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高一数学必修四测试


必修4 综合水平测试
本试卷满分 150 分,考试用时 120 分钟 注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.请将选择题和填空题的答案填写在相应栏目内, .................... 将解答题的解答过程写在答题卷的对应题号后面. ..................... 2.第Ⅰ卷共 50 分,第Ⅱ卷共 100 分,考试时间 120 分钟. ....

.... . 第Ⅰ卷(选择题部分) 一、选择题: (本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项 中,有且只有一项是符合题目要求的.请将答案填写在答题卷中的相应栏目内) ................. 1.若角 600 的终边上有一点 ?? 4, a ?,则 a 的值是(
0



A. ? 4 3

B. ? 4 3

C. 4 3

D. 3

2.在 ? ABCD 中,设 AB ? a , AD ? b , AC ? c , BD ? d ,则下列等式中不正确 ... 的是( ) A. a ? b ? c

??? ?

?

????

?

??? ?

?

??? ?

? ?

? ?

?

B. a ? b ? d

? ?

? ?

C. b ? a ? d

? ?

? ?

D. c ? d ? 2a

? ? ?

?

3.已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? m 的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为

? ,直线 2

x?

?
3

是其图象的一条对称轴,则下列各式中符合条件的解析式为( ) A. y ? 4sin(4 x ? ) 3 C. y ? 2sin(4 x ? ) ? 2 3

?

B. y ? 2sin(2 x ? ) ? 2 3 D. y ? 2sin(4 x ? ) ? 2 6

?

?

?

4.已知函数 f ( x) ? 3sin ? x ? cos ? x(? ? 0) , y ? f ( x) 的图像与直线 y ? 2 的两个相邻 交点的距离等于 ? ,则 f ( x ) 的单调递增区间是 A. [k? ? ? , k? ? 5? ], k ? Z 12 12 C. [k? ? ? , k? ? ? ], k ? Z 3 6 ( )

B. [k? ? 5? , k? ? 11? ], k ? Z 12 12 D. [k? ? ? , k? ? 2? ], k ? Z 6 3

5.若向量 a ? (cos ? ,sin ? ), b ? (cos ? ,sin ? ) ,则 a 与 b 一定满足( ) A. a 与 b 的夹角等于 ? ? ?

?
?

?

?

?

?

B. a // b

? ?

C. (a ? b) ? (a ? b)

? ?

? ?

D. a ? b

?

?

? 3? 6 . 设 x ? (0, ) , 且 2sin 2 ( x ? 3? ) ? sin(? ? x)sin( ? x) ? 3cos 2 (4? ? x) ? 0 , 则 2 2 t a n ? x2 ? ( ? ? ?s i n ( ? ? ) x 2 x ) c o s ( 6 ) 的值为( ) c o xs ? ?( ? ? xi n ( 5 ) s )
3 3 B. ? C.-1 D.1 2 2 7.已知 a 为实数,则函数 f ( x) ? 1 ? a sin ax 的图象不可能是( ...

A.1 或 ?



8.在平行四边形 ABCD 中,AC 与 BD 交于点 O,E 是线段 OD 的中点,AE 的延长线 与 CD 交于点 F,若 AC ? a , BD ? b ,则 AF =( ) A.
???? ?
??? ? ?
????

1? 1? a? b 4 2

B.

2? 1? a? b 3 3

C.

1? 1? a? b 2 4

D. a ?

1? 3

2? b 3

9.如果 tan(? ? ? ) ? A.

π? 1 π? 2 ? ? , tan ? ? ? ? ? ,那么 tan ? ? ? ? ? ( ) 4? 4 4? 5 ? ?

24 7

B.

3 22

C.

13 22

D.

1 6

10 . 定 义 运 算 ?

?a b ? ?e ? ?ae ? bf ? ?1 2 ? ?4? ?14? ? ? ? f ? ? ?ce ? df ? , 如 ?0 3? ? ?5? ? ?15? . 已 知 ? ? ? ? ? , ?c d ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ?? ?

?sin ? cos? ? ?cos ? ? ? ,则 ? ??? ? ?( ) 2 ?cos? sin ? ? ?sin ? ?
A. ? ?

?0? ?0?

B. ? ?

?0? ?1 ?

C. ? ?

?1 ? ?0?

D. ? ?

?1? ?1?

第Ⅱ卷(填空题与解答题部分) 二、填空题: (本大题有 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填写在答题卷中的 ............ 横线上) ... 11.设向量 a =(-1,2) ,b=(2,-1) ,则(a·b) (a+b)等于 . 12. 出下列命题: ①若 a ? b , a ? b ;②若 A、 C、 是不共线的四点, AB ? DC 则 B、 D 则

是四边形为平行四边形的充要条件;③若 a ? b, b ? c ,则 a ? c ; ④ a ? b 的充要条件是

a ? b 且 a ∥ b ;⑤若 a ∥ b , b ∥ c ,则 a ∥ c .其中正确命题的序号是______.
13.当 2k? ?

?
4

? ? ? 2k? ?

?
4

?k ? Z ? 时,化简:
. .

1 ? 2 sin ? ? cos? ? 1 ? 2 sin ? ? cos?

14. 若函数 f(x)图象的一部分如图(1), 则图(2)的图象所对应的函数解析式可以为

1 ? (x ? ) ?cos πx sin πx (x ? 0) ? ? 2 15.设 f ( x) ? ? , g ( x) ? ? , 1 f ( x ? 1) ? 1 (x ? 0) ? ? g ( x ? 1) ? 1 (x ? ) ? ? 2
?1? 则 g? ?? ?4? ?1? ?5? ? 3? f ? ?? g? ?? f ? ? = ? 3? ?6? ? 4?



三、解答题: (本大题共有6个小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程等.请 . 将答案填写在答题卷中相应题号后面) ................ 16.求值:

2 sin 500 ? sin 800 (1 ? 3 tan100 ) 1 ? cos10
0



17.角 A、B、C 是Δ ABC 的内角, C ?

?

? ? 1 , A ? B ,向量 a ? (2cos A,1) , b ? ( ,sin A) ,且 2 2

? ? 7 ? B A A (1)求 sinA 的值; (2)求 cos2 ( ? ) ? sin cos 的值. a ?b ? , 4 2 2 2 5

18 . 在 平 面 四 边 形 ABCD 中 , 向 量 a ? AB ? ?4,1? , b ? BC ? ?3,?1? ,

? ? ? ? (Ⅰ)若向量 a ? 2b 与向量 b ? kc 垂直,求实数 k 的值; (Ⅱ)若 c ? CD ? ?? 1,?2? .

?

?

?

?

DB ? mDA ? n DC ,求实数 m , n .

19.设函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0,? 关于直线 x ? ?

?
2

? ? ? ) ,给出下列三个论断: ① f ? x ? 的图象 2
5? ,0) 对称.以其 12

?

?
6

对称;② f ? x ? 的周期为 ? ; ③ f ? x ? 的图象关于点 (?

中的两个论断为条件,余下的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题,并对该命题 加以证明.

20.函数 f1 ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |? ? ) 的一 2 段图象过点(0,1) ,如图所示, (1)求函数 f 1 ( x ) 的解析 式; (2)将函数 y ? f1 ( x) 的图象按向量 a

? ( ,0) 平移后得到函数 y ? 4

?

f 2 ( x) ,

求 y ? f1 ( x) ? f 2 ( x) 的最大值,并求此时自变量 x 的集合.

21.海水受日月的引力,在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地,早潮叫潮,晚潮 叫汐.在通常情况下,船在涨潮时驶进航道,靠近码头;卸货后,在落潮时返回.下面是某 港口在某季节每天的时间与水深关系表: 时刻 水深/米 0:00 5.0 3:00 7.5 6:00 5.0 9:00 2.5 12:00 5.0 15:00 7.5 18:00 5.0 21:00 2.5 24:00 5.0

(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系; (2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为 4 米,安全条例规定至少要有 1.5 米的安全间 隙(船底与海洋底的距离),该船何时能进入港口?在港口能呆多久? (3)若某船的吃水深度为 4 米,安全间隙为 1.5 米,该船在 2:00 开始卸货,吃水深度以每小 时 0.3 米的速度减少,那么该船在什么时间必须停止卸货,将船驶向较深的水域?

必修4学业综合水平测试参考答案:
1.B;2.B;3.D;4.C;5、C;6.B;7.D;8.B;9.B;10.A; 11. (-4,-4) ;12.②③;13.2cos ? ;14. y ? f (2 x ? 1) ;15.3;16.2.
7 1 7 17. (1)∵向量 a ? (2 cos A,1), b ? ( , sin A), 且a ? b ? ,∴ sin A ? cos A ? ……① 5 2 5

又 sin2 A ? cos2 A ? 1 ………②; 由①②得: 2 A ? sin A ? sin 又C ?

12 3 4 ? 0 得 sin A ? 或 sin A ? , 25 5 5

3 2 , 故 sin A ? ; 5 2 ? B A A A A A 1 ? cos A 1 ? 6 (2)∵A+B= ,∴ cos2 ( ? ) ? sin cos ? cos2 ? sin cos ? ? sin A ? . 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 , A ? B, 则A ? 4

?

?

∴ sin A ?

18. (Ⅰ)由题意,得

? a ? 2b ? ? ?b ? kc ? ? 0 ,解得 k ? ? 31 ; 8

?

?

?

?

??? ??? ??? ? ? ? ??? ? (Ⅱ)由 BD ? BC ? CD ? ? 2, ?3? ,∴ DB ? ? ?2,3? ,

???? ??? ??? ??? ? ? ? ??? ? ???? AD ? AB ? BC ? CD ? ? 6, ?2 ? , DA ? ? ?6, 2? , DC ? ?1, 2 ? ,? DB ? mDA ? n DC ,


? ?2,3? ? m ? ?6, 2? ? n ?1, 2? ,∴ ?
19.①② ? ③,或②③ ? ①

??2 ? ?6m ? n 1 ,∴ m ? , n ? 1 . 2 ?3 ? 2m ? 2n

? 2 证 明 : ① ② ? ③ ) ∵ f ? x ? 的 周 期 为 ? , ∴ ? ? 2 , 故 f ( x) ? s i n (x ? (

)

(?

?
2

?? ?

?
2

) ,又 f ? x ? 的图象关于直线 x ? ?

?
6

? ? 对称,∴ | f (? ) |? 1 ,由此得 ? ? ? , 6 6

k? ? 5? ? ? ∴ f ( x) ? sin(2 x ? ) ,由 2 x ? ? k? ,得 x ? ? ,故 f ? x ? 的图象关于点 (? ,0) 对称. 2 12 12 6 6

20. (1)由图知:T ? ? ,∴ ? ? 2 ,设 f1 ( x) ? A sin(2 x ? ? ) ,将函数 f ( x) ? A sin 2 x 的图象向左平移

?
12

得 f1 ( x) 的图象,则 ? ? 2 ?

?
12

?

?

? ,∴ f1 ( x) ? A sin(2 x ? ) , 6 6

? ? 将(0,1)代入 f1 ( x) ? A sin(2 x ? ) ,易得 A=2,故 f 1 ( x ) ? 2 sin( 2 x ? ) ; 6 6
(2)依题意: f 2 ( x) ? 2 sin[ 2( x ? ∴ y ? 2 sin( 2 x ?

?

), 6 12 ? ? 7? ? 2k? ? ,即x ? k? ? , k ? Z时, y max ? 2 2 , 当 2x ? 12 2 24 7? , k ? Z} . 此时,x 的取值集合为 {x | x ? k? ? 24 6

?

4

)?

?

) ? 2 cos( 2 x ?

?

6

] ? ?2 cos( 2 x ?

?

) ? 2 2 sin( 2 x ?

?

6

),

21.(1)以时间为横坐标,水深为纵坐标,在直角坐标系中画出散点图(图略) . 根据图象,可以考虑用函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? h 刻画水深与时间之间的对应关系,从数据 和图象可以得出: A ? 2.5, h ? 5, T ? 12, ? ? 0 ,由 T= 所以这个港口的水深与时间的关系可用 y ? 2.5 sin

2?

?
6

?

=12,得 ω=

? . 6

x ? 5 近似描述.

(2)货船需要的安全水深为 4 ? 1.5 ? 5.5 (米),所以当 y ? 5.5 时就可以进港. 令 2.5sin

?
6

x ? 5 ? 5.5 ,即 sin

?
6

x ? 0.2 ,如图在区间[0,12]内,函数 y=2.5sin

? x+5 的图象 6

与直线 y=5.5 有两个交点 A、B,

因此

? ? x ≈0.201 4,或 π- x ≈0.201 4,解得 xA ≈0.384 8,xB ≈5.615 2, 6 6

由函数的周期性易得:xC ≈12+0.384 8=12.384 8,xD ≈12+5.615 2=17.615 2, 因此,货船可以在 0 时 30 分左右进港,早晨 5 时 30 分左右出港;或在中午 12 时 30 分左右 进港,下午 17 时 30 分左右出港,每次可以在港口停留 5 小时左右.

(3)设在时刻 x 货船的安全水深为 y,那么 y ? 5.5 ? 0.3( x ? 2)(x ? 2) ,在同一坐标系内作 出这两个函数的图象,可以看到在 6—7 时之间两个函数图象有一个交点(通过计算也可以 得到这个结果) . 在 6 时的水深约为 5 米,此时货船的安全水深约为 4.3 米;6.5 时的水深约为 4.2 米,此 时货船的安全水深约为 4.1 米;7 时的水深约为 3.8 米,而货船的安全水深约为 4 米.因此 为了安全,货船最好在 6.5 时之前停止卸货,,将船驶向较深的水域.


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