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2016年高考文数热点题型和提分秘籍 专题20 平面向量的数量积及平面向量的应用


【高频考点解读】 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.了解平面向量的数量积与向量投影的关 系. 2.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. 3.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 会用向量方法解决简单的力学问题与其 他一些实际问题. 【热点题型】 题型一 平面向量数量积的运算

r />
→ → 例 1、(1)已知点 A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D(3,4),则向量AB在CD方向上的投影为 ( ) 3 2 A. 2 3 15 B. 2

3 2 3 15 C.- 2 D.- 2 → → → → (2)已知正方形 ABCD 的边长为 1, 点 E 是 AB 边上的动点, 则DE· CB的值为________; DE· DC 的最大值为________. 答案 (1)A (2)1 1 解析 → → (1)AB=(2,1),CD=(5,5),

→ → AB· CD 2×5+1×5 → → ∴AB在CD方向上的投影为 → = 52+52 |CD| = 15 3 2 = 2 . 5 2

(2)方法一 以射线 AB,AD 为 x 轴,y 轴的正方向建立平面直角坐标系,则 A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),设 → → → → E(t,0),t∈[0,1],则DE=(t,-1),CB=(0,-1),所以DE· CB=(t,-1)· (0,-1)= 1.
1

→ 因为DC=(1,0), → → 所以DE· DC=(t,-1)· (1,0)=t≤1, → → 故DE· DC的最大值为 1. 方法二 → → 由图知,无论 E 点在哪个位置,DE在CB方向上的投影都是 CB=1, → → → ∴DE· CB=|CB|· 1=1, → → → → → 当 E 运动到 B 点时,DE在DC方向上的投影最大即为 DC=1,∴(DE· DC)max=|DC|· 1=1. 【提分秘籍】求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用 数量积的几何意义. 【举一反三】(1)已知平面向量 a=(x1,y1),b=(x2,y2),若|a|=2,|b|=3,a· b=-6. x1+y1 则 的值为( x2+y2 )

2 2 5 5 A.3B.-3C.6D.-6 → → → (2)在△ABC 中,若 A=120°,AB· AC=-1,则|BC|的最小值是( A. 2B.2C. 6D.6 答案 (1)B (2)C )

2

题型二 求向量的模与夹角 π 例 2、(1)若平面向量 a 与平面向量 b 的夹角等于3,|a|=2,|b|=3,则 2a-b 与 a+ 2b 的夹角的余弦值等于( 1 1 A.26 B.-26 1 1 C.12 D.-12 (2)已知向量 a,b 的夹角为 45°,且|a|=1,|2a-b|= 10,则|b|=________. → → → → → → → → → (3)已知向量AB与AC的夹角为 120°, 且|AB|=3, |AC|=2.若 A P =λAB+AC, 且AP⊥BC, 则实数 λ 的值为________. 7 答案 (1)B (2)3 2 (3)12 解析 (1)记向量 2a-b 与 a+2b 的夹角为 θ, π 又(2a-b)2=4×22+32-4×2×3×cos3=13, π (a+2b)2=22+4×32+4×2×3×cos3=52, (2a-b)· (a+2b)=2a2-2b2+3a· b =8-18+9=-1, ?2a-b?· ?a+2b? 1 故 cosθ= =-26, |2a-b|· |a+2b| 1 即 2a-b 与 a+2b 的夹角的余弦值是-26. )

3

【提分秘籍】(1)在数量积的基本运算中,经常用到数量积的定义、模、夹角等公式, 尤其对|a|= a· a要引起足够重视,它是求距离常用的公式. (2)要注意向量运算律与实数运算律的区别和联系.在向量的运算中,灵活运用运算律, 就会达到简化运算的目的. →→ 【举一反三】(1)在平行四边形 ABCD 中,AD=1,∠BAD=60°,E 为 CD 的中点.若AC· BE =1,则 AB 的长为________. 1 (2)已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 α,且 cosα=3,向量 a=3e1-2e2 与 b=3e1-e2 的夹 角为 β,则 cosβ=________. 1 2 2 答案 (1)2 (2) 3

(2)∵|a|= ?3e1-2e2?2= |b|= ?3e1-e2?2=

1 9+4-12×1×1×3=3,

1 9+1-6×1×1×3=2 2,

∴a· b=(3e1-2e2)· (3e1-e2)=9e2 e2+2e2 1-9e1· 2 1 =9-9×1×1×3+2=8, ∴cos β= 题型三 8 2 2 = 3 . 3×2 2

数量积的综合应用

例 3、已知△ABC 的角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,设向量 m=(a,b),n=(sinB, sinA),p=(b-2,a-2).
4

(1)若 m∥n,求证:△ABC 为等腰三角形; π (2)若 m⊥p,边长 c=2,角 C=3,求△ABC 的面积. 【解析】 (1)证明 ∵m∥n,∴asinA=bsinB, a b 即 a· 2R=b· 2R,其中 R 是三角形 ABC 外接圆半径, ∴a=b. ∴△ABC 为等腰三角形.

【提分秘籍】解决以向量为载体考查三角形问题时,正弦定理、余弦定理、面积公式的 应用、边与角之间的互化是判断三角形形状的常用方法. π 【举一反三】已知向量 m=(2sin(ωx+3),1),n=(2cosωx,- 3)(ω>0),函数 f(x)=m· n π 的两条相邻对称轴间的距离为2. (1)求函数 f(x)的单调递增区间; 5π π (2)当 x∈[- 6 ,12]时,求 f(x)的值域. 解 (1)f(x)=m· n

π =4sin(ωx+3)cosωx- 3 =2sinωxcosωx+2 3cos2ωx- 3 =sin2ωx+ 3cos2ωx π =2sin(2ωx+3). 2π 因为 T=2ω=π,所以 ω=1. π 所以 f(x)=2sin(2x+3).

5

π π π 5π π 由 2kπ-2≤2x+3≤2kπ+2(k∈Z)得 kπ-12≤x≤kπ+12(k∈Z). 5π π 所以函数 f(x)的单调递增区间是[kπ-12,kπ+12](k∈Z). 5π π (2)因为 x∈[- 6 ,12], π 4π π 所以 2x+3∈[- 3 ,2]. π 所以 sin(2x+3)∈[-1,1]. 所以 f(x)∈[-2,2],即 f(x)的值域是[-2,2]. 题型四 向量在平面几何中的应用

例 4、如图所示,四边形 ABCD 是正方形,P 是对角线 DB 上的一点(不包括端点),E,F 分别在边 BC,DC 上,且四边形 PFCE 是矩形,试用向量法证明:PA=EF.

【提分秘籍】 用向量方法解决平面几何问题可分三步: (1)建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题 转化为向量问题;
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(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题; (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 【举一反三】 → → (1)在边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠BAD=60°,E 是 BC 的中点,则AC· AE等于( 3+ 3 9 A. 3 B.2 C. 3 9 D.4 )

→ → → → (2)在△ABC 所在平面上有一点 P,满足PA+PB+PC=AB,则△PAB 与△ABC 的面积的比值 是( ) 1 1 2 3 A.3B.2C.3D.4 答案 (1)D (2)A 3 3 1 解析 (1)建立如图平面直角坐标系,则 A(- 2 ,0),C( 2 ,0),B(0,-2). 3 1 ∴E 点坐标为( 4 ,-4), 1 → → 3 3 ∴AC=( 3,0),AE=( 4 ,-4), 3 3 9 → → ∴AC· AE= 3× 4 =4. → → (2)由已知可得PC=2AP, ∴P 是线段 AC 的三等分点(靠近点 A), 1 易知 S△PAB=3S△ABC,即 S△PAB∶S△ABC=1∶3. 题型五 向量在三角函数中的应用

例 5、 已知在锐角△ABC 中, 两向量 p=(2-2sinA, cosA+sinA), q=(sinA-cosA,1+sinA), 且 p 与 q 是共线向量. (1)求 A 的大小; (2)求函数 y=2sin2B+cos 解 (1)∵p∥q,

?C-3B?取最大值时,B 的大小. ? 2 ?

∴(2-2sinA)(1+sinA)-(cosA+sinA)(sinA-cosA) =0,

7

3 3 ∴sin2A=4,sinA= 2 , ∵△ABC 为锐角三角形,∴A=60°. (2)y=2sin2B+cos =2sin2B+cos

?C-3B? ? 2 ?

?180°-B-A-3B? 2 ? ?

=2sin2B+cos(2B-60°) =1-cos2B+cos(2B-60°) =1-cos2B+cos2Bcos60°+sin2Bsin60° 1 3 =1-2cos2B+ 2 sin2B=1+sin(2B-30°), 当 2B-30°=90°,即 B=60°时,函数取最大值 2. 【提分秘籍】 解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键:准确利用向量的坐标运算化简已知条件, 将其转化为三角函数中的有关问题解决. 【举一反三】 (1)已知 a,b,c 为△ABC 的三个内角 A,B,C 的对边,向量 m=( 3,-1),n=(cosA, sinA).若 m⊥n,且 acosB+bcosA=csinC,则角 A,B 的大小分别为( π π A.6,3 π π C.3,6 2π π B. 3 ,6 π π D.3,3 )

(2)△ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边长分别是 a,b,c,设向量 m=(a+b,sinC),n =( 3a+c,sinB-sinA),若 m∥n,则角 B 的大小为________. 5π 答案 (1)C (2) 6 解析 (1)由 m⊥n 得 m· n=0, 即 3cosA-sinA=0,

? π? 即 2cos A+6 =0, ? ?
π π 7π ∵6<A+6< 6 , π π π ∴A+6=2,即 A=3. 又 acosB+bcosA=2RsinAcosB+2RsinBcosA

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=2Rsin(A+B)=2RsinC=c=csinC, π ∴sin C=1,C=2, π π π ∴B=π-3-2=6. (2)∵m∥n, ∴(a+b)(sin B-sin A)-sin C( 3a+c)=0, a b c 又∵sinA=sinB=sinC, 则化简得 a2+c2-b2=- 3ac, a2+c2-b2 3 5π ∴cosB= 2ac =- 2 ,∵0<B<π,∴B= 6 . 题型六 平面向量在解析几何中的应用

→ → → 例 6、(1)已知向量OA=(k,12),OB=(4,5),OC=(10,k),且 A、B、C 三点共线,当 k<0 时,若 k 为直线的斜率,则过点(2,-1)的直线方程为________. → → (2)设 O 为坐标原点, C 为圆(x-2)2+y2=3 的圆心, 且圆上有一点 M(x, y)满足OM· CM= y 0,则x=________.

【提分秘籍】 向量的共线和数量积在解析几何中可以解决一些平行、共线、垂直、夹角及最值问题,

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在解题中要充分重视数量积及其几何意义的作用. 【举一反三】 已知 a, b 是单位向量, a· b=0.若向量 c 满足|c-a-b|=1, 则|c|的最大值为________. 答案 2+1

解析 方法一 ∵a,b 是单位向量,∴|a|=|b|=1. 又 a· b=0,∴a⊥b,∴|a+b|= 2. ∴|c-a-b|2=c2-2c· (a+b)+2a· b+a2+b2=1. ∴c2-2c· (a+b)+1=0. ∴2c· (a+b)=c2+1. ∴c2+1=2|c||a+b|cosθ(θ 是 c 与 a+b 的夹角). ∴c2+1=2 2|c|cosθ≤2 2|c|. ∴c2-2 2|c|+1≤0. ∴ 2-1≤|c|≤ 2+1. ∴|c|的最大值为 2+1.

【高考风向标】 1.【2015 高考广东,文 9】在平面直角坐标系 x?y 中,已知四边形 ?? CD 是平行四 边形, ?? ? ?1, ?2 ? , ?D ? ? 2,1? ,则 ?D ? ?C ? ( A. 2 D. 5 【答案】D
10

??? ?

????

???? ??? ?

) C. 4

B. 3

【解析】因为四边形 ?? CD 是平行四边形,所以

??? ? ??? ? ???? ?C ? ?? ? ?D ? ?1, ?2 ? ? ? 2,1? ? ?3, ?1?

,所以

???? ??? ? ?D ? ?C ? 2 ? 3 ? 1? ? ?1? ? 5
? ? ? ? ?

,故选 D.

2.【2015 高考重庆,文 7】已知非零向量 a, b 满足 |b|=4|a|,且a ? (2a +b ) 则 a与b 的 夹角为( (A) )

? ?

?

?

? 3

(B)

? 2

(C)

2? 3
2

(D)

5? 6

【答案】C 【解析】由已知可得 a ? ( 2a ? b) ? 0 ? 2a ? a ? b ? 0 ,设 a与b 的夹角为 ? ,则有
2

?

?

2 a ? a ? b cos? ? 0 ? cos? ? ?

2a 4a

2

2

1 2? ? ? ,又因为 ? ? [0, ? ] ,所以 ? ? , 2 3

故选 C. 3.【2015 高考福建,文 7】设 a ? (1, 2) ,b ? (1,1) , c ? a ? kb .若 b ? c ,则实数 k 的 值等于( A. ? )

?

?

?

?

?

?

?

3 2

B. ?

5 3

C.

5 3

D.

3 2

【答案】A 【解析】由已知得 c ? (1, 2) ? k (1,1) ? (k ? 1, k ? 2) ,因为 b ? c ,则 b ? c ? 0 ,因此

?

?

?

? ?

k ? 1 ? k ? 2 ? 0 ,解得 k ? ?

3 ,故选 A. 2

4.【2015 高考天津,文 13】在等腰梯形 ABCD 中,已知

AB ? DC , AB ? 2, BC ? 1, ?ABC ? 60? , 点 E 和点 F 分别在线段 BC 和 CD 上,且

??? ? 2 ??? ? ???? 1 ???? ??? ? ??? ? BE ? BC , DF ? DC , 则 AE ? AF 的值为 3 6 29 【答案】 18



【解析】在等腰梯形 ABCD 中,由 AB ? DC , AB ? 2, BC ? 1, ?ABC ? 60 , 得
?

???? ??? ? 1 ??? ???? 1 ??? ? ? ???? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ???? ???? AD ? BC ? , AB ? AD ? 1 , DC ? AB ,所以 AE ? AF ? AB ? BE ? AD ? DF 2 2

?

??

?

? 2 ??? ? ? ? ???? 1 ??? ? ? ??? ? ???? 2 ??? ? ???? 1 ??? ? 2 1 ??? ? ??? ? 1 1 1 29 ? ??? ? ? AB ? BC ? ? ? AD ? AB ? ? AB ? AD ? BC ? AD ? AB ? BC ? AB ? 1 ? ? ? ? 3 12 3 12 18 3 3 18 18 ? ? ? ?

11

5.【2015 高考浙江,文 13】已知 e1 , e2 是平面单位向量,且 e1 ? e2 ? 满足 b ? e1 ? b ? e2 ? 1 ,则 b ?

?

?

? ?

? ?

? ?

?

? 1 .若平面向量 b 2



【答案】

2 3 3
? ?

【解析】由题可知,不妨 e1 ? (1,0) , e2 ? ( ,

?? ?

? ? ? 1 3 ) ,设 b ? ( x, y) ,则 b ? e1 ? x ? 1 , 2 2

? ? 1 ? ? 3 3 1 2 3 . b ? e2 ? x ? y ? 1 ,所以 b ? (1, ) ,所以 b ? 1 ? ? 2 2 3 3 3
1. (2014· 北京卷)已知向量 a,b 满足|a|=1,b=(2,1),且 λa+b=0(λ∈R),则|λ|= ________. 【答案】 5 【解析】∵λa+b=0,∴λa=-b,

|b| 5 ∴|λ|= = = 5. |a| 1 2. (2014· 湖北卷) 设向量 a=(3, 3), b=(1, -1). 若(a+λb)⊥(a-λb), 则实数 λ=________. 【答案】± 3 【解析】因为 a+λb=(3+λ,3-λ),a-λb=(3-λ,3+λ),又(a+λb)⊥(a-λb),所以 (a+λb)· (a-λb)=(3+λ)(3-λ)+(3-λ)(3+λ)=0,解得 λ=± 3. 1 3. (2014· 江西卷)已知单位向量 e1 与 e2 的夹角为 α,且 cos α= ,向量 a=3e1-2e2 3 与 b=3e1-e2 的夹角为 β,则 cos β=________. 2 【答案】 2 3

(3e1-e2) a· b (3e1-2e2)· 【解析】cos β= = = |a||b| |3e1-2e2||3e1-e2|
2 9e1 -9e1e2+2e2 2 2 2 9e1 -12e1· e2+4e2 e2+e2 2 9e1-6e1· 2



1 9-9× +2 3 8 2 2 = = . 3 1 1 3× 2 2 9-12× +4· 9-6× +1 3 3 4. (2014· 全国卷)若向量 a,b 满足:=1,(a+b)⊥a,(+b)⊥b,则|=( A.2 B. 2 C.1 D. 2 2 )

【答案】B
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【解析】因为(a+b)⊥a,所以(a+b)=0,即 2+=因为(+b)⊥b,所以(+b)=0,即 b +2=0,与 2+=0 联立,可得-2=0,所以= 2= 2. 5. (2014· 新课标全国卷Ⅱ] 设向量 a,b 满足|a+b|= 10,|a-b|= 6,则=( A.1 B.2 C.3 D.5 【答案】A 【解析】由已知得|a+b|2=10,|a-b|2=6,两式相减,得 4a· b=4,所以 a· b =1. π → → 6. (2014· 山东卷) 在△ABC 中, 已知AB· AC=tan A, 当 A= 时, △ABC 的面积为______. 6 1 【答案】 6 π → → → → 2 【解析】因为 AB· AC=|AB|· |AC|cos A=tan A,且 A= ,所以|AB|· |AC|= ,所以△ABC 6 3 1→ → 1 2 π 1 的面积 S= |AB|· |AC|sin A= × × sin = . 2 2 3 6 6 7. (2014· 天津卷)已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120° ,点 E,F 分别在边 BC, 2 → → → → DC 上,BE=λBC,DF=μDC.若AE· AF=1,CE· CF=- ,则 λ+μ=( 3 1 A. 2 2 5 7 B. C. D. 3 6 12 ) )

【答案】C

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→ → 8.(2013 年高考湖北卷)已知点 A(-1,1)、B(1,2)、C(-2,-1)、D (3,4),则向量AB在CD 方向上的投影为( 3 2 A. 2 3 2 C.- 2 ) 3 15 B. 2 3 15 D.- 2

→ → → → → → → 解析:AB=(2,1),CD=(5,5),向量AB=(2,1)在CD=(5,5)上的投影为|AB|cos〈AB,CD〉 → → → → → AB· CD AB· CD 15 3 2 =|AB| = = = ,故选 A. → → → 2 5 2 |AB||CD| |CD| 答案:A 9.(2013 年高考湖南卷)已知 a,b 是单位向量,a· b=0.若向量 c 满足|c-a-b|=1,则|c| 的取值范围是( ) B.[ 2-1, 2+2]

A.[ 2-1, 2+1] C.[1, 2+1]

D.[1, 2+2]

解析:由 a,b 为单位向量且 a· b=0,可设 a=(1,0),b=(0,1),又设 c=(x,y),代入|c -a-b|=1 得(x-1)2+(y-1)2=1,又|c|= 12+12+1,即 2-1≤|c|≤ 答案:A π? 10.(2013 年高考辽宁卷)设向量 a=( 3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈? ?0,2?. (1)若|a|=|b|,求 x 的值; (2)设函数 f(x)=a· b,求 f(x)的最大值. 解析:(1)由|a|2=( 3sin x)2+(sin x)2=4sin2x, |b|2=(cos x)2+(sin x)2=1, 及|a|=|b|,得 4sin2x=1. π? 1 又 x∈? ?0,2?,从而 sin x=2, π 所以 x= . 6 (2)f(x)=a· b= 3sin x· cos x+sin2x = π? 1 3 1 1 sin 2x- cos 2x+ =sin? ?2x-6?+2, 2 2 2 2+1. x2+y2,故由几何性质得 12+12-1≤|c|≤

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π? π π 当 x= ∈[0, ]时,sin? ?2x-6?取最大值 1. 3 2 3 所以 f(x)的最大值为 . 2 1? 11.(2013 年高考陕西卷)已知向量 a=? ?cos x,-2?,b= ( 3sin x,cos 2x),x∈R,设 函数 f(x)=a· b. (1)求 f(x)的最小正周期; π? (2)求 f(x)在? ?0,2?上的最大值和最小值. 1? 解析:f(x)=? ( 3sin x,cos 2x) ?cos x,-2?· 1 = 3cos xsin x- cos 2x 2 = 3 1 sin 2x- cos 2x 2 2

π π =cos sin 2x-sin cos 2x 6 6 π? =sin? ?2x-6?. 2π 2π (1)f(x)的最小正周期为 T= = =π, ω 2 即函数 f(x)的最小正周期为 π. π π π 5π π π π (2)∵0≤x≤ ,∴- ≤2x- ≤ .由正弦函数的性质,知当 2x- = ,即 x= 时,f(x)取得 2 6 6 6 6 2 3 最大值 1. π π 1 当 2x- =- ,即 x=0 时,f(x)取得最小值- . 6 6 2 π 1 因此,f(x)在[0, ]上的最大值是 1,最小值是- . 2 2 【高考押题】 1.若向量 a,b 满足|a|=|b|=|a+b|=1,则 a· b 的值为( 1 1 A.- B. C.-1D.1 2 2 答案 A 解析 依题意得(a+b)2=a2+b2+2a· b =2+2a· b=1, 1 所以 a· b=- ,选 A. 2 2.已知向量 a=(1, 3),b=(-1,0),则|a+2b|等于(
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)

)

A.1B. 2C.2D.4 答案 C 解析 |a+2b|2=a2+4a· b+4b2=4-4× 1+4=4,

∴|a+2b|=2. 3. 已知向量 a=(1,2), b=(2, -3). 若向量 c 满足(c+a)∥b, c⊥(a+b), 则 c 等于( 7 7? ? 7 7? A.? ?9,3? B.?-3,-9? 7 7? ? 7 7? C.? ?3,9? D.?-9,-3? 答案 D 解析 设 c=(x,y),则 c+a=(x+1,y+2), 又(c+a)∥b,∴2(y+2)+3(x+1)=0.① 又 c⊥(a+b),∴(x,y)· (3,-1)=3x-y=0.② 7 7 联立①②解得 x=- ,y=- . 9 3 → → 4.向量AB与向量 a=(-3,4)的夹角为 π,|AB|=10,若点 A 的坐标是(1,2),则点 B 的坐 标为( ) B.(9,-4) D.(7,-6) )

A.(-7,8) C.(-5,10) 答案 D

→ 解析 ∵AB与 a=(-3,4)反向, → ∴可设AB=(3λ,-4λ),λ>0. → → 又|AB|=10,∴λ=2,∴AB=(6,-8), 又 A(1,2),∴B 点坐标为(7,-6). → → 5.在四边形 ABCD 中,AC=(1,2),BD=(-4,2),则该四边形的面积为( A. 5B.2 5C.5D.10 答案 C )

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6. 设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点, O 为平行四边形 ABCD 所在平面内任意一 → → → → 点,则OA+OB+OC+OD等于( → A.OM → C.3OM 答案 D 解析 因为点 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点,所以点 M 是 AC 和 BD 的中点, → → → → → → → → → → → 由平行四边形法则知OA+OC=2OM,OB+OD=2OM,故OA+OC+OB+OD=4OM. → → → → → 7.平面四边形 ABCD 中,AB+CD=0,(AB-AD)· AC=0,则四边形 ABCD 是( A.矩形 C.正方形 答案 D 解析 → → → → → → → → AB+CD=0?AB=-CD=DC?四边形 ABCD 是平行四边形,(AB-AD)· AC= B.梯形 D.菱形 ) → B.2OM → D.4OM )

→ → → → DB· AC=0?DB⊥AC,所以平行四边形 ABCD 是菱形. → → → →2 8.在△ABC 中,(BC+BA)· AC=|AC| ,则△ABC 的形状一定是( A.等边三角形 C.直角三角形 答案 C B.等腰三角形 D.等腰直角三角形 )

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→ → 9.已知点 A(-2,0)、B(3,0),动点 P(x,y)满足PA· PB=x2-6,则点 P 的轨迹是( A.圆 C.双曲线 答案 D → → 解析 PA=(-2-x,-y),PB=(3-x,-y), → → ∴PA· PB=(-2-x)(3-x)+y2=x2-6, ∴y2=x. B.椭圆 D.抛物线

)

π 10.若函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< )在一个周期内的图象如图所示,M,N 分别 2 → → 是这段图象的最高点和最低点,且OM· ON=0(O 为坐标原点),则 A 等于( )

π A. 6 答案 B

B.

7 π 12

C.

7 π 6

D.

7 π 3

π 7 解析 由题意知 M( ,A),N( π,-A), 12 12

18

→ → π 7 又OM· ON= × π-A2=0, 12 12 ∴A= 7 π. 12

15 → → 11.已知在△ABC 中,AB=a,AC=b,a· b<0,S△ABC= ,|a|=3,|b|=5,则∠BAC= 4 ________. 答案 150° → → 解析 ∵AB· AC<0,∴∠BAC 为钝角, 1 15 又 S△ABC= |a||b|sin∠BAC= . 2 4 1 ∴sin∠BAC= ,∴∠BAC=150° . 2 12.已知|a|=2|b|,|b|≠0 且关于 x 的方程 x2+|a|x-a· b=0 有两相等实根,则向量 a 与 b 的夹角是________. 答案 2π 3

解析 设向量 a 与 b 的夹角为 θ, 由已知可得 Δ=|a|2+4a· b=0, 即 4|b|2+4· 2|b|· |b|cosθ=0, 1 2π ∴cosθ=- ,又∵0≤θ≤π,∴θ= . 2 3 13.已知在平面直角坐标系中,O(0,0),M(1,1),N(0,1),Q(2,3),动点 P(x,y)满足不 → → → → → → 等式 0≤OP· OM≤1,0≤OP· ON≤1,则 z=OQ· OP的最大值为________. 答案 3 → → → 解析 ∵OP=(x,y),OM=(1,1),ON=(0,1), → → → → ∴OP· OM=x+y,OP· ON=y,
?0≤x+y≤1, ? 即在? 条件下,求 z=2x+3y 的最大值,由线性规划知识,当 x=0,y=1 ?0≤y≤1 ?

时,zmax=3. 14.已知△ABC 中,∠C 是直角,CA=CB,D 是 CB 的中点,E 是 AB 上一点,且 AE =2EB,求证:AD⊥CE. 证明 建立如图所示的直角坐标系,
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设 A(a,0),则 B(0,a),E(x,y). a ∵D 是 BC 的中点,∴D(0, ). 2 → → 又∵AE=2EB, 即(x-a,y)=2(-x,a-y),
? ?x-a=-2x, a 2 ∴? 解得 x= ,y= a. 3 3 ?y=2a-2y, ?

a a → ∵AD=(0, )-(a,0)=(-a, ), 2 2 → → a 2 OE=CE=( , a), 3 3 a 2 a → → ∴AD· CE=-a× + a× 3 3 2 1 1 =- a2+ a2=0. 3 3 → → ∴AD⊥CE,即 AD⊥CE. π 3π 15.已知 A,B,C 三点的坐标分别为 A(3,0),B(0,3),C(cosα,sinα),其中 α∈( , ). 2 2 → → (1)若|AC|=|BC|,求角 α 的值. π → → (2)若AC· BC=-1,求 tan(α+ )的值. 4 解 → (1)∵AC=(cosα-3,sinα),

→ BC=(cosα,sinα-3), → ∴|AC|= ? cos α-3?2+sin2α = 10-6cosα, → |BC|= 10-6sinα. → → 由|AC|=|BC|得 sinα=cosα, π 3π 5 又 α∈( , ),∴α= π. 2 2 4

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16.已知向量 p=(2sinx, 3cosx),q=(-sinx,2sinx),函数 f(x)=p· q. (1)求 f(x)的单调递增区间; (2)在△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 f(C)=1,c=1,ab=2 3,且 a>b,求 a,b 的值. 解 (1)f(x)=-2sin2x+2 3sinxcosx

=-1+cos2x+2 3sinxcosx π = 3sin2x+cos2x-1=2sin(2x+ )-1. 6 π π π 由 2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 6 2 π π 得 kπ- ≤x≤kπ+ ,k∈Z, 3 6 π π? ∴f(x)的单调递增区间是? ?kπ-3,kπ+6?(k∈Z). π (2)∵f(C)=2sin(2C+ )-1=1, 6 π ∴sin(2C+ )=1, 6 π π π ∵C 是三角形的内角,∴2C+ = ,即 C= . 6 2 6 a2+b2-c2 3 ∴cosC= = ,即 a2+b2=7. 2ab 2 12 将 ab=2 3代入可得 a2+ 2 =7,解得 a2=3 或 4. a ∴a= 3或 2,∴b=2 或 3. ∵a>b,∴a=2,b= 3.

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