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B04-南京市盐城市2014届高三一模


南京市、盐城市 2014 届高三第一次模拟考试 数学
一、填空题 1 .已知集合 A ? {?3, ?1,1, 2} ,集合 B ? [0, ??) ,则 A

B?

. . .
S ?0 For I From 1 To 10 S?S?I End For Pr int S

2.若复数 z ? (1

? i )(3 ? ai ) ( i 为虚数单位)为纯虚数,则实数 a ? 3.现从甲、乙、丙 3 人中随机选派 2 人参加某项活动,则甲被选中的概率为 4.根据如图所示的伪代码,最后输出的 S 的值为 . 5.若一组样本数据 2 , 3 , 7 , 8 , a 的平均数为 5 ,则该组数据的方差 s 2 ?

.

6.在平面直角坐标系 xOy 中,若中心在坐标原点上的双曲线的一条准线方程为 x ? 抛物线 y 2 ? ?4 x 的焦点重合,则该双曲线的渐进线方程为 .

1 ,且它的一个顶点与 2

7.在平面直角坐标系 xOy 中,若点 P(m,1) 到直线 4 x ? 3 y ? 1 ? 0 的距离为 4 ,且点 P 在不等式 2 x ? y ? 3 表 示的平面区域内,则 m ? . 8.在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形, ?BAD ? 60 ,侧棱 PA ? 底 面 A B C D, PA ? 2 , E 为 AB 的 中 点 , 则 四 面 体 PBCE 的 体 积 为 . 9.设函数 f ( x) ? cos(2 x ? ? ) , 则 “ f ( x) 为奇函数” 是 “? ?

?
2

” 的



件.(选填“充分不必要”、 “必要不充分”、 “充要”、 “既不充分也不必要”) 10.在平面直角坐标系 xOy 中, 若圆 x2 ? ( y ? 1)2 ? 4 上存在 A , 则直线 AB B 两点关于点 P(1, 2) 成中心对称, 的方程为 .

2? ,则 AB ? AC 的最小值为 . 3 12. 若 函 数 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 偶 函 数 , 且 在 区 间 [0. ? ?) 上 是 单 调 增 函 数 . 如 果 实 数 t 满 足
11.在 ?ABC 中, BC ? 2 , A ?

1 . f ( l nt ? ) f ( l n? ) f2 时,那么 (1) t 的取值范围是 t 2a 13.若关于 x 的不等式 (ax ? 20)lg ? 0 对任意的正实数 x 恒成立,则实数 a 的取值范围是 x
14.已知等比数列 {an } 的首项为

.

1 4 1 ,公比为 ? ,其前 n 项和为 Sn ,若 A ? S n ? ? B 对 n ? N * 恒成立,则 Sn 3 3

B ? A 的最小值为
二、解答题

.

[来源:学_科_网]

15.在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别是 a , b , c ,已知 c ? 2 , C ? (1)若 ?ABC 的面积等于 3 ,求 a , b ; (2)若 sin C ? sin( B ? A) ? 2sin 2 A ,求 ?ABC 的面积.

?
3

.

16.如图,在正三棱锥 ABC ? A1B1C1 中, E , F 分别为 BB1 , AC 的中点. (1)求证: BF / / 平面 A1 EC ; (2)求证:平面 A1 EC ? 平面 ACC1 A1 .

17.如图,现要在边长为 100 m 的正方形 ABCD 内建一个交通“环岛”.正方形的四个顶点为圆心在四个角分 别建半径为 xm ( x 不小于 9 )的扇形花坛,以正方形的中心为圆心建一个半径为 x2 m 的圆形草地.为了 保证道路畅通,岛口宽不小于 60m ,绕岛行驶的路宽均不小于 10m . (1)求 x 的取值范围;(运算中 2 取 1.4 ) (2)若中间草地的造价为 a 元 / m 2 , 四个花坛的造价为 取何值时,可使“环岛”的整体造价最低?

1 5

4 12a 元 /m2 , 当x ax 元 / m 2 ,其余区域的造价为 33 11

x2 y 2 3 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 为 F (1,0) ,过焦 a 2 b2 2 点 F 且与 x 轴不重合的直线与椭圆 C 交于 A ,B 两点,点 B 关于坐标原点的对称点为 P ,直线 PA ,PB 分 别交椭圆 C 的右准线 l 于 M , N 两点.
18.在平面直角坐标系 xOy 中,已知过点 (1, ) 的椭圆 C : (1)求椭圆 C 的标准方程;

8 3 3 ) ,试求直线 PA 的方程; (2)若点 B 的坐标为 ( , 5 5
(3)记 M , N 两点的纵坐标 分别为 yM , yN ,试问 yM ? yN 是否为 值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由. 定

19.已知函数 f ( x) ? e x , g ( x) ? ax2 ? bx ? 1(a, b ? R) . (1)若 a ? 0 ,则 a , b 满足什么条件时,曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在 x ? 0 处总有相同的切线? (2)当 a ? 1 时,求函数 h( x) ?

g ( x) 的单调减区间; f ( x)

(3)当 a ? 0 时,若 f ( x) ? g ( x) 对任意的 x ? R 恒成立,求 b 的取值的集合.

20.设等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 2 , S6 ? 22 . (1)求 Sn ; (2)若从 {an } 中抽取一个公比为 q 的等比数列 {akn } ,其中 k1 ? 1 ,且 k1 ? k2 ①当 q 取最小值时,求 {kn }的通项公式; ②若关于 n(n ? N * ) 的不等式 6S n ? kn ?1 有解,试求 q 的值.
[来源:学科网 ZXXK]

? kn ?

, kn ? N * .

数学附加题
21.(选做题)(在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题) A.如图, AB , CD 是半径为 1 的圆 O 的两条弦,它们相交于 AB 的中点 P ,若 PC ? 的长.

9 1 , OP ? ,求 PD 8 2

? ? B.已知曲线 C : xy ? 1 ,若矩阵 M ? ? ? ? ?

2 2 2 2

?

2? ? 2 ? 对应的变换将曲线 C 变为曲线 C ? ,求曲线 C ? 的方程. 2 ? ? 2 ?

C.在极坐标系中,圆 C 的方程为 ? ? 2a cos? ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴的正半轴建立平面直角 坐

? x ? 3t ? 2 标系,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数),若直线 l 与圆 C 相切,求实数 a 的值. ? y ? 4t ? 2

D.已知 x1 , x 2 , x3 为正实数,若 x1 ? x2 ? x3 ? 1 ,求证:

2 x2 x2 x2 ? 3 ? 1 ?1. x1 x2 x3

(必做题) 22.已知点 A(1, 2) 在抛物线 ? : y 2 ? 2 px 上. (1)若 ?ABC 的三个顶点都在抛物线 ? 上,记三边 AB , BC , CA 所在直线的斜率分别为 k1 , k 2 , k 3 , 求

1 1 1 ? ? 的值; k1 k2 k3

(2) 若四边形 ABCD 的四个顶点都在抛物线 ? 上, 记四边 AB ,BC ,CD ,DA 所在直线的斜率分别为 k1 ,

k 2 , k 3 , k 4 ,求

1 1 1 1 ? ? ? 的值. k1 k2 k3 k4

23.设 m 是给定的正整数,有序数组( a1 , a2 , a3 ,

a2 m )中 ai ? 2 或 ?2 (1 ? i ? 2m) .
a2 k ?1 ? ?1 ”的有序数组( a1 , a2 , a3 , a2 k
2l

(1)求满足“对任意的 1 ? k ? m , k ? N * ,都有

a2 m )的个数 A ;
a2 k ?1 ? ?1 ” a2 k

(2) 若对任意的 1 ? k ? l ? m ,k ,l ? N * , 都有 |

i ? 2 k ?1

?

ai |? 4 成立, 求满足 “存在 1 ? k ? m , 使得

的有序数组( a1 , a2 , a3 ,

a2 m )的个数 B

南京市、盐城市 2014 届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,计 70 分. 1. {1, 2} 6. y ? ? 3x 11. ? 2. -3 3.

2 3

4. 55

5.

26 5
10. x ? y ? 3 ? 0

7. 6 12. [ , e]

8.

3 3
13.

9、必要不充分

2 3

1 e

? 10?
2 2

14.

59 72
????2 分 ????4 分

二、解答题: 15.解:(1)由余弦定理及已知条件得, a ? b ? ab ? 4 , 又因为 △ ABC 的面积等于 3 ,所以

1 ab sin C ? 3 ,得 ab ? 4 . 2

联立方程组 ?

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ?ab ? 4,

解得 a ? 2 , b ? 2 .

????7 分

(2)由题意得 sin( B ? A) ? sin( B ? A) ? 4sin A cos A ,即 sin B cos A ? 2sin A cos A , 当 cos A ? 0 时, A ?

? ? 4 3 2 3 ,B ? ,a ? ,b ? , 2 6 3 3

????10 分

当 cos A ? 0 时,得 sin B ? 2sin A ,由正弦定理得 b ? 2a , 联立方程组 ?

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, ?b ? 2a,

解得 a ?

2 3 4 3 ,b ? . 3 3

????13 分

所以 △ ABC 的面积 S ?

1 2 3 . ab sin C ? 2 3

????14 分

16.证:(1)连 AC1 交 AC 1 于点 O ,

1 F 为 AC 中点, ? OF / / CC1且OF = CC1 , 2 1 E 为 BB1 中点,? BE / / CC1且BE = CC1 , 2
???4 分

? BE / /OF且BE =OF ,? 四边形 BEOF 是平行四边形,
(2)由(1)知 BF / / OE , ???9 分 又因为 AA1 ? 底面 ABC ,而 BF ? 底面 ABC ,所以 AA1 ? BC , 则由 BF / / OE ,得 OE ? AA1 ,而 AA1 , AC ? 平面 ACC1 A 1 ,且 AA 1 所以 OE ? 面 ACC1 A 1, 又 OE ? 平面 A 1EC ,所以平面 A 1 EC ? 平面 ACC1 A 1. ????12 分

? BF / / OE ,又 BF ? 平面 A1EC , OE ? 平面 A1EC ,? BF / / 平面 A1EC .??7 分
AB ? CB , F 为 AC 中点,所以 BF ? AC ,所以 OE ? AC ,
[来源:Zxxk.Com]

AC ? A ,

????14 分

x ? 9, ? ? 100 ? 2 x ? 60, ? 17.解:(1)由题意得, ? ?100 2 ? 2 x ? 2 ? 1 x 2 ? 2 ?10, ? 5 ? ? x ? 9, ? 解得 ? x ? 20, 即 9 ? x ? 15 . ????7 分 ??20 ? x ? 15, ?
(2)记“环岛”的整体造价为 y 元,则由题意得

??? ?4 分

1 4 12a 1 y ? a ? ? ? ( x 2 ) 2 ? ax ? ? x 2 ? ? (104 ? ? ? ( x 2 ) 2 ? ? x 2 ) 5 33 11 5 a 1 4 4 3 ? [? (? x ? x ? 12 x 2 ) ? 12 ?104 ] , ????10 分 11 25 3 1 4 4 3 4 1 x ? x ? 12 x 2 ,则 f ?( x) ? ? x3 ? 4 x 2 ? 24 x ? ?4 x( x 2 ? x ? 6) , 令 f ( x) ? ? 25 3 25 25 ? 由 f ( x) ? 0 ,解得 x ? 10 或 x ? 15 , ????12 分
列表如下:

x f ?( x ) f ( x)

9

(9,10) -
[来源:学#科#网 Z#X#X#K]

10 0 极小值

(10,15) + ↗ ????14 分

15 0



所以当 x ? 10 , y 取最小值. 答:当 x ? 10 m 时,可使“环岛”的整体造价最低.

2 2 2 2 18.解:(1)由题意,得 2a ? (1 ? 1) ? ( ? 0) ? (1 ? 1) ? ( ? 0) ? 4 ,即 a ? 2 ,

3 2

3 2

?2 分

又 c ? 1 ,? b ? 3 ,? 椭圆 C 的标准方程为
2

x2 y 2 ? ? 1. 4 3

???5 分

8 3 3 8 3 3 B( , ) ,? P(? , ? ) ,又 F (1, 0) , ? k AB ? 3 , 5 5 5 5 ????7 分 ? 直线 AB : y ? 3( x ?1) ,
(2)

? x2 y 2 ?1 ? ? 联立方程组 ? 4 ,解得 A(0, ? 3) , 3 ? y ? 3( x ? 1) ?

????9 分

3 x ? 3 ,即 3x ? 4 y ? 4 3 ? 0 . 4 (3)当 k AB 不存在时,易得 ym yn ? ?9 , 当 k AB 存在时,设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 P(? x2 , ? y2 ) ,

? 直线 PA : y ? ?

????10 分

?

( x ? x )( x ? x ) ( y ? y )( y ? y ) x12 y12 x2 y2 ? ? 1 , 2 ? 2 ? 1 ,两式相减, 得 2 1 2 1 ? ? 2 1 2 1 , 4 3 4 3 4 3 3 ( y ? y )( y ? y ) y 3 ? 2 1 2 1 ? ? ? kPA ? k AB ,令 k AB ? k ? 2 ,则 k PA ? ? ,?12 分 4k ( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) 4 x2 ? 1 3 3 ? 直线 PA 方程: y ? y2 ? ? ( x ? x2 ) ,? yM ? ? ( x2 ? 4) ? y2 , 4k 4k 3( x2 ? 4)( x2 ? 1) y 4y ? y2 , ? 直线 PB 方程: y ? 2 ? x ,? yN ? 2 , 14 分 ? yM ? ? 4 y2 x2 x2

? yM yN ? ?3 ? ? yM yN ? ?3 ?
19.解:(1)

( x2 ? 4)( x2 ? 1) 4 y2 2 ,又 ? x2 x2

x2 2 y2 2 ? ? 1 ,? 4 y22 ? 12 ? 3x22 , 4 3
??16 分

( x2 ? 4)( x2 ? 1) ? 4 ? 3x2 2 ? ?9 ,所以 yM yN 为定值 ?9 . x2

f ?( x) ? e x ,? f ?(0) ? 1 ,又 f (0) ? 1 ,
?????2 分

? y ? f ( x) 在 x ? 0 处的切线方程为 y ? x ? 1 ,


g ?( x) ? 2ax ? b ,? g ?(0) ? b ,又 g (0) ? 1 ,? y ? g ( x) 在 x ? 0 处的切线方程为 y ? bx ? 1 ,
???4 分

所以当 a ? 0, a ? R 且 b ? 1 时,曲线 y ? f ( x) 与 y ? g ( x) 在 x ? 0 处总有相同的切线 (2)由 a ? 1 , h( x) ?

x 2 ? bx ? 1 ? x 2 ? (2 ? b) x ? b ? 1 ? h ( x ) ? , , ? ex ex

? h?( x) ?

? x 2 ? (2 ? b) x ? b ? 1 ( x ? 1)( x ? (1 ? b)) , ?? x e ex

???7 分

由 h?( x) ? 0 ,得 x1 ? 1 , x2 ? 1 ? b ,

? 当 b ? 0 时,函数 y ? h( x) 的减区间为 (??,1 ? b) , (1, ??) ;
当 b ? 0 时,函数 y ? h( x) 的减区间为 (??, ??) ; 当 b ? 0 时,函数 y ? h( x) 的减区间为 (??,1) , (1 ? b, ??) . ???10 分

(3)由 a ? 1 ,则 ? ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? e x ? bx ?1 ,? ? ?( x) ? e x ? b , ①当 b ? 0 时, ? ?( x) ? 0 ,函数 ? ( x) 在 R 单调递增, 又 ? (0) ? 0 ,? x ? (??, 0) 时, ? ( x) ? 0 ,与函数 f ( x) ? g ( x) 矛盾,???12 分 ②当 b ? 0 时,? ? ?( x) ? 0 , x ? ln b ;? ? ?( x) ? 0 , x ? ln b

? 函数 ? ( x) 在 (??,ln b) 单调递减; (ln b, ??) 单调递增,
(Ⅰ)当 0 ? b ? 1 时,? ln b ? 0 ,又 ? (0) ? 0 ,? ? (ln b) ? 0 ,与函数 f ( x) ? g ( x) 矛盾, (Ⅱ)当 b ? 1 时,同理 ? (ln b) ? 0 ,与函数 f ( x) ? g ( x) 矛盾, (Ⅲ)当 b ? 1 时, ln b ? 0 ,? 函数 ? ( x) 在 ( ??, 0) 单调递减; (0, ??) 单调递增,

? ? ( x) ? ? (0) ? 0 ,故 b ? 1 满足题意.
综上所述, b 的取值的集合为 ?1? . 20.解:(1)设等差数列的公差为 d ,则 S6 ? 6a1 ? 所以 S n ? ?????16 分

n(n ? 5) . ???4 分 3 (2)因为数列 {an } 是正项递增等差数列,所以数列 {a kn } 的公比 q ? 1 ,
若 k 2 ? 2 ,则由 a 2 ? 解得 n ?

2 1 ? 6 ? 5d ? 22 ,解得 d ? ,??2 分 3 2

a2 4 8 4 32 32 2 ? ,此时 a k3 ? 2 ? ( ) 2 ? ? ( n ? 2) , ,得 q ? ,由 a1 3 3 3 9 9 3

10 ? N * ,所以 k 2 ? 2 ,同理 k 2 ? 3 ; ??6 分 3 n ?1 若 k 2 ? 4 ,则由 a 4 ? 4 ,得 q ? 2 ,此时 akn ? 2 ? 2 , 2 2 (kn ? 2) ,所以 ( kn ? 2) ? 2 n ,即 kn ? 3? 2n?1 ? 2 , ???8 分 3 3 所以对任何正整数 n , a kn 是数列 {an } 的第 3 ? 2 n ?1 ? 2 项.所以最小的公比 q ? 2 .
另一方面, akn ? 所以 kn ? 3 ? 2
n ?1

? 2.

???10 分

(3)因为 akn ?

2k n ? 4 ? 2q n ?1 ,得 kn ? 3qn?1 ? 2 ,而 q ? 1 , 3

所以当 q ? 1 且 q ? N 时,所有的 kn ? 3qn?1 ? 2 均为正整数,适合题意; 当 q ? 2 且 q ? N 时, kn ? 3qn?1 ? 2 ? N 不全是正整数,不合题意. 而 6Sn ? kn?1 有解,所以

2n(n ? 5) ? 2 ? 1 有解,经检验,当 q ? 2 , q ? 3 , q ? 4 时, n ? 1 都是 3q n

2n (n ? 5)? 2 ???12 分 ? 1 的解,适合题意; 3q n 2n(n ? 5) ? 2 2n(n ? 5) ? 2 下证当 q ? 5 时, , ? 1 无解, 设 bn ? n 3q 3q n
则 bn ?1 ? bn ? 因为

2[(1 ? q)n2 ? (7 ? 5q)n ? 7 ? q] , 3q n

5q ? 7 ? 0 ,所以 f (n) ? 2[(1 ? q)n2 ? (7 ? 5q)n ? 7 ? q] 在 n ? N * 上递减, 2 ? 2q

又因为 f (1) ? 0 ,所以 f (n) ? 0 恒成立,所以 bn?1 ? bn ? 0 ,所以 bn ? b1 恒成立, 又因为当 q ? 5 时, b1 ? 1 ,所以当 q ? 5 时, 6Sn ? kn?1 无解. 综上所述, q 的取值为 2,3, 4. ?????16 分 ???15 分

附加题答案
21. A、解: 又

P 为 AB 中点,? OP ? AB ,? PB ? r 2 ? OP 2 ?

3 , 2

???5 分

9 2 3 ,由 PC ? ,得 PD ? . ???10 分 8 3 4 B、解:设曲线 C 一点 ( x?, y?) 对应于曲线 C ? 上一点 ( x, y ) , ? 2 2 ? ? x? ? ? x ? ? ? ?? ? ? ? 2 2 2 2 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ,? x? ? y? ? x , x? ? y? ? y ,??5 分 ? 2 2 2 2 ? 2 2 ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 2 ? ? y?? ? y ? x? y y?x x? y y?x ? ? 1,? 曲线 C ? 的方程为 y 2 ? x2 ? 2 . , y? ? ,? x?y? ? ? x? ? 2 2 2 2

PC ? PD ? PA ? PB ? PB 2 ?

[来源:Zxxk.Com]

?10 分

C、解:易求直线 l : 4 x ? 3 y ? 2 ? 0 ,圆 C : ( x ? a) ? y ? a ,
2 2 2

依题意,有

4a ? 2 42 ? (?3) 2

? a ,解得 a ? ?2或

2 . 9

??10 分

D、证:

x2 x22 x2 ? x1 ? 3 ? x2 ? 1 ? x3 ? 2 x2 2 ? 2 x32 ? 2 x12 ? 2( x1 ? x2 ? x3 ) ? 2 , x1 x2 x3

?

x2 2 x32 x12 ? ? ? 1. x1 x2 x3

?10 分

22.解:(1)由点 A(1, 2) 在抛物线 F ,得 p ? 2 ,? 抛物线 F : y 2 ? 4 x , ?3 分

y12 y2 , y1 ) , C ( 2 , y2 ) , 4 4 2 y1 y2 2 y12 y2 ?1 ? 1? 2 1 1 1 4 ? 4 ? y1 ? 2 ? y2 ? y1 ? 2 ? y2 ? 1 . ? 4 ? ? ? ? 4 k1 k2 k3 y1 ? 2 y2 ? y1 2 ? y2 4 4 4
设 B( (2)另设 D (

??7 分

y32 1 1 1 1 y ? 2 y2 ? y1 y3 ? y2 2 ? y3 , y3 ) ,则 ? ? ? ? 1 ? ? ? ? 0 .?10 分 4 k1 k2 k3 k4 4 4 4 4 a2 k ?1 ? ?1 ,则 (a2k ?1 , a2 k ) ? (2, ?2) 或 (a2k ?1 , a2k ) ? (?2, 2) , 23.解:(1)因为对任意的 1 ? k ? m ,都有 a2 k 共有 2 种,所以 (a1 , a2 , a3 , ? ? ?, a2 m ) 共有 2m 种不同的选择,所以 A ? 2m . ??5 分 m ?1 1 m?1 (2)当存在一个 k 时,那么这一组有 2cm 种,其余的由(1)知有 2 ,所有共有 2c1 ; m2
当存在二个 k 时,因为条件对任意的 1 ? k ? l ? m ,都有 | 其余的由(1)知有 2
m?2
i ? 2 k ?1

?

2l

ai |? 4 成立得这两组共有 2cm ,

2

2 m? 2 ,所有共有 2cm 2 ;

m?1 2 m?2 m 依次类推得: B ? 2c1 ? 2cm 2 ???? ? 2cm ? 2(3m ? 2m ) . m2

???10 分


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