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2.3 幂函数教学能手教学课件


2.3 幂函数

复习引入
(1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克,那么她需要支付p=w元,这里p 是w的函数; (2) 如果正方形的边长为a,那么正方形 的面积S=a2,这里S是a的函数;

(3) 如果立方体的边长为a,那么立方体 的体积V=a3,这里V是a的函数;

复习引入
(4) 如果一个正方形场地的面积为S,那
么这个正方形的边长 a ? S 是S的函数;
1 2

,这里a

(5) 如果某人t秒内骑车行进了1 km,那 么他骑车的平均速度v=t-1km/s,这里 v是t的函数. 思考:这些函数有什么共同的特征?

思考:这些函数有什么共同的特征?

(1) 都是函数;
(2) 指数为常数; (3) 均是以自变量为底的幂.

讲授新课
一般地,函数y=xα叫做幂函数, 其中x是自变量,α是常数. 注意: 幂函数中α的值可以为任意实数.

练习 1. 判断下列函数是否为幂函数
1 2

(1) y ? x

4

( 2) y ? x
2

( 3) y ? 2 x
3

( 4) y ? ? x

2

( 5) y ? x ? 2

练习 2. 在同一平面直角坐
标系内作出幂函数

y

y ? x, y ? x , y ? x ,
2 3

y? x , y? x
的图象.

1 2

?1

O

x

观察图象,将你发现的结论写在下表内
y? x
定义域 值域 R R 奇 增

y? x
R

2

y ? x3 y ? x
R R 奇 增

1 2

y ? x ?1
{x|x≠0} {y|y≠0} 奇 (0,+∞)减 (-∞,0)减

[0,+∞) [0,+∞) 非奇非偶 增

[0,+∞) 偶 [0,+∞)增 (-∞,0]减

奇偶性
单调性

公共点

(1,1)

幂函数的性质

幂函数的性质

(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,
并且图象都通过点(1,1);

幂函数的性质

(1) 所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,
并且图象都通过点(1,1); (2) 如果α>0,则幂函数图象过原点, 并且在区间[0,+∞)上是增函数;

幂函数的性质 (3) 如果α <0,则幂函数图象在区间 (0,+∞)上是减函数,在第一象限内,当 x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方 无限地逼近y轴,当x趋向于+∞时,图象 在x轴上方无限地逼近x轴;

幂函数的性质 (3) 如果α <0,则幂函数图象在区间 (0,+∞)上是减函数,在第一象限内,当 x从右边趋向于原点时,图象在y轴右方 无限地逼近y轴,当x趋向于+∞时,图象 在x轴上方无限地逼近x轴; (4) 当α为奇数时,幂函数为奇函数; 当α为偶数时,幂函数为偶函数.

1 1.函数f(x)=x+ 为奇函数. x

练习 判断正误

2.函数f(x)=x2,x?[-1,1)为偶函数.
3.函数y=f(x)在定义域R上是奇函数, 且在(-?, 0]上是递增的,则f(x)在 [0, +?)上也是递增的. 4.函数y=f(x)在定义域R上是偶函数, 且在(-?, 0]上是递减的,则f(x)在 [0, +?)上也是递减的.

例1 比较下列各组数的大小

(1) 3 和 3.1
1 ( 2) 8 和 ( ) 9
7 8

5 ? 2

5 ? 2

7 8

( 3) 3 和 5

1.4

1. 5

练习 比较下列各组数的大小

(1) 1.5 和 1.7
2 ( 2) ( ? ) 3
2 5
? 2 3

1 3

1 3
2 3

3 和 (? ) 5
2 3

?

( 3) 4.1 和 5.8

利用幂函数的增减性比较两个数的大小.

(1) 若能化为同指数,则用幂函数的单调 性; (2) 若能化为同底数,则用指数函数的单 调性; (3)当不能直接进行比较时,可在两个数 中间插入一个中间数,间接比较两 个数的大小.

例2 证明幂函数 f ( x ) ?
上是增函数.

x 在[0,+∞)

课堂小结
(1) 幂函数的定义;

(2) 幂函数的性质;
(3) 利用幂函数的单调性判别大小.

课后作业
1. 阅读教材P.77~ P.78;

2. 《习案》作业二十六.


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