当前位置:首页 >> 数学 >>

复合函数求导解析及练习


复合函数求导
课 题 复合函数求导法则 课型:新授 课 主备教师:刘 素梅 总课时: 第 课时

学习目标

1、牢记基本初等函数求导公式 2、会利用基本初等函数求导公式求函数的导数 3、能正确分解简单的复合函数,记住复合函数的求导公式 4、会求简单的形如 f ?a ?b? 的复合函数的导数 x

教学重难点

一.创设情景

重点 会分解简单的复合函数及会求导 难点 正确分解复合函数的复合过程 备课札记

复习 :求下列函数的导数 (1) y?x x ? 4
3 2

?

?

(3) y ?

sin x x

(2) y 3s?i x ?o 4 cx s n

x 3 (4) y??2 ? ?

2

(5) y? n x 2 l ? ??

设置情境: (4)利用基本初等函数求导公式如何求导?(5)能用学过的公式求导吗? 二.新课讲授 探究 1、探究函数 y? n x 2 的结构特点 l ? ?? 探究:指出下列函数的复合关系
1 1 y ( ? x ) 2 y snx ) ) ?a bnm ) ?i ( ? x

复合函数的概念

一般地,对于两个函数 y? f ( )和 u?g x ,如果通过变 u ()

量 u , y 可以表示成 x 的函数,那么称这个函数为函数 y? f ( )和 u?g x 的 u ()

() 复合函数,记作 y?f ?g x ?。
复合函数的导数

() 复合函数 y?f ?g x ?的导数和函数 y? f ( )和 u?g x 的 u ()

导数间的关系为 y ? ? y ? ?u ?,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导 x u x 数的乘积.

? ?g ? fg ?( () 若 y?f ?g x ?,则 y ??( ? ??( ? ? ) ? f x? ? x g ) ) x ?
三.典例分析 例 1(课本例 4)求下列函数的导数: (1) y? 2 ? ) ; ( x 3 (2) y?e
2 ? .0 x 1 0 5?



(3) y s ( x ? (其中 ? , ? 均为常数) . ?n ?) i?

解: (1)函数 y? 2 ? ) 可以看作函数 y ? u 2 和 u 2 ? 的复合函数。根 ?x 3 ( x 32 据复合函数求导法则有
2 ' ' y ? ? y ? ?u?= () x) 48 2 u23 ux 。 (? ? ?1 ? x u x ? .0 1 (2) 函数 y?e 0 5x? 可以看作函数 y ? eu 和 u ? 5 1 根 ?0 x 的复合函数。 . ? 0

据复合函数求导法则有
u ' ' 0 5 y ? ? y ? ?u?= (?10 ?0 。 e. ?. e. e )0 ? u 0.x (5 ? ? ?1 0 )0 x 0 0? 5 0 5 x u x

(3)函数 y s ( x ? 可以看作函数 y?s u和 u ? ? 的复合函 ?n ?) i? in ?x? 数。根据复合函数求导法则有

y ? ? y ? ?u?= ( ) ? c c ? s' x? ? x i( ) o o ) n u ' s s u ( 。 x u x

? ?? ? ? ?
(2) y? 2 ? x 1

【点评】 求复合函数的导数,关键在于分析清楚函数的复合关系,选好中间变量。 变式:求下列函数的导数 (1) y ? cos

x 3

例 2 求描述气体膨胀状态的函数 r ? v ? ?

3

3v 的导数. 4?

【点评】 求复合函数的导数,关键在于搞清楚复合函数的结构,明确复合次数,由外 层向内层逐层求导,直到关于自变量求导,同时应注意不能遗漏求导环节并及时 化简计算结果. 【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数.求导数后要予以化简整理. 例 4 求 y =sin4x +cos 4x 的导数. 【解法一】y =sin 4x +cos 4x=(sin2x +cos2x)2-2sin2cos2x=1- =1-

1 sin22 x 2

1 3 1 (1-cos 4 x)= + cos 4 x.y′=-sin 4 x. 4 4 4

【解法二】y′=(sin 4 x)′+(cos 4 x)′=4 sin 3 x(sin x)′+4 cos 3x (cos x)′ =4 sin 3 x cos x +4 cos 3 x (-sin x)=4 sin x cos x (sin 2 x -cos 2 x) =-2 sin 2 x cos 2 x=-sin 4 x 【点评】 解法一是先化简变形,简化求导数运算,要注意变形准确.解法二是利用复 合函数求导数,应注意不漏步.

四.回顾总结(1)会分解复合函数(2)会求复合函数的导数 y ?y ? x ,其中 u u
' ' '

u 为中间变量。
五.课堂练习 1.求下列函数的导数 (1) y =sinx3+sin33x; (2) y ?

sin 2 x 2x ? 1

(3) logx ? ) 2 a(
2

2.求 ln( ?x 1 2 3? 的导数 x )
2

六.作业

教学反思


相关文章:
导数--复合函数的导数练习题
导数--复合函数的导数练习题_自我管理与提升_求职/职场_实用文档。微积分的基础...?( x) x (2) 复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量...
复合函数求导练习题
复合函数求导练习题_高三数学_数学_高中教育_教育专区。复合函数求导练习题,题型...若函数 ,则 的值为 . 第 3 页(共 12 页) 参考答案与试题解析一.选择题...
导数--复合函数的导数练习题(精品)
导数--复合函数的导数练习题(精品)_理学_高等教育_教育专区。函数求导 1. ...? ( v )? ? ( x ) x (2) 复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数...
高二数学——复合函数的求导讲义与练习
3 解析:y=u2,u=sinv,v=2x+ π 3 y’x=y’u·u’v·v’x 练习 3. 求 y=x·tanx 的导数. 求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定...
2016年专项练习题集-简单复合函数的导数
2016年专项练习题集-简单复合函数的导数_数学_高中教育_教育专区。2016 年专项...【解题思路】按照导数的减法法则展开,然后再对展开式中的复合函数求导。 【解析...
复合函数求导专练
?(v) (2)复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成的,且要求这些中间 变量均为基本初等函数或经过四则运算而成的初等函数。在求导时...
高中数学典型例题分析与解答:复合函数的导数
复合函数的导数 求分段函数的导数 1 2 x sin , x ≠ 0 的导数 例 求函数 f ( x ) = x 0, x = 0 分析:当 x = 0 时因为 f ′(0) 存在,...
导数--复合函数的导数练习题
导数--复合函数的导数练习题_高二数学_数学_高中教育_教育专区。导数--复合函数的导数练习题高中数学 第三册(选修Ⅱ)第 3 章导数练习题 高三第三章导数--复合...
复合函数求导
三.典例分析 例 1.求下列函数的导数. (1) y ? ? 2 x ? 3? ; 4 (...四.练习反馈 1.求下列函数的导数 (1) y ? x2 ; sin x (2) y ? x?...
复合函数求导
目的要求 2.能够运用复合函数求导法对复合函数进行求导。 重点、 难点 运用复合函数求导法对复合函数进行求导 教具准备 作业布置 实施情况 与 分析 教学体会 江苏省...
更多相关标签: