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2013年江西省高考数学试卷(理科)答案与解析


2013 年江西省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. (5 分) (2013?江西)已知集合 M={1,2,zi},i 为虚数单位,N={3,4},M∩N={4}, 则复数 z=( ) A.﹣2i B.2i C.﹣4i

D.4i 考点: 交集及其运算. 专题: 计算题. 分析: 根据两集合的交集中的元素为 4,得到 zi=4,即可求出 z 的值. 解答: 解:根据题意得:zi=4, 解得:z=﹣4i. 故选 C 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.
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2. (5 分) (2013?江西)函数 y= A.(0,1) B.[0,1) 考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 计算题;函数的性质及应用. 分析: 由函数的解析式可直接得到不等式组
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的定义域为( C.(0,1]

) D.[0,1]

,解出其解集即为所求的定义域,从

而选出正确选项 解答: 解:由题意,自变量满足

,解得 0≤x<1,即函数 y=

的定

义域为[0,1) 故选 B 点评: 本题考查函数定义域的求法, 理解相关函数的定义是解题的关键, 本题是概念考查题, 基础题. 3. (5 分) (2013?江西)等比数列 x,3x+3,6x+6,…的第四项等于( ) A.﹣24 B.0 C.12 D.24 考点: 等比数列的性质. 专题: 等差数列与等比数列. 2 分析: 由题意可得(3x+3) =x(6x+6) ,解 x 的值,可得此等比数列的前三项,从而求得此 等比数列的公比,从而求得第四项. 2 解答: 解:由于 x,3x+3,6x+6 是等比数列的前三项,故有(3x+3) =x(6x+6) ,解 x=﹣3, 故此等比数列的前三项分别为﹣3,﹣6,﹣12,故此等比数列的公比为 2,故第四项 为﹣24, 故选 A.
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1

点评: 本题主要考查等比数列的通项公式,等比数列的性质,属于基础题. 4. (5 分) (2013?江西)总体由编号为 01,02,…,19,20 的 20 个个体组成.利用下面的 随机数表选取 5 个个体, 选取方法从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右一 次选取两个数字,则选出来的第 5 个个体的编号为( ) 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 A.08 B.07 C.02 D.01

考点: 简单随机抽样. 专题: 图表型. 分析: 从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读, 依次为 65,72,08,02,63,14,07,02,43,69,97,28,01,98,…,其中 08, 02,14,07,01 符合条件,故可得结论. 解答: 解: 从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向 右读, 第一个数为 65,不符合条件,第二个数为 72,不符合条件, 第三个数为 08,符合条件, 以下符合条件依次为:08,02,14,07,01, 故第 5 个数为 01. 故选:D. 点评: 本题主要考查简单随机抽样.在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的, 所以每个数被抽到的概率是一样的.
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5. (5 分) (2013?江西) (x ﹣ A.80 B.﹣80

2

) 的展开式中的常数项为( C.40

5

) D.﹣40

考点: 二项式定理. 专题: 计算题;概率与统计. 5 分析: 利用(x ) 展开式中的通项公式 T
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r+1= 5

?x

2(5﹣r)

?(﹣2) ?x

r

﹣3r

,令 x 的幂

指数为 0,求得 r 的值,即可求得(x 解答: 解:设(x 则 Tr+1= ?x
5

) 展开式中的常数项.

) 展开式中的通项为 Tr+1,
2(5﹣r)

?(﹣2) ?x

r

﹣3r

=(﹣2) ?

r

?x

10﹣5r



令 10﹣5r=0 得 r=2, ∴(x ) 展开式中的常数项为(﹣2) ×
5 2

=4×10=40.

故选 C. 点评: 本题考查二项式定理, 着重考查二项展开式的通项公式, 考查运算能力, 属于中档题.
2

6. (5 分) (2013?江西)若 S1= 关系为( ) A.S1<S2<S3

x dx,S2=

2

dx,S3=

e dx,则 S1,S2,S3 的大小

x

B.S2<S1<S3

C.S2<S3<S1

D.S3<S2<S1

考点: 微积分基本定理. 专题: 导数的概念及应用. 分析: 先利用积分基本定理计算三个定积分,再比较它们的大小即可. 解答: 2 解:由于 S1= x dx= | = ,
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S2= S3=

dx=lnx| e dx=e |
2 x x

=ln2, =e ﹣e.
2

且 ln2< <e ﹣e,则 S2<S1<S3. 故选:B.

点评: 本小题主要考查定积分的计算、 不等式的大小比较等基础知识, 考查运算求解能力. 属 于基础题. 7. (5 分) (2013?江西)阅读如下程序框图,如果输出 i=5,那么在空白矩形框中应填入的

语句为( A.S=2*i﹣2

) B.S=2*i﹣1 C.S=2*i D.S=2*i+4

考点: 程序框图.

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3

专题: 图表型. 分析: 题目给出了输出的结果 i=5,让我们分析矩形框中应填的语句,根据判断框中内容, 即 s<10,我们模拟程序执行的过程,从而得到答案. 解答: 解:当空白矩形框中应填入的语句为 S=2*I 时, 程序在运行过程中各变量的值如下表示: i S 是否继续循环 循环前 1 0/ 第一圈 2 5 是 第二圈 3 6 是 第三圈 4 9 是 第四圈 5 10 否 故输出的 i 值为:5,符合题意. 故选 C. 点评: 本题考查了程序框图中的当型循环,当型循环是当条件满足时进入循环体,不满足条 件算法结束,输出结果. 8. (5 分) (2013?江西) 如果, 正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 α 上, 且 AB∥CD, 正方体的六个面所在的平面与直线 CE, EF 相交的平面个数分别记为 m, n, 那么 m+n= ( )

A.8

B.9

C.10

D.11

考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 判断 CE 与 EF 与正方体表面的关系, 即可推出正方体的六个面所在的平面与直线 CE, EF 相交的平面个数分别记为 m,n,求出 m+n 的值. 解答: 解:由题意可知直线 CE 与正方体的上底面平行在正方体的下底面上,与正方体的四 个侧面不平行,所以 m=4, 直线 EF 与正方体的左右两个侧面平行,与正方体的上下底面相交,前后侧面相交, 所以 n=4,所以 m+n=8. 故选 A. 点评: 本题考查直线与平面的位置关系,基本知识的应用,考查空间想象能力.
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9. (5 分) (2013?江西)过点(

)引直线 l 与曲线 y=

相交于 A,B 两点,O

为坐标原点,当△ ABO 的面积取得最大值时,直线 l 的斜率等于( ) A. B. C. D.

考点: 直线与圆的位置关系;直线的斜率. 专题: 压轴题;直线与圆.

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4

分析: 由题意可知曲线为单位圆在 x 轴上方部分(含与 x 轴的交点) ,由此可得到过 C 点的 直线与曲线相交时 k 的范围,设出直线方程,由点到直线的距离公式求出原点到直线 的距离,由勾股定理求出直线被圆所截半弦长,写出面积后利用配方法转化为求二次 函数的最值. 解答: 2 2 解:由 y= ,得 x +y =1(y≥0) . 所以曲线 y= 表示单位圆在 x 轴上方的部分(含与 x 轴的交点) ,

设直线 l 的斜率为 k,要保证直线 l 与曲线有两个交点,且直线不与 x 轴重合, 则﹣1<k<0,直线 l 的方程为 y﹣0= 则原点 O 到 l 的距离 d= ,即 .

,l 被半圆截得的半弦长为





=

= 令 值为 . ,则

= ,当 ,即



时,S△ ABO 有最大

此时由

,解得 k=﹣



故答案为 B. 点评: 本题考查了直线的斜率,考查了直线与圆的关系,考查了学生的运算能力,考查了配 方法及二次函数求最值,解答此题的关键在于把面积表达式转化为二次函数求最值, 是中档题. 10. (5 分) (2013?江西)如图,半径为 1 的半圆 O 与等边三角形 ABC 夹在两平行线 l1,l2 之间,l∥l1,l 与半圆相交于 F,G 两点,与三角形 ABC 两边相交于 E,D 两点.设弧 的

长为 x(0<x<π) ,y=EB+BC+CD,若 l 从 l1 平行移动到 l2,则函数 y=f(x)的图象大致是 ( )

5

A.

B.

C.

D.

考点: 函数的图象. 专题: 压轴题;函数的性质及应用. 分析: 由题意可知:随着 l 从 l1 平行移动到 l2,y=EB+BC+CD 越来越大,考察几个特殊的情 况,计算出相应的函数值 y,结合考查选项可得答案. 解答: 解:当 x=0 时,y=EB+BC+CD=BC= ;
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当 x=π 时,此时 y=AB+BC+CA=3× 当 x= 时,∠FOG=

=2

; ,

,三角形 OFG 为正三角形,此时 AM=OH=

在正△ AED 中,AE=ED=DA=1, ∴y=EB+BC+CD=AB+BC+CA﹣(AE+AD)=3× 又当 x= 故当 x= 故选 D. 时,图中 y0= + (2 ﹣ )= ﹣2×1=2 >2 ﹣2.如图. ﹣2.

时,对应的点(x,y)在图中红色连线段的下方,对照选项,D 正确.

点评: 本题考查函数的图象,注意理解图象的变化趋势是解决问题的关键,属中档题. 二.第Ⅱ卷填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分 11. (5 分) (2013?江西)函数 y= 最小正周期 T 为 π .

考点: 三角函数的周期性及其求法;两角和与差的正弦函数;二倍角的余弦.
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专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 函数解析式第二项利用二倍角的余弦函数公式化简, 整理后利用两角和与差的正弦函 数公式化为一个角的正弦函数, 找出 ω 的值, 代入周期公式即可求出函数的最小正周 期. 解答: 解:y=sin2x+2 × =sin2x﹣ cos2x+ =2( sin2x﹣ cos2x) + =2sin (2x﹣ )+ ,

∵ω=2,∴T=π. 故答案为:π 点评: 此题考查了三角函数的周期性及其求法,涉及的知识有:二倍角的余弦函数公式,两 角和与差的正弦函数公式,熟练掌握公式是解本题的关键.

12. (5 分) (2013?江西)设 =2



为单位向量.且 .



的夹角为

,若 =

+3



,则向量 在 方向上的射影为

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据题意求得 的值,从而求得
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的值,再根据 在 上的射影为

,运

算求得结果. 解答: 解: ∵ 、 为单位向量, 且 ∵ = +3 , =2 ,∴

和 =(

的夹角 θ 等于 +3 )?(2

, ∴ )=2 +6

=1×1×cos

= .

=2+3=5.

∴ 在 上的射影为

= ,

故答案为



点评: 本题主要考查两个向量的数量积的运算,一个向量在另一个向量上的射影的定义,属 于中档题. 13. (5 分) (2013?江西)设函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(e )=x+e ,则 f′(1)= 2 . 考点: 导数的运算;函数的值. 专题: 计算题;压轴题;函数的性质及应用;导数的概念及应用. 分析: 由题设知,可先用换元法求出 f(x)的解析式,再求出它的导数,从而求出 f′(1) . x x 解答: 解:函数 f(x)在(0,+∞)内可导,且 f(e )=x+e , x 令 e =t,则 x=lnt,故有 f(t)=lnt+t,即 f(x)=lnx+x,
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x

x

7

∴f′(x)= +1,故 f′(1)=1+1=2. 故答案为:2. 点评: 本题考查了求导的运算以及换元法求外层函数的解析式,属于基本题型,运算型.

14. (5 分) (2013?江西)抛物线 x =2py(p>0)的焦点为 F,其准线与双曲线 相交于 A,B 两点,若△ ABF 为等边三角形,则 p= 6 .

2

=1

考点: 抛物线的简单性质;双曲线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出抛物线的焦点坐标,准线方程,然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标,利 用三角形是等边三角形求出 p 即可. 解答: 解:抛物线的焦点坐标为(0, ) ,准线方程为:y=﹣ ,
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准线方程与双曲线联立可得:



解得 x=±


2 2

因为△ ABF 为等边三角形,所以 即 ,解得 p=6.

,即 p =3x ,

故答案为:6. 点评: 本题考查抛物线的简单性质,双曲线方程的应用,考查分析问题解决问题的能力以及 计算能力. 三.第Ⅱ卷选做题:请在下列两题中任选一题作答,若两道题都做,按第一题评卷计分.本 题共 5 分. 15. (5 分) (2013?江西) (坐标系与参数方程选做题) 设曲线 C 的参数方程为 (t 为参数) ,若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴
2

为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为 ρcos θ﹣sinθ=0 . 考点: 抛物线的参数方程;简单曲线的极坐标方程. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先求出曲线 C 的普通方程,再利用 x=ρcosθ,y=ρsinθ 代换求得极坐标方程. 解答: 2 解:由 (t 为参数) ,得 y=x ,
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令 x=ρcosθ,y=ρsinθ, 代入并整理得 ρcos θ﹣sinθ=0. 2 即曲线 C 的极坐标方程是 ρcos θ﹣sinθ=0. 2 故答案为:ρcos θ﹣sinθ=0. 点评: 本题主要考查极坐标方程、参数方程及直角坐标方程的转化.普通方程化为极坐标方 程关键是利用公式 x=ρcosθ,y=ρsinθ. 16. (2013?江西) (不等式选做题) 在实数范围内,不等式||x﹣2|﹣1|≤1 的解集为 [0,4] . 考点: 绝对值不等式的解法. 专题: 计算题;压轴题;不等式的解法及应用. 分析: 利用绝对值不等式的等价形式,利用绝对值不等式几何意义求解即可. 解答: 解:不等式||x﹣2|﹣1|≤1 的解集,就是﹣1≤|x﹣2|﹣1≤1 的解集,也就是 0≤|x﹣2|≤2 的 解集, 0≤|x﹣2|≤2 的几何意义是数轴上的点到 2 的距离小于等于 2 的值, 所以不等式的解为: 0≤x≤4. 所以不等式的解集为[0,4]. 故答案为:[0,4]. 点评: 本题考查绝对值不等式的解法,绝对值不等式的几何意义,注意不等式的等价转化是 解题的关键.
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2

四.第Ⅱ卷解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 17. (12 分) (2013?江西)在△ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 cosC+ (cosA﹣ sinA)cosB=0. (1)求角 B 的大小; (2)若 a+c=1,求 b 的取值范围. 考点: 余弦定理;两角和与差的余弦函数. 专题: 解三角形. 分析: (1)已知等式第一项利用诱导公式化简,第二项利用单项式乘多项式法则计算,整 理后根据 sinA 不为 0 求出 tanB 的值,由 B 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数 值即可求出 B 的度数; 2 (2)由余弦定理列出关系式,变形后将 a+c 及 cosB 的值代入表示出 b ,根据 a 的范 2 围,利用二次函数的性质求出 b 的范围,即可求出 b 的范围. 解答: 解: (1)由已知得:﹣cos(A+B)+cosAcosB﹣ sinAcosB=0, 即 sinAsinB﹣ sinAcosB=0, ∵sinA≠0,∴sinB﹣ cosB=0,即 tanB= , 又 B 为三角形的内角,
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则 B=



(2)∵a+c=1,即 c=1﹣a,cosB= ,
9

∴由余弦定理得:b =a +c ﹣2ac?cosB,即 b =a +c ﹣ac=(a+c) ﹣3ac=1﹣3a(1﹣a) =3(a﹣ ) + , ∵0<a<1,∴ ≤b <1, 则 ≤b<1. 点评: 此题考查了余弦定理, 二次函数的性质, 诱导公式, 以及同角三角函数间的基本关系, 熟练掌握余弦定理是解本题的关键. 18. (12 分) (2013?江西)正项数列{an}的前 n 项和 Sn 满足: Sn
2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

(1)求数列{an}的通项公式 an; (2)令 b ,数列{bn}的前 n 项和为 Tn.证明:对于任意 n∈N ,都有
*

T



考点: 数列的求和;等差数列的通项公式. 专题: 计算题;证明题;等差数列与等比数列. 2 分析: (I)由 S
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n

可求 sn,然后利用 a1=s1,n≥2 时,

an=sn﹣sn﹣1 可求 an (II)由 b = = ,利用裂项

求和可求 Tn,利用放缩法即可证明 2 解答: 解: (I)由 S
n

可得,[

](Sn+1)=0

∵正项数列{an},Sn>0 2 ∴Sn=n +n 于是 a1=S1=2 2 2 n≥2 时,an=Sn﹣Sn﹣1=n +n﹣(n﹣1) ﹣(n﹣1)=2n,而 n=1 时也适合 ∴an=2n (II)证明:由 b = =



]

10

=

点评: 本题主要考查了递推公式 a1=s1, n≥2 时, an=sn﹣sn﹣1 在求解数列的通项公式中的应用 及数列的裂项求和方法的应用. 19. (12 分) (2013?江西)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队,游 戏规则为:以 0 为起点,再从 A1,A2,A3,A4,A5,A6,A7,A8(如图)这 8 个点中任 取两点分别为终点得到两个向量,记这两个向量的数量积为 X.若 X=0 就参加学校合唱团, 否则就参加学校排球队. (1)求小波参加学校合唱团的概率; (2)求 X 的分布列和数学期望.

考点: 离散型随机变量及其分布列;古典概型及其概率计算公式;离散型随机变量的期望与 方差. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (1)先求出从 8 个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法,而 X=0 时,即两向 量夹角为直角,求出结果数,代入古典概率的求解公式可求 (2)先求出两向量数量积的所有可能情形及相应的概率,即可求解分布列及期望值 解答: 解: (1)从 8 个点中任意取两个点为向量的终点的不同取法有 =28 种
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X=0 时,两向量夹角为直角共有 8 种情形 所以小波参加学校合唱团的概率 P(X=0)= =

(2)两向量数量积的所有可能情形有﹣2,﹣1,0,1 X=﹣2 时有 2 种情形 X=1 时有 8 种情形 X=﹣1 时,有 10 种情形 X 的分布列为: X﹣2﹣1 01

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P EX= =

点评: 本题主要考查了古典概率的求解公式的应用及离散型随机变量的分布列及期望值的 求解. 20. (12 分) (2013?江西)如图,四棱锥 P﹣ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,E 为 BD 的中点, G 为 PD 的中点,△ DAB≌△DCB,EA=EB=AB=1,PA= ,连接 CE 并延长交 AD 于 F (1)求证:AD⊥平面 CFG; (2)求平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值.

考点: 用空间向量求平面间的夹角;直线与平面垂直的判定;二面角的平面角及求法. 专题: 计算题;空间位置关系与距离;空间角. 分析: (1)利用直角三角形的判定得到∠BAD= ,且∠ABE=∠AEB= .由 △ DAB≌△DCB 得到△ EAB≌△ECB,从而得到∠FED=∠FEA=

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,所以 EF⊥AD

且 AF=FD,结合题意得到 FG 是△ PAD 是的中位线,可得 FG∥PA,根据 PA⊥平面 ABCD 得 FG⊥平面 ABCD, 得到 FG⊥AD, 最后根据线面垂直的判定定理证出 AD⊥ 平面 CFG; (2)以点 A 为原点,AB、AD、PA 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图直角坐标系, 得到 A、B、C、D、P 的坐标,从而得到 为零的方法建立方程组,解出 =(1,﹣ 、 、 的坐标,利用垂直向量数量积 ,2)分别为平面 BCP、

, )和 =(1,

平面 DCP 的法向量,利用空间向量的夹角公式算出 、 夹角的余弦,即可得到平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值. 解答: 解: (1)∵在△ DAB 中,E 为 BD 的中点,EA=EB=AB=1, ∴AE= BD,可得∠BAD= ,且∠ABE=∠AEB=
12

∵△DAB≌△DCB,∴△ EAB≌△ECB,从而得到∠FED=∠BEC=∠AEB= ∴∠EDA=∠EAD= ,可得 EF⊥AD,AF=FD

又∵△PAD 中,PG=GD,∴FG 是△ PAD 是的中位线,可得 FG∥PA ∵PA⊥平面 ABCD,∴FG⊥平面 ABCD, ∵AD?平面 ABCD,∴FG⊥AD 又∵EF、FG 是平面 CFG 内的相交直线,∴AD⊥平面 CFG; (2)以点 A 为原点,AB、AD、PA 分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立如图直角坐标系, 可得 A(0,0,0) ,B(1,0,0) ,C( , ∴ =( , ,0) , =(﹣ ,﹣ ,0) ,D(0, , ) , ,0) ,P(0,0, ) ,0)

=(﹣ ,

设平面 BCP 的法向量 =(1,y1,z1) ,则

解得 y1=﹣

,z1= ,可得 =(1,﹣

, ) ,

设平面 DCP 的法向量 =(1,y2,z2) ,则

解得 y2=

,z2=2,可得 =(1,

,2) ,

∴cos< , >=

=

=

因此平面 BCP 与平面 DCP 的夹角的余弦值等于|cos< , >|=



点评: 本题在三棱锥中求证线面垂直,并求平面与平面所成角的余弦值.着重考查了空间线
13

面垂直的判定与性质,考查了利用空间向量研究平面与平面所成角等知识,属于中档 题.

21. (13 分) (2013?江西)如图,椭圆 C:

经过点 P(1, ) ,离

心率 e= ,直线 l 的方程为 x=4. (1)求椭圆 C 的方程; (2)AB 是经过右焦点 F 的任一弦(不经过点 P) ,设直线 AB 与直线 l 相交于点 M,记 PA, PB,PM 的斜率分别为 k1,k2,k3.问:是否存在常数 λ,使得 k1+k2=λk3?若存在,求 λ

的值;若不存在,说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程. 专题: 压轴题;转化思想;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)由题意将点 P (1, )代入椭圆的方程,得到
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,再

由离心率为 e= ,将 a,b 用 c 表示出来代入方程,解得 c,从而解得 a,b,即可得到 椭圆的标准方程; (2)方法一:可先设出直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1) ,代入椭圆的方程并整理成关 于 x 的一元二次方程,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,利用根与系数的关系求得 x1+x2= , ,再求点 M 的坐标,分别表示出 k1,k2,k3.比

较 k1+k2=λk3 即可求得参数的值; 方法二:设 B(x0,y0) (x0≠1) ,以之表示出直线 FB 的方程为 ,

由此方程求得 M 的坐标,再与椭圆方程联立,求得 A 的坐标,由此表示出 k1,k2, k3.比较 k1+k2=λk3 即可求得参数的值 解答: 解: (1)椭圆 C: 经过点 P (1, ) ,可得

① 由离心率 e= 得 = ,即 a=2c,则 b =3c ②,代入①解得 c=1,a=2,b=
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2 2

故椭圆的方程为 (2)方法一:由题意可设 AB 的斜率为 k,则直线 AB 的方程为 y=k(x﹣1)③ 代入椭圆方程 并整理得(4k +3)x ﹣8k x+4k ﹣12=0
2 2 2 2

设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , x1+x2= , ④

在方程③中,令 x=4 得,M 的坐标为(4,3k) , 从而 , , =k﹣

注意到 A,F,B 共线,则有 k=kAF=kBF,即有

=

=k

所以 k1+k2=

+

=

+

﹣ (

+



=2k﹣ ×



④代入⑤得 k1+k2=2k﹣ ×

=2k﹣1

又 k3=k﹣ ,所以 k1+k2=2k3 故存在常数 λ=2 符合题意 方法二:设 B(x0,y0) (x0≠1) ,则直线 FB 的方程为

令 x=4,求得 M(4,



从而直线 PM 的斜率为 k3=



15

联立

,得 A(



) ,

则直线 PA 的斜率 k1=

,直线 PB 的斜率为 k2=

所以 k1+k2= 故存在常数 λ=2 符合题意

+

=2×

=2k3,

点评: 本题考查直线与圆锥曲线的综合问题,考查了分析转化的能力与探究的能力,考查了 方程的思想,数形结合的思想,本题综合性较强,运算量大,极易出错,解答时要严 谨运算,严密推理,方能碸解答出.

22. (14 分) (2013?江西)已知函数 f(x)= (1)f(x)的图象关于直线 x= 对称;

,a 为常数且 a>0.

(2)若 x0 满足 f(f(x0) )=x0,但 f(x0)≠x0,则 x0 称为函数 f(x)的二阶周期点,如果 f(x)有两个二阶周期点 x1,x2,试确定 a 的取值范围; (3)对于(2)中的 x1,x2,和 a,设 x3 为函数 f(f(x) )的最大值点,A(x1,f(f(x1) ) ) , B(x2,f(f(x2) ) ) ,C(x3,0) ,记△ ABC 的面积为 S(a) ,讨论 S(a)的单调性. 考点: 利用导数研究函数的单调性;奇偶函数图象的对称性;函数的值. 专题: 压轴题;新定义. 分析: (1)只要证明 成立即可;

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(2)对 a 分类讨论,利用二阶周期点的定义即可得出; (3)由(2)得出 x3,得出三角形的面积,利用导数即可得出其单调性. 解答: (1)证明:∵ = =a(1﹣2|x|) , =a(1﹣2|x|) , ∴ ,∴f(x)的图象关于直线 x= 对称.

16

(2)解:当

时,有 f(f(x) )=



∴f(f(x) )=x 只有一个解 x=0 又 f(0)=0,故 0 不是二阶周期点.



时,有 f(f(x) )=



∴f(f(x) )=x 有解集,{x|x

},故此集合中的所有点都不是二阶周期点.



时,有 f(f(x) )=



∴f(f(x) )=x 有四个解:0,







由( f 0) =0,







故只有



是( f x) 的二阶周期点, 综上所述, 所求 a 的取值范围为



(3)由(2)得





∵x2 为函数 f(x)的最大值点,∴ 当 时,S(a)=

,或




.求导得:S (a)

=



∴当 单调递减.

时,S(a)单调递增,当

时,S(a)

17



时,S(a)=

,求导得





,从而有



∴当

时,S(a)单调递增.

点评: 本题考查了新定义“二阶周期点”、利用导数研究函数的单调性、三角形的面积等基础 知识,考查了推理能力和计算能力.

18


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