复合函数求导解析及练习

复合函数求导
课 题 复合函数求导法则 课型：新授 课 主备教师：刘 素梅 总课时： 第 课时

学习目标

1、牢记基本初等函数求导公式 2、会利用基本初等函数求导公式求函数的导数 3、能正确分解简单的复合函数，记住复合函数的求导公式 4、会求简单的形如 f ?a ?b? 的复合函数的导数 x

教学重难点 一．创设情景

重点 会分解简单的复合函数及会求导 难点 正确分解复合函数的复合过程 备课札记

复习 ：求下列函数的导数 （1） y?x x ? 4
3 2

?

?

（3） y ?

sin x x

（2） y 3s?i x ?o 4 cx s n

x 3 （4） y??2 ? ?

2

（5） y? n x 2 l ? ??

设置情境： （4）利用基本初等函数求导公式如何求导?(5)能用学过的公式求导吗? 二．新课讲授 探究 1、探究函数 y? n x 2 的结构特点 l ? ?? 探究:指出下列函数的复合关系
1 1 y ( ? x ) 2 y snx ) ) ?a bnm ) ?i ( ? x

复合函数的概念

一般地，对于两个函数 y? f ( )和 u?g x ，如果通过变 u ()

量 u ， y 可以表示成 x 的函数，那么称这个函数为函数 y? f ( )和 u?g x 的 u ()

() 复合函数，记作 y?f ?g x ?。
复合函数的导数

() 复合函数 y?f ?g x ?的导数和函数 y? f ( )和 u?g x 的 u ()

导数间的关系为 y ? ? y ? ?u ?，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导 x u x 数的乘积．

? ?g ? fg ?( () 若 y?f ?g x ?，则 y ??( ? ??( ? ? ) ? f x? ? x g ) ) x ?
三．典例分析 例 1（课本例 4）求下列函数的导数： （1） y? 2 ? ) ； ( x 3 （2） y?e
2 ? .0 x 1 0 5?

；

（3） y s ( x ? （其中 ? , ? 均为常数） ． ?n ?) i?

解： （1）函数 y? 2 ? ) 可以看作函数 y ? u 2 和 u 2 ? 的复合函数。根 ?x 3 ( x 32 据复合函数求导法则有
2 ' ' y ? ? y ? ?u?= () x) 48 2 u23 ux 。 (? ? ?1 ? x u x ? .0 1 （2） 函数 y?e 0 5x? 可以看作函数 y ? eu 和 u ? 5 1 根 ?0 x 的复合函数。 . ? 0

据复合函数求导法则有
u ' ' 0 5 y ? ? y ? ?u?= (?10 ?0 。 e. ?. e. e )0 ? u 0.x (5 ? ? ?1 0 )0 x 0 0? 5 0 5 x u x

（3）函数 y s ( x ? 可以看作函数 y?s u和 u ? ? 的复合函 ?n ?) i? in ?x? 数。根据复合函数求导法则有

y ? ? y ? ?u?= ( ) ? c c ? s' x? ? x i( ) o o ) n u ' s s u ( 。 x u x

? ?? ? ? ?
（2） y? 2 ? x 1

【点评】 求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量。 变式：求下列函数的导数 （1） y ? cos

x 3

例 2 求描述气体膨胀状态的函数 r ? v ? ?

3

3v 的导数． 4?

【点评】 求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外 层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时 化简计算结果． 【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理． 例 4 求 y ＝sin4x ＋cos 4x 的导数． 【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x＝(sin2x ＋cos2x)2－2sin2cos2x＝1－ ＝1－

1 sin22 x 2

1 3 1 （1－cos 4 x）＝ ＋ cos 4 x．y′＝－sin 4 x． 4 4 4

【解法二】y′＝(sin 4 x)′＋(cos 4 x)′＝4 sin 3 x(sin x)′＋4 cos 3x (cos x)′ ＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x)＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x) ＝－2 sin 2 x cos 2 x＝－sin 4 x 【点评】 解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复 合函数求导数，应注意不漏步．

四．回顾总结（1）会分解复合函数（2）会求复合函数的导数 y ?y ? x ,其中 u u
' ' '

u 为中间变量。
五．课堂练习 1．求下列函数的导数 (1) y =sinx3+sin33x； （2） y ?

sin 2 x 2x ? 1

(3) logx ? ) 2 a(
2

2.求 ln( ?x 1 2 3? 的导数 x )
2

六．作业

教学反思