ;∴ 椭圆 C 的标准方程为 x ?
2

y2 ? 1 ; ……………4 分 16 12

(Ⅱ )设 P( x0 , y0 ) ,由(Ⅰ ) , F1 (? 0 2 ) , 过椭圆 C 上过 P 的切线方程为: 直线 F1 P 的斜率 k F1P ?

,设 P( x0 , y0 ) , M ( x, y ) ①

x0 x y0 y ? ? 1, 16 12

y0 x ?2 k ?? 0 ,则直线 MF , 1 的斜率 MF1 x0 ? 2 y0 x0 ? 2 ( x ? 2) , y0

y?? 于是,则直线 MF 1 的方程为:


yy0 ? ?( x0 ? 2)( x ? 2) , ②

① ② 联立,解得 x = -8, ∴ 点 M 的轨迹方程为 x = -8. …………………10 分 (Ⅲ )依题意及(Ⅱ ) ,点 M、N 的坐标可表示为 M (?8, yM ) 、 N (?2, yN ) , 点 N 在切线 MP 上,由① 式得

yN ?

3( x0 ? 8) , 2 y0 6 (x0 ? 2 ) , y0

点 M 在直线 MF 式得 1 上,由②

yM ?

2 | NF1 |2 ? yN ?

2 9( x0 ? 8)2 36[ y0 ? ( x0 ? 2)2 ] 2 , | MF1 |2 ? [(?2) ? (?8)]2 ? yM , ? 2 y 02 4 y0



2 y02 | NF1 |2 9( x0 ? 8)2 1 ( x0 ? 8) , ③ ? ? ? 2 2 | MF1 |2 4 y02 36[ y0 ? ( x0 ? 2)2 ] 16 y0 ? ( x0 ? 2)2

注意到点 P 在椭圆 C 上,即 于是 y0 ?

2 x0 y2 ? 0 ? 1, 16 12

48 ? x 02 | NF1 |2 1 | NF1 | ? , ∴ 代人③ 式并整理得 的值为定值 1 . ……………18 分 2 4 | MF1 | 4 | MF1 | 2

5


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