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函数的表示法课件


1.2.2 函数的表示法

1.2.2 │ 三维目标 三维目标
1.知识与技能

掌握函数的三种表示方法,明确每种方法的特点,尤其是解 析法;通过学习函数的三种表示法及其之间的相互转化,提 升对函数概念的理解;认识分段函数,并会初步应用,了解 映射的概念.
2.过程与方法 通过丰富的实例进一步体会函数是描述变量与变量之

间的依 赖关系的重要的数学模型,体会对应关系在刻画函数概念中 的作用;在实际情景中,会根据不同的需要选择恰当的方法 表示函数;通过具体的实例,了解简单的分段函数.

1.2.2 │ 三维目标

3.情感、态度与价值观 从学生熟知的实际问题入手,能使学生积极参与 数学学习活动,对数学有好奇心和求知欲;把数学和 实际问题相联系,使学生初步体会数学与人类生活的 密切联系及对人类历史发展的作用;通过学生之间互 相交流合作,让学生学会与人合作,并能与他人交流 思想,培养合作意识.

1.2.2 │ 重点难点 重点难点

[重点] 函数的三种表示方法,分段函 数和映射的概念. [难点] 分段函数的表示及其图像,映 射概念的理解.

1.2.2 │ 教学建议 教学建议
课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法:解析法、

图像法、列表法.函数的不同表示方法能丰富对函数的认识,帮助理
解抽象的函数概念,特别是在信息技术环境下,可以使函数在形与数 两方面的结合得到更充分的表现.学生通过函数的学习更好地体会数

形结合这种重要的数学思想方法.因此,在研究函数时,要充分发挥
图像的直观作用.在研究图像时又要注意代数刻画,以求思考和表述 的精确性.课本将映射作为函数的一种推广,这与传统的处理方式有

了逻辑顺序上的变化.这样处理,主要是想较好地衔接初中的知识,
让学生将更多的精力集中在理解函数的概念,同时,也体现了从特殊 到一般的思维过程.

1.2.2 │

教学建议

在具体教学中,可以考虑以下方法:①问题解决法,让学生
主动参与,在实践中得到知识和体验,培养学生将课堂教学和自 己的行动结合起来的能力,引导学生全面的看待问题,发展思辨

能力,激发学生的学习兴趣.②集体讨论法,针对学生提出的问
题,组织学生进行集体和分组讨论,促使学生的独立探索能力得 到充分的发挥,培养学生的团结协作精神.

1.2.2 │ 新课导入 新课导入
[导入一] 下表列出的是正方形面积变化情况,回答下列问题: 边长 1. 2. 1 2 3 x(m) 5 5 面积 2. 6. 1 4 9 2 y(m ) 25 25 (1)这份表格表示的是函数关系吗? (2)当 x 在(0,+∞)上变化时,面积怎么表示? 在研究函数的过程中,采用不同的方法表示函数,可以帮助 我们从不同的角度理解函数的性质,同时也是研究函数的重要手 段.——这是我们这一节课要学习的内容.

1.2.2 │ 新课导入

[导入二] 请同学们回忆一下初中学过的函数有哪些常用的表 示法?

1.2.2 │ 预习探究 预习探究
知识点一 表示法 函数的三种表示方法

定义 用 _________________ 表示两个 数学表达式 解析法 变量之间的对应关系 图像 表示两个变量之间的 用________ 图像法 对应关系 表格 来表示两个变量之 列出________ 列表法 间的对应关系

1.2.2 │ 预习探究

[思考] (1)任何一个函数都可以用解析法、列表法、图 像法三种形式表示吗? 解:不一定.如:函数的对应关系是:当 x 为有理数时, 函数值等于 1,当 x 为无理数时,函数值等于 0.此函数就无 法用图像法表示.

1.2.2 │ 预习探究

[思考]

(2)判断一个图形是不是函数图像的关键是什么?

解:判断一个图形是不是函数图像,关键是分析定义域 中的任意一个自变量是否有唯一的一个函数值与之对应.

1.2.2 │ 预习探究

知识点二

分段函数

由几个解析式共同组成 , 对于一个函数来说,对应关系_______________________ 由几条曲线共同 它的图像______________________ 组成,这样的函数我们

称为“分段函数”.

1.2.2 │ 预习探究
[思考] 分段函数的对应关系不同,那么分段函数是由几 个不同的函数构成的吗?

解:不是.分段函数的定义域只有一个,只不过在定 义域的不同区间上对应关系不同,所以分段函数是一

个函数.

1.2.2 │ 预习探究
知识点三 映射的概念 非空的集合 设 A,B 是两个________________________ ,如果按某一个 任意一个 确定的对应关系 f, 使对于集合 A 中的______________________ 元素 x,在集合 B 中都有______________________ 的元素 y 与 唯一确定 从集合A到集合B 之对应, 那么就称对应 f: A→B 为__________________________ 的一个映射.

1.2.2 │ 预习探究
[思考 ] (1) 从映射 f : A→B 的角度理解函数, A 就是 ________,函数的值域 C________ B. ? 定义域

[解析] A就是函数的定义域,函数的值域C?B.

1.2.2 │ 预习探究

(2)映射一定是函数吗? 解:映射是函数的推广,而函数是映射的特殊情 况.函数是非空数集A到非空数集B的映射,对映射而 言,A,B不一定是非空数集,所以映射不一定是函数,

函数一定是映射.

1.2.2 │ 备课素材 备课素材
1.函数三种表示法的比较 优点 缺点 函数关系清楚,容易由自变量 不直观,涉及具体自变 解析法 的值求出其对应的函数值,便 量所对的函数值时还要 于用解析式研究函数的性质 进行计算 变化规律不明显,不能 不计算就可得出当自变量取某 列表法 或不太好推出取任意一 些值时函数的对应值 个自变量时的函数值 能直观形象地表示出函数的变 自变量所对的函数值不 图像法 化情况 能准确地得出 函数的三种表示法互相兼容和补充,许多函数是可以用三种方法表示的,但在 实际操作中,仍以解析法为主. 2.分段函数的定义域是各段上 “定义域”的并集,其值域是各段上 “值域”的并 集.

1.2.2 │ 考点类析 考点类析
考点一 例1 函数的图像? 重点探究型 |x| (1)函数 y= +x 的图像是 ( ) x

图 122

1.2.2 │ 考点类析

[答案] D

[解析] 函数的定义域为{x|x≠0},可排除 C,当 x=1 时, y=2,可排除 B.当 x=-1 时,y=-2,可排除 A.故选 D.

1.2.2 │ 考点类析
(2)作出函数 y=x2-2x-2(0≤x≤3)的图像并求其值域.
解:y=x2-2x-2 是一元二次函数,定义 域为{x|0≤x≤3},所以,该函数图像为抛物线 的一部分.先画出 y=x2-2x-2 的图像,再截 取需要的部分,如图所示.

由图可知,函数的最小值在顶点处取得, 此时 x=1, 最大值在 x=3 处取得, 当 x=1 时, y=-3; 当 x=3 时, y=1.所以函数的值域为[- 3,1].

1.2.2 │ 考点类析
【变式】 作出下列函数的图像: (1)y=x+1(x∈Z); (2)y=x2-2x(x∈(-1,2]).

解:(1)这个函数的图像由一些点组成,这些点都在直 线 y=x+1 上,如图(1)所示.

(2)因为 x∈(-1,2],所以这个函数的图像是抛物线 y=x2 -2x 介于-1<x≤2 之间的一部分,如图(2)所示.

1.2.2 │ 考点类析

[小结] 作函数图像的三个步骤: (1)列表,先找出一些有代表性的自变量 x 的值,并计算出 与这些自变量相对应的函数值 f(x),用表格的形式表示出来; (2)描点,把表中一系列的点(x,f(x))在坐标平面上描出来; (3)连线,用光滑的线把这些点按自变量由小到大的顺序连 接起来.

1.2.2 │ 考点类析

拓展:如图 123 所示,函数 y=ax2+bx+c 与 y=ax+ ④ b(a≠0)的图像可能是________( 填序号).

图 123

1.2.2 │ 考点类析
[解析] ①由抛物线的对称轴是 y 轴可知 b=0, 而此时直 b 线应该过原点,故不可能;②由抛物线图像可知,a>0,- 2a >0,所以 b<0,而此时直线应该与 y 轴负半轴相交,故不可 b 能;③由抛物线图像可知,a<0,-2a>0,所以 b>0,而此 时直线应该与 y 轴正半轴相交,故不可能,由此可知④可能 是两个函数的图像.

1.2.2 │ 考点类析
考点二 函数解析式的求法? 重点探究型 [导入] (1)对于一次函数和二次函数,在一定条件下,如何 求函数的解析式? (2)求函数的解析式一般有哪些方法?

解:(1)利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式. (2)待定系数法,代入法,换元法,构造方程组法.

1.2.2 │ 考点类析
例 2 (1)已知 f(x)是一次函数,且 f[f(x)]=4x+3,则 f(x) 的解析式为( ) A.f(x)=-2x-3 C.f(x)=2x+3 B.f(x)=2x+1 D.f(x)=-2x-3 或 f(x)=2x+1

1.2.2 │ 考点类析

[答案]

D

[解析] 设 f(x)=ax+b,则 f[f(x)]=f(ax+b)=a(ax+b)+b =a2x+ab+b=4x+3, 所以 a2=4 且 ab+b=3,解得 a=-2,b=-3 或 a=2, b=1. 故所求的函数为 f(x)=-2x-3 或 f(x)=2x+1.

1.2.2 │ 考点类析

(2)求下列函数的解析式: ①已知 f(x)=x2+2x,求 f(2x-1); ②已知 f( x-1)=x+2 x,求 f(x);

③设 f(x)是定义在区间(1, +∞)上的一个函数, 且有 f(x)=2 1 f x-1,求 f(x).

1.2.2 │ 考点类析

解:①易知 f(2x-1)=(2x-1)2+2(2x-1)=4x2-1. ②令 t= x-1, 则 t≥-1, 且 x= t + 1 , 所以 f(t)=(t+1)2 +2(t+1)=t2+4t+3. 故所求的函数为 f(x)=x2+4x+3(x≥-1). 1 1 1 1 ③因为 f(x)=2 xf -1,所以用 代换 x,得 f =2 f(x) x x x x -1. 1 2 1 消去 f ,得 f(x)=4f(x)-2 x-1,所以 f(x)= x+ . x 3 3 2 1 又因为 x∈(1,+∞),所以 f(x)= x+ ,x∈(1,+∞). 3 3

1.2.2 │ 考点类析

变式 (1)已知 f(x)+3f(-x)=2x+1, 则 f(x)的解析式是( 1 A.f(x)=x+4 1 C.f(x)=-x+4 1 B.f(x)=-2x+4 1 D.f(x)=-x+2

)

1.2.2 │ 考点类析

[答案] C

[解析 ]因为 f(x) +3f(-x) =2x+1,① 所以把①中的 x 换成- x 得 f(-x) +3f(x)=-2x+1.② 1 由①②解得 f(x)=-x+ . 4

1.2.2 │ 考点类析
(2)若 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-f(x)=2x+9,则 x+3 f(x)的解析式为________________ .
[解析] 由题意,设 f(x)=ax+b(a≠0),因为 3f(x+1)-f(x)=2x+9, 所以 3a(x+1)+3b-ax-b=2x+9, 即 2ax +3a+2b=2x+9,
? ?2a=2, 比较对应项系数,得? 解得 ? ?3a+2b=9,

a=1,

b=3,所以 f(x)=x+3

1.2.2 │ 考点类析

[小结] 求函数解析式的几种常用方法: (1)待定系数法:当已知函数类型时,常用待定系数法. (2)代入法:已知 y=f(x)的解析式,求函数 y=f[g(x)] 的解析式时,可直接用新自变量 g(x)替换 y=f(x)中的 x. (3)换元法:已知 y=f[g(x)]的解析式,求 y=f(x)的解析 式, 可用换元法, 即令 g(x)=t, 反解出 x, 然后代入 y=f[g(x)] 中,求出 f(t),即得 f(x). (4)构造方程组法:当同一个对应关系中的两个自变量 之间有互为相反或者互为倒数关系时,构造方程组求解.

1.2.2 │ 考点类析

考点三 分段函数? 重点探究型 [导入] (1)分段函数在实际生活中有广泛的应用, 你能举出一些 例子吗?

解: 出租车的收费,个人收入调节税等.

1.2.2 │ 考点类析

(2)分段函数怎样表示?怎样解决分段函数问题?

解:分段函数的表示:根据定义域内自变量的不同范

围,将函数用不同的解析式或图像分段表示.解决分
段函数的问题,要考虑自变量的取值情况,在“每一 段上”解决问题.

1.2.2 │ 考点类析

考向一 例3

分段函数求值 (1)若
2 ? ?x (x≥0), f(x)=? 则 ? ?-x(x<0),

f[f(-2)]=( C

)

A.2 B.3 C.4 D.5 (2) 已知 ________ -5或3 .
2 ? x ? +1(x≥0), f(x) = ? 若 ? ?-2x(x<0),

f(x) = 10 ,则 x =

1.2.2 │ 考点类析

[解析] (1)因为-2<0,所以 f(-2)=-(-2)=2, 所以 f[f(-2)]=f(2)=22=4. (2)当 x≥0 时, f(x)=x2+1=10, 解得 x=-3(舍去) 或 x=3;当 x<0 时,f(x)=-2x=10,解得 x=-5.综 上知 x=-5 或 x=3.

1.2.2 │ 考点类析
?1 ?2x-1,x≥0, 【变式】 设函数 f(x)=? 若 f(a)=a,则实 ?1,x<0, ?x -1 . 数 a 的值是________
a [解析] 当 a≥0 时,f(a)= -1=a,得 a=-2(舍去). 2 1 当 a<0 时,f(a)=a=a,得 a=-1 或 1(舍去).

1.2.2 │ 考点类析

考向二 求分段函数的解析式 例 4 (1)函数 y=f(x)的图像如图 124 所示, 则 y=f(x)的解析 式 f(x)=________________. (2)若某汽车以 52 km/h 的速度从 A 地驶向 260 km 远处的 B 地, 3 在 B 地停留 h 后,再以 65 km/h 的速度返回 A 地,则汽车离开 A 2 地后行走的路程 s 关于时间 t 的函数解析式为 s= __________________.

图 124

1.2.2 │ 考点类析
?52t,0≤t<5, 2x,0≤x<1, ? ? ?260,5≤t≤13, ? 2 [答案] (1)?2,1≤x<2, (2)? ? ? 13 13 21 ?3,x≥2 ? ?260+65t- 2 , 2 <t≤ 2
[解析] (1)当 0≤x<1 时,f(x)=2x;当 1≤x<2 时,f(x)=2; 2x,0≤x<1, ? ? 当 x≥2 时,f(x)=3.故 f(x)=?2,1≤x<2, ? ?3,x≥2. (2) 因 为 260÷ 52 = 5(h) , 260÷ 65 = 4(h) , 所 以 s =

?52t,0≤t<5, ? ?260,5≤t≤13, 2 ? ? 13 13 21 ? ?260+65t- 2 , 2 <t≤ 2 .

1.2.2 │ 考点类析
【变式】 已知函数 f(x)的图像如图 125 所示,则 f(x)的解析 式是________________.

[答案]

图 125 ? ?x+1,x∈[-1,0), f(x)=? ? ?-x,x∈[0,1]

[解析] 因为函数的图像由两条线段组成,所以由一次函数解 析式求法,可得
? ?x+1,x∈[-1,0), f(x)=? ? ?-x,x∈[0,1].

1.2.2 │ 考点类析

[小结] (1)求分段函数的函数值时,一般应先确定自变量的取值 在哪个子区间上,然后用与这个区间相对应的解析式求函数值.

(2)已知分段函数的函数值,求自变量的值,要进行分类讨论,逐 段用不同的函数解析式求解,求解最后检验所求结果是否适合条 件. (3)实际问题中的分段函数,以自变量在不同区间上的对应关系不 同进行分段,求出在各个区间上的对应关系(解析式或图像).

1.2.2 │ 考点类析

考点四 映射的概念? 重点探究型 [导入] 某校高一(6)班有 40 名同学,同学们的“姓名”构成集合 A. (1)若同学们的“姓氏”构成集合 B,对于 A 中的任意一个同学, 在 B 中是否会存在唯一的姓与之对应吗? (2)若 C={男,女},那么 A,C 之间怎样对应? (3)若同学们某次的成绩构成集合 D,那么从集合 D 到集合 A 的对 应与上面的对应一样吗? (4)若同学们的座位构成集合 E,那么 A,E 之间如何对应?

1.2.2 │ 考点类析

解:(1)是.

(2)对于A中任意一个同学,C中都有唯一的性别与之 对应.
(3)不一样,某个成绩可能有几名同学与之对应. (4)一人一个座位,是一一对应关系.

1.2.2 │ 考点类析
例 5 (1)已知集合 A =R,B ={(x,y)|x,y∈R},f:A→B 是从集合 A 到集合 B 的映射,即 f:x→(x+1,x2+1),则集合 A 中的元素 2对应集合 B 中的元素为____________ ( 2+1,3) ;集合 B 中的 3 5 1 元素 , 对应集合 A 中的元素为__________________________ . 2 4 2 (2)如图 126 所示, 箭头标明 A 中元素与 B 中元素的对应关 ③④ . ③④ ;为函数关系的有________ 系,它们中为映射的有________

图 126

1.2.2 │ 考点类析

[ 解 析 ] (1) 将 x = 2 代 入 对 应 关 系 得 ( 2 + 1 , 3) . 由 3 ? ?x+1=2, 1 ? 解得 x=2.故 2对应集合 B 中的元素为( 2+1,3), ?x2+1=5, 4 ? 3 5 1 2,4对应集合 A 中的元素为2. (2)只有③④满足映射和函数的条件.

1.2.2 │ 考点类析

【变式】 集合 A={a,b},B={-1,0,1},从 A 到 B 的 映射 f:A→B 满足:f(a)+f(b)=0,那么这样的映射 f:A→B 的 个数是( ) A.2 B.3 C.5 D.8

[答案]

B

[解析] 由 f(a)=0,f(b)=0 得 f(a)+f(b) =0; f(a)=1, f(b)=-1 得 f(a)+f(b)=0; 由 f(a) =-1,f(b)=1 得 f(a)+f(b)=0,共 3 个.故选 B.

1.2.2 │ 考点类析

[小结] 判断某种对应法则是否为集合 A 到集合 B 的映射的方法: (1)明确集合 A,B 中的元素. (2)判断 A 中的每一个元素是否在集合 B 中有唯一的元 素与之相对应.若进一步判断是否为一一映射,还需 注意 B 中的每一个元素在 A 中都有原象,集合 A 中的 不同元素对应的象不相同.

1.2.2 │ 备课素材 备课素材
1.函数三种表示法的内在联系 使用的前提 解析法 变量间的对应关系明确 图像法 函数的变化规律清晰 列表法 函数值与自变量对应清楚 (1)分别从三个不同角度刻画了自变量与函数值的对应关系. (2)在已知函数的解析式研究函数的性质时,可以先由解析式 确定函数的定义域,然后通过取一些有代表性的自变量的值与对 应的函数值列表,描点连线作出函数的图像,利用函数图像形象 直观的优点,了解函数概念和有关性质. .

1.2.2 │ 备课素材

2.函数图像的理解:画函数的图像一般还是采用列表、描点、绘图 的描点法,主要解决两个问题:位置和形状.函数图像位置的确定是以 它的定义域为主要依据; 函数图像形状的刻画是依据对应法则而定的. 函 数的图像也可以是一些点、一些线段、一段曲线等,从函数的图像可以 直观地指出函数的定义域和值域. 3.理解分段函数应注意的问题 (1)分段函数是一个函数,其定义域是各段“定义域”的并集,其值 域是各段“值域”的并集.写定义域时,区间的端点需不重不漏. (2)求分段函数的函数值时,自变量的取值属于哪一段,就用哪一段 的解析式.

1.2.2 │ 备课素材
(3)研究分段函数时,应根据“先分后合”的原则,尤其是作分段函 数的图像时,可将各段的图像分别画出来,从而得到整个函数的图像. 2 ? ?x -1,x∈(-2,0], [例] 函数 y=? 的值域是________. ? 2 x + 1 , x ∈( 0 , 2] ? [答案] [-1,5] [解析] 当 x∈(-2,0]时,y∈[-1,3);当 x∈(0,2]时,y∈(1,5], 所以函数的值域为[-1,3)∪(1,5]=[-1,5].

1.2.2 │ 备课素材

4.映射概念的理解 (1)映射包括非空集合 A,B 以及对应法则 f,其中集合 A,B 可以 是数集,可以是点集,也可以是其他任何非空的集合. (2)集合 A,B 是有先后次序的,即 A 到 B 的映射与 B 到 A 的映 射是不同的. (3)集合 A 中每一个元素在集合 B 中必有唯一的元素与之对应(有, 且唯一),但允许 B 中的元素在 A 中没有元素与之对应. (4)A 中元素与 B 中元素对应,可以是“一对一”“多对一”,但 不能是“一对多”.

1.2.2 │ 当堂自测

当堂自测
1.设 f:A→B,则下列命题中,正确的是( ) A.A 中每个元素在 B 中必有唯一元素与其对应 B.B 中每个元素在 A 中必有元素与其对应 C.B 中每个元素在 A 中对应的元素唯一 D.A 中不同的元素在 B 中对应的元素必不同

1.2.2 │ 当堂自测

[答案]

A

[解析] f:A→B 表示 A 中的任一元素在 B 中都有唯一元素与之对应,而 B 中的 部分元素可以不参与对应.故选 A.

1.2.2 │ 当堂自测

2.已知 f( x+4)=x+8 x,则 f(x2)=( A.x4-16(x≤-2 或 x≥2) B.x4-16(-2≤x≤2) C.x2-16(x≤-2 或 x≥2) D.x2-16(-2≤x≤2)

)

1.2.2 │ 当堂自测

[答案] A

[ 解析 ]

因为 f( x + 4) = x + 8 x = ( x + 4)2 -

16,所以 f(x)=x2-16(x≥4),所以 f(x2)=x4-16(x≤- 2 或 x≥2).故选 A. .

1.2.2 │ 当堂自测

?x+4,-3≤x≤0, ? 2 3 . 已 知 函 数 f(x) = ?x -2x,0<x≤4, 则 f{f[f(5)]} = ?-x+2,4<x≤5, ? -1 . ________

[解析] 因为 4<5≤5,所以 f(5)=-5+2=-3,所以 f[f(5)] =f(-3)=-3+4=1.又因为 0<1≤4,所以 f{f[f(5)]}=f(1)=1- 2=-1.

1.2.2 │ 当堂自测

4.设 abc>0,则二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的图像可能是 ④ ________ .(填序号)

图 127

1.2.2 │ 当堂自测

[解析]

①不正确,由图①可知 a<0,f(0)=c<0,-

b <0,所以 abc<0,与 abc>0 相矛盾;②不正确,由图②可 2a b 知 a<0, f(0)=c>0, - >0, 所以 abc<0, 与 abc>0 相矛盾; 2a ③不正确, 由图③可知 a>0, f(0)=c<0, - b <0, 所以 abc<0, 2a

与 abc>0 相矛盾;④正确,由图④可知 a>0,f(0)=c<0,- b >0,所以 abc>0,符合题意. 2a

1.2.2 │ 备课素材 备课素材
本节课小结 知识 1. 函 数 的 三 种 表 示 法 及其优缺点 2.函数图像的作法及 识图用图 3.求函数解析式 4.映射的概念 5.分段函数 方法 1. 求函数解析式的 几种常用方法 2. 根据映射的定义 判断两个集合之间 的对应关系是否为 映射 易错 1. 求 函 数 解 析 式 易 忽视定义域 2.分段函数求值时 忽视自变量的取值 区间 3.图像应用中由于 对图像的认识不清 致误

下节课预习问题: 1.函数的单调性;2.函数的增减区间; 3.利用单调性定义证明函数的单调性.


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