复合函数求导
课 题 复合函数求导法则 课型:新授 课 主备教师:刘 素梅 总课时: 第 课时
学习目标
1、牢记基本初等函数求导公式 2、会利用基本初等函数求导公式求函数的导数 3、能正确分解简单的复合函数,记住复合函数的求导公式 4、会求简单的形如 f ?a ?b? 的复合函数的导数 x
教学重难点 一.创设情景
重点 会分解简单的复合函数及会求导 难点 正确分解复合函数的复合过程 备课札记
复习 :求下列函数的导数 (1) y?x x ? 4
3 2
?
?
(3) y ?
sin x x
(2) y 3s?i x ?o 4 cx s n
x 3 (4) y??2 ? ?
2
(5) y? n x 2 l ? ??
设置情境: (4)利用基本初等函数求导公式如何求导?(5)能用学过的公式求导吗? 二.新课讲授 探究 1、探究函数 y? n x 2 的结构特点 l ? ?? 探究:指出下列函数的复合关系
1 1 y ( ? x ) 2 y snx ) ) ?a bnm ) ?i ( ? x
复合函数的概念
一般地,对于两个函数 y? f ( )和 u?g x ,如果通过变 u ()
量 u , y 可以表示成 x 的函数,那么称这个函数为函数 y? f ( )和 u?g x 的 u ()
() 复合函数,记作 y?f ?g x ?。
复合函数的导数
() 复合函数 y?f ?g x ?的导数和函数 y? f ( )和 u?g x 的 u ()
导数间的关系为 y ? ? y ? ?u ?,即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导 x u x 数的乘积.
? ?g ? fg ?( () 若 y?f ?g x ?,则 y ??( ? ??( ? ? ) ? f x? ? x g ) ) x ?
三.典例分析 例 1(课本例 4)求下列函数的导数: (1) y? 2 ? ) ; ( x 3 (2) y?e
2 ? .0 x 1 0 5?
;
(3) y s ( x ? (其中 ? , ? 均为常数) . ?n ?) i?
解: (1)函数 y? 2 ? ) 可以看作函数 y ? u 2 和 u 2 ? 的复合函数。根 ?x 3 ( x 32 据复合函数求导法则有
2 ' ' y ? ? y ? ?u?= () x) 48 2 u23 ux 。 (? ? ?1 ? x u x ? .0 1 (2) 函数 y?e 0 5x? 可以看作函数 y ? eu 和 u ? 5 1 根 ?0 x 的复合函数。 . ? 0
据复合函数求导法则有
u ' ' 0 5 y ? ? y ? ?u?= (?10 ?0 。 e. ?. e. e )0 ? u 0.x (5 ? ? ?1 0 )0 x 0 0? 5 0 5 x u x
(3)函数 y s ( x ? 可以看作函数 y?s u和 u ? ? 的复合函 ?n ?) i? in ?x? 数。根据复合函数求导法则有
y ? ? y ? ?u?= ( ) ? c c ? s' x? ? x i( ) o o ) n u ' s s u ( 。 x u x
? ?? ? ? ?
(2) y? 2 ? x 1
【点评】 求复合函数的导数,关键在于分析清楚函数的复合关系,选好中间变量。 变式:求下列函数的导数 (1) y ? cos
x 3
例 2 求描述气体膨胀状态的函数 r ? v ? ?
3
3v 的导数. 4?
【点评】 求复合函数的导数,关键在于搞清楚复合函数的结构,明确复合次数,由外 层向内层逐层求导,直到关于自变量求导,同时应注意不能遗漏求导环节并及时 化简计算结果. 【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数.求导数后要予以化简整理. 例 4 求 y =sin4x +cos 4x 的导数. 【解法一】y =sin 4x +cos 4x=(sin2x +cos2x)2-2sin2cos2x=1- =1-
1 sin22 x 2
1 3 1 (1-cos 4 x)= + cos 4 x.y′=-sin 4 x. 4 4 4
【解法二】y′=(sin 4 x)′+(cos 4 x)′=4 sin 3 x(sin x)′+4 cos 3x (cos x)′ =4 sin 3 x cos x +4 cos 3 x (-sin x)=4 sin x cos x (sin 2 x -cos 2 x) =-2 sin 2 x cos 2 x=-sin 4 x 【点评】 解法一是先化简变形,简化求导数运算,要注意变形准确.解法二是利用复 合函数求导数,应注意不漏步.
四.回顾总结(1)会分解复合函数(2)会求复合函数的导数 y ?y ? x ,其中 u u
' ' '
u 为中间变量。
五.课堂练习 1.求下列函数的导数 (1) y =sinx3+sin33x; (2) y ?
sin 2 x 2x ? 1
(3) logx ? ) 2 a(
2
2.求 ln( ?x 1 2 3? 的导数 x )
2
六.作业
教学反思