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2013高考数学(文科)新课标专题复习课件:三角函数的图像与性质


专题 2

三角函数与平面向量

第3讲

三角函数的图象与性质

专题 2

三角函数与平面向量

专题 2 │ 知识网络构建
知识网络构建

专题 2 │ 考情分析预测
考情分析预测 1.三年高考回顾 年份 内容

题号与分值

2008

三角函数性质 向量运算 三角函数综合 三角函数实际应用

第1题5分; 第5题5分; 第15题14分; 第17题14分.

专题 2 │ 考情分析预测

年份
2009

内容
向量运算 三角函数图象 三角函数与向量综合 三角函数图象 正余弦定理与三角变换 向量综合 解三角形

题号与分值
第2题5分; 第4题5分; 第15题14分. 第10题5分; 第13题5分; 第15题14分; 第17题14分.

2010

专题 2 │ 考情分析预测
2.命题特点探究 江苏近三年高考三角函数与平面向量的试题,一般是 两到三个小题和一个大题;解答题一般都为基础题,处在 送分题的位置;而在两个到三个小题中,08年和09年有一 个较容易,而另一个为中档题,2010年15,17题出了两个有 关三角函数和向量的解答题,且位置靠前,所以填空题的 难度相对加大,但整体得分与往年相比没有大的变化.从 近三年高考命题来看,平面向量的数量积,正余弦定理的 运用,三角函数的图象和性质,尤其是三角函数的周期、 最值、单调性、图象变换、特征分析(对称轴、对称中心)和 三角函数式的恒等变形等仍是命题热点.

专题 2 │ 考情分析预测
3.命题趋势预测 预计2011年高考本专题的命题方向是: ①考小题,重在基础:有关三角函数的小题,其考查 的重点在于基础知识:解析式、图象及图象变换、两域(定 义域、值域)、四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性)以 及简单的三角变换(求值、化简及比较大小).有关平面向量 的小题,其考查重点仍会是数量积及相关运算. ②考大题,重在本质:有关三角函数和平面向量的大 题即解答题,通过公式变形、转换来考查思维能力的题目 已经没有了,而是考查基础知识、基本技能和基本方法.

专题 2 │ 考情分析预测
③考应用,融入三角形之中:这种题型既能考查解 三角形的知识与方法,又能考查运用三角公式进行恒等 变换的技能,故近年来倍受命题者的青睐.主要解法是 充分利用三角形的内角和定理、正(余)弦定理、面积公 式等,并结合三角公式进行三角变换,从而获解. ④考综合,体现三角向量的工具和传接作用:由于 近年高考命题突出以能力立意,加强对知识综合性和应 用性的考查,故常常在知识的交汇点处命题.因而对三 角向量有时会综合在一起来考查.但与其他知识交汇的 可能性不大.

第3讲 │ 三角函数的图象与性质

第3讲

三角函数的图象与性质

第3讲 │ 主干知识整合
主干知识整合

对于函数 y=Asin(ωx+φ)要关注下面几个问题: ①定义域:R. π 2kπ+ -φ 2 ? ? ?-A,A? .当 x= ②值域:? (k∈Z)时,y ? ω 取最大值 A; π 2kπ- -φ 2 当 x= (k∈Z)时,y 取最小值-A. ω 2π ③周期性:周期函数,周期为 ω .

第3讲 │ 主干知识整合
π π 2kπ- -φ 2kπ+ -φ 2 2 ④单调性:单调递增区间是 , (k∈ ω ω Z);

?2kπ+π-φ 2kπ+3π-φ? ? ?(k∈Z). 2 2 单调递减区间是 ? ? , ω ω ? ?
⑤对称性:函数图象与 x 轴的交点是对称中心,即对称
?kπ-φ ? 中心是? ,0?,k∈Z,对称轴与函数图象的交点的纵坐 ? ω ?

π kπ+ -φ 2 标是函数的最值,即对称轴是直线 x= ,其中 k∈ ω Z.

第3讲 │ 主干知识整合

⑥函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中,A 影响函数 图象的最高点和最低点,即函数的最值;ω 影响函数图 象每隔多少重复出现,即函数的周期;φ 影响函数的初 相. ⑦对于函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的图象, 相 邻的两个对称中心或两条对称轴相距半个周期;相邻的 一个对称中心和一条对称轴相距四分之一个周期.

第3讲 │ 要点热点探究
要点热点探究

? 探究点一 三角函数的图象变换与解析式
π 例 1 若函数 f(x)=Asin(ωx+φ)ω>0,A>0,|φ|< 的 2 图象如图 2-3-1 所示,这个函数的解析式为________.

图 2-3-1

第3讲 │ 要点热点探究
? π? ? f(x)= 3sin?2x+3 ? 【解析】 ? ? ? ?5π π? 周期 T=2? - ?=π, ?6 3? ? ?

由题意知:

2π ∴ω= =2. T 则 f(x)=Asin(2x+φ),则 ?π ? π π ? ,0?为五点作图中的第三点, 所以 2× +φ=π, φ= , 即 ?3 ? 3 3 ? ? ? ? π? 3? ? ? ? 则 f(x)=Asin?2x+3 ?,因为点?0, ?在原函数的图象上,故 2? ? ? ? ? ? π? π 3 ? Asin = ,所以 A= 3,综上知 f(x)= 3sin?2x+3 ?. ? 3 2 ? ?

第3讲 │ 要点热点探究

【点评】 “五点作图”中的第一点为函数在 增区间上与 x 轴的交点,第二点为最大值对应的 点,第三点为函数在减区间上与 x 轴的交点,第四 点为最小值对应的点.

第3讲 │ 要点热点探究

已知函数 f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图 2-3-2 ?π ? 2 所示,f? ?=- ,则 f(0)=________. 3 ?2 ?

图 2-3-2

第3讲 │ 要点热点探究

2 2π 【解析】 由图象可得最小正周期为 , 于是 f(0) 3 3 ?2π? 2π π 7π ? ? =f? ?,注意到 与 关于 对称, 3 2 12 ?3? ?2π? ?π? 2 ? ? 所以 f? ?=-f?2 ?= . ? ? 3 ?3? ? ?

第3讲 │ 要点热点探究
? 探究点二 三角函数的图象与性质
π π 例 2 已知函数 f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,- <φ< 的图象 2 2 3π 7π 如图 2-3-3 所示,直线 x= ,x= 是其两条对称轴. 8 8 (1)求函数 f(x)的解析式并写出函数的单调增区间; ?π ? 6 π 3π (2)若 f(α)= ,且 <α< ,求 f? +α?的值. 5 8 8 ?8 ?

图 2-3-3

第3讲 │ 要点热点探究
T 7π 3π π 【解答】 (1)由题意, = - = ,∴T=π, 2 8 8 2 又 ω>0,故 ω=2,∴f(x)=2sin(2x+φ). 由
?3π ? ?3π ? f? ?=2sin? +φ?=2,解得 ?8? ?4 ?

π φ=2kπ- (k∈Z), 4

? π? π π π 又- <φ< ,∴φ=- ,∴f(x)=2sin?2x- ?. 4? 2 2 4 ?

π π π 由 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ (k∈Z)知, 2 4 2 π 3π kπ- ≤x≤kπ+ (k∈Z), 8 8 ∴函数
? π 3π? f(x)的单调增区间为?kπ- ,kπ+ ?(k∈Z). 8 8? ?

第3讲 │ 要点热点探究
? π? 6 (2)解法 1:依题意得 2sin?2α-4 ?= , ? ? 5

π 3 π 3π π π 即 sin2α- = ,∵ <α< ,∴0<2α- < , 4 5 8 8 4 2
? π? ∴cos?2α- ?= 4? ? ? π? 1-sin2?2α- ?= 4? ? ?3? 4 1-? ? 2= , ?5? 5

? ? ?? ?π ? π? π? π? π? f?8+α?=2sin?2?α+8 ?- 4?=2sin??2α-4 ?+4 ?, ? ? ? ? ?? ? ? ? ?

π π π π π π 23 4 ∵sin2α- + =sin2α- cos +cos2α- .sin = + = 4 4 4 4 4 4 25 5 7 2 π 7 2 ,∴f +α= . 10 8 5

第3讲 │ 要点热点探究
? π? 3 ? sin?2α- ?= ,得 4? 5 ? ?

解法 2:依题意得 ①

3 2 sin2α-cos2α= , 5

π 3π π π ∵ <α< ,∴0<2α- < , 8 8 4 2 ? ? ?3? π? π? ? ? ? ? ?2 4 2? ∴cos?2α- ?= 1-sin ?2α- ?= 1-? ? = , 4? 4? 5 ? ? ?5? ? π? 4 4 2 ? ? 由 cos?2α- ?= ,得 sin2α+cos2α= ,② 4? 5 5 ? ?π ? 7 2 7 2 ? +α?=2sin2α= ①+②得 2sin2α= ,∴f? . ? 5 5 ?8 ?

第3讲 │ 要点热点探究

解法 3:由

? π? 3 ? sin?2α- ?= ,得 4? 5 ? ?

3 2 sin2α-cos2α= , 5

两边平方得 18 7 1-sin4α= ,sin4α= , 25 25 π 3π π 3π 24 ∵ <α< ,∴ <4α< ,∴cos4α=- 1-sin24α=- , 8 8 2 2 25 1-cos4α 49 π 3π 7 2 2 ∴sin 2α= = ,又 <2α< ,∴sin2α= , 2 50 4 4 10 ?π ? 7 2 ? ∴f? +α?=2sin2α= . ? 8 5 ? ?

第3讲 │ 要点热点探究

【点评】 本题主要考查三角函数性质的基本知识,考 查推理和运算能力是高考最常考的一种题型.江苏高考三 角函数试题主要以两种形式出现:一是注重考查三角函数 的定义、性质、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识; 二是以基本三角函数图象和正弦型函数、余弦型函数图象 为载体,全面考查三角函数的定义域、值域、单调性,奇 偶性、对称性、图象变换等基础知识,即考查三角函数的 图象性质和数形结合的思想方法.

第3讲 │ 规律技巧提炼
规律技巧提炼

1.函数表达式 y=Asin(ωx+φ)的确定 A 由最值确定;ω 由周期确定;φ 由图象上的特殊 点确定,函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)中,A 影响函 数图象的最高点和最低点,即函数的最值;ω 影响函数 图象每隔多少重复出现,即函数的周期;φ 影响函数的 初相.

第3讲 │ 规律技巧提炼
2.三角函数图象平移问题处理策略 ①看平移要求:拿到这类问题,首先要看题目要求由哪 个函数平移到哪个函数,这是判断移动方向的关键点. ②看移动方向:在学习中,移动的方向一般我们会记为 “正向左, 负向右”, 其实, 这样不理解的记忆是很危险的. 上 述规则不是简单的看 y=Asin(ωx+φ)中 φ 的正负,而是和它 的平移要求有关.正确的理解应该是:平移变换中,将 x 变 换为 x+φ,这时才是“正向左,负向右”. ③看移动单位:在函数 y=Asin(ωx+φ)中,周期变换和 相位变换都是沿 x 轴方向的, 所以 ω 和 φ 之间有一定的关系, φ φ 是初相位,再经过 ω 的压缩,最后移动的单位是|ω|.

第3讲 │ 规律技巧提炼
3.周期,值域与奇偶性 探讨三角函数的周期问题,一般将函数式化为 y= Af(ωx+φ)(其中 f(x)为三角函数,ω>0). 求三角函数的值域(最值)的常用方法: ①化为求代数 函数的值域;②化为求 y=Asin(ωx+φ)+B 的值域;③ 化为关于 sinx(或 cosx)的二次函数式. 函 数 y = Asin(ωx + φ) 为 奇 函 数 ? φ = kπ(k ∈ Z, π k≠0);函数 y=Asin(ωx+φ)为偶函数?φ=kπ+ (k∈ 2 Z); 函数 y=Acos(ωx+φ)为偶函数?φ=kπ(k∈Z, k≠0); π 函数 y=Acos(ωx+φ)为奇函数?φ=kπ+ (k∈Z). 2

第3讲 │ 规律技巧提炼

4.关于复合角 θ=ωx+φ 的三角函数的单调区间问 题 对复合角 θ=ωx+φ 的正、余弦函数的单调区间的 求解,关键是视 ωx+φ 为单角 θ,再应用 y=sinθ(或 y =cosθ)的单调区间,建立联立不等式,从而求得 x 的相 应区间.

第3讲 │ 江苏真题剖析
江苏真题剖析
? π? ? 定义在区间?0, ?上的函数 2? ? ?

[2010·江苏卷]

y

=6cosx 的图象与 y=5tanx 的图象的交点为 P,过 点 P 作 PP1⊥x 轴于点 P1,直线 PP1 与 y=sinx 的 图象交于点 P2,则线段 P1P2 的长为________.

第3讲 │ 江苏真题剖析

2 【答案】 3 【解析】 线段 P1P2 的长即为 sinx 的值,且其中的 2 2 x 满足 6cosx=5tanx,解得 sinx= .线段 P1P2 的长为 . 3 3

第3讲 │ 江苏真题剖析

【点评】 本题一改平时学生常练的三角图象变换 习题,试题面目有所创新,但仍考查的是三角函数的图 象、 数形结合思想. 从近几年高考试题来看, 正弦函数、 余弦函数、正切函数、函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性 质是高考的重点内容,也是高考的必考内容之一.选择 填空题和解答题的形式均能考查三角函数的图象、 单调 性、周期、值域、最值、对称性等,不论试题形式如何 变化,难度会以低档题、中档题为主.


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